PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán bậc phổ thông. Có nhiều phương pháp giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, trong đó phương pháp ẩn phụ tỏ ra có hiệu quả đối với một số lớp phương trình, hệ phương trình và bất phương trình. Trong chương trình toán bậc phổ thông của quốc gia Lào, học sinh được làm quen với phương pháp ẩn phụ khi giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, tuy nhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở mức độ nhất định. Việc vận dụng phương pháp ẩn phụ vào giải toán cũng như rèn luyện kỹ năng này là cần thiết đối với học sinh phổ thông. Là một giáo viên giảng dạy toán bậc phổ thông của quốc gia Lào, là một học viên đang học sau đại học ngành phương pháp toán sơ cấp tôi muốn tìm hiểu kĩ hơn phương pháp ẩn phụ trong giải toán, đặc biệt là giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình nhằm phục vụ cho việc giảng dạy và học tập bộ môn toán bậc phổ thông tốt hơn nên tôi chọn đề tài: “Phương pháp ẩn phụ trong giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình” cho luận văn tốt nghiệp của mình

………

LUẬN VĂN THẠC SĨPHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH,HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: MÃ SỐ:

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

2.1 Giải phương trình bằng phương pháp ẩn phụ 11

2.1.1 Giải phương trình đa thức, phương trình hữu tỉ 11

2.1.2 Giải phương trình vô tỉ 23

2.1.3 Giải phương trình hàm số mũ, hàm số logarit 60

2.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 68

3.1.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 92

3.2 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 95

3.2.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn 95

3.2.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 101

3.2.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ bất phương trình 104

3.2.4 Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình lượng giác 105

3.3 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT 106

KẾT LUẬN 111TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

MỞ ĐẦU1 Lí do chọn đề tài

Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là những nội dung cơ bảnvà quan trọng của chương trình toán bậc phổ thông Có nhiều phương pháp giảiphương trình, hệ phương trình và bất phương trình, trong đó phương pháp ẩn phụ tỏra có hiệu quả đối với một số lớp phương trình, hệ phương trình và bất phươngtrình Trong chương trình toán bậc phổ thông của quốc gia Lào, học sinh được làmquen với phương pháp ẩn phụ khi giải phương trình, hệ phương trình và bất phươngtrình, tuy nhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở mức độ nhất định Việcvận dụng phương pháp ẩn phụ vào giải toán cũng như rèn luyện kỹ năng này là cầnthiết đối với học sinh phổ thông

Là một giáo viên giảng dạy toán bậc phổ thông của quốc gia Lào, là một học

viên đang học sau đại học ngành phương pháp toán sơ cấp tôi muốn tìm hiểu kĩ hơn

phương pháp ẩn phụ trong giải toán, đặc biệt là giải phương trình, hệ phương trìnhvà bất phương trình nhằm phục vụ cho việc giảng dạy và học tập bộ môn toán bậc

phổ thông tốt hơn nên tôi chọn đề tài: “Phương pháp ẩn phụ trong giải phương

trình, hệ phương trình và bất phương trình” cho luận văn tốt nghiệp của mình.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các dấu hiệu để nhận biết một phương trình, hệ phương trình, bấtphương trình có thể giải được bằng phương pháp ẩn phụ

Hệ thống và phân loại các lớp bài toán giải được bằng phương pháp ẩn phụ.Đưa ra quy trình giải cho từng lớp bài toán, cùng với những ví dụ minh hoạ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ trong giải toán.Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình thuộc chương trình phổthông (của Việt Nam và Lào)

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tư liệu: sách giáo khoa, sách tham khảo, các tạp chí toán học vàcác tài liệu trên internet

Phương pháp tiếp cận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống các tài liệu sưu tầmđược để thực hiện luận văn.

Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn và các chuyên gia.Từ đó phân loại các dạng toán giải phương trình, hệ phương trình và bấtphương trình có thể dùng phương pháp ẩn phụ để giải Đồng thời đưa ra các quytrình giải cho từng dạng toán cụ thể Qua đó, định hướng cho học sinh qua cáchnhìn nhận, cách phân tích một bài toán có thể dùng phương pháp ẩn phụ để giảichúng

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trình bày sơ lược khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ Nhắc lại một số hệthức đại số và hệ thức lượng giác để làm cơ sở cho các chương sau

Chương 2 Giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp ẩnphụ

Trình bày phương pháp ẩn phụ để giải phương trình và hệ phương trình, nêumột số bài toán về các dạng đặt ẩn phụ trong giải phương trình và hệ phương trình

Chương 3 Giải bất phương trình bằng phương pháp ẩn phụ

Trình bày quy trình dùng ẩn phụ để giải bất phương trình, các dạng đặt ẩnphụ để giải bất phương trình và một số bài toán ví dụ dùng ẩn phụ để giải bấtphương trình hữu tỉ, vô tỉ và bất phương trình hàm số mũ, hàm số logarit

Để hoàn thành luận văn, trước hết tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới TS.Nguyễn Ngọc Châu đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ bảo, tận tình giúpđỡ trong quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện luận văn Qua đây, tôi cũngxin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn học viên cao họclớp………., Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Khoa ……… trườngĐại học sư phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện, giúp đỡ trong suốt quá trình hoàn thànhkhóa học Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn và khả năng còn hạnchế nên các vấn đề trình bày trong luận văn còn chưa được trình bày sâu sắc và

không thể tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý xây dựng củathầy cô cùng các bạn.

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 KHÁI NIỆM ẨN PHỤ

Trước hết ta cần tìm hiểu khái niệm biến và ẩn:

Trong lịch sử toán học, biến số là một số có giá trị bất kỳ, không bắt buộc

phải duy nhất có một giá trị (không có giá trị nhất định), biến số là số có thể thay

đổi giá trị trong một tình huống có thể thay đổi Ngược lại với khái niệm biến số làmột khái niệm hằng số Hằng số là một số không thể thay đổi trong bất kỳ các tình

huống nào đó

Thuật ngữ biến dùng để chỉ các đại lượng (chẳng hạn các đại lượng vật lý

như khối lượng, thời gian, các đại lượng hình học như độ dài, diện tích, thể tích, )có thể nhận các giá trị khác nhau trong một tập hợp nào đấy (được gọi là miền biếnthiên của nó) Theo quan điểm động, người ta gọi chúng là các đại lượng biến thiên,hay đơn giản là các biến Nếu tập hợp các giá trị của biến X là tập hợp số thì nó

được gọi là biến số Cũng có những biến không phải là biến số như biến lôgic, biếnBoolean, biến ký tự, Giá trị của các biến thường liên quan đến nhau Khi xét quan

hệ giữa chúng với nhau, một số biến được xem là độc lập được gọi là các biến độclập, một số biến sẽ nhận giá trị phụ thuộc vào các biến khác, được gọi là biến phụthuộc

Khi xét quan hệ phụ thuộc giữa các biến, nếu đã biết giá trị của một số biến,nếu cần có thể xác định giá trị của một hoặc một số biến chưa biết, khi đó các biến

cần tìm giá trị được gọi là các ẩn (ẩn số), các biến đã biết giá trị được gọi là

các tham biến (tham số), còn hệ thức biểu diễn mối liên hệ giữa các biến (thường làmột đẳng thức/bất đẳng thức) được gọi là các phương trình/bất phương trình, việctìm giá trị của các ẩn được gọi là giải phương trình/bất phương trình Các giá trị tìmđược của các ẩn được gọi là nghiệm của phương trình/bất phương trình

Vậy ẩn phụ là gì? Ẩn phụ là ẩn mà chúng ta đặt ra nhằm đại diện cho biểu thức trong điều kiệncụ thể nhằm đơn giản hoá bài toán về dạng cơ bản hoặc dạng đã biết cách giải,thường ta sẽ đặt ẩn phụ trong trường hợp biểu thức có quan hệ với nhau như: giốngnhau, đối nhau, lượng liên hiệp nhau, nghịch đảo nhau…hoặc trong trường hợp biểuthức phức tạp như bậc quá cao, có căn thức…

1.2 PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ

Phương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp khá phổ biến đối với các bàitoán phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Các bài toán giải phươngtrình, hệ phương trình và bất phương trình mà ta có thể áp dụng phương pháp này,nếu dễ, thì ta sẽ thấy ngay dấu hiệu là một biểu thức chứa biến nào đó lặp đi lặp lạinhiều lần hoặc các biểu thức có quan hệ với nhau, còn nếu khó hơn, thì ta cần phảicó một ít biến đổi khéo léo, chủ yếu là để đưa về hình dạng sơ khai của bài toán, làmột phương trình, hệ phương trình hay bất phương trình với các biểu thức chứabiến lặp lại Cũng có trường hợp, bài toán yêu cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụkhác, nhằm tạo ra một phương trình, hệ phương trình hay bất phương trình mới dễdàng giải quyết hơn

Quy trình chung của phương pháp ẩn phụ như sau:Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) để phương trình, hệ phương trình, bất phươngtrình được xác định

Bước 2 : Biến đổi phương trình, hệ phương trình, bất phương trình để làmxuất hiện ẩn phụ nếu cần Chọn ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phươngtrình, hệ phương trình, bất phương trình qua ẩn phụ

Bước 3 : Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ.Thay giá trị của ẩn phụ vừa tìm được rồi giải bất phương trình theo ẩn chính banđầu

Phương pháp ẩn phụ rất đa dạng, có thể đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc khônghoàn toàn, có thể đặt một hoặc nhiều ẩn phụ, có thể đặt ẩn phụ đại số hoặc ẩn phụ

lượng giác (lượng giác hoá)… tuỳ từng bài toán cụ thể mà chúng ta áp dụng chohợp lí



Dấu “=” xảy ra khi a1 a2   an

A B

  

 ,



2

00

000

ABA B

BA B

 



  

 



Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit:

Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi a 0 thì:

1,1

aM N

a

   















 

Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thứcsau (mặc định các đẳng thức và bất đẳng thức đều có nghĩa):

aM

   







 

 

10

a

   







aM

   









 

 

Hệ phương trình đối xứng loại I:

Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ có dạng



F x yG x y







Trong đó F x y G x y; , ;  là các đa thức đối xứng với x y, Cách giải chung của hệ là đặt S ; xy Pxy (điều kiện S2 4 0P ).Dùng tính đối xứng ta đưa hệ về dạng



11

; 0; 0

F S PG S P







Tìm đươc S và P

Từ đó, theo định lý Viete đảo, x và y là nghiệm của phương trình

2 0

Hệ phương trình đối xứng loại II:

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ có dạng



F x yF y x







Trong đó F x y;  là một đa thức không đối xứng Trừ hai phương trình vế theo vế để được F x y; F y x; 0 (∗)

Coi x là ẩn số, y là tham số và đặt F x y; f x  g y  (g y  độc lập với

x) thì F y x; f y  g x  Khi đó (∗) G x  f x  g y  f y  g x  0Xét G x , thay x y thì G y  f y  g y  f y  g y  0

Sau đó giải hệ trong từng trường hợp x y và M x y ; 0 .

Lưu ý rằng hệ đối xứng loại II còn có dạng

    



 và nếu f x g x ,  là hai hàm số đơn điệu cùng chiều thì ta có thể suy ra x y mà không cần xét

; 0

M x y  (vì trường hợp này sẽ dẫn tới hệ vô nghiệm) Nhưng nếu f

 x g x,   không đơn điệu cùng chiều thì trường hợp M x y ; 0 sẽ chonghiệm

2

1

2os

Với ; ; ,

       

, ta có: tantantantan tan tan m,(m )

      

tantantan

1 tan tantantantan

1 tan

aa

a



Công thức biến đổi tổng thành tích

21

CHƯƠNG 2GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ

Một bộ phận khá lớn các phương trình, hệ phương trình có thể giải đượcbằng phương pháp dùng ẩn phụ Khi giải phương trình, hệ phương trình bằngphương pháp ẩn phụ ta có thể dùng một hoặc nhiều ẩn phụ, có thể dùng những ẩnphụ có tính chất khác nhau, chẳng hạn ẩn phụ đại số hoặc ẩn phụ lượng giác Tuỳthuộc vào từng phương trình, hệ phương trình mà lựa chọn việc đặt ẩn phụ cho thíchhợp Nói chung việc dùng ẩn phụ để giải phương trình, hệ phương trình là khá đadạng và phong phú

Từ đây về sau (kể cả chương sau) các phương trình, hệ phương trình và bất phương trình đều được giải trong trường số thực

2.1 Giải phương trình bằng phương pháp ẩn phụ

2.1.1 Giải phương trình đa thức, phương trình hữu tỉ

a Đặt ẩn phụ hoàn toàn

Đặt ẩn phụ hoàn toàn là phương pháp ẩn phụ mà phương trình mới thu đượckhông còn ẩn ban đầu Ta có một số dạng phương trình như sau:

a) Các phương trình có dạng đặc trưng "trùng phương": ax2n bxn c=0,0

a  Đặt ẩn phụ t x n (nếu n chẵn thì có điều kiện t 0 ).

Bài toán 1 Giải phương trình2x6 x3 3 0

Lời giải Đặt t x 3, phương trình đã cho trở thành:

32









2

x x

Bài toán 2 Giải phương trình x8 3x4 4 0

Lời giải Đặt t x 4 t 0, phương trình trở thành: t2 3t4 0

1 (4 0 (kh ng

tt



Bài toán 3 Giải phương trình x2  x 12 2(2x1)2 27

(1)

Lời giải Phương trình (1)  x2  x 12 2 4 x2 4x1 27

 x2  x 12 8x2  x 1 33

(2)Đặt t x 2   x1 0, phương trình (2) trở thành t2 8t33 0

11 (

tt



 tho¶ ®iÒu kiÖn)

kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn)

Với

13

2

xt

x





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1,x2

b) Các phương trình có dạng x an x bn c Đối với các phương trình

dạng này, ta đặt ẩn phụ 2

a bt x  

(gọi là ẩn phụ trung bình)

Bài toán 4 Giải phương trình x13 x53 64

Lời giải Đặt t x 3, phương trình trở thành

t23 t23 64t3 12t32 0 t2t2 2t160 t2. Suy ra x 5

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm thực x 5.

Bài toán 5 Giải phương trình x34 x54 16

Lời giải Đặt t x 4; phương trình đã cho trở thành



Với t 1x5, Với t 1x3Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x3,x5.

Bài toán 6 Giải phương trình 2x33 x43 3x13

Lời giải Đặt u2x3;v x  4u v 3x1 Phương trình đã cho trở thành

tta x b a x b a x b m m Đối với các phương trìnhdạng này, ta nhân thêm mỗi nhân tử ở vế trái của phương trình một hằng số nào đóđể các nhân tử có một hạng tử chung kx Từ đó đặt ẩn phụ t kx  , với  làmột hằng số thích hợp

Một trường hợp đặc biệt của phương trình dạng này là phương trình có dạngx a x b x c x d   m, m 0 trong đó các hệ số a b c d, , , thỏa mãnđiều kiện a b c d k   Bằng cách khai triển từng cặp nhân tử thì sẽ xuất hiện

hạng tử chung x2 kx khi đó đặt ẩn phụ t x 2 kx, với  là một hằng sốthích hợp

Bài toán 7 Giải phương trình 4x3 2 x1 2 x19 (1)

Lời giải 1 Phương trình (1) 4x3 2 4x4 4 x29.8 (2) Đặt t4x3 phương trình (2) t t21 t172

2

t   x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 0,

32

2

x x

Bài toán 8 Giải phương trình x1 x5 x3 x19 (1)

Lời giải Phương trình (1) x2 4x5 x2 4x39

(2)Đặt t x 2 4x1x22 55, phương trình (2) trở thành

t4 t4 9t2 25 t5 (thoả điều kiện)

Với t 5x 2 10, Với t 5x2Vậy phương trình có ba nghiệmx 2và x  2 10.

d) Các phương trình có dạng đặc trưng “nghịch đảo”:

Bài toán 9 Giải phương trình

 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

11,

x

 Phương trình (2) trở thành

1 52

tt

 

(3)

 

Với t 2x2, Với

1

12

của phương trình cho x(khi x 0), rồi đặt ẩn phụ



Với t 1 x12  0 x1 (thoả điều kiện)Với t 3 x 12  0 x 1 (thoả điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1, x 1

Bài toán 12 Giải phương trình    

 

  (thoả điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x 1, x 3,x 5,

35

x 

b Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp rất hay trong giải phươngtrình, việc đặt ẩn phụ không hoàn toàn khiến phương trình mới vừa xuất hiện ẩnmới vừa tồn tại ẩn cũ

Bài toán 1 Giải phương trình 2x2 22  5x2 2x2x2

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

Nhận xét Việc đặt ẩn phụ không hoàn toàn như bài toán trên chúng ta có thể giải

theo hai phương án:(1) Phương trình mới là phương trình bậc hai ẩn t, tham số x

(2) Phương trình mới là phương trình bậc hai ẩn x, tham số t.

Bài toán 2 Giải phương trình

32

x

yx

 , phương trình đã cho tương đương với

xx



 (vô lý).Kết luận phương trình đã cho vô nghiệm

Bài toán 3 Giải phương trình

x

yx

 , ta có phương trình

2x3x y5y 0x y2x5xy5y0





(vô lý).Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

Bài toán 4 Giải phương trình

 , biến đổi về

 suy ra

01

xx



 (vô lý).Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài toán 5 Giải phương trình x3 3x x 2  x12  4x2  x13 0

 

 

Với

12

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

Bài toán 2 Giải phương trình 8x2 2x2  x 3 0

Chọn a b 1 ta có hệ

22

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

Bài toán 3 Giải phương trình x 1 2014 1 2014  x22

1 20141 2014

 

 

Trừ vế theo vế ta được x y2014x y x y x y1 2014x y0

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.

Lời giải Điều kiện x 0.

Nhận xét Ta có công thức cos2x 1 sin ;cos 22xx2cos2x 1, trong biểuthức có sự xuất hiện của x 2 1 và 2x 2 1 nên ta có suy nghĩ đặt xcos , muốn

vậy trước hết ta so sánh x với các giá trị 1 và -1.

Phương trình đã cho tương đương với 32x x2 2  1 2  x2  12  x 1

(2)Với x 1 là nghiệm của phương trình.

Với x 1, (2) tương đương với 32x x2 1 2 x2  12 1

(3)Với x 1 thì 32x x2 1 2 x2  12 1

nên (3) vô nghiệm.Với x 1 thì 32x x2 1 2 x2  12 0

nên (3) vô nghiệm.Với   1x1 ta quay trở lại với phương trình (1), ta đặt xcos , 0,,phương trình đã cho tương đương với:

k





 

Kết hợp lại các nghiệm của phương trình là

Bài toán 3 Giải phương trình 8 2x x 2 1 8 x4 8x2 11.

Lời giải Ta có công thức cos 2x2cos2 x 1;cos 4x8cos4x 8cos2 x1

trong nên ta có suy nghĩ đặt xcos , muốn vậy trước hết ta so sánh x với các

giá trị 1 và 1 Với x 1 thì 8 2x x 2 1 8 x4 8x2 11

nên phương trình vô nghiệm.Với x 1 thì 8 2x x 2 1 8 x4 8x2 10

nên phương trình vô nghiệm.Với   1x1 ta đặt xcos , 0,, phương trình trở thành:

8cos cos 2 cos 4 1

8sin cos cos 2 cos4sin

k





 

Đặt t  P x   Q x   t2 P x   Q x  2  P x Q x    Từ đó

đưa về phương trình theo t

Bài toán ví dụ: Giải phương trình

t



• Nếu t  2 x  1 2 x  (vô nghiệm) • Nếu t 1x1 1x x0; 1Vậy phương trình có tập nghiệm S  0; 1 

9/ 4 3 x2 1 6 xx8 10 3 16x2 x10/ (CĐSPHN-2001) 2 xx 2 2 4 2x2 x 2

b Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích

Xuất phát từ một số hằng đẳng thức cơ bản khi đặt ẩn phụ:

Xét bài toán ví dụ ở mục 2.1.2.1 ở trên, ta có cách đưa về phương trình tích như sau:

Bài toán 1 Giải phương trình

Lời giải Xét (*) ta có: (∗)

3 1 3

2 1 3

xx

2 3

tx

Bài toán 2 Giải phương trình 3 x 1  3 x 2 1  3 x2 3 2x

Lời giải Ta thấy x 1 x 2 3 2x2 x nên đặt

Bài toán 3 Giải phương trình 3 x2 3 2x 3 x 1  3 x 2 1

Ý tưởng Với hướng đi như bài 2, ta chọn ẩn mới là

3 x 1 ; a 3 x 2 b Việc còn lại là phân tích VP theo a b, Dễthấy 1 2 1xx nên ta có lời giải sau:

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

x 1 2 x 3 x2 3 2x 3 x 1  3 x 2 0Đặt 3 x 1 ; a 3 x 2 b ta có phương trình

x 

.Chúng ta cũng có bài toán tương tự:

Bài toán 4 Giải phương trình

S    

Bài toán 5 Giải phương trình

2

a b

   (do a b, 0ab 2 0 )Kết hợp (*) ta có hệ phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  3

Bài toán 6 Giải phương trình

13 4 x 2 3 4 3x   x  5 2 2 8 16 4 15 x   x  x 

Nhận xét Dễ thấy rằng 2 3 5 2 16 4 15x xxx2  , nhưng còncác nhị thức ở ngoài căn ta không thể biểu diễn hết theo một ẩn phụ được, do đó tađặt hai ẩn phụ và cố đưa về phương trình tích



 

Phương trình đã cho trở thành

Bài toán 7 Giải phương trình x 2 + √ x + 1 = 1 (∗) Lời giải ĐXKĐ: x 1

Đặt x 1 ; 0t t ta có phương trình

t2 1 12 tt t( 1)t2 1 0t 

• Với t  0 thì x   1 • Với t  1 thì x  0

• Với

1 5

2

thì

1 5

2

Phương trình có tập nghiệm

1 5 1; 0;

2

Bài toán 8 Giải phương trình x4 x2 3 3

Lời giải Đặt x2 , 0a a  ta có a2  a 3 3  (∗), ta sẽ đưa vềphương trình tích như sau:

Bài toán 9 Giải phương trình

x2 2 4 1  2  x  3  x2 2 5 2 1 2 x    x  2 

(∗)

Nhận xét Bài này có lũy thừa bậc cao nhất là 4, và có cả căn bậc 2 nên ta sẽ cố

nhóm các biểu thức lũy thừa giống trong căn để có thể đặt ẩn phụ

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x   1

Bài toán 10 Giải phương trình x2 2 5 xx 1 2

Lời giải ĐKXĐ: x  1Viết lại phương trình đã cho dưới dạng x 1 4 2  2    x 1

Từ đó suy ra x  1 là nghiệm của phương trình.

Bài toán 11 Giải phương trình với tham số

y

là nghiệm của phương trình

Nhận xét Câu hỏi đặt ra là: Làm sao có thể đặt ẩn phụ như trên?

3

27

tx









0

217

72

x 

Bài toán 13 Giải phương trình 5 3 x x5 3  5 x x3 8

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S   1; 1

Bài toán 14 Giải phương trình

45

25

0

x

xx

y3 7 6 0y(y1)y2 6 y0

1 2 3

yyy



 

35

35

35

12

3

xxx







33

1 2 4 3 9

xxx



 

Vậy tập phương trình có 3 nghiệm

Bài toán 15 Giải phương trình 4 1 4 1 1xx2 

Lời giải ĐK 2

24 1 0

x

xx

4 04 2 3 2 4

y

 



 







 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

1

2

x 

Đặt

2 12 1 0

2 1 2 1

ttt





 (loại do t  0) • Với t 1 x 1

• Với t  2 1  x 2  2

Vậy phương trình có tập nghiệm S  1; 2 2 

Nhận xét Đối với những bài có dạng ax  b  cx2 0 dx  e  thì cáchgiải là đặt ax  b t , sau đó đưa về phương trình bậc 4, dùng đồng nhất thứcđể phân tích nhân tử Nhưng có một số bài không giải được bằng cách đó

Bài toán 17 Giải phương trình x 2x 1 2 2 0x

Ý tưởng Ta thấy có x  1, nên ta sẽ cố gắng thêm bớt và tách sẽ được một

phương trình theo ẩn mới

Bài toán 1 Giải phương trình 2x2 2 5   x3 1

Ý tưởng Đối với bài toán này đầu tiên ta phân tích nhân tử trong căn