Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp , có thể là bậc quá cao ...Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất[r]

Nguyễn Phi Hùng - Võ Thành Văn Đại học Khoa học Huế ************** Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ A Lời nói đầu Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn số kĩ đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương phương trình phức tạp , có thể là bậc quá cao Có lẽ phương pháp hữu hiệu để giải vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển phương trình đơn giản và dễ giải Có bước phương pháp này : - Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ - Đưa phương trình ban đầu phương trình có biến là ẩn phụ Tiến hành giải phương trình vừa tạo này Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp - Giải phương trình cho ẩn phụ vừa tìm và kết luận nghiệm * Nhận xét : - Cái mấu chốt phương pháp này chính là bước đầu tiên Lí là nó định đến toàn lời giải hay, dở , ngắn hay dài bài toán - Có phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu bài viết này đó là : + PP Lượng giác hoá + PP dùng ẩn phụ không triệt để + PP dùng ẩn phụ đưa dạng tích + PP dùng ẩn phụ đưa hệ Lop10.com B Nội dung phương pháp I Phương pháp lượng giác hoá :    ;  x  a cos t , t  0;   2 Nếu |x|  a thì ta có thể đặt x  a sin t ,t    Ví dụ : Giải phương trình:   x  x(1   x )    Lời giải : ĐK :| x | Đặt x  sin t , t    ;  Phương trình đã cho trở thành :  2  3t   t  t  cos t  sin t (1  cos t )  cos   sin t  sin 2t  sin   cos    2 2  t cos    t  3t  2  cos ( sin    1)     2 2 sin  3t       Kết hợ p với điều kiện t suy : t    Vậy phương trình có nghiệm : x  sin    6 Ví dụ : Giải phương trình:   x  (1  x)  t  (2k  1)   4 t   k    (1  x)   1 x2 Lời giải : ĐK : | x | Khi đó VP > Nếu x   1;0 : (1  x)  (1  x)  Nếu x  0;1 : (1  x)  (1  x)    Đặt x  cos t , với t  0;  ta có :  2  t  t    t  t    sin    cos   cos    sin      sin t  cos1  sin t    sin t      2    2  cos t  2  sin t    cos t  Vậy nghiệm phương trình là x   2x  2x Ví dụ : Giải phương trình:  x   x    2x  2x Lời giải : ĐK : | x | Đặt x  cos t , t  0;     phương trình đã cho trở thành :  t t  t  t  sin t  sin t    cos t   sin    cos    tan    cot an   21  sin t   sin t 2   2  2 Vậy phương trình có nghiệm x  Lop10.com Ví dụ (THTT): Giải phương trình: x  3x  x  (1) Hướng dẫn : Nếu x  2 : phương trình không xác định Chú ý với x  ta có : x  3x  x  xx  4  x  x  Vậy để giải phương trình (1) ta cần xét với x   2;2 Đặt x  cos t , t  0;   t 2 đó phương trình đã cho trở thành : cos 3t  cos  Nếu | x | a thì ta có thể đặt : a  a    , t  0;  ; t  x , t    ; , t  x  sin t  2 cos t  Ví dụ : Giải phương trình: x 1     1  x2 1  Lời giải : ĐK : | x | 1    Đặt x  ,t  ;  sin t  2 Phương trình đã cho trở thành : 1  cot ant     cos t  cot ant  cos t  cos t    sin t  sin t   cos t    t    k    sin t 12   kết hợp với điều kiện t suy t   12 Vậy phương trình có nghiệm : x    1    sin     12    a Tổng quát: Giải phương trình x  a   x    3x Ví dụ : Giải phương trình: x  2 x2  Lời giải : ĐK : | x | 3  Đặt x  , t  0;  , t  , phương trình đã cho trở thành : cos t 1    2   sin 2t  sin 2t  sin 2t   t   x  cos t sin t  Tổng quát: Giải phương trình: x  ax x  a2   (thoả mãn)   cos  4  b với a, b là các số cho trước    ;  để đưa phương trình lượng giác đơn giản :  2 Ví dụ : Giải phương trình: x  3 x  3x   (1) Đặt x  tan t , t    Lop10.com Lời giải : 3x  x  (2)  3x      Đặt x  tan t , t    ;  , Khi đó (2) trở thành : tan 3t   t   k  2    4   7  Suy (1) có nghiệm : x  tan  ; x  tan ; x  tan   9     Do x   không là nghiệm phương trình nên (1) Ví dụ : Giải phương trình:   x2 1 x2 1 x 1   2x 2x  x 2   Lời giải : ĐK : x  0; x  1     Đặt x  tan t , t    ; , t  0; , phương trình đã cho trở thành :  2 1  1      1     sin t cos 2t  cos 2t   cos t sin 2t sin 4t cos t  sin t sin t cos 2t     t    k 2  sin t    sin t  sin t  sin t   sin t  sin t  sin t   sin t  1      t   k 2  sin t     Kết hợp với điều kiện suy : t    Vậy phương trình có nghiệm : x  tan   6 Mặc định điều kiện : | x | a Sau tìm số nghiệm chính là số nghiệm tối đa phương     trình và kết luận : Ví dụ : Giải phương trình: x   x Lời giải : Phương trình đã cho tương đương với : x  x  (1)  2 t  k k  Z      5   7  Suy (1) có tập nghiệm : S  cos ; cos ; cos       9 Đặt x  cos t , t  0;   , Lúc đó (1) trở thành : cos 3t  Vậy nghiệm phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn phương trình đã cho : Đưa phương trình dạng sau : f x .Q x   f  x   Px .x đó : Đặt f  x   t , t  Phương trình viết thành : t  t.Q x   P x   Đến đây chúng ta giải t theo x Cuối cùng là giải phương trình và kết luận Ví dụ 10 : Giải phương trình 2 x    x  x  16 (1) Lời giải : ĐK : | x | f x   t sau đã đơn giản hóa Lop10.com Đặt t  24  x  Lúc đó :(1)  42 x    16 24  x   162  x   x  16  84  x   16 24  x   x  x Phương trình trở thành : 4t  16t  x  x  x x Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm : t1  ; t    Do | x | nên t  không thỏa điều kiện t   x0 x ( thỏa mãn điều kiên | x | )  x 2 8  x  x Ví dụ 11 :Giải phương trình x  x  12 x   36 Lời giải : ĐK : x  1 Đặt t  x   ,phương trình đã cho trở thành :   6t xt  12t  36   t  x   6t * Với t  , ta có : x  6t  6 (vô nghiệm vì : VT  0;VP  ) x   6t * Với t  , ta có :  (6  x)t x 6 Do x  không là nghiệm phương trình nên : t   x 1  6 x 6x Bình phương hai vế và rút gọn ta : x  (thỏa mãn) Tổng quát: Giải phương trình: x  ax  2b x  a  b Với t  thì : 24  x   x      Ví dụ 12 : Giải phương trình: x    x  x  x  Lời giải : Đặt x   t  Phương trình đã cho viết thành :    3t  1  x  t   x  xt  3t  8 x  3t  x  x  x Từ đó ta tìm t  t  1 x Giải : x  * Nhận xét : Cái khéo léo việc đặt ẩn phụ đã thể rõ phương pháp này và cụ thể là ví dụ trên Ở bài trên dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải trọn vẹn nó Vấn đề chính là việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến hệ số tự , việc gải t theo x thực dễ dàng Ví dụ 13 : Giải phương trình: 2008 x  x   2007 x x  Lời giải : ĐK : x  4 x   t  phương trình đã cho trở thành : 2008 x  2007 xt  t  t Giải : x  t x   (loại) 2008 x 1 * x  t ta có : x  x     x  Vậy x  1, x  là các nghiệm phương trình đã cho Đặt Ví dụ 14 : Giải phương trình: 4 x  1 x   x  x  Lop10.com Lời giải : ĐK : x  1 Đặt t  x  ,Phương trình đã cho trở thành 2t  1  x   4 x  1t  2t  4 x  1t  x   Phương trình trên đã khá đơn giản !!!!!!! III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa dạng tích Dùng ẩn phụ Ví dụ 15 : Giải phương trình: x  x  Lời giải : ĐK : x    (1) 3  t  phương trình (1) trở thành : 2 t0   3  t     t  t t  3t  1    2  t  3t   02  x Đặt (2) giải đựoc cách áp dụng phương pháp I : Đặt x  cos t , t  0;   để đưa dạng : cos 3t   Tổng quát: Giải phương trình: x  x  a  a với a là hắng số cho trước Ví dụ 16 :Giải phương trình: x  3x   x  23  x1 Lời giải : ĐK : x  2 Viết lại (1) dạng : x  3x x  2   x  23  02 Đặt t  x   , Khi đó (2) trở thành :  x0    xt  x x2  x2 x x20   x  xt  2t    x  t   x  2t      x0  x    x  2t  x  2 x    x  x   Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x  2, x   Ví dụ 17 : Giải phương trình : x   x   Lời giải : ĐK : x  1;6 (1) Đặt t  x   (2) , phương trình đã cho trở thành : t   t  (3)  t  10t  t  20   t  t  t  t  5  Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải : x    Ví dụ 18 : Giải phương trình: x  2006  x 1   x  Lời giải : ĐK : x  0;1 (1) 11  17 2  Đặt t   x   t  , Khi đó : x   t , x  1  t  ,phương trình đã cho trở thành : 1  t   2006   t 1  t       1  t  1  t   2007  t 1  t   21  t  t  t  1003  Vì  t  nên t  t  1003  Do đó phương trình tương đương với : t    t  Do x  (thỏa (1)) 2 2 2 Lop10.com Dùng ẩn phụ Ví dụ 19 : Giải phương trình: x  x   x  x   x  Lời giải : Đặt a  x  x  1; b  x  x   a  b  x   a  b  a  b  a  b a  b  1       x x3  a b     a  b  9x    x    a  b 1  56    2a  x  x    65    56  Vậy tập nghiệm pt là S   ;0;   65  Ví dụ 20 : Giải phương trình: 2x  x    x  (1)   x  (*)  x2 Lời giải : ĐK :  Đặt u  x  x  , v  x  ta có : u  v  x  x  Lúc đó (1) trở thành : 2u  v   3uv  2u  v u  2v    u  2v (Do 2u  v  ) Tìm x ta giải : x  x   x   x  x    x   13 (Thỏa (*)) Vậy (1) có nghiệm : x1,   13 Ví dụ 21 : Giải phương trình: x  14 x   x  x  20  x  Lời giải : ĐK : x  Chuyển vế bình phương hai vế phương trình ,ta có: x  15 x  9  x  24 x   10 x  4x  5x  1  2x  x  5  3x  4  x   x   x    (2) Đặt u  x  x  , v  x  , u, v  ,thì :  uv  x  5x    4 x  25 x  56  2u  3v (2)  2u  3v  5uv   u  v 2u  3v     Giải ta nghiệm thỏa mãn : x1   61 ; x2  Ví dụ 22 : Giải phương trình: x  x1  x 2  1  x 3   x  x  x 1  x  Lời giải : ĐK :  x   u0  u4 x   v0 Đặt :  v   x u  v   Từ phương trình ta : u  v  ( Do u  v  ) u  uv  v  v  u  u v  u  v u  v 1  u  v     u  v  1 từ đó ta giải các nghiệm : x  0; x  1; x  Dùng ẩn phụ Ví dụ 23 : Giải phương trình: x   x  x   x  8x   Lop10.com Lời giải : Đặt a  x  1, b  3 x  x  , c  x  x  ta có :  a  b  c   a  b  c   81  3 2 a  b  c  7 x  1  x  x   x  x   82  Từ (1) và (2) ta có : a  b  c 3  a  b  c  3a  b b  c c  a         a  b Nên : a  b b  c c  a    b  c c  a từ đó dễ dàng tìm nghiệm phương trình : S   1;0;1;9  Ví dụ 24 : Giải phương trình: 3x    x  x   x   (1) Lời giải : Đặt a  3x  1, b   x , c  x  ,ta có: a  b  c  x  đó từ (1) ta có : a  b  c 3  a  b  c  a  b b  c c  a   Giải ví dụ 23 suy nghiệm phương trình : x  3; x  4; x  IV Phương pháp dùng ẩn phụ đưa hệ Dùng ẩn phụ đưa hệ đơn giản giải phép rút gọn theo vế a Dùng ẩn phụ Ví dụ 25 : Giải phương trình: x  x   Lời giải : ĐK : x  5 Đặt t  x  , t  Ta có : x  t        x2  t  x2  t  x  t      2   x  t  x  t  1  t  x  x  t  t  x         x  t    x  t    x  t    x  t    21  x  21   x   Tổng quát: Giải phương trình: x  x  a  a b Dùng ẩn phụ * Nội Dung : m a  f x   n b  f x   c * Cách giải : Đặt : u  m a  f  x , v  n b  f  x   uv c m n u  v  a  b Như ta có hệ :  Ví dụ 26 : Giải phương trình: 57  x  x  40  (1) Lời giải : ĐK :  40  x  57 Đặt u  57  x , , v  x  40  u  v   uv 5 uv 5    2 4 2 u  v  97 2uv   10uv  528   u  v   2uv  2u v  97 Khi đó :(1)     Lop10.com u  v  u  v     uv      uv  uv  44 u    v  (Do hệ u  v  vô nghiệm)  u   uv  44  v   Đến đây việc thay vào để tìm nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ 27 : Giải phương trình: 1 x  x  Lời giải : ĐK :  x     Đặt :   1  x  u với 0  u  0  v  x v 1 1 (*) Như ta hệ :   u  v  uv     2   u  v     v   v   1(1)      Giải (1) :(1)  v     v    v  v     v1,      1 4 2 3 v 1,  0 Vậy v1, thỏa (*) chính là nghiệm phương trình đã cho Ví dụ 28 : Giải phương trình:  x 1 x2   x  Lời giải :  y  z 1 y  z 1   y  x   7    4  y  z  x   y   y  1  y   y  1(*)  z   x y 0  x0 3  Giải phương trình (*),ta có: y y      3 x 4 y    16   Đặt :  Dùng ẩn phụ đưa hệ đối xứng Dạng : Giải phương trình: x n  b  a n ax  b  x n  b  at Việc giải hệ này đã trở nên dễ dàng n t  b  ax Cách giải: Đặt t  n ax  b ta có hệ :  Ví dụ 29 : Giải phương trình: x   23 x  Lời giải :  x   2t  x   2t  x   2t    3  2  x  t  2t  x  t   x  x  t  x  t  tx   Đặt : t  x  ta có hệ :      xt 1   x 1    x  1 x  x   x  2x      2   1   x   2t  t  x  x  t   x   2   2  x  t  tx     Lop10.com  1      Vậy tập nghiệm phương trình là : S  1; Dạng : Giải phương trình: x  a  a  x x  a  t Cách giải : Đặt t  a  x ,phương trình đã cho tương đương với  t  a  x Ví dụ 30 : Giải phương trình: x  2007  2007  x Lời giải : ĐK : x  Đặt : t  2007  x (1), PT Lấy (3) trừ (2) ta : x  t  t  x  t  x t  x    x  t  (1) x  x  2007   x    8030  8029 (Do x  ) Dạng : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : Ví dụ 31 : Giải phương trình: x  x  2 x  1 2 x   ay  b Lời giải : ĐK : x  Đặt  x  x  2ay  b    Chọn a, b để hệ :   x  , y  1 (*) là hệ đối xứng 2   ay  b   x    x  x  2 y  1  x  x  2 y  1 Lấy a  1, b  1 ta hệ :   2  y  y  2 x  1  x y 0 Giải hệ trên ta : x  y   Đối chiếu với điều kiện hệ (*) ta nghiệm phương trình là : x   Dạng : Nội dung phương pháp : Cho phương trình : n ax  b  cdx  e n  x   d  ac   với các hệ số thỏa mãn :   e  bc   Cách giải : Đặt dy  e  n ax  b Ví dụ 32 : Giải phương trình: Lời giải : ĐK : x   4x   7x  28 4x  1   7 x    28 2  - Kiểm tra : a  , b  , c  7, d  1, e  ,   0,    (thoả mãn)  28 4x  4x  9 Đặt : y    y2  y    y  y   x   x   y  y (1) 28 28 4 PT  10 Lop10.com  x  x (2)  x   y  y Từ (1) và (2) ta có hệ :  Đây là hệ đối xứng loại II đã biết cách giải  y   7x2  7x  Ví dụ 33 : Giải phương trình: x  x   x  , x  Mặt khác : y  Lời giải : PT   x  32   x  - Kiểm tra : a  1, b  3, c  1, d  1, e  3,   0,   6 Đặt : y   x   y  y   x   x   y  y  (1) Mặt khác : y   x  x  (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : x   y  y  Đến đây đã khá dễ dàng   y   x  6x  Ví dụ 34 : Giải phương trình: 3x   x  36 x  53x  25 Lời giải : PT  3 x   2 x 3  3.4 x  3.9.2 x  27  x   3 x   2 x  33  x  - Kiểm tra : a  3, b  5, c  1, d  2, e  3,   1,   (thoả mãn)  Đặt : y   3 x   y  36 y  54 y  27  x   y  36 y  53 y  25  x  y  (1) Mặt khác : x  36 x  53x  25  y  (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : 8 y  36 y  53 y  25  x  y    x  36 x  53 x  25  y  Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!  Huế , ngày 15 tháng năm 2007 11 Lop10.com