AM − GM viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân... T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt..[r]
(1)T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Dạng Giải phương trình : − = − x2 x 2 4 − x 0 < x ≤ x − ≥ 2x ≥ − = − ⇔ ⇔ ⇔ x=2 ⇔ 4 x x − = 1 − = − = x − + − x x x x x Giải phương trình : x +6 x −9 + x −6 x −9 = x+6 23 Đặt t = x − 9, t ≥ ⇒ x = t + ≥ t − = t = 0 ≤ t < Phương trình cho viết lại : t + + t − = t + 32 ⇔ ⇔ t = t − 12t + 32 = t = t ≥ • t = ⇔ x − = ⇔ x = 13 • t = ⇔ x − = ⇔ x = 25 • t = ⇔ x − = ⇔ x = 73 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 13, x = 25, x = 73 = + + 2x − x x +1 + − x x +1 ≥ Điều kiện để phương trình có nghĩa : ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 − x ≥ Đặt Giải phương trình : t = x +1 + − x , ≤ t ≤ 2 ⇒ t2 = + ( x + 1)( − x ) = + + 2x − x ⇒ + 2x − x = t2 − 2 t2 − = + + 2x − x ⇔ = + ⇔ t − 2t − = ⇔ ( t − ) ( t + 2t + ) = (*) t x +1 + − x Vì t + 2t + > nên (*) ⇔ t = ⇔ x + + − x = ⇔ Chú ý : Cho hai số a ≥ 0, b ≥ t = a + b thì ( x + 1)( − x ) = ⇔ x = −1, x = a + b ≤ t ≤ ( a + b ) ( Đại số 9) Dễ thấy t = a + b ⇔ t = a + b + ab ⇔ a + b ≤ t = a + b + ab AM − GM ≤ AM − GM viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Lop12.net (a + b) ⇔ a + b ≤ t ≤ (a + b) (2) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Giải phương trình : ( 4x − 1) x + = 2x + 2x + (1) ( 4x − 1) x + = 2x + 2x + ⇔ ( 4x − 1) x + = ( x + 1) + Đặt t = x + 1, t ≥ Phương trình (1) ⇔ ( 4x − 1) t = 2t + 2x − ⇔ 2t − ( 4x − 1) t + 2x − = ⇔ ( 2t − 1)( t − 2x + 1) = 2x − > t = <1 x > ⇔ ⇔ ⇔x= 2 ⇔ x + = ( 2x − 1) 3x − 4x = t = 2x − Giải phương trình : + 2x − x + − 2x − x = (1 − x ) ( 2x − 4x + 1) Điều kiện để phương trình có nghĩa : x − x ≥ ⇔ ≤ x ≤ + 2x − x + − 2x − x = (1 − x ) ( 2x − 4x + 1) ( ) ⇔ + − ( x − 2x + 1) + − − ( x − 2x + 1) = (1 − x ) ( x − 2x + 1) − ⇔ + − ( x − 1) + − − ( x − 1) = (1 − x ) ( x − 1) 2 (*) Đặt t = ( x − 1) , x ∈ [ 0; 2] ⇔ t ∈ [ 0;1] ( a ) Phương trình (*) ⇔ + − t + − − t = 2t ( 2t − 1) Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2t − ≥ ⇔ t ≥ (**) 1 ( b ) Từ ( a ) , ( b ) ⇒ t ∈ ;1 2 1 Với t ∈ ;1 , bình phương vế phương trình (**) ta 2 1 2 + t = 2t ( 2t − 1) ⇔ + = ( 2t − 1) t t t 1 VT = t + t t ≥ t ∈ ;1 ⇒ ⇒ VT = VP = xảy t = ⇔ x = 2 VP = ( 2t − 1) ≤ Vậy phương trình có nghiệm x = Giải phương trình : x − 3x + = − x4 + x2 +1 3 x − 3x + = − x + x + ⇔ ( x − x + 1) − ( x + x + 1) = − x − x + 1)( x + x + 1) ( 3 ⇔2 x2 − x +1 + x + x +1 Đặt t = x2 − x +1 − = ( *) x2 + x +1 x2 − x +1 ,0 < t ≠1 x2 + x +1 Lop12.net (3) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net t=− <0 x2 − x +1 3 Phương trình (*) ⇔ 2t + t −1 = ⇔ ⇔ = ⇔ x − 2x + = ⇔ x = x + x + t = Vậy phương trình có nghiệm x = x 35 Giải phương trình : x + = (1) x − 12 Điều kiện để phương trình có nghĩa : x > Đặt x = , x > ⇒ < y < ( a ) y x 35 1 35 35 x+ = = ⇔ y + − y2 = y − y2 ( 2) (1) ⇔ + 2 y 12 12 x − 12 1− y t −1 ( 3) với < y < ⇒ < t ≤ 2 t = 35 t − Phương trình ( ) viết lại : t = ⇔ 35t − 24t − 35 = ⇔ 12 t = − ∉ 1; 16 49 y = y=± −1 t − 25 12 144 144 25 y 1− y2 = = = ⇔ y (1 − y ) = ⇔ y4 − y2 + =0⇔ ⇔ (b) 2 25 625 625 y2 = y = ± 25 5 4 5 3 Từ ( a ) và ( b ) suy ( x; y ) = ; , ; 5 3 5 5 Vậy phương trình cho có nghiệm : x = , x = Chú ý : Với điều kiện x > gợi liên tưởng bài toán này có cách giải lượng giác , với x = cos t x= sin t Đặt t = y + − y ⇒ y − y = ( Giải phương trình : x − 4x − = x + Điều kiện để phương trình có nghĩa : x + ≥ ⇔ x ≥ −5 x − 4x − = x + ⇔ ( x − ) − = x + Đặt y − = x + 5, y ≥ ⇔ ( y − ) = x + ( x − ) Ta có hệ : ( y − ) y ≥ 2 ( x − ) = y + = y+5 ( x − )2 = y + x − y = + 29 x= = x + ⇔ ( x − y )( x + y + 3) = ⇔ ( x − ) = y + ⇔ y ≥ x = −1 x + y + = y ≥ Lop12.net (4) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Giải phương trình : http://www.toanthpt.net 2x + 15 = 32x + 32x − 20 15 2 2x + 15 = 32x + 32x − 20 ⇔ 2x + 15 = ( 4x + ) − 28 Điều kiện để phương trình có nghĩa : x + 15 ≥ ⇔ x ≥ − Đặt 4y + = 2x + 15, y ≥ − ⇔ ( 4y + ) = 2x + 15 Ta có hệ : ( 4x + )2 = 2y + 15 x = y ( 4y + ) = 2x + 15 ( x − y )( 8x + 8y + ) = x= 2 ⇔ ( 4x + ) = 2y + 15 ⇔ ( 4x + ) = 2y + 15 ⇔ ( 4x + ) = 2y + 15 −9 − 221 8x + 8y + = x= 1 y ≥ − y ≥ − 16 2 y ≥ − Dạng tổng hiệu – bình phương Giải phương trình : x + − x + x (1 − x ) − x (1 − x ) = x ≥ Điều kiện để phương trình có nghĩa : ⇔ ≤ x ≤1 1 − x ≥ x + − x + x (1 − x ) − x (1 − x ) = ⇔ ⇔ ( x − 1− x ) −( x − 1− x ) =0⇔ ( ( ) ( x − 1− x − x + 1− x )( Phương trình 1 1 x − − x − x + − x = (1) ⇔ − x − − x + − x − x + = 4 4 2 1 1 ⇔ 1− x − − x − = ⇔ 2 2 4 1− x − x = (a ) ⇔ − x + x − = ( b ) ( 1− x − x )( ) − x + x −1 = • 1− x − x = 0(a ) ⇔ 1− x = x ⇔ 1− x = x ⇔ x = • − x + x −1 = ( b) ⇔ − x = − x ⇔ − x = − 4 x + x − 4 x3 + x ⇔4x ( ) x3 − x2 + 34 x − = ⇔ x ( )( x −1 ) x2 − x + = Lop12.net ) x − 1− x + x − 1− x = x − − x − x + − x = (1) ⇔ x − − x + x − − x = ( ) ) x − x (1 − x ) + − x − x − x (1 − x ) + − x = (5) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 4 x = 4 x = x = ⇔ x −1 = ⇔ ⇔ x = 4 x = x − x + > Phương trình 1 1 x − − x + x − − x = ( 2) ⇔ x + x + − − x + − x + = 4 4 2 ( )( ) 1 1 ⇔ x + − 1− x + = ⇔ x − 1− x x + 1− x +1 = 2 2 x − 1− x = ⇔ ⇔ x = 1− x ⇔ x = 1− x ⇔ x = 4 x + − x + > Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0, x = , x = Dạng dùng bất đẳng thức x + x −1 + −x + x + = x − x + x + x − ≥ Điều kiện để phương trình có nghĩa : − x + x + ≥ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , + x2 + x −1 x2 + x = x + x − = ( x + x − 1) ≤ 2 2 − x + x + = − x + x + ≤ + − x + x + = − x + x + ( ) 2 Giải phương trình : ⇒ x + x − + −x + x + ≤ x + Phương trình : x − x + = x + x − + − x + x + ⇔ x − x + ≤ x + ⇔ ( x − 1) ≤ ⇔ x = Vập phương trình cho có nghiệm x = Giải phương trình : 2x − x + −3x + 3x + = x − 2x + 2x − x ≥ Điều kiện để phương trình có nghĩa : −3x + 3x + ≥ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , + 2x − x 2 2x − x = 2x − x ≤ ( ) 2 −3x + 3x + = −3x + 3x + ≤ + −3x + 3x + = −3x + 3x + ( ) 2 ( x − 1) ≤ − x + 3x + ⇒ VT = 2x − x + −3x + 3x + ≤ = 2− 2 2 VP = x − 2x + = ( x − 1) + ≥ 2 2 Lop12.net (6) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net x − = VT = VP = 1 = 2x − x ⇔ x =1 1 = + 3x − 3x Vậy phương trình có nghiệm x = Dạng khác Giải phương trình : a) x + − x = + 3x − x Hướng dẫn : b) ( x + 1)( x − ) = x +1 + x − + c) 4x − + 4x − = a) x + − x = + 3x − x Đặt t = x + − x ; x ≤ có t ' = − x − x2 ; t ' = ⇔ x = ⇒ t ∈ −2; 2 Phương trình : x + − x = + 3x − x ⇔ 3t − 2t − = ⇔ x = 0, x = 2, x = ( x + 1)( x − ) = − x; x ∈ [ −1; 4] ⇒ t ' = ⇒ t ∈ − − 14 x +1 + x − + b) Đặt t = x + + x +1 + x − + ( x + 1)( x − ) = ⇔ t + 5; 10 t2 −5 = ⇔ x = 0∨ x = 4x − + 4x − = 1 1 x ≥ ⇒ f ( x) = = f ( ) ⇒ x = 2 f ( x) = x − + x − 1; f ' ( x) > c) Nhân lượng liên hợp Giải các phương trình : a) x + + x + + 2x − = x ( a) ( )( x + + 1)( ) x + + 2x − ) = x x + − ta phương trình hệ x + − ⇔ x x + + 2x − − x + − = Nhân hai vế phương trình với x ( ) ( x + + 2x − = x 2x + 3x + + 2x − 3x + = 3x b) ) ( ) ( ) x = x = ⇔ ⇔ x + + 2x − − x + − = x = Thử lại ta thấy x = thỏa mãn ( b) ) ( ) 2x + 3x + + 2x − 3x + = 3x Nhân hai vế phương trình với (1) 2x + 3x + − 2x − 3x + ta phương trình hệ : Lop12.net (7) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 6x = 3x ( http://www.toanthpt.net x = 2x + 3x + − 2x − 3x + ⇔ 2 2x + 3x + − 2x − 3x + = ) ( 2) Lấy (1) + ( ) ta 2x + 3x + = + 3x ⇔ ( 2x + 3x + ) = ( + 3x ) phương trình hệ x = ⇔ 8x + 12x + 20 = + 12x + 9x ⇔ x = 16 ⇔ x = −4 Kiểm tra lại các nghiệm x = 4; x = −4; x = ta thấy x = thỏa mãn Giải các phương trình : x2 b) 4x − − 2x + = + x − 2x a) x + + − x = − x2 Độc giả thấy quá quen thuộc bài toán trên giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức , đánh giá , lượng giác… tôi giới thiệu cách giải nhân lượng liên hợp x +1 ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Điều kiện để phương trình có nghĩa : 1 − x ≥ a) x +1 + 1− x = − Vì −1 ≤ x ≤ nên − x2 >0 Phương trình cho ⇔ + 1− x2 = − x2 + ( )( ( ) x2 x4 ⇔ − − x = x 1 − 16 16 ) ( ) x2 ⇔ − − x + − x = x 1 − + − x 16 x = x ⇔ 2x = x 1 − + − x ⇔ x2 2 = 16 1 − + − x 16 x2 <1 x2 1 − Vì x ≠ nên 16 ⇒ 1 − + − x < 1 + − x < 16 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( ) ( ( b) ) ⇔ x=0 ) 4x − − 2x + = + x − 2x x ≥ 4 x − ≥ ⇔ kiện để phương trình có nghĩa : x = − 2 x + ≥ 1 • Nếu x = − thì phương trình nghiệm đúng Suy x = − là nghiệm phương trình 2 Lop12.net (8) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net thì phương trình cho ⇔ ( x + 1)( x − 1) + ( x + 1)( x − 1) = x + ⇔ x − + x + ( x − 1) = • Nếu x ≥ ⇔ x − − = x + ( − x + 1) ⇔ ( )( 2x −1 −1 ) x − + = x + ( − x + 1) x =1 2x −1 +1 ⇔ + x + 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = − , x = ⇔ ( x − 1) = x + ( − x + 1) ( ) ( ) 2x −1 +1 = ( ) 2x −1 + ⇔ x =1 Dùng đạo hàm Giải phương trình : 3 x + + x − 2x + = x + + x − 2x + = ⇔ x + + x + + x − = x ≥ x −1 = ⇔ 3 x + − x − = x < x + + x − = Trường hợp 1: Xét hàm số f ( x ) = x + + x − x ≥ Hàm số f ( x ) là hàm số đồng biến và luôn cắt đường thẳng y = giao điểm ; đó phương trình cho có nghiệm và f (1) = ⇒ x = là nghiệm phương trình x + − x − = Trường hợp : x < Đặt u = x + 7, v = x − x < u = x + = 3 u − v = x + − x − = v = −2 ⇔ x − = −2 ⇔ x = −7 Hệ ⇔ ⇔ u = u − v = x < x + = v = x − = Vậy hệ cho có nghiệm x = −7; x = ( Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: x x + x + 12 = m − x + − x ( Phương trình cho ⇔ x x + x + 12 ( )( ) 5− x − 4− x = m )( ) X ét f ( x ) = x x + x + 12 − x − − x ; D ∈ [0,4] 1442443 1442443 g( x) ( h( x ) ) g ( x ) = x x + x + 12 : đồng biến D Lop12.net ) (9) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt h '( x) = −1 + >0 5− x 4− x http://www.toanthpt.net ∀x ( 0; ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) h ( x ) : đồng biến x ∈ D ⇒ phương ( ) trình có nghiệm và f (0 ) ≤ f ( x ) ≤ f (4 ) ⇔ − ≤ m ≤ 12 Bài tập : Bài tập 1: Xác định m để phương trình : x − x + m + ( )( ) t = x − − x ; ≤ t ≤ Hướng dẫn : m = t − t + (x − 5)(1 − x ) = ⇒ có nghiệm 19 ≤ m ≤ 17 Bài tập 2: Tìm m để phương trình : sin x + − sin x + sin x − sin x = m có nghiệm − z2 − z t = sin x + − sin x ⇒ t ∈ [0;2] Hướng dẫn : ⇒ t' = z = sin x ; | z |≤ − z2 2m = t + 2t − = f (t ) t2 − ⇒ sin x − sin x = ⇒ ⇒ −1 ≤ m ≤ t ∈ [0;2] − sin x + sin x + + sin x + cos x = m Giải phương trình m = 2 π π Định m để phương trình cho có nghiệm x ∈ − ; 2 Hướng dẫn : 9 t = + sin x − sin x t ∈ 0; 9 ⇒2≤m≤2 ⇒ t ' = − z ⇒ t ∈ 0; ⇒ 4 z = sin x ; | z |≤ f (t ) = − + t = m Bài tập : Cho phương trình : Bài tập 4: Xác định theo m số nghiệm phương trình : x + x + m + x + 4m + m = Hướng dẫn : t = x + x + m ; f ( x) = − x − x + 16 = m m > 19 : vô nghiệm ; m = 19 : nghiệm ; m < 19 : nghiệm Tìm m để bất phương trình : Đặt t = (1 + x )( − x ) ; x ∈ − t'=0⇔ x = thỏa mãn ∀x ∈ − ;3 − 4x có t ' = , x ∈ − ;3 (1 + x )( − x ) (1 + x )( − x ) > m + ( x − x + 3) ;3 Lop12.net (10) T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x −1 http://www.toanthpt.net t’ + – 7 : x ∈ − ;3 ⇒ t ∈ 0; 2 t 0 7 Để bất phương trình cho đúng x ∈ − ;3 thì : t + t > m + đúng t ∈ 0; 2 Đặt f (t ) = t + t ⇒ f '(t ) = 2t + ⇒ f '(t ) = ⇔ t = − t −∞ −1 2 f’(t) + f(t) 7 ⇒ m + < f (t ) = f (0) = t ∈ 0; ⇒ m < −6 2 Lop12.net (11)