Toán Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ34584

Nguy n Phi Hùng - Võ Thành V n i h c Khoa h c Hu ************** Ph ng pháp đ t n ph gi i ph ng trình vơ t A L i nói đ u Qua vi t mu n gi i thi u cho b n m t s k n ng đ t n ph gi i ph ng trình vơ t Nh bi t có nhi u tr ng h p gi i m t ph ng trình vơ t mà ta bi n đ i t ng đ ng s m t ph ng trình ph c t p , có th b c cao Có l ph ng pháp h u hi u nh t đ gi i quy t v n đ đ t n ph đ chuy n v m t ph ng trình đ n gi n d gi i quy t h n Có b c c b n ph ng pháp : - t n ph gán u ki n cho n ph a ph ng trình ban đ u v ph ng trình có bi n n ph Ti n hành gi i quy t ph ng trình v a t o i chi u v i u ki n đ ch n n ph thích h p - Gi i ph ng trình cho b i n ph v a tìm đ c k t lu n nghi m * Nh n xét : - Cái m u ch t c a ph ng pháp b c đ u tiên Lí quy t đ nh đ n tồn b l i gi i hay, d , ng n hay dài c a tốn - Có ph ng pháp đ t n ph mà mu n nêu vi t : + PP L ng giác hoá + PP dùng n ph không tri t đ + PP dùng n ph đ a v d ng tích + PP dùng n ph đ a v h DeThiMau.vn B N i dung ph I Ph ng pháp l ng pháp ng giác hoá :    ;  ho c x  a cos t , t  0;   2 N u |x|  a ta có th đ t x  a sin t ,t    Ví d : Gi i ph ng trình:   x  x(1   x )    t x  sin t , t    ;  Ph ng trình cho tr thành : L i gi i : K :| x |  2  3t   t  t  cos t  sin t (1  cos t )  cos   sin t  sin 2t  sin   cos    2 2  t cos     3t  t 2  cos ( sin    1)     2 2 sin  3t       K t h p v i u ki n c a t suy : t    V y ph ng trình có nghi m : x  sin    6 Ví d : Gi i ph ng trình:   x  (1  x)  t  (2k  1)   4 t   k    (1  x)  L i gi i : K : | x | Khi VP > N u x   1;0 : (1  x)  (1  x)   1 x2 N u x  0;1 : (1  x)  (1  x)    t x  cos t , v i t  0;  ta có :  2  t  t    t  t    sin    cos   cos    sin      sin t  cos1  sin t    sin t      2    2  cos t  2  sin t    cos t  V y nghi m c a ph ng trình x   2x  2x  Ví d : Gi i ph ng trình:  x   x   2x  2x L i gi i : K : | x | t x  cos t , t  0;    ph  ng trình cho tr thành :  t t  t  t  sin t  sin t    cos t   sin    cos    tan    cot an   21  sin t   sin t 2   2  2 V y ph ng trình có nghi m nh t x  DeThiMau.vn Ví d (THTT): Gi i ph ng trình: x  3x  x  (1) H ng d n : N u x  2 : ph ng trình khơng xác đ nh Chú ý v i x  ta có : x  3x  x  xx  4  x  x  V y đ gi i ph ng trình (1) ta ch c n xét v i x   2;2 t x  cos t , t  0;   ph t 2 ng trình cho tr thành : cos 3t  cos  N u | x | a ta có th đ t : a  a    , t  0;  ; t  , t    ; , t  ho c x  x  sin t 2 Ví d : Gi i ph cos t  ng trình: x 1     1  x2 1  L i gi i : K : | x | 1    t x ,t  ;  sin t Ph  2 ng trình cho tr thành : 1  cot ant     cos t  cot ant  cos t  cos t    sin t  sin t   cos t    t    k    sin t 12   k t h p v i u ki n c a t suy t   12 V y ph ng trình có nghi m : x    1    sin     12    a T ng quát: Gi i ph ng trình x  a   x    3x 2 Ví d : Gi i ph ng trình: x  x2  L i gi i : K : | x | 3  t x , t  0;  , t  , ph ng trình cho tr thành : cos t 1    2   sin 2t  sin 2t  sin 2t   t   x  cos t sin t  T ng quát: Gi i ph ng trình: x  ax x  a2   (tho mãn)   cos  4  b v i a, b h ng s cho tr c    ;  đ đ a v ph ng trình l ng giác đ n gi n h n :  2 Ví d : Gi i ph ng trình: x  3 x  3x   (1) t x  tan t , t    DeThiMau.vn L i gi i : 3x  x  (2)  3x      t x  tan t , t    ;  , Khi (2) tr thành : tan 3t   t   k  2  7   4    Suy (1) có nghi m : x  tan  ; x  tan ; x  tan       9 Do x   không nghi m c a ph Ví d : Gi i ph ng trình: ng trình nên (1)   x2 1 x2 1 x 1   2x 2x  x 2 L i gi i : K : x  0; x  1     t x  tan t , t    ; , t  0; , ph   ng trình cho tr thành :  2 1  1         sin t cos 2t  cos 2t   1  cos t sin 2t sin 4t cos t  sin t sin t cos 2t     t    k 2  sin t    sin t  sin t  sin t   sin t  sin t  sin t   sin t  1      t   k 2  sin t     K t h p v i u ki n suy : t    V y ph ng trình có nghi m : x  tan   6 M c đ nh u ki n : | x | a Sau tìm đ c s nghi m s nghi m t i đa c a ph     ng trình k t lu n : Ví d : Gi i ph ng trình: x   x L i gi i : Ph ng trình cho t ng đ ng v i : x  x  (1)  2 t  k k  Z      7   5  Suy (1) có t p nghi m : S  cos ; cos ; cos       9 t x  cos t , t  0;   , Lúc (1) tr thành : cos 3t  V y nghi m c a ph II Ph ng trình cho có t p nghi m S ng pháp dùng n ph không tri t đ * N i dung ph ng pháp : a ph ng trình cho v ph ng trình b c hai v i n n ph n c a ph a ph ng trình v d ng sau : f x .Q x   f  x   Px .x : t f  x   t , t  Ph ng trình vi t thành : t  t.Q x   P x   n gi i t theo x Cu i gi i quy t ph ng trình k t lu n Ví d 10 : Gi i ph ng trình 2 x    x  x  16 (1) L i gi i : K : | x | ng trình cho : f x   t sau đ n gi n hóa DeThiMau.vn t t  24  x  Lúc :(1)  42 x    16 24  x   162  x   x  16  84  x   16 24  x   x  x Ph trình tr thành : 4t  16t  x  x  Gi i ph ng trình v i n t , ta tìm đ x ng x c : t1  ; t    Do | x | nên t  không th a u ki n t   x0 x ( th a mãn u kiên | x | ) x  2 8  x  x Ví d 11 :Gi i ph ng trình x  x  12 x   36 L i gi i : K : x  1 t t  x   ,ph ng trình cho tr thành :   6t xt  12t  36   t  x   6t *V i t , ta có : x  6t  6 (vơ nghi m : VT  0;VP  ) x   6t , ta có :  (6  x)t *V i t x 6 Do x  khơng nghi m c a ph ng trình nên : t   x 1  6 x 6x Bình ph ng hai v rút g n ta đ c : x  (th a mãn) T ng quát: Gi i ph ng trình: x  ax  2b x  a  b V i t  : 24  x   x      Ví d 12 : Gi i ph ng trình: x    x  x  x  L i gi i : t 2x   t  Ph ng trình cho vi t thành :    3t  1  x  t   x  xt  3t  8 x  3t  x  x  x T ta tìm đ c t  ho c t  1 x Gi i đ c : x  * Nh n xét : Cái khéo léo vi c đ t n ph đ c th hi n rõ ph ng pháp c th ví d n u ch d ng l i v i vi c ch n n ph khơng d đ gi i quy t tr n v n V n đ ti p theo vi c kheo léo bi n đ i ph n l i đ làm bi n m t h s t , vi c g i quy t t theo x đ c th c hi n d dàng h n Ví d 13 : Gi i ph ng trình: 2008 x  x   2007 x x  L i gi i : K : x  t 4 x   t  ph ng trình cho tr thành : 2008 x  2007 xt  t  t (lo i) 2008 x 1 * x  t ta có : x  x     x  V y x  1, x  nghi m c a ph Gi i : x  t ho c x   Ví d 14 : Gi i ph ng trình cho ng trình: 4 x  1 x   x  x  DeThiMau.vn L i gi i : K : x  1 t t  x  ,Ph ng trình cho tr thành 2t  1  x   4 x  1t  2t  4 x  1t  x   Ph ng trình đ n gi n !!!!!!! III Ph ng pháp dùng n ph đ a v d ng tích Dùng m t n ph Ví d 15 : Gi i ph ng trình: x  x  L i gi i : K : x   x t  t  ph  (1) ng trình (1) tr thành : t0   3  t     t  t t  3t     2  t  3t   02    (2) gi i đ oc b ng cách áp d ng ph ng pháp I : t x  cos t , t  0;   đ đ a v d ng : cos 3t   T ng quát: Gi i ph ng trình: x  x  a  a v i a h ng s cho tr c Ví d 16 :Gi i ph ng trình: x  3x   x  2  x1 L i gi i : K : x  2 Vi t l i (1) d i d ng : x  3x x  2   x  23  02 t t  x   , Khi (2) tr thành :  x0    xt  x x2  x2 x x20   x  xt  2t    x  t   x  2t      x0  x    x  2t  x  2 x    x  x   V y ph ng trình cho có nghi m : x  2, x   Ví d 17 : Gi i ph ng trình : x   x   L i gi i : K : x  1;6 (1) t t  x   (2) , ph ng trình cho tr thành : t   t  (3)  t  10t  t  20   t  t  t  t  5  11  17 i chi u v i hai u ki n (1) (2) thay vào gi i : x    ng trình: x  2006  x 1   x  Ví d 18 : Gi i ph L i gi i : K : x  0;1 (1)  t t   x   t  , Khi : x   t , x  1  t  ,ph 1  t   2006   t 1  t    1  t  1  t   2007  t Vì  t  nên t  t  1003  Do ph ng trình t ng đ ng v i : t    t  Do v y x  (th a (1)) 2 2 2 1  t  ng trình cho tr thành :    21  t  t  t  1003  DeThiMau.vn Dùng n ph Ví d 19 : Gi i ph ng trình: x  x   x  x   x  L i gi i : t a  x  x  1; b  x  x   a  b  x   a  b  a  b  a  b a  b  1       x x3  a b    a  b  9x    x     a  b 1  56    2a  x  x    65    56  V y t p nghi m c a pt S   ;0;   65  Ví d 20 : Gi i ph ng trình: 2x  x    x  (1)   x  (*)  x2 L i gi i : K :  t u  x  x  , v  x  ta có : u  v  x  x  Lúc (1) tr thành : 2u  v   3uv  2u  v u  2v    u  2v (Do 2u  v  ) Tìm x ta gi i : x  x   x   x  x    x   13 (Th a (*)) V y (1) có nghi m : x1,   13 Ví d 21 : Gi i ph ng trình: x  14 x   x  x  20  x  L i gi i : K : x  Chuy n v r i bình ph ng hai v ph ng trình m i ,ta có: x  15 x  9  x  24 x   10 x  4x  5x  1  2x  x  5  3x  4  x   x   x    (2) t u  x  x  , v  x  , u, v  ,thì :  uv  x  5x    4 x  25 x  56  2u  3v (2)  2u  3v  5uv   u  v 2u  3v     Gi i ta đ c nghi m th a mãn : x1   61 ; x2  Ví d 22 : Gi i ph ng trình: x  x1  x 2  1  x 3   x  x  x 1  x  L i gi i : K :  x   u0  u4 x   v0 t : v   x u  v   T ph ng trình ta đ c: u  v  u  uv  v  v  u  u v  u  v u  v 1  u  v     ( Do u  v  ) u  v  1 t ta gi i đ c nghi m : x  0; x  1; x  Dùng n ph Ví d 23 : Gi i ph ng trình: x   x  x   x  8x   DeThiMau.vn L i gi i : t a  x  1, b  3 x  x  , c  x  x  ta có :  a  b  c   a  b  c   81  3 2 a  b  c  7 x  1  x  x   x  x   82  T (1) (2) ta có : a  b  c 3  a  b  c  3a  b b  c c  a         a  b Nên : a  b b  c c  a    b  c c  a t d dàng tìm nghi m c a ph ng trình : S   1;0;1;9  Ví d 24 : Gi i ph ng trình: 3x    x  x   x   (1) L i gi i : t a  3x  1, b   x , c  x  ,ta có: a  b  c  x  t (1) ta có : a  b  c 3  a  b  c  a  b b  c c  a   Gi i nh ví d 23 suy đ IV Ph c nghi m c a ph ng trình : x  3; x  4; x  ng pháp dùng n ph đ a v h Dùng n ph đ a v h đ n gi n gi i b ng phép th ho c rút g n theo v a Dùng m t n ph Ví d 25 : Gi i ph ng trình: x  x   L i gi i : K : x  5 t t  x  , t  Ta có : x  t        x2  t  x2  t  x  t      2   x  t  x  t  1  t  x  x  t  t  x        T ng quát: Gi i ph b Dùng n ph  x  t    x  t    x  t    x  t    21  x  21   x   ng trình: x  x  a  a * N i Dung : m a  f x   n b  f x   c * Cách gi i : t : u  m a  f  x , v  n b  f  x   uv c m n u  v  a  b Nh v y ta có h :  Ví d 26 : Gi i ph ng trình: 57  x  x  40  (1) L i gi i : K :  40  x  57 t u  57  x , , v  x  40  u  v   uv 5 uv 5    2 4 2 u  v  97 2uv   10uv  528   u  v   2uv  2u v  97 Khi :(1)     DeThiMau.vn u  v  u  v      uv     uv  uv  44 u    v  (Do h u  v  vô nghi m)  u   uv  44   v  n ch vi c thay vào đ tìm nghi m c a ph Ví d 27 : Gi i ph ng trình: 1 x  x  ng trình ban đ u L i gi i : K :  x     t :  1  x  u v i 0  u  0  v  x v Nh v y ta đ 1 1 (*) ch :   u  v  uv     2   u  v     v   v   1(1)      Gi i (1) :(1)  v     v    v  v     v1,      V y v1, th a (*) nghi m c a ph Ví d 28 : Gi i ph 1 ng trình: 4 2 3 v 1,  0 ng trình cho  x 1 x2   x  L i gi i :  y  z 1 y  z 1   y  x   7    4  y  z  x   y   y  1  y   y  1(*)  z   x y 0  x0 3  Gi i ph ng trình (*),ta có: y y      3 x 4 y    16   t : Dùng n ph đ a v h đ i x ng D ng : Gi i ph ng trình: x n  b  a n ax  b Cách gi i:  x n  b  at Vi c gi i h tr nên d dàng n t  b  ax t t  n ax  b ta có h :  Ví d 29 : Gi i ph L i gi i : ng trình: x   23 x   x   2t  x   2t  x   2t    3  2  x  t  2t  x  t   x  x  t  x  t  tx   t : t  x  ta có h :      xt 1   x 1    x  1 x  x   x  2x      2 1     x   2t  t  x  x  t   x   2   2  x  t  tx     DeThiMau.vn V y t p nghi m c a ph  1      ng trình : S  1; D ng : Gi i ph ng trình: x  a  a  x Cách gi i : t t  a  x ,ph ng trình cho t ng đ x  a  t ng v i  t  a  x Ví d 30 : Gi i ph ng trình: x  2007  2007  x L i gi i : K : x  t : t  2007  x (1), PT L y (3) tr (2) ta đ c : x  t  t  x  t  x t  x    x  t  (1) x  x  2007   x   8030  8029 (Do x  ) D ng : Ch n n ph t vi c làm ng Ví d 31 : Gi i ph  c: ng trình: x  x  2 x  L i gi i : K : x  t x   ay  b  x  x  2ay  b    Ch n a, b đ h :   x  , y  1 (*) h đ i x ng 2   ay  b   x    x  x  2 y  1  x  x  2 y  1  L y a  1, b  1 ta đ c h :  2  y  y  2 x  1  x y 0 Gi i h ta đ c : x  y   i chi u v i u ki n c a h (*) ta đ c nghi m nh t c a ph ng trình : x   D ng : N i dung ph ng pháp : Cho ph ng trình : n ax  b  cdx  e n  x   d  ac   v i h s th a mãn :   e  bc   Cách gi i : t dy  e  n ax  b Ví d 32 : Gi i ph ng trình: L i gi i : K : x   4x   7x  28 1 4x    7 x    2 28  - Ki m tra : a  , b  , c  7, d  1, e  ,   0,    (tho mãn)  28 4x  4x  9 t: y   y2  y    y  y   x   x   y  y (1) 28 28 4 PT  10 DeThiMau.vn  x  x (2)  x   y  y T (1) (2) ta có h :  ây h đ i x ng lo i II bi t cách gi i  y   7x2  7x  Ví d 33 : Gi i ph ng trình: x  x   x  , x  M t khác : y  L i gi i : PT   x  32   x  - Ki m tra : a  1, b  3, c  1, d  1, e  3,   0,   6 t : y   x   y  y   x   x   y  y  (1) M t khác : y   x  x  (2) T (1) (2) ta có h : x   y  y    y   x  6x  n d dàng Ví d 34 : Gi i ph ng trình: 3x   x  36 x  53x  25 L i gi i : PT  3 x   2 x 3  3.4 x  3.9.2 x  27  x   3 x   2 x  33  x  - Ki m tra : a  3, b  5, c  1, d  2, e  3,   1,   (tho mãn)  t : y   3 x   y  36 y  54 y  27  x   y  36 y  53 y  25  x  y  (1) M t khác : x  36 x  53x  25  y  (2) T (1) (2) ta có h : 8 y  36 y  53 y  25  x  y    x  36 x  53 x  25  y  Gi i h th t đ n gi n !!!!!!!!!  Hu , ngày 15 tháng n m 2007 11 DeThiMau.vn ... nghi m c a ph II Ph ng trình cho có t p nghi m S ng pháp dùng n ph không tri t đ * N i dung ph ng pháp : a ph ng trình cho v ph ng trình b c hai v i n n ph n c a ph a ph ng trình v d ng sau : f... ng trình có nghi m : x  tan   6 M c đ nh u ki n : | x | a Sau tìm đ c s nghi m s nghi m t i đa c a ph     ng trình k t lu n : Ví d : Gi i ph ng trình: x   x L i gi i : Ph ng trình. ..  Ph ng trình vi t thành : t  t.Q x   P x   n gi i t theo x Cu i gi i quy t ph ng trình k t lu n Ví d 10 : Gi i ph ng trình 2 x    x  x  16 (1) L i gi i : K : | x | ng trình cho