Tự luận toán cao cấp 2 bf10 1 ehou

ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI TRUNG TÂM ĐÀO TẠO E-LEARNING Đề kiểm tra môn: Toán cao cấp 2/Toán giải tích/Giải tích 1 Anh/Chị chon một trong các đề sau: ĐỀ SỐ 01 Câu 1: (2 điểm ) a, Tính giới hạn x( — +arctanx ) 2 b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau: khi x 2 a khi x = 2 Câu 2: (2 điểm ) a, Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ln(3x2 + 2) . arctan 32x2 + 2x +1 b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức A = cos 61o - 326,8 Câu 3: (2 điểm ) Tính 3 x + 1 , ————-dx x+2x+5  xsinx ———dx cos2 x Câu 4: (2 điểm ) Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau: x = 2(t - sin t) ,. . _ - '''' với 0 < t < 2n y = 2(1 - cos t) Câu 5: (2 điểm ) Tìm cực trị của hàm hai biến sau : z = x3+3xy2- 30x-18y ĐỀ SỐ 02 Câu 1: (2 điểm ) a, Tính giới hạn lim x n sin2x.cotgx b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau: khi x 3 b khi x = 3 Câu 2: (2 điểm ) a, Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ln(x2 + 1) . arcsin yjx2 + 3x + 2 b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức B = sin 61o - 327,1 Câu 3: (2 điểm ) Tính a f 4x —3 dx a, I ^dX J X2 - 2x +12 b, 7 dx “ 2+cosX Câu 4: (2 điểm ) , Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau: X = 12cost + 5sint - với 0 < t < 2n y = 5cos t - 12sin t Câu 5: (2 điểm ) Tìm cực trị của hàm hai biến sau : z = x3+3xy2- 30x-18y ĐỀ SỐ 03 Câu 1: (2 điểm ) a, Tính giới hạn  lim x .. x.cotg2x b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau: khi x 1 c khi x = 1 Câu 2: (2 điểm ) a, Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ln(4x2 - 1) . arcsin V3x2 + 3x +1 b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức B = tg 31o + ^26,9 Câu 3: (2 điểm ) Tính 3x + 3 , —————dx x + 4x +12 1 x arctan x b, —, _ dx J« ựĩw Câu 4: (2 điểm ) Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau: x = a. cost ,, _ . . „ s với 0 < t < 2n y = ố.sin t Câu 5: (2 điểm )  Tìm cực trị của hàm hai biến sau : 50 20 z = xy + — + — biết x > 0 ; y > 0 xy ĐỀ SỐ 04 Câu 1: (2 điểm ) a, Tính giới hạn lim x > x( I +arctanx ) b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau: 3 b, J X2 ln xdx n ~3 Câu 4: (2 điểm ) Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau: X = 2(t - sin t) ,. . _ - '''' với 0 < t < 2n y = 2(1 - cos t) Câu 5: (2 điểm ) Tìm cực trị của hàm hai biến sau : z = x3+3xy2- 30x-18y ĐỀ SỐ 05 Câu 1: (2 điểm ) a, Tính giới hạn lim X n sin2X.Cotgx b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau: f(x) = X2 - 4 4 khi X * 2 X - 2 b khi X = 2 Câu 2: (2 điểm ) a, Tính đạo hàm của hàm số sau:  y = ln(2x2 + 4) . arcsin yjxx + 2x +1 b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức B = sin 31o - ^27,11 Câu 3: (2 điểm ) Tính 2ft -f r dx * 2+cosx Câu 4: (2 điểm ) , Tinh thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền giới hạn bởi phương trình sau: y — x2 - 4x . _ s _ quanh trục Ox I y - 0 q ■ Câu 5: (2 điểm ) Tìm cực trị của hàm hai biến sau : 50 20 z = xy + — + — biết x > 0 ; y > 0

ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO E-LEARNING

Đề kiểm tra môn: Toán cao cấp 2/Toán giải tích/Giải tích 1

Anh/Chị chon một trong các đề sau:

ĐỀ SỐ 01

Câu 1: (2 điểm )

a, Tính giới hạn

x( — +arctanx )

2

b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

khi x 2

a khi x = 2

Câu 2: (2 điểm )

a, Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ln(3x2 + 2) arctan 32x 2 + 2x +1

b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức

A = cos 61o - 3 26,8

Câu 3: (2 điểm )

Tính

3 x + 1 , ————-dx x+2x+5

f(x) =

a,

———dx

cos2 x

Câu 4: (2 điểm )

Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

x = 2(t - sin t) , _

- ' với 0 < t < 2n

y = 2(1 - cos t)

Câu 5: (2 điểm )

Tìm cực trị của hàm hai biến sau :

z = x3+3xy2- 30x-18y

ĐỀ SỐ 02

Câu 1: (2 điểm )

a, Tính giới hạn

lim x n sin2x.cotgx

b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

khi x 3

b khi x = 3

Câu 2: (2 điểm )

a, Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ln(x2 + 1) arcsin yjx2 + 3x + 2 b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần

đúng của biểu thức

B = sin 61o - 3 27,1

Câu 3: (2 điểm )

Tính

a f 4x d x —3

J

X2 - 2x +12

b, 7 dx

b,

f(x) =

“ 2+cosX

Câu 4: (2 điểm )

, Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

X = 12cost + 5sint

- với 0 < t < 2n

y = 5cos t - 12sin t

Câu 5: (2 điểm )

Tìm cực trị của hàm hai biến sau :

z = x3+3xy2- 30x-18y

ĐỀ SỐ 03

Câu 1: (2 điểm )

a, Tính giới hạn

x x.cotg2x b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

khi x 1

c khi x = 1

Câu 2: (2 điểm )

a, Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ln(4x2 - 1) arcsin V3x2 + 3x +1

b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức

B = tg 31o + ^26,9

Câu 3: (2 điểm )

Tính

3x + 3 ,

—————dx x + 4x +12

1 x arctan x

b, —,J _ dx

« ựĩw

Câu 4: (2 điểm )

Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

x = a cost ,, _ „

s với 0 < t < 2n

y = ố.sin t

Câu 5: (2 điểm )

f(x) =

a,

Tìm cực trị của hàm hai biến sau :

50 20

z = xy + — + — biết x > 0 ; y > 0

xy

ĐỀ SỐ 04

Câu 1: (2 điểm )

a, Tính giới hạn lim

x > x( I +arctanx )

b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

f(x) =

x 2 - 25

< x - 5 khi x 5

b, J X2 ln xdx

n

~3

Câu 4: (2 điểm )

Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

X = 2(t - sin t) , _

- ' với 0 < t < 2n

y = 2(1 - cos t)

Câu 5: (2 điểm )

Tìm cực trị của hàm hai biến sau :

z = x3+3xy2- 30x-18y

ĐỀ SỐ 05

Câu 1: (2 điểm )

a, Tính giới hạn

lim

X nsin2X.Cotgx

b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

a khi x = 5

Câu 2: (2 điểm )

a, Tính đạo hàm của hàm số sau:

y = ln(x2 + 2) arccos >/2x2 + 2x +1

b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức

A = cos 29o - ^26,8

Câu 3: (2 điểm )

Tính

3x -1

a, -d

J

x2 + 5x + 5

f(x) =

X2- 4

4 khi X * 2

X - 2

b khi X = 2

Câu 2: (2 điểm )

a, Tính đạo hàm của hàm số sau:

y = ln(2x2 + 4) arcsin yjxx + 2x +1

b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức

B = sin 31o - ^27,11

Câu 3: (2 điểm )

Tính

2ft -f

r dx

* 2+cosx

Câu 4: (2 điểm ) , Tinh thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền giới hạn bởi phương trình sau:

y — x 2 - 4x _

s _ quanh trục Ox

I y - 0 q ■

Câu 5: (2 điểm )

Tìm cực trị của hàm hai biến sau :

50 20

z = xy + — + — biết x > 0 ; y > 0

a, 2 x - 3

x2 - 2x +12dx

BÀI LÀM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI

BÀI KIỂM TRA TỰ LUẬN

MÔN: GIẢI TÍCH 1

ĐỀ SỐ 2

Năm 2024

Câu 1: (2 điểm)

a Tính giới hạn:

lim

x→ π sin 2 x cotgx=lim

x → π sin 2 x cosx

sinx=limx → π

2 sinx cos2x sinx =limx→ π2 cos2x

¿lim

x→ π2.1

2(1+cos 2 x )=lim x→ π (1+cos 2 x )=2

b Khảo sát tính liên tục của hàm số sau:

f ( x )={x x−32−9∧khi x ≠ 3

b∧khi x=3

Hàm số f(x) liên tục tại x = 3 nếu:

lim

x →3 f (x )=f (3)

Ta có: f(3) = b và

lim

x →3 f (x )=lim

x →3

x2−9

x−3=limx → 3

( x−3) ( x+ 3)

Vậy: Nếu b = 6 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 3.

Nếu b ≠ 6 thì hàm số f(x) không liên tục tại x = 3.

Câu 2: (2 điểm)

a Tính đạo hàm của hàm số sau:

y=ln(x2+1) arcsin( √x2+3 x+2)

Ta có:

y '=(ln(x2+1) )' arcsin( √x2+3 x+2)+¿(arcsin( √x2+3 x +2) )' ln(x2+1)¿

¿ 2 x

x2+1 arcsin( √x2+3 x +2)+ ( √x2+3 x +2)'

√1−x2−3 x −2 ln(x

2

+1)

¿ 2 x

x2+1 arcsin( √x2+3 x +2)+ (x2+3 x +2)'

2√x2

+3 x +2 .

ln(x2+1)

√−x2

−3 x−1

¿ 2 x

x2+1 arcsin( √x2+3 x +2)+ (2 x +3)

2√x2

+3 x +2 .

ln(x2+1)

√−x2

−3 x−1

b Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức:

B=sin 61 o−√327,1

√x

⇒ y '

( x)= 1

3√3 x2⇒ y '

(27 )= 1

3√3272= 1

27

(x0) ∆ x, nếu ∆ x khá bé (∆ x=0,1)

27 ∆ x =

3

√27 + 1

27.0,1=3,00370

⇒ y '

( x)=cos x ⇒ y '

(π3)=cosπ

3=

1 2

(x0) ∆ x, nếu ∆ x khá bé(∆ x= π

180).

π

180)≈ sin π

3+

1

2 ∆ x =sin

π

3+

1

2.

π

180=0,87475

⇒ B=sin 61 o

−√327,1=0,87475−3,00370=−2,12895

Câu 3: (2 điểm)

Tính:

A=∫x2−2 x+124 x −3 dx=∫ 4 ( x−1)+1

(x2−2 x +1)+11dx=∫4 ( x−1)+1

( x−1)2+11dx

Đặt u = x – 1 ⇒ du = dx

⇒ A=∫u 4 u+12

+11du=∫u24 u

+11du+∫u2du

+11

¿∫ 4 u

u2+11du+

1

11 arctan

u

11+C

+11⇒ dt=2u du ⇒u du= dt

2

⇒∫ 4 u

u2+11du=4.∫12 dt

t =2.∫dt t =2 ln|t|+C

Vậy A=2 ln|t|+ 1

11 arctan

u

11+C

¿2 ln|x2−2 x+12|+¿ 1

11.arctan

( x−1)

11 +C¿

b.

B=∫

0

2 π

dx

2+cos x

Đặt t=tan x

2⇒dt= 1

2.cos2x

2

dx=1

2.(1+tan2x

2)dx= 1+t

2

2 dx

⇒dx= 2 dt

1+t2

Ta có:

cosx=2 cos2 x

2−1=2.

1

(1+tan2x

2)−1=

(1−tan2x

2) (1+tan2x

2)

=(1−t2)

⇒ B=∫

0

2 π

dx

2+cos x=∫

0

2 π 2

1+t2

2+(1−t

2)

dt=∫

0

2 π

2

2

)

¿∫

0

2 π

2

3+ t2dt=¿2.

1

3 arctan

t

3+C=

2

3 arctan

tanx 2

3 |0

2 π

=0¿

Câu 4: (2 điểm)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho bởi phương trình tham số sau:

{x =12cos t+5 sin t y=5 cost−12 sin t với 0 ≤ t ≤ 2 π

Ta có:

dx=x '(t) dt=(−12 sin t+5 cos t ) dt

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong trên được tính theo công thức sau:

S=∫

0

2 π

|y (t ) x ' (t )|dt= ∫

0

2 π

|(5 cos t −12 sin t ) (−12 sint +5 cos t )|dt

¿∫

0

2 π

|−60 sin t cos t+25 cos2t +144 sin2t−60 sin t cost|dt

¿∫

0

2 π

|−120 sin 2 t+25

2 (1+cos 2 t )+

144

2 (1−cos 2t )|dt

¿|60 cos2 t+25

2 (t+ sin 2 t

2 )+144

2 (t− sin 2 t

2 ) | |0

2 π

¿|(60.1+25 π+ 144 π )−(60.1)|=169 π

Câu 5: (2 điểm) Tìm cực trị của hàm hai biến sau:

z=x3+3 xy2−30 x−18 y

Tìm điểm dừng:

{z ' x ( x , y )=3 x2+3 y2−30=0

z ' y ( x , y )=6 xy−30=0 ⇔{x2

+y2=10

xy=3 ⇔{x2−2 xy + y2=4

y =3 x

⇔{( x− y )2=4

y =3

x

⇔{ [ x− y=2

x− y=−2

y =3 x

⇔{ [x2−2 x−3=0

x2+2 x−3=0

y =3 x

⇔[ { x1=3, y1=1

x2=−1, y2=−3

{ x3=1, y3=3

x4=−3, y4=−1

Vậy hàm số z có 4 điểm dừng là (3 ; 1), (-1 ; -3),(1 ; 3) và (-3 ; -1) Xét ma trận Hess:

H=(z x2

''

z xy ''

z xy ' ' z y2

' ')=(6 y 6 x 6 x 6 y)

H=(186 186)với{ H1=z x2

''=18>0

H2=det H=288>0

⇒ Hàm z đạt cực tiểu tại điểm dừng (3 ; 1).

 Tại điểm dừng(-1 ; -3):

H=(−18−6 −18−6 )với{ H1=z x2

' '

=−6

H2=det H =−288<0

⇒ Hàm z không đạt cực trị tại điểm dừng (-1 ; -3).

H=(186 186)với{ H1=z x2

' '=6

H2=det H=−288<0

⇒ Hàm z không đạt cực trị tại điểm dừng (1 ; 3).

H=(−18−6 −18−6 )với{ H1=z x2

''

=−18<0

H2=det H =288>0

⇒ Hàm z đạt cực đại tại điểm dừng (-3 ; -1).