Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ42095

www.VNMATH.com PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Nguyễn Phi hùng - Võ Thành Văn A Lời đầu Qua viết muốn giới thiệu cho bạn số kĩ đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ Như biết có nhiều trường hợp giải phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương phương trình phức tạp, bậc q cao Có lẽ phương pháp hữu hiệu để giải vấn đề đặt ẩn phụ để chuyển phương trình đơn giản dễ giải Có bước phương pháp này: - Đặt ẩn phụ gán điều kiện cho ẩn phụ - Đưa phương trình ban đầu phương trình có biến ẩn phụ Tiến hành giải phương trình vừa tạo Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp - Giải phương trình cho ẩn phụ vừa tìm kết luận nghiệm * Nhận xét: - Cái mấu chốt phương pháp bước Lí định đến tồn lời giải hay, dở, ngắn hay dài toán - Có phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tơi muốn nêu viết là: + PP Lượng giác hố + PP dùng ẩn phụ khơng triệt để + PP dùng ẩn phụ đưa dạng tích + PP dùng ẩn phụ đưa hệ B Nội dung phương pháp I Phương pháp lượng giác hoá π π x = a cos t , t ∈ (0; π) 2 Nếu |x| ≤ a ta đặt x = a sin t , t ∈ − ; Ví dụ Giải phương trình: + − x2 = x + − x2 Lời giải: π π ĐK : |x| ≤ Đặt x = sin t , t ∈ − ; Phương trình cho trở thành : 2 + cos t = sin t (1 + cos t ) ⇔ cos 3t t t t = sin cos ⇔ cos 2 2 sin 3t −1 =  t =0 t = (2k + 1)π   ⇔ ⇔ π 4π (k ∈ Z) 3t t = +k = cos 2  cos ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com π π Vậy phương trình có nghiệm : x = sin = Kết hợp với điều kiện t suy : t = Ví dụ Giải phương trình: (1 + x)3 − + − x2 (1 − x)3 = + − x2 Lời giải: ĐK : |x| ≤ Khi V P > Nếu x ∈ [−1; 0] (1 + x)3 − (1 − x)3 ≤ π Nếu x ∈ [0; 1] đặt x = cos t , với t ∈ 0; ta có : t t sin + cos 2 cos3 ⇔ cos t + sin t = + sin t ⇔ Vậy nghiệm phương trình x = Ví dụ Giải phương trình: t t − sin3 = + sin t 2 cos t − (2 + sin t ) = ⇔ cos t = 6 − 2x + + 2x = Lời giải: − 2x + + 2x + 2x − 2x Đặt 2x = cos t , t ∈ (0; π) Phương trình cho trở thành : ĐK : |x| ≤ t t sin + cos 2 ⇔ (1 + sin t ) = sin t t t = tan + cot 2 ⇔ sin3 t + sin2 t − = ⇔ cos t = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: x − 3x = x +2 (THTT) (1) Hướng dẫn: Nếu x < −2 : phương trình khơng xác định Chú ý với x > ta có : x − 3x = x + x x − > x > x +2 để giải phương trình (1) ta cần xét với x ∈ [−2; 2] Đặt x = cos t , t ∈ (0; π) phương trình cho trở thành : cos 3t = cos Nếu |x| ≥ a ta đặt: x = Ví dụ Giải phương trình: Lời giải: t a a π π π , t ∈ − ; , t = x = , t ∈ (0; π) , t = sin t 2 cos t x2 − x2 − =2 ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com ĐK: |x| > π π Đặt x = , t ∈ − ; Phương trình cho trở thành: sin t 2 sin2 t (2 − | tan t |) = π π − ⇔ cos6 t + cos2 t –1 = ⇔ cos2 t = ⇔ t = + k cos t π Kết hợp với điều kiện t suy t = ± Vậy phương trình có nghiệm: x = ± π =± sin ⇔ cos2 t = | tan t | ⇔ cos4 t = Bạn tự tìm cách giải cho phương trình dạng tổng qt: x2 a − Ví dụ Giải phương trình: x+ x x2 − 1 =a x2 − =2 Lời giải: ĐK: |x| > Dễ thấy ∀x < nghiệm phương trình Đặt x = π , t ∈ 0; Phương trình cho trở thành: cos t 1 + = 2 ⇔ sin t + cos t = 2 sin t cos t cos t sin t Đặt u = sin t + cos t , với ≤ u ≤ 2, ta có phương trình:  Ta loại nghiệm u = − Kết hợp với điều kiện t ta có t = cos π = u=− 2 Với u = ta có: sin t + cos t = Vậy x = u= 2u –u– = ⇔  2⇔ sin t t + π = 2⇔t = π + 2kπ π (thỏa mãn) Tương tự, ta giải phương trình dạng tổng qt: x+ ax x2 − a2 =b π π để đưa phương trình lượng giác đơn giản hơn: 2 Đặt x = tan t , t ∈ − ; Ví dụ Giải phương trình: Lời giải: Do x = ± x − 3x − 3x + = 0, (1) không nghiệm phương trình nên: (1) ⇔ 3x − x = − 3x 3, (2) ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com π π Khi (2) trở thành: Đặt x = tan t , t ∈ − ; 2 tan 3t = π Suy (1) có nghiệm: x = tan ; x = tan 3⇔t = π π +k 2π 7π ; x = tan 9 Ví dụ Giải phương trình: x2 + + x2 + x2 + = 2x 2x − x Lời giải: ĐK: x = 0; x = ±1 π π π Đặt x = tan t , t ∈ − ; , t = 0; ± Phương trình cho trở thành: 2 1 1 1+ =0 + = ⇔ − cos t sin 2t sin 4t cos t sin t sin t cos 2t ⇔ sin t cos 2t + cos 2t − = ⇔ sin t − sin2 t − sin2 t = ⇔ sin t − sin t − sin2 t =   π sin t = t = − + k2π   ⇔ π2  sin t = −1 ⇔ + k2π t = sin t = 12 Kết hợp với điều kiện suy ra: t = π Vậy phương trình có nghiệm: x = Mặc định điều kiện: |x| ≤ a sau tìm số nghiệm số nghiệm tối đa phương trình kết luận: Ví dụ Giải phương trình: 6x + = 2x Lời giải: Phương trình cho tương đương với: 8x − 6x = (1) Đặt x = cost , t ∈ [0; π] Phương trình (1) trở thành: cos3t = π Suy (1) có tập nghiệm: S = cos ; cos π 2π ⇔ t = ± +k (k ∈ Z) 5π 7π ; cos 9 II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để ⋆ Nội dung phương pháp: Đưa phương trình cho phương trình bậc hai với ẩn ẩn phụ ẩn phương trình cho: Đưa phương trình dạng sau: f (x).Q(x) = f (x) + P (x).x ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com đó: Đặt f (x) = t , t > Phương trình viết thành: t − t Q(x) + P (x) = Đến giải t theo x Cuối giải phương trình giản hóa kết luận: Ví dụ 10 Giải phương trình: Lời giải: ĐK: |x| ≤ (1) ⇔ 4(2x + 4) + 16 Đặt t = 2x + + − x = 9x + 16 f (x) = t sau đơn (1) 2(4 − x ) + 16(2 − x) = 9x + 16 ⇔ 8(4 − x ) + 16 2(4 − x ) = x + 8x 2(4 − x ) Lúc phương trình trở thành: 4t + 16t − x − 8x = Giải phương trình với ẩn t , ta tìm được: x x ; t2 = − − 2 x Do |x| ≤ nên t < không thỏa điều kiện t ≥ Với t = thì: t1 = 2(4 − x ) = x ⇔ x ≥0 − x2 = x2 ⇔x= (thỏa mãn điều kiên |x| ≤ 2) Ví dụ 11 Giải phương trình: x + x + 12 x + = 36 Lời giải: ĐK: x ≥ −1 Đặt t = x + ≥ 0, phương trình cho trở thành: x.t + 12u − 36 = ⇔ t = −6 ± 6t x −6 − 6t , ta có: (x + 6)t = −6 (vơ nghiệm vì: V T ≥ 0;V P < 0) x −6 + 6t , ta có: = (6 − x)t Do x = khơng nghiệm phương trình nên: * Với t = x * Với t = t= ⇔ 6−x x +1 = 6−x Bình phương hai vế rút gọn ta được: x = (thỏa mãn) Bạn tự giải phương trình dạng tổng quát: x + ax + 2b x + a = b Ví dụ 12 Giải phương trình: 3( 2x + − 1) = x(1 + 3x + 2x + 1) Lời giải: Đặt 2x + = t ≥ Phương trình cho viết thành: 3(t − 1) = x + 3(t − 1) − 3x + 8xt ⇔ 3t − (8x − 3)t − 3x + x = ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com x Từ ta tìm t = t = − 3x Giải được: x = * Nhận xét: Cái khéo léo việc đặt ẩn phụ thể rõ phương pháp cụ thể ví dụ Ở dừng lại với việc chọn ẩn phụ khơng dễ để giải trọn vẹn Vấn đề việc kheo léo biến đổi phần lại để làm biến hệ số tự do, việc gải t theo x thực dễ dàng Ví dụ 13 Giải phương trình: Lời giải: 2008x − 4x + = 2007x 4x − 3 4x − = t ≥ Phương trình cho trở thành: ĐK: x ≥ Đặt 2008x − 2007xt − t = t (loại) 2008 x =1 * x = t ta có: x − 4x + = ⇔ x =3 Vậy x = 1, x = nghiệm phương trình cho Giải ra: x = t x = − Ví dụ 14 Giải phương trình: (4x − 1) x + = 2x + 2x + Lời giải: ĐK: x ≥ −1 Đặt t = x + Phương trình cho trở thành: 2(t − 1) + 2x + = (4x − 1)t ⇔ 2t − (4x − 1)t + 2x − = Phương trình đơn giản Bạn đọc tự giải III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa dạng tích Dùng ẩn phụ Ví dụ 15 Giải phương trình x2 + x+ = (1) Lời giải: 3 x + = t , t ≥ phương trình (1) trở thành : ĐK : x ≥ − Đặt t − 2 = –t ⇔ t (t − 3t + 1) = ⇔ t =0 t − 3t + = 0, (2) (2) giải đựoc cách áp dụng phương pháp I : Đặt x = cos t , t ∈ (0; π) để đưa dạng : cos 3t = − Tổng quát: Giải phương trình x + x + a = a Với a hắng số cho trước ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Ví dụ 16 Giải phương trình: x − 3x + (x + 2)3 = 6x Lời giải: ĐK : x ≥ −2 Viết lại (1) dạng : x − 3x(x + 2) + (1) (x + 2)3 = 0, (2) Đặt t = x + ≥ Khi (2) trở thành : x − 3xt + 2t ⇔ (x − t )2 (x + 2t ) = ⇔ x ≥0 ⋆ x = t Ta có : x = ⋆ x = −2t Ta có : x = − x + ⇔ x +2 ⇔ x2 − x − = x=t x = −2t ⇔x =2 x ≤0 x − 4x − = ⇔ x = 2−2 Vậy phương trình cho có nghiệm : x = 2, x = − Ví dụ 17 Giải phương trình: x + + x − = Lời giải: ĐK : x ∈ [1; 6], (1) Đặt t = x − 1, t ≥ 0, (2) phương trình cho trở thành : t + + t = 5, (3) ⇔ t − 10t − t + 20 = ⇔ (t + t − 4)(t − t − 5) = Đối chiếu với hai điều kiện (1) (2) thay vào giải : x = Ví dụ 18 Giải phương trình: Lời giải: ĐK : x ∈ [0; 1], (1) Đặt t = x = 2006 + x − 11 − 17 1− x − x ⇒ ≤ t ≤ Khi đó: x = − t , x = (1 − t )2 phương trình cho trở thành : (1 − t )2 = (2006 + − t )(1 − t )2 ⇔ (1 − t )2 (1 + t )2 = (2007 − t )(1 − t )2 ⇔ 2(1 − t )2 (t + t − 1003) Vì ≤ t ≤ nên: t + t − 1003 < Do phương trình tương đương với : t −1 = ⇔ t = Do x = (thỏa (1)) Dùng hai ẩn phụ Ví dụ 19 Giải phương trình: 4x + 5x + − x − x + = 9x − Lời giải: Đặt a = 4x + 5x + 1, b = x − x + ⇒ a − b = 9x–3 ⇒ a − b = a − b ⇔ (a − b)(a + b − 1) = ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com ⋆ a −b = ⇒ x = ⋆ a +b −1 = ⇒ a − b = 9x − 2a = 9x − x =0 ⇒ x = 56 65 Ví dụ 20 Giải phương trình: 2(x − 3x + 2) = x + 8, (1) Lời giải: ĐK : −2 ≤ x ≤ hoặcx ≥ Đặt u = x − 2x + 4, v = x + ta có : u − v = x − 3x + (1) trở thành : (Do 2u + v > 0) 2(u − v ) = 3uv ⇔ (2u + v)(u − 2v) = ⇔ u = 2v Để tìm x , ta giải : x − 2x + = x + ⇔ x − 6x − = ⇔ x = ± 13 Kết hợp với điều kiện, phương trình (1) có nghiệm : x = ± 13 Ví dụ 21 Giải phương trình: 5x − 14x + − x − x − 20 = x + 1, (1) Lời giải: ĐK : x ≥ Chuyển vế bình phương hai vế, ta được: (x + 1)(5x + 9) = x + 24x + + 10 ⇔ 2(x − 4x − 5) + 3(x + 4) − Thì: (x + 4)(x − 5)(x + 1) (x − 4x − 5)(x + 4) = 0, (2) Đặt u = (x − 4x − 5) v = x + 4, u, v ≥ (2) ⇔ 2u + 3v − 5uv = ⇔ (u − v)(2u − 3v) = * u = v ta có :x − 5x − = * 2u = 3v ta có : 4x − 25x − 56 = Giải ta nghiệm thỏa mãn: x = Ví dụ 22 Giải phương trình: Lời giải: ĐK : ≤ x ≤  Đặt: u= v= 4 x+ + 61 ,x = x(1 − x)2 + (1 − x)3 = 1−x + x3 + x (1 − x)    u≥0 ⇒ v ≥0 Từ phương trình ta :  1−x   u4 + v = x u + uv + v = v + u + u v ⇔ (u − v)(u + v)(1 − u − v) = ⇔ (u − v)(1 − u − v) = 0( Do u + v > 0) từ ta giải nghiệm :x = 0, x = , x = Dùng ba ẩn phụ Ví dụ 23 Giải phương trình Lời giải: 7x + − x2 − x − + x − 8x + = ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Đặt a = 7x + 1, b = − x − x − 8, c = x − 8x + 1, ta có: 3 a +b +c = a + b + c = (7x + 1) − (x − x − 8) + (x − 8x − 1) = 8, (1) Mặt khác: (a + b + c)3 = 8, (2) Từ (1) (2) ta có: (a + b + c)3 − (a + b + c ) = 3(a + b)(b + c)(c + a) Nên:  a = −b   (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔  b = −c c = −a Từ dễ dàng tìm nghiệm phương trình: S = −1; 0; 1; Ví dụ 24 Giải phương trình: 3x + + − x + 2x − − 4x − = 0, (1) Lời giải: Đặt a = 3x + 1; b = − x; c = 2x − Suy ra: a + b + c = 4x − từ (1) ta có: (a + b + c)3 = (a + b + c ) ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = Giải ví dụ 23 suy nghiệm phương trình: x = −3; x = 4; x = IV Phương pháp dùng ẩn phụ đưa hệ Dùng ẩn phụ đưa hệ đơn giản a Dùng ẩn phụ Ví dụ 25 Giải phương trình: x + x + = Lời giải: ĐK: x ≥ −5 Đặt t = x + 5, t ≥ Khi đó: x = t − Do ta có: x2 + t = t2 − x = ⇔ x2 + t = ⇔ x2 − t + t + x = Giải hệ kiểm tra điều kiện, ta được: x= x2 + t =   ⇔   (x + t )(x + − t ) =   x2 + t = x +t =0 x2 + t = x +1−t = ±1 − 21 Bài toán tổng quát: Giải phương trình x2 + x + a = a ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com b Dùng ẩn phụ Đối với phương trình dạng m Ta đặt: u= Như ta có hệ: a + f (x) + m n b − f (x) = c n a + f (x); v = b − f (x) u+v =c um + v n = a + b Ví dụ 26 Giải phương trình 57 − x + x + 40 = 5, (1) Lời giải: ĐK: −40 ≤ x ≤ 57 Đặt u = 57 − x; v = x + 40 Khi đó: (1) ⇔ u+v =5 4 u + v = 97 u+v =5 ⇔ ⇔ 2(uv) − 10uv + 528 =     u+v =5 uv =    ⇔ uv = 44 u+v =5 uv = Ta thu u = 2; v = 3hoặc u = 3; v = Đến việc thay vào để tìm nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ 27 Giải phương trình Lời giải: ĐK: ≤ x ≤ 2−1 Đặt: hệ: 2−1−x + − − x = u; 4 x= x = v Với ≤ u ≤ − 1; ≤ v ≤      u = −v  u+v = ⇒ 2     − v + v4 = u + v = − Giải (1): (1) ⇒ (v + 1)2 − 2 +v = ⇒ v2 − v + − 2 − Như ta 2−1 1± = ⇒ v 1,2 = 4 −3 Vậy v 1,2 (thỏa mãn điều kiện) nghiệm phương trình cho x − + x = (1 − x)2 Ví dụ 28 Giải phương trình: Lời giải: Đặt: y = x, y ≥ 0; z = − x Ta có: ⇔ Thế (1) vào (2) ta có y + z = 1, (1) uv = ⇔    y +z =1   y − z4 = x − 1, (2) y − (1 − y)4 = y − ⇒ 4y(y − )2 = ⇔ 4 ThuVienDeThi.com y =0 y= ⇔ x =0 x = 16 , (v 1,2 > 0) www.VNMATH.com Dùng ẩn phụ đưa hệ đối xứng Dạng 1: Phương trình dạng x n + b = a ax − b n Cách giải: Đặt t = ax − b ta có hệ: n x n + b = at t n + b = ax Ví dụ 29 Giải phương trình x + = 2x − Lời giải: Đặt: t = 2x − ta có: x + = 2t t = 2x − ⇒ ⇔ t + = 2x x + = 2t ⇔ (x − t )(x + t + t + t x + 2) = ⇔ x + = 2t x − t = 2(t − x) x=t x − 2x + = (1) ∨ (1) ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = ⇔ x = ∨ x = x + = 2t x + t + t x + = (2) −1 ± (2) ⇔ (t + x)2 + x + t + = 0, (3) Phương trình (3) vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: x = 1; x = Dạng 2: Phương trình dạng x = a + Cách giải: Đặt t = a + x −1 ± a+ x PT ⇔ Ví dụ 30 Giải phương trình x = 2007 + x =a+ t t =a+ x 2007 + x Lời giải: ĐK: x > Đặt: t = 2007 + x, (1) x = 2007 + t , (2) PT ⇔ t = 2007 + x, (3) Trừ vế (3) cho (2) ta được: x −t = t − x ⇔ ( t − x)( t + x + 1) = ⇔ x = t (1) ⇒ x − x − 2007 = ⇒ x = 8030 + 8029 (x > 0) Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược: Ví dụ 31 Giải phương trình x − 2x = 2x − Lời giải: ĐK: x ≥ Đặt 2x − = a y + b Chọn a, b để hệ: (I ) x − 2x = 2(a y + b) (a y + b) = 2x − , x ≥ ;y ≥1 ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com hệ đối xứng Lấy a = 1, b = −1ta hệ: x − 2x = 2(y − 1) y − 2y = 2(x − 1) ⇒ x − 2x = 2(y − 1) x2 − y = Giải hệ ta được: x = y = ± Đối chiếu với điều kiện hệ (I ) ta nghiệm phương trình là: x = + Dạng : Cho phương trình : n ax + b = c(d x + e)n + αx + β Với hệ số thỏa mãn : d = ac + α, e = bc + β n Cách giải : Đặt d y + e = ax + b Ví dụ 32 Giải phương trình: 4x + = 7x + 28 Lời giải: ĐK : x ≥ − 4x + = 7(x + )2 − 28 - Kiểm tra: a = ; b = ; c = 7; d = 1; e = ; α = 0; β = − Đặt 28 PT ⇔ y+ ⇔ y2 + y + = 4x + 28 1 4x + = ⇔ 7y + 7y + = x + ⇔ x + = 7y + 7, (1) 28 4 2 Mặt khác : y + = 7x + 7x, (2) Từ (1) (2) ta có hệ :    x + = 7y +   y + = 7x + 7x Đây hệ đỗi xứng loại II biết cách giải Ví dụ 33 Giải phương trình Lời giải: x − 6x + = x + 3, x ≥ P T ⇔ (x − 3)2 − = x +3 - Kiểm tra : a = 1; b = 3; c = 1; d = 1; e = −3; α = 0; β = −6 Đặt : y −3 = x + ⇔ y − 6y + = x + ⇔ x − = y − 6y + 3, (1) Mặt khác : y − = x − 6x + 3, (2) Từ (1) (2) ta có hệ : x − = y − 6y + y − = x − 6x + Các bạn tự giải hệ ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Ví dụ 34 Giải phương trình: Lời giải: PT ⇔ 3 3x − = 8x − 36x + 53x − 25 3x − = (2x)3 − 3.4x + 3.9.2x − 27 − x + ⇔ 3x − = (2x − 3)3 − x + - Kiểm tra :a = 3; b = −5; c = 1; d = 2; e = −3; α = −1; β = Đặt : 2y − = 3x − ⇔ (2y − 3)3 = 3x–5 ⇔ 8y − 36y + 54y − 27 = 3x − ⇔ 8y − 36y + 53y − 25 = 3x − y–3, (1) Mặt khác : 8x − 36x + 53x − 25 = 2y–3, (2) Từ (1) (2) ta có hệ : 8x − 36x + 53x − 25 = 2y − 8y − 36y + 53y − 25 = 3x − y − Các bạn tự giải hệ ThuVienDeThi.com ... dung phương pháp: Đưa phương trình cho phương trình bậc hai với ẩn ẩn phụ ẩn phương trình cho: Đưa phương trình dạng sau: f (x).Q(x) = f (x) + P (x).x ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com đó: Đặt f... 1)t + 2x − = Phương trình đơn giản Bạn đọc tự giải III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa dạng tích Dùng ẩn phụ Ví dụ 15 Giải phương trình x2 + x+ = (1) Lời giải: 3 x + = t , t ≥ phương trình (1) trở... + a) = Giải ví dụ 23 suy nghiệm phương trình: x = −3; x = 4; x = IV Phương pháp dùng ẩn phụ đưa hệ Dùng ẩn phụ đưa hệ đơn giản a Dùng ẩn phụ Ví dụ 25 Giải phương trình: x + x + = Lời giải: ĐK: