CHỦ ĐỀ 1 ÔN THI ĐẠI HỌC - PHƯƠNG TRINH VÔ TỶ

Bài 1: Giải phơng trình a) x + = x Phơng trình , Bất phơng trình vô tỉ x3 + = x − y = x − ⇔ y3 + = x - Phơng trình đợc chuyển thành hệ x = y x = y =   3 x + = 2y x + = 2y −1 +    x + = y ⇔ ⇔ ⇔ x = y =  3  y + = x  x − y = −2( x − y )      x + xy + y + = 0(vn)   −1 −  x + = y   x = y =  - Vậy phơng trình đà cho có nghiệm b) + − x = x (1 + − x ) §S:x=1/2; x=1 c) ( x − + x − 1) = x − + x − x + §S: x=2 d) ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) x +1 = −3 x −3 §S: x = − 13; x = − e) − x + − 1 = − (x + ) x x - Sư dơng B§T Bunhia f) x + − − x = − x ĐS: x=0 Bài 2: Giải BPT: a) x + − x − ≤ x §S: x≥1/4 b) 2( x − 16) + x −3 > x −3  x − 16 ≥ ⇔x≥4 §K  x − > 7− x x - Biến đôỉ bất phơng trình d¹ng 2( x − 16) + x − > − x ⇔ 2( x − 16) > 10 − x 10 − x < x >  ⇔  10 − x ≥ ⇔ ⇔ x > 10 − 34  10 − 34 < x ≤  2( x − 16) > (10 − x ) - Kết hợp ĐK ta có nghiệm BPT lµ x > 10 − 34 c) ( x + 1)(4 − x ) > x − d) − − x < x  − ≤ x < 1 − x ≥ ⇔ §K:  0 < x ≤ x ≠ - Thực phép nhân liên hợp ta thu đợc BPT x < 3(1 + − x ) ⇔ − x > x −   x <   4 x − <    x ≤  1 − x ≥  ⇔ ⇔  ⇔ x ≤  4x − ≥   x ≥   9(1 − x ) > (4 x − 3)2     2  9(1 − x ) > (4 x − 3)   x < - Kết hợp ĐK thu đợc nghiệm < x  C¸ch 2: - XÐt TH: ≤ x < 0.BPT ⇔ − x < − x 2 + Víi < x ≤ BPT ⇔ − x > − x + Víi − e) x + 10 x + ≥ − x − x  −5 − x ≤ §K: x + 10 x + ≥ ⇔   −5 + x - Với Đk 5 x + 10 x + ≤ −36 + x + 10 x + - §Ỉt t = x + 10 x + 1; t - ĐS: x-3 x1 Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x2 + x + − x2 − x + = m Giải: Xét hàm số y = x + x + − x − x + + Miền xác định D= R + Đạo hàm y' = 2x +1 x + x +1 − 2x −1 x2 − x + y ' = ⇔ (2 x − 1) x + x + = (2 x + 1) x − x + (2 x − 1)(2 x + 1) > ⇔ (vo nghiem) 2 2 (2 x − 1) ( x + x + 1) = (2 x + 1) ( x x + 1) + y(0)=1>0 nên hàm số §B + Giíi h¹n lim y = lim x →−∞ x →−∞ 2x x + x + − x2 − x + = −1 lim y = x →+∞ x y’ y + BBT +∞ - + -1 Vậy phơng trình có nghiệm -10 víi mäi t∈ (1; 5) Ta cã BBT sau: t g’(t) + g(t) -3 Tõ BBT suy -3 Dễ dàng chứng minh : 2 x + 12 + x +5 +3 Bài Giải phương trình : x − + x = x3 − Giải :Đk x ≥ Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   = ( x − 3) ( x + x + )  x2 − x3 − + ( ) + x2 − +   x+3 x+3 1+ = 1+ < < x + 3x + 2 Ta chứng minh : 3 x2 − x −1 +1 + ( ) + x2 − + x3 − +  x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 +    x+3 ( ) Vậy pt có nghiệm x=3 2.2 Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp  Nếu phương trình vơ tỉ có dạng A + B = C , mà : A − B = α C dây C hàng số ,có thể biểu thức x Ta giải sau :  A+ B =C A− B  = C ⇒ A − B = α , đĩ ta có hệ:  ⇒ A = C +α A− B  A − B =α  b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : x + x + + x − x + = x + Giải: ( ) ( ) 2 Ta thấy : x + x + − x − x + = ( x + ) x = −4 nghiệm Xét x ≠ −4 Trục thức ta có : 2x + 2x + x + − 2x − x + 2 = x + ⇒ x2 + x + − x2 − x + = x =  2x2 + x + − 2x2 − x + =  ⇒ 2x + x + = x + ⇔  Vậy ta có hệ:  x =  2x2 + x + + 2x2 − x + = x +   Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= x + x + + x − x + = 3x 2 Ta thấy : ( x + x + 1) − ( x − x + 1) = x + x , không thỏa mãn điều kiện Bài Giải phương trình : Ta chia hai vế cho x đặt t = toán trở nên đơn giản x Bài tập đề nghị Giải phương trình sau : x + x + = ( x + 3) x + − 10 − x = x − (HSG Toàn Quốc 2002) ( − x) ( − x) x − + 3x3 − = x − 2 x − 11x + 21 − 3 x − = (OLYMPIC 30/4-2007) ( − x ) ( 10 − x ) = x+ x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 2 x + 16 x + 18 + x − = x + x + 15 = x − + x + x2 + = x − + 2x − 3 Phương trình biến đổi tích  Sử dụng đẳng thức u + v = + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = A2 = B Bài Giải phương trình : Giải: pt ⇔ ( )( x +1 −1 3 x + + x + = + x + 3x + x = x + −1 = ⇔   x = −1 ) Bi Giải phương trình : x + + x = Giải: + x = , nghiệm + x ≠ , ta chia hai vế cho x: Bài Giải phương trình: Giải: dk : x ≥ −1 3 x + x2 + x  x +1  x +1 + x = 1+ x +1 ⇔  − 1÷ x x   ( ) x −1 = ⇔ x = x + + x x + = 2x + x2 + x + x = x +1 −1 = ⇔  x = 4x =4 x Bài Giải phương trình : x + + x+3 pt ⇔ ( x + − 2x )( ) Giải: Đk: x ≥ Chia hai vế cho  4x 4x 4x  =2 ⇔ 1 − x + : 1+ ÷ = ⇔ x =1 x+3 x+3 x+3    Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Ak = B k Bài Giải phương trình : 3−x = x 3+x Giải: Đk: ≤ x ≤ pt đ cho tương đương : x + x + x − = 3  10 10 −  ⇔x+ ⇔x= ÷ = 3 3  Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − Giải: ( Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : + + x ) x =  x + + = 3x = 9x2 ⇔  ⇔  x = −5 − 97  x + + = −3 x   18  Bài Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) Giải : pttt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t = f ( x ) ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Nói chung phương trình mà đặt hoàn toàn t = f ( x ) thường phương trình dễ Bài Giải phương trình: Điều kiện: x ≥ Nhận xét Đặt t = x − x2 − + x + x2 − = x − x − x + x − = 1 x − x − phương trình có dạng: t + t = ⇔ t = Thay vào tìm x = Bài Giải phương trình: x − x − = x + Giải Điều kiện: x ≥ − t2 − Đặt t = x + 5(t ≥ 0) x = Thay vào ta có phương trình sau: t − 10t + 25 2 − (t − 5) − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = 16 ⇔ (t + 2t − 7)(t − 2t − 11) = Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận gái trị t1 = −1 + 2, t3 = + Từ tìm nghiệm phương trình l: x = − x = + Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện x − x − ≥ Ta được: x ( x − 3) − ( x − 1) = , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : y − = x + đưa hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: x + + x − = 10 Chúng ta biết đặt điều kiện x = f ( t ) phải đảm bảo với x có t , điều kiện để đảm bào điều (xem lại vịng trịn lượng giác ) Xây dựng phương trình vô tỉ phương pháp lượng giác ? Từ cơng phương trình lượng giác đơn giản: cos3t = sin t , ta tạo phương trình vơ tỉ Chú ý : cos3t = 4cos3 t − 3cos t ta có phương trình vơ tỉ: x − x = − x (1) Nếu thay x ta lại có phương trình : − x = x x − x (2) Nếu thay x phương trình (1) : (x-1) ta có phương trình vố tỉ khó: x − 12 x + x − = x − x (3) Việc giải phương trình (2) (3) không đơn giản chút ? Tương tự từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng phương trình vơ tỉ theo kiểu lượng giác Một số ví dụ  = + 1− x ( 1− x)   3 Bài Giải phương trình sau : + − x  ( + x ) −   Giải: Điều kiện : x ≤ Với x ∈ [ −1;0] : ( 1+ x) − ( 1− x) ≤ (ptvn)  π x ∈ [0;1] ta đặt : x = cos t , t ∈ 0;  Khi phương trình trở thành:  2 1   cos x 1 + sin t ÷ = + sin t ⇔ cos t = phương trình có nghiệm : x = 6   Bài Giải phương trình sau : 1− 2x + 2x + + 2x − 2x 1) − 2x + + 2x = 2) + − x2 = x + − x2 3) x − x = ( ) HD: tan x = Đs: x = + 2cos x − 2cos x HD: chứng minh x > vô nghiệm x+2 Bài Giải phương trình sau: 6x + = 2x 5π 7π   π ;cos  mà phương trình bậc Xét : x ≤ , đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] Khi ta S = cos ;cos 9   3 Giải: Lập phương vế ta được: x − x = ⇔ x − x = có tối đa nghiệm tập nghiệm phương trình   ÷ x2 −    π π , t ∈ − ; ÷ Giải: đk: x > , ta đặt x = sin t  2  cos t = Khi ptt: ( + cot t ) = ⇔  sin 2t = − sin x  Phương trình có nghiệm : x = − + 1 Bài .Giải phương trình x 1 + ( ) 21 x + ( x + 1) x +1 = + 2x 2x ( − x2 ) 2 Bài Giải phương trình : Giải: đk x ≠ 0, x ≠ ±1  π π ; ÷  2 Khi pttt 2sin t cos 2t + cos 2t − = ⇔ sin t ( − sin t − 2sin t ) = Ta đặt : x = tan t , t ∈  − Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x = Bài tập tổng hợp Giải phương trình sau x3 + (1− x ) = x − x2 x − x 30 − 2007 30 + x 2007 = 30 2007 12 x − 2x + − 2 − x > x + 16 x −1 + x +1 = x 3 x + x + = 2x + x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + − 10 − x = x − (HSG Toàn Quốc 2002) ( − x) ( − x) = x + ( − x ) ( 10 − x ) x + = x −1 + 2x − x − + 3x − = 3x − 2 x − 11x + 21 − 3 x − = (OLYMPIC 30/4-2007) 3 x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 2 x + 16 x + 18 + x − = x + 3x + 3x + 2 x +x+2 = 3x + 12 x + x − = x + x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x − x − + x3 + x + x + = + x − ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 x = (2004 + x )(1 − − x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x − 3x + = − x + x2 + 3 ( + x ) + 3 − x2 + ( − x ) = 2 2008 x − x + = 2007 x − 3 ( ) ( x + − = x + 3x + x + ) x + x + 12 x + = 36 ( x − 1) 2x + x3 + = x3 + x + x −1 1 = 1− + x − x x x x − 14 x + − x − x − 20 = x + x + = x3 − x − 15 ( 30 x − x ) = 2004 30060 x + + 4x + = x2 + 7x 28 ( ) x − x − 10 = x − x − 10 3−x =x x+x CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG  x ∈ D (*) Dạng : Phương trình A = B ⇔ A = B ≥ ⇔  A = B Lưu ý: Điều kiện (*) chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp A ≥ hay B ≥ 22 Dạng 2: Phương trình B ≥ A=B⇔ A = B Dạng 3: Phương trình A ≥  A + B = C ⇔ B ≥ (chuyển dạng 2)   A + B + AB = C +) +) A + B = C ⇒ A + B + 3 A.B ( ) A+ B =C ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình : A + B + 3 A.B.C = C Bài 1: Giải phương trình: f) + x − − x = a) x − = x − g) x + = − x + b) x − x + = h) c) x + x + = e) x − + x − = 3x + − x + = x + i) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x + x − = 2m + x − x Bài 3: Cho phương trình: x − − x = m -Giải phương trình m=1 -Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4: Cho phương trình: x + mx − = x − m -Giải phương trình m=3 -Với giá trị m phương trình có nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường -Nếu tốn có chứa f ( x) f ( x) đặt t = f ( x) (với điều kiện tối thiểu t ≥ phương trình có chứa tham số thiết phải tìm điều kiện cho ẩn phụ) -Nếu tốn có chứa f ( x) , g ( x) f ( x) g ( x) = k (với k số) đặt : t= -Nếu tốn có chứa t= k t f ( x) ± g ( x) ; f ( x).g ( x) f ( x) + g ( x) = k đặt: f ( x) , g ( x ) = f ( x) ± g ( x) suy -Nếu tốn có chứa -Nếu tốn có chứa π  t ∈ [ 0; π ] \   2 -Nếu tốn có chứa t2 − k f ( x).g ( x) = π π ≤ t ≤ x = a cos t với ≤ t ≤ π 2 a a  π π với t ∈  − ;  \ { 0} x = với x − a đặt x = sin t  2 cos t a − x đặt x = a sin t với −  π π x + a ta đặt x = a tan t với t ∈  − ; ÷  2 23 Bài 1: Giải phương trình: a) x + x + x + = 12 − x f) x2 + 5x + − 2 x2 + 5x − = b) x − x + x + = −3 x − g) x + 3x + − 2 x + x + = − c) x − x + = x − x + 12 h) x + d) x + 15 x + x + x + = i) ( x + 5)(2 − x) = x + x x + 11 = 31 e) ( x + 4)( x + 1) − x + x + = Bài 2: Giải phương trình: a) x + (1− x ) = x ( − x2 ) b) + − x2  ( − x ) −   c) ( 1+ x)  = + − x2   − x − 2x − x2 − x2 + = d) 64 x − 112 x + 56 x − = − x e) x + x x2 −1 = 35 12 x +1 = −3 x−3 f) ( x − 3) ( x + 1) + ( x − 3) 1 + =m x − x2 -Giải phương trình với m = + Bài 4: Cho phương trình: -Tìm m để phương trình có nghiệm ( ) 2 Bài 5: Cho phương trình: x − x + x − x − − m = -Giải phương trình với m = -Tìm m để phương trình có nghiệm Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hoàn toàn Là việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x -Từ phương trình tích ( )( x +1 −1 ) x +1 − x + = , ( 2x + − x )( ) 2x + − x + = Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau ( ) 2 Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: t = t = x + , ta có : t − ( + x ) t − + 3x = ⇔ t = x −  24 Bài Giải phương trình : ( x + 1) x2 − 2x + = x2 + Giải: Đặt : t = x − x + 3, t ≥ 2 Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔  t = x − Từ phương trình đơn giản : ( 1− x − 1+ x )( ) − x − + + x = , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : x + − = x + − x + − x Giải: Nhận xét : đặt t = − x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ( ) Ta rt x = − t thay vo pt: 3t − + + x t + ( ) 1+ x −1 = ( Nhưng khơng có may mắn để giải phương trình theo t ∆ = + + x dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo Cụ thể sau : x = − ( − x ) + ( + x ) ( ) ( 1− x , 1+ x ) ) − 48 ( ) x + − khơng có thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 Giải ( ) 2 Bình phương vế phương trình: ( x + ) + 16 − x + 16 ( − x ) = x + 16 ( ) = α ( − x ) + ( + 2α ) x Ta đặt : t = − x ≥ Ta được: x − 16t − 32 + x = Ta phải tách x 2 − 8α cho ∆ t có dạng chình phương Nhận xét : Thơng thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Bài tập: Giải phương trình sau: a) (4 x − 1) x + = x + x + b) x − = x x − x c) x − = x x + x d) x + x = ( x + 2) x − x + Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ a) Dạng thông thường: Đặt u = α ( x ) , v = β ( x ) tìm mối quan hệ α ( x ) β ( x ) từ tìm hệ u = m a − f ( x )  theo u,v Chẳng hạn phương trình: m a − f ( x ) + m b + f ( x ) = c ta đặt:  từ v = m b + f ( x )  m m u + v = a + b suy u m + v m = a + b Khi ta có hệ  u + v = c Bài tập: Giải phương trình sau: a) − x = − x − b) − x = − x − c) x − x − − ( x − 1) x + x − x = b) Dạng phương trình chứa bậc hai lũy thừa bậc hai: 25 d = ac + α ax + b = c(dx + e) + α x + β với  e = bc + β Cách giải: Đặt: dy + e = ax + b phương trình chuyển thành hệ:  dy + e = ax + b  ( dy + e ) = ax + b ⇔ ->giải  2 dy + e = c(dx + e) + α x + β c ( dy + e ) = −α x + dy + e − β   Nhận xét: Dể sử dụng phương pháp cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu dạng thỏa mãn điều kiện để đặt ẩn phụ.Việc chọn α ; β thông thường cần viết dạng : (αx + β ) n = p n a ' x + b ' + γ chọn c) Dạng phương trình chứa bậc ba lũy thừa bậc ba d = ac + α ax + b = c ( dx + e ) + α x + β với  e = bc + β Cách giải: Đặt dy + e = ax + b phương trình chuyển thành hệ: 3   dy + e = ax + b   ( dy + e ) = ax + b c ( dy + e ) = acx + bc ⇔ ⇔  3 c(dx + e) = ( ac − d ) x + dy + bc  dy + e = c ( dx + e ) + α x + β  c ( dx + e ) = −α x + dy + e − β    Bài tập: Giải phương trình sau: 1) x + = x + x + 5) x + = x − ( x + = −4 x + 13 x − 3) x + = 3 x − 4x + 4) = x2 + x x > 28 2) ( ) 3 3 6) x 35 − x x + 35 − x = 30 7) x − 13 x + + x + = 8) x − 13 x + + x + = ) 15 ( 30 x − x ) = 2004 30060 x + + 3 x − = x3 − 36 x + 53 − 25 x−2 10) x + = x − x − 9) 81x − = x3 − x + II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = k Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) Bước 3: Nhận xét: • Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k x0 nghiệm • Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Với x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 2: thực theo bước Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = g ( x) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định f ( x) g(x) có tính chất trái ngược xác định x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) 26 Bước 3: Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng f (u ) = f (v) Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi f (u ) = f (v) ⇔ u = v ( ) ( ) 2 Ví dụ: Giải phương trình : ( x + 1) + x + x + + x + x + = ( pt ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( −3 x ) + ) ( −3 x ) ) + ⇔ f ( x + 1) = f ( −3x ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + , hàm đồng biến R, ta có x = − Bài tập: Giải phương trình: 2 4x − + 4x2 − = 1, x − = − x − 4x + , x − = + x − x , x = − 2x + 2x − x , x − + x + = , 2x − + x2 + = − x 27 BÀI TẬP : Bài 1: Bình phương hai vế : a) x2 + x + = Hd: pt  x =  − ≤ x ≤1 ⇔x = −   x −2 x − x = x = ±   b)pt: 5x − − 3x − − x − = dk : x ≥ - Chuyển vế ,bình phương hai vế : x =2 ; x = 2/11( loại ) Vậy x=2 c) pt : x + = − x + dk : x ≥ Bình phương hai lầ ta có :ĐS x = d) e) pt : 16 − x + + x = Ds : x = 0; −7 pt : (4 x − 1) x + = x + x + dk : x ≥ 1/ Bphương hai lanà ta có :ĐS x = 4/3 Bài : Dặt n số phuï : x − x +3 + x − x +6 =3 3 a) - - b) Ñaët : T=x2-3x+3 x −x2 = dk : ≤ x ≤1 1+ - Đặt : t= ≥3 / : pt t + t +3 =3 < >t =1 = x =1; = > x + −x =0 x + 1− x ; t ≥ => x − x = t −1 ptt2-3t +2 =0 t =1 ; t=2 Vn t=1  x=0 ; x=1 x + + x +1 = x + 2 x + x + −16 c) HDÑS: x ≥ −1 ÑK : t = 2x + + x + ≥ => t = x + + 2 x + x + pt t = x = 28 d ) x + x + + x + x + = 3x + 3x +19 t = x + x + ≥ / pt t + + t = 3t +13 t = => x = 1; x = −2 Bai3 : a ) x +1 + − x − ( x +1)(3 − x ) = m Giaûi pt m=2 ** Tìm m pt có nghiệm • t = x + + − x ; => ≤ t ≤ 2 • HDĐS : ĐK: vi : a + b ≤ a + b ≤ 2(a + b)  t = 0(l ) a)m = : t − 2t =  => x = − 1, x = t = Tacoù : 2 − ≤ m ≤ b) f(t) = -t2/2 + t +2 = m (1) Lập bảng biến thiên : : a ) x + − x = −x + x + m bai Bình phương : Đặt t= x(9 − x ) => ≤ t ≤ / KsHS f (t ) = − t + 2t + ; o ≤ t ≤ / Ds − / ≤ m ≤ 10 d) x4 + x + m + x + x + m = t = x +4 x +m ≥0 pt : t +t −6 =0 HDĐS:Đặt : t =− l < > = t =2 = x +4 x +m = > < >m =−x −4 x +16 = Laäp BBT : m>19VN; m=19: ngh ;m2 giải x=5 b)x=3 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn  Từ phương trình tích x + − x + − x + = , x + − x ( )( ) ( )( ) 2x + − x + = Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau ( ) 2 Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: t = t = x + , ta có : t − ( + x ) t − + 3x = ⇔ t = x −  Bài Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + Giải: Đặt : t = x − x + 3, t ≥ Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn : t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔  t = x − 34 ... ) 1+ x + x2 2x Đặt t= ; t ∈ [ -1 ; 1] + x2 Khi phương trình (1) trở thành 2t+t 2=4m (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t∈ [ -1 ; 1] Xét hàm số y=f(t)=t2+2t với t∈ [ -1 ; 1] Ta có f’(t)=2t+2≥0 với t∈ [ -1 ; 1]... f (1/ 2) =1 Vậy phương trình có nghiệm x =1/ 2 b)x= -1 nghiệm Các hàm số y= x + ; y= x + ; y= x + ĐB Bài : Giải pt x + x + + x − = x + ĐK : x ? ?-3 ,x= -1 , x? ?1 -Với x= -1 Thoả mãn pt -Với x? ?-3 VPt =1 = x =1; = > x + −x =0 x + 1? ?? x ; t ≥ => x − x = t ? ?1 ptt 2-3 t +2 =0 t =1 ; t=2 Vn t =1  x=0 ; x =1 x + + x +1 = x + 2 x + x + ? ?16 c) HDÑS: x ≥ −1