Phương pháp dùng ẩn phụ để giải các bài toán trong chương trình phổ thông

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài PHƢƠNG PHÁP DÙNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG Giạo viãn hæåïng dáùn : Th.S Nguyễn Thị Sinh Sinh viãn thæûc hiãûn : Trần Quốc Trung Låïp : 10CTT1 Đà Nẵng, tháng năm 2014 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Phạm vi nghiên cứu: 3 Cấu trúc luận văn: CHƢƠNG I LÝ THUYẾT CƠ SỞ I Hiểu ẩn phụ nhƣ cho đầy đủ? II Dấu hiệu để nhận biết toán ẩn phụ: CHƢƠNG II DÙNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI CÁC DẠNG TỐN TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 12 I Dùng ẩn phụ để rút gọn biểu thức: 12 Phƣơng pháp: 12 II Dùng ẩn phụ vào việc giải phƣơng trình: 15 II.1 Dạng Chuyển tốn phương trình ẩn x thành tốn phương trình ẩn phụ u 15 II.2 Dạng Chuyển tốn phương trình ẩn x thành hệ nhiều phương trình nhiều ẩn 22 II.3 Dạng Chuyển tốn phương trình ẩn x thành tốn phương trình ẩn phụ u hệ số chứa x 30 II.4 Dạng Chuyển tốn phương trình ẩn x thành hệ hai phương trình hai ẩn: ẩn phụ u ẩn lại x 34 III Dùng ẩn phụ vào việc giải hệ phƣơng trình: 38 IV Dùng ẩn phụ vào việc giải bất phƣơng trình: 43 V Dùng ẩn phụ vào việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: 49 VI Dùng ẩn phụ vào việc giải toán số phức: 53 VII Dùng ẩn phụ tốn có tham số: 55 VI Dùng ẩn phụ vào việc tính tích phân: 63 64 65 SVTH: Trần Quốc Trung Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh LỜI CẢM ƠN Trên thực tế, khơng có thành công mà không gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ dù hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp ngƣời khác Trong suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Trong suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, nhận đƣợc quan tâm giúp đỡ Cô Nguyễn Thị Sinh, quý Thầy Cô khoa Toán – Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm – Đại Học Đà Nẵng, gia đình bạn bè Với lịng biết ơn sâu sắc nhất, xin gửi đến Cô Nguyễn Thị Sinh với tri thức tâm huyết để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho suốt thời gian nghiên cứu luận văn tốt nghiệp này.Và xin chân thành cảm ơn q Thầy Cơ khoa Tốn – Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm – Đại Học Đà Nẵng giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Luận văn tốt nghiệp đƣợc thực khoảng thời gian gần tháng.Bƣớc đầu vào nghiên cứu chuyên sâu môn khoa học, kiến thức tơi cịn nhiều hạn chế bỡ ngỡ Do vậy, khơng tránh đƣợc thiếu sót điều chắn, mong nhận đƣợc ý kiến quý báu Cô Nguyễn Thị Sinh quý Thầy Cơ khoa Tốn để tơi hồn thiện tốt luận văn Sau cùng, tơi xin kính chúc Cơ Nguyễn Thị Sinh q Thầy Cơ khoa Tốn thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh truyền đạt kiến thức cho hệ mai sau Trân trọng Đà Nẵng, Ngày … Tháng … Năm 2014 Sinh viên thực Trần Quốc Trung SVTH: Trần Quốc Trung Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Để giải đƣợc toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đắn đƣờng lối giải tốn đó.Q trình từ đƣờng lối đắn đến việc có lời giải tốt đòi hỏi ngƣời học phải biết lựa chọn phƣơng pháp cơng cụ thích hợp.Một phƣơng pháp hay, hữu hiệu thƣờng đƣợc ấp dụng để giải tốn phức tạp phƣơng pháp đặt ẩn phụ Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp góp phần đƣa tốn khó giải trực tiếp toán gián tiếp đơn giản dễ giải Tuy nhiên, việc lựa chọn ẩn phụ khơng đơn giản chút nào.Ngƣời học cần phải nhìn toán cách tổng quát nhƣ phải hiểu kỹ nội dung, phƣơng pháp cụ thể việc đặt ẩn phụ để chuyển cách toán dạng hoạc quen thuộc.Bởi vậy, hƣớng dẫn cho học sinh THPT biết cách sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ để giải toán phức tạp điều cần thiết Phạm vi nghiên cứu: Đề tài: “ Phương pháp dùng ẩn phụ để giải tốn chương trình phổ thơng ” nghiên cứu giải tốn chƣơng trình phổ thơng Cấu trúc luận văn: Luận văn gồm hai chƣơng: Chương I: Lý thuyết sở Chƣơng trình bày định nghĩa ẩn phụ, dấu hiệu nhận biết toán giải đƣợc cách đặt ẩn phụ vấn đề tìm điều kiện cho ẩn phụ Chương II: Chƣơng gồm phần liên quan đến việc dùng ẩn phụ để giải toán, phần dạng toán phƣơng pháp giải Các dạng tốn đƣợc trình bày rõ ràng, logic tổng hợp từ tài liệu ngồi chƣơng trình phổ thơng đề thi Đại học, Cao đẳng năm trƣớc Nội dung phần gồm: Phần 1: Dùng ẩn phụ để rút gọn biểu thức SVTH: Trần Quốc Trung Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Phần 2: Dùng ẩn phụ vào việc giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình Phần 3: Dùng ẩn phụ vào việc giải hệ phƣơng trình Phần 4: Dùng ẩn phụ vào việc giải bất phƣơng trình Phần 5: Dùng ẩn phụ vào việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Phần 6: Dùng ẩn phụ vào việc giải toán số phức Phần 7: Dùng ẩn phụ tốn có tham số Phần 8: Dùng ẩn phụ vào việc tính tích phân SVTH: Trần Quốc Trung Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh CHƢƠNG I LÝ THUYẾT CƠ SỞ I Hiểu ẩn phụ cho đầy đủ? Trƣớc hết, ẩn phụ đƣợc xem ẩn ban đầu toán cho Ta phải sử dụng ẩn khác thay cho ẩn tốn vì, với ẩn cho tốn ta khó giải đƣợc (có khơng giải đƣợc) Nên, việc thay ẩn cho toán ẩn khác toán trở nên dễ giải so với toán cho Ẩn phụ hiểu với ý nghĩa từ “phụ” (nghĩa khơng chính) Theo nghĩa này, ta khơng giải trực tiếp tốn theo ẩn cho mà ta lại tìm ẩn phụ Sau tìm đƣợc ẩn phụ ta lại thay lại vào ẩn ban đầu để giải Việc giải toán cách dùng ẩn phụ đƣợc xem nhƣ thay ta theo đƣờng thẳng gập gềnh ta lại theo đƣờng vịng phẳng đề đến đích Mặt khác, việc giải tốn ẩn phụ xong trở giải ẩn ban đầu đƣợc coi nhƣ công việc đƣợc chia làm hai công đoạn để dể làm Đây trƣờng hợp giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình nói chung tốn khơng tham số Quy ng việc giải toán trƣờng hợp bao gồm: Bƣớc 1: Xuất phát từ tốn cho, chọn ẩn phụ thích hợp chuyển toán cho thành toán ẩn phụ Bƣớc 2: Tìm ẩn phụ trờ tìm ẩn ban đầu Sơ đồ quy trình đƣợc mơ tả dƣới đây: Bài tốn 3) với ẩn ban đầu Bài toán 1) cho với ẩn ban đầu Chọn ẩn (Đơn giản toán 1) Bài toán 2) với phụ phụ SVTH: Trần Quốc Trung Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Theo nghĩa này, ẩn phụ đƣợc xem ẩn trung gian có toán giải đƣợc cách dùng nhiều ẩn phụ Ẩn phụ cịn có hiểu ẩn khác, mà với ẩn hình thức (dạng) tốn đƣợc thay đổi.Bằng cách này, ẩn phụ có tác dụng chuyển hóa hình thức tốn nhƣng giữ nguyên nội dung toán Chẳng hạn: - Dùng ẩn phụ chuyển việc giải phƣơng trình mũ hay phƣơng trình lƣợng giác thành giải phƣơng trình bậc hai ẩn - Dùng ẩn phụ đƣa tích phân hàm vơ tỉ thành tích phân hàm hữu tỉ Ẩn phụ mang ý nghĩa ẩn khác với ẩn ban đầu có tác dụng cải tiến chuyển hóa tốn: Chuyển tốn toán dạng dạng quen thuộc Đây trƣờng hợp toán chứa tham số Chẳng hạn: - Dùng ẩn ta chuyển đƣợc tốn tìm điều kiện để phƣơng trình có nghiệm tốn tùy ý thành tốn tìm điều kiện để phƣơng trình có nghiệm phƣơng trình bậc hai, bậc ẩn - Dùng ẩn ta chuyển hàm phân thức vơ tỉ thành hàm phân thức hữu tỉ, thuận lợi cho việc tính tốn Nói tóm lại, danh từ “ẩn phụ” nên đƣợc hiểu theo nghĩa rộng rãi mà ta vừa hình dung (và có lẽ chƣa đầy đủ) Tuy vậy, dù theo hình thức nào, từ sau, luận văn này, theo truyền thống ta dùng từ “ẩn phụ” II Dấu hiệu để nhận biết tốn ẩn phụ: 1.Thơng thƣờng dấu hiệu dùng đƣợc ẩn phụ đƣợc đúc kết lý thuyết kinh nghiệm Đối với toán mà đại lƣợng tham gia tốn có mối liên hệ (đƣợc biểu hệ thức toán học) mà nhờ mối liên hệ này, đại lượng biểu diễn qua đại lượng (hoàn toàn khơng hồn tồn) có khả dùng đƣợc ẩn phụ SVTH: Trần Quốc Trung Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Cái khó khăn tốn mối liên hệ vốn có đại lƣợng tham gia tốn thƣờng dễ thấy đƣợc nhƣng lại có “ẩn nấp” kín đáo, ngƣời giải tốn tƣởng chừng chúng khơng liên quan với Trong trƣờng hợp này, ngƣời giải tốn cần có cách nhìn tinh vi để phát điều mà đại lƣợng tham gia tốn muốn nói cho ta biết Lại có khi, ẩn phụ xuất khơng phải từ ban đầu q trình giải tốn mà lại xuất sau trình biến đổi Ngƣời giải tốn phải theo dõi sát q trình biến đổi phát “thời cơ” mà ẩn phụ xuất để thay đổi chiến thuật giải toán 2.Khi chuyển toán từ ẩn ban đầu sang tốn ẩn phụ, cơng việc phải làm Chuyển điều kiện từ ẩn ban đầu thành điều kiện cho ẩn phụ Điều kiện ẩn ban đầu đƣợc cho toán Chẳng hạn, chọn ẩn phụ u   ( x) Việc tìm điều kiện cho ẩn phụ, thực chất việc tìm miền giá trị hàm u với x thuộc miền mà toán cho Tuy vậy, khơng phải ln ln ta tìm miền giá trị hàm số u   ( x) a Với toán mà ẩn phụ xem ẩn trung gian, tìm ẩn phụ trở tìm ẩn ban đầu có hai phƣơng pháp tìm điều kiện: i) Tìm điều kiện cho ẩn phụ ii) Tìm thừa điều kiện cho ẩn phụ Ta dùng điều kiện theo phƣơng án: “thừa” ta cịn quay trờ tìm ẩn ban đầu Trong trƣờng hợp dùng điều kiện thừa, có ta phải giải tốn mà chắn vơ nghiệm (khi trở tìm ẩn ban đầu) Trong trƣờng hợp nên dùng điều kiện dƣới dạng thừa? Đó mà cơng thức u   ( x) việc tìm miền giá trị hàm  ( x) phức tạp; trƣờng hợp việc dùng điều kiện dạng thừa sáng tạo b Với toán mà ẩn phụ đƣợc dùng với tƣ cách ẩn thứ hai (bài tốn khơng trở ẩn ban đầu) tuyệt đối phải đặt điều kiên cho ẩn phụ Điều kiện cho ẩn phụ miền xác định tốn SVTH: Trần Quốc Trung Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Đây trƣờng hợp lại toán: - Dùng ẩn phụ vào việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số - Dùng ẩn phụ vào việc tính tích phân - Dùng ẩn phụ vào việc giải tốn có tham số Trong trƣờng hợp này, dùng điều kiện dƣới dạng thừa ta giải tốn khơng miền xác định Một phƣơng pháp dùng ẩn phụ để giải dạng toán chuyển tốn lƣợng giác Phƣơng pháp đƣợc gọi phƣơng pháp lƣợng giác hóa Việc lựa chọn phƣơng pháp lƣợng giác hóa cho tốn đƣợc xác định thơng qua dấu hiệu đặc biệt biến có mặt tốn dấu hiệu lại đƣợc xác định thơng qua miền trị chúng với công thức lƣợng giác thơng thƣờng Ta thƣờng có dấu hiệu nhận biết sau: a Nếu có điều kiện biến x | x | a ( a  0) , ta đặt:    x  a sin t , với t   ;   2 Hoặc x  a cos t , với t 0;   Trong trƣờng hợp riêng:  Nếu  x  a , ta đặt   x  a sin t , với t  0;   2 Hoặc   x  a cos t , với t  0;   2  Nếu a  x  , ta đặt SVTH: Trần Quốc Trung Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh    x  a sin t , với t   ;0     x  a cos t , với t   ;   2  Hoặc b Nếu biến x  R , ta đặt    x  tan  , với     ;   2 Trong trƣờng hợp riêng:  Nếu x  , ta đặt   x  tan  , với   0;   2   x  cot  , với   0;   2 Hoặc  Nếu x  , ta đặt    x  tan  , với     ;0     x  cot  , với    ;   2  Hoặc c Nếu hai biến x, y thỏa mãn điều kiện a x  b y  c , với a, b, c > 0, ta đƣợc 2  ax   by       1  c   c  Đặt  ax  c  sin t   by  cos t  c SVTH: Trần Quốc Trung  c sin t   x  a   y  c cos t  b t [0;2] Trang Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Bài tốn 39 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: P  f ( x, y)  x  y  y  x (1) Với x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn hệ thức x  y  Giải: Điều kiện toán x  y  cho phép ta đặt:  x  sin u   y  cos u P  sin u  cos u  cos u  sin u Khi Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta thu đƣợc: P  (sin u  cos u )(2  sin u  cos u )  Dấu “=” xảy P  (2  sin u  cos u ) (2)  cos u  sin u  sin u cos u (*) Mặt khác ta lại có sin u  cos u  Dấu xảy sin u  cos u Từ (2) (3) ta thu đƣợc: (3) (**) P2   Dấu “=” xảy sin u  cos u (khi có (*) (**) đồng thời xảy) Do P  2 Từ ta thu đƣợc Pmax   SVTH: Trần Quốc Trung x y Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Bài tốn 40 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: P  f ( x, y)  y  xy x2  y (1) Giải: Biến đổi hàm (1) dạng:  y P  3  x  y2  Nên ta đặt:  x y   2  x y x  y2   x   x  y2    y     x  y2   sin u  y x2  y ,   1   cos u  x x2  y Hàm số (1) dƣới dạng lƣợng giác có dạng: 3 P  3sin u  4sin u.cos u  2sin 2u  cos 2u  2 dụng bất đẳng thức:  a2  b2  a sin u  b cos u  a2  b2 Ta thu đƣợc: Hay  5  2sin u  cos u  2 5   P  2 2 PMax  4, SVTH: Trần Quốc Trung PMin   Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh VI Dùng ẩn phụ vào việc giải toán số phức: Việc giải toán số phức phƣơng pháp đặt ẩn phụ đƣợc coi công cụ để giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình mở rộng lên từ số thực Quy trình tƣơng tự nhƣ đƣợc làm tập số thực Bài tốn 41 Giải phương trình sau: z  2z3  z  2z   (1) Giải: Với z  nghiệm phƣơng trình (1) Với z  , ta chia hai vế phƣơng trình (1) cho z , ta đƣợc: z2  Đặt w  z   1   z   1  z z  1  z   w2  , ta đƣợc z z : w2   w   w2  w     w  w  3  Trở tìm z, ta giải: z a) w   z  1 b) w  3  z   3 z  z2  z 1   z  3i  z  3z    z 3  z SVTH: Trần Quốc Trung  3i z 3  Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Bài tốn 42 Giải phương trình sau: 2z  2z3  z  2z   (1) Giải: Với z  khơng phải nghiệm phƣơng trình (1) Với z  , ta chia hai vế phƣơng trình (1) cho z , ta đƣợc   1   z2     z   1  z   z  Đặt w  z  1  z   w2  , ta đƣợc z z 2( w2  2)  w    w  3i z  w 2w2  2w    3i    z  3  i z   i   z  1 i  z    i  2 1  3i  z   3i  z   z 1    z  1 i SVTH: Trần Quốc Trung w 1  3i  z   3i  z2    z 1    z  3i  1 z    i 2 Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh VII Dùng ẩn phụ tốn có tham số: Khác với tốn khơng chứa tham số: giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình… ẩn phụ đƣợc hiểu theo nghĩa là: phụ - tức khơng phải ẩn ban đầu, ẩn dùng tạm ẩn trung gian (vì có tốn ta phải dùng đến hai ẩn phụ), với tốn có tham số, ẩn phụ phải xem ẩn thứ hai, ẩn phụ, ẩn trung gian mà ch ẩn cuối tốn Vì lẽ vậy, với tốn có tham số quy trình giải toán bao gồm hai bƣới sau đây: Bƣớc 1: Xuất phát từ toán cho, chọn ẩn phụ thích hợp, sau đó: - Đặt điều kiện ẩn phụ Tuy nhiên, sau chuyển qua ẩn phụ ta khơng trở ban đầu, ta cần đặt điều kiện cho ẩn phụ - Việc đặt điều kiện cho ẩn phụ việc chuyển miền xác định toán từ ẩn ban đầu qua ẩn phụ Bƣớc 2: Chuyển toán từ ẩn cho thành toán ẩn phụ Bƣớc 3: Tùy theo nội toán ẩn phụ để giải tiếp Bài tốn 43 Tìm m để phương trình: x   m x   x2  (1) có nghiệm thực Giải: x 1 Điều kiện Biến đổ  x 1  x 1 3   m  24 x 1  x 1  Đặt t4 (2) x 1 ; x 1 SVTH: Trần Quốc Trung Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh 0  x 1 1 1 x 1 x 1 0t  x 1 1 x 1 Phƣơng trình (2) với ẩn t có dạng 3t  m  2t ;  Đặt (0  t