Bài giảng toán cao cấp 1 bf10 3 Đại học mở hà nội

BÀI 1 TẬP HỢP – QUAN HỆ - ÁNH XẠ I. GIỚI THIỆU Xin chào các anh/ chị học viên! Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 1 môn Đại số tuyến tính. Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản của Toán học. Ta cần tìm hiểu khái niệm về tập hợp, sau đó là mối quan hệ giữa các tập hợp, các phép toán về tập hợp. Trong các quan hệ giữa các tập hợp thì quan hệ hai ngôi đóng vai trò quan trọng. Từ đó, ta sẽ xét các quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự. Sau đó, nội dung của chương này trình bày khái niệm về ánh xạ. Các ánh xạ cơ bản được xét là đơn ánh, song ánh và toàn ánh. Tiếp đó, xét ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ. Cuối chương xét lực lượng của tập hợp. Bài học này gồm có 07 nội dung: 1. Tập hợp 2. Quan hệ hai ngôi 3. Ánh xạ 4. Tóm lược 5. Bài tập 6. Câu hỏi trắc nghiệm 7. Đáp án câu hỏi trắc nghiệm II. MỤC TIÊU: Sau khi học xong Bài I, anh/ chị sẽ: - Hiểu về tập hợp và các phép toán về tập hợp. - Nắm được khái niệm về quan hệ giữa các tập hợp, đặc biệt là quan hệ hai ngôi và các quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự. - Khái niệm về ánh xạ với các ánh xạ cơ bản: đơn ánh, song ánh, toàn ánh. Tiếp đó là ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ. - Cuối cùng là lực lượng của tập hợp. - Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm

BÀI 1

TẬP HỢP – QUAN HỆ - ÁNH XẠ

Xin chào các anh/ chị học viên!

Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 1 môn Đại số tuyến tính.

Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản của Toán học Ta cần tìm hiểu khái niệm về tập hợp, sau đó là mối quan hệ giữa các tập hợp, các phép toán về tập hợp

Trong các quan hệ giữa các tập hợp thì quan hệ hai ngôi đóng vai trò quan trọng Từ đó, ta sẽ xét các quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự

Sau đó, nội dung của chương này trình bày khái niệm về ánh xạ Các ánh xạ cơ bản được xét là đơn ánh, song ánh và toàn ánh Tiếp đó, xét ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ Cuối chương xét lực lượng của tập hợp

Bài học này gồm có 07 nội dung:

1 Tập hợp

2 Quan hệ hai ngôi 3 Ánh xạ

4 Tóm lược 5 Bài tập

6 Câu hỏi trắc nghiệm

7 Đáp án câu hỏi trắc nghiệm

- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp

- Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và

III NỘI DUNG PHẦN LÝ THUYẾT

- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu  Ví dụ, tập các nghiệm thực của phương trình 2

x  là tập rỗng

Một số khái niệm và ký hiệu cần thiết

Mệnh đề toán học là một khẳng định toán học hoặc là đúng hoặc là sai (không có nhập nhằng), ký hiệu bởi các chữ in A,B,C,

Ví dụ:

812: 

A là mệnh đề đúng 0

4: 

Đọc

bao hµm trong chøa

Sự bằng nhau của 2 tập hợp

Nếu một phần tử bất kỳ của tập hợp A đều thuộc về tập hợp B và ngược lại, mỗi phần tử của tập hợp B đều thuộc về tập hợp A thì ta nói A vµ B bằng nhau



Aa b c d

ABa b c d e fBc d e f

Tính chất 1.1

  

      

Chú ý: Khi A  B thì ta nói A vµ B rời nhau

Tính chất 1.3 (Tính chất chung của  và )

( A BC  AB  AC tính chất phân phối đối với :

( A BC  AB  AC tính chất phân phối đối với Chứng minh tính chất (1):

 

Hiệu của hai tập hợp

Định nghĩa 1.3: Hiệu của tập A và tập B là tập tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B (Hình 1.5)

Ký hiệu A B\ xA vµ xB

Hình 1.5

Tập bù

Khi AE th× E\A gọi là bù của A trong E, ký hiệu C AE hay A (Hình 1.6)

Ví dụ: Gọi A là tập nghiệm của phương trình 2  

, ta cã

A BEAB

    

Xét chứng minh (1)

 

Tích của 2 tập hợp (tích Đề các)

Định nghĩa 1.4: Tích của tập hợp A với tập hợp B (theo thứ tự ấy) là tập hợp gồm tất cả các cặp thứ tự  x y, với xA vµ yB (Hình 1.7)

Ký hiệu A B hoÆc A B Đọc là A nh©n BA

Hình 1.6

 x y,   A BxA vµ yB

RR y

x

AB B

 2AiAj  ij

3.2 QUAN HỆ HAI NGÔI

3.2.1 KHÁI NIỆM VỀ QUAN HỆ HAI NGÔI

Giả sử cho tập X khác rỗng và một tính chất Rđược thỏa mãn với một số cặp phần tử

3.2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ TRONG MỘT TẬP HỢP

Quan hệ R trong tập X (tức R X2) có thể có các tính chất sau: - Tính phản xạ: aR a, aX(tøc lµ  a a,R , aX)

- Tính đối xứng: aR bbR a(tøc lµ  a b,R th×  b a, R ) - Tính phản đối xứng: (aR b vµ bR a) ab

3.2.3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Quan hệ R trong tập X gọi là quan hệ tương đương nếu nó có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.Trong trường hợp này, ta viết ~ thay v× aba R b

Ví dụ: Quan hệ đồng dạng giữa các tam giác; quan hệ cùng tỉnh của một tập hợp dân một thành phố là các ví dụ trực quan của quan hệ tương đương

Các lớp tương đương: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trong X Với mỗi phần tử

Ta thu được định lý: Một quan hệ tương đương trong X xỏc định một phõn hoạch của X, mỗi phần tử của phõn hoạch này là một lớp tương đương

Họ cỏc lớp tương đương này được gọi là tập thương, ký hiệu X/ ~

Vớ dụ: Trong tập cỏc số nguyờn Z

Xột quan hệ R: a R b  ab 2 với , ,pa b pZ Ta cú:

Nếu ngoài ra, với bất kỳ hai phần tử nào xX y,X đều cú xR y hoặc

y R x thỡ quan hệ thứ tự gọi là thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tớnh)

Khi R là một quan hệ thứ tự trong X, ta núi X được xếp thứ tự bởi R thay vỡ xR y ta viết xy và đọc " bé hơn " hoặc " đi trước "xyxy Ta viết yx và đọc là

" lớn hơn " hoặc " đi sau "yxyx

Nếu xy và xy ta viết xyhay yx

Vớ dụ 1: Quan hệ < hoặc  thụng thường trong tập hợp cỏc số thực là cỏc quan hệ thứ tự toàn phần, R là tập được sắp thứ tự

Vớ dụ 2: Quan hệ "a b" tức là bội số của trong *abN là quan hệ thứ tự bộ phận Tập X

trong đú đó xỏc định một quan hệ thứ tự gọi là tập được sắp xếp

Tập X gọi là miền xác định hay nguồn của ánh xạ, tập Y gọi là đích của ánh xạ

Phần tử yYứng với phần tử xX bởi quy tắc đã cho gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu yf x 

Nói riêng, khi X và Y là các tập hợp số thì khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số Cho f X:Y là một ánh xạ từ X vào Y

lµ tËp con cña lµ tËp con cña

Ta gọi ảnh của A bởi f là tập con B của Y xác định bởi:   

Cần để ý là 1 

f B B , có thể là tập rỗng

3.3.2 ĐƠN ÁNH – TOÀN ÁNH – SONG ÁNH

Trong số các ánh xạ, các ánh xạ dưới đây giữ vai trò quan trọng:

• Ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu f x 1 f x 2 th× x1 x2, nói cách khác hai phần tử khác nhau sẽ có ảnh khác nhau

• Ánh xạ f gọi là toàn ỏnh, nếu f X Y, núi cỏch khỏc  yY đều tồn tại

xf xe là đơn ỏnh, cũn ỏnh xạ x f x 2x3 là song ỏnh

3.3.3 ÁNH XẠ NGƯỢC (CỦA MỘT SONG ÁNH)

Giả sử f X:Y là song ỏnh thỡ với bất kỳ yY đều tồn tại duy nhất một phần tử  

sao cho

Ánh xạ 1:

f YX xỏc định bởi: 1  

f y  xyf x gọi là ỏnh xạ ngược f.

Vậy, ỏnh xạ ngược của 1

f lại là ỏnh xạ f, vậy f và f1 là cặp song ỏnh ngược

Giả sử f X:Y là một ỏnh xạ, AX là tập con thực sự của X.

ỏnh xạ g A: Y xác định bởi g x  f x ,  gọi là thu hẹp của ỏnh xạ xAf trờn tập

A, ta ký hiệu gfA

Nếu: X'X X, 'X thì ánh xạ 'X Y sao cho h x    f x ,  gọi là mở rộng của xXf

lờn tập

Thực chất, việc đánh số hay việc đếm số phần tử là sự thiết lập một song ánh f từ tập n

số tự nhiên En 1,2, ,n vào tập A Nhận xét đó giúp ta đưa vào khái niệm lực lượng của một tập hợp bất kỳ

Định nghĩa 1.7:

Cho hai tập hợp A và B khác rỗng (hữu hạn hoặc vô hạn) Nếu tồn tại một song ánh

f AB thì ta nói A và B đồng lực lượng

Tập có cùng lực lượng với tập En gọi là tập hữu hạn

Rõ ràng, hai tập hữu hạn đồng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử.Vậy khái niệm “cùng lực lượng” là sự khái quát hóa khái niệm “cùng số lượng” thông thường

Nếu A và B đồng lực lượng, ta nói A tương đương với B và viết A B

Tập có cùng lực lượng với tập số N gọi là tập vô hạn đếm được

Tập vô hạn không cùng lực lượng với tập N gọi là tập không đếm được Người ta chứng minh được rằng tập các số thực R là tập không đếm được Các tập hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được thường được gọi chung là đếm được.

2 Bước quy nạp: Chứng minh phép kéo theo P(n)  P(n + 1) là đúng với mọi số

nguyên dương n, trong đó người ta gọi P(n) là giả thiết quy nạp

Khi hoàn thành cả hai bước chúng ta đã chứng minh P(n) là đúng với mọi số nguyên dương, tức là đã chứng minh P(n) là đúng

Ví dụ: Bằng quy nạp toán học, hãy chứng minh rằng tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2

Giải: Gọi P(n) là mệnh đề “tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2” Đầu tiên ta cần làm bước cơ sở, tức là phải chỉ ra P(1) là đúng Sau đó phải chứng minh bước quy nạp, tức là cần chỉ ra P(n + 1) là đúng nếu giả sử P(n) là đúng

Bước cơ sở: P(1) hiển nhiên là đúng vì 1 = 12

Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng, tức là với mọi n nguyên dương lẻ ta có:

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2

Ta phải chỉ ra P(n + 1) là đúng, tức là: 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

Do giả thiết quy nạp ta suy ra: 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)] + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2

Đẳng thức này chứng tỏ P(n + 1) được suy ra từ P(n)

Vì P(1) là đúng và vì mệnh đề kéo theo P(n)  P(n + 1) là đúng với mọi n nguyên dương, nguyên lý quy nạp toán học chỉ ra rằng P(n) là đúng với mọi n nguyên dương

- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp

- Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm

Bài tiếp theo anh/ chị sẽ được học về Định thức và ma trận

V HỆ THỐNG BÀI TẬP _ CÓ LỜI GIẢI

Bµi 1: Cho hai tËp hîp X vµ Y

a b

  

 

Chiều : Lấy , , ta có,

x yABACxA

yBCx yAC

yCx yA BC

ABACA BC

x yACyC

x yABAC

x yABACxA

 

Từ (3) và (4), ta có điều phải chứng minh

Bài 3: Cho  là một họ các bộ phận của E Hãy xác định các quan hệ sau:



Bài 4: Cho f là một ánh xạ từ E vào F

Chứng minh rằng f là toàn ánh khi và chỉ khi đối với mỗi tập G và với các ánh xạ g và h

, ' Do giả thuyết không phải là toàn ánh



Nh-ng theo cách chọn gh, điều này mâu thuẫn với (1) Vậy f phải là toàn ánh

Bài 5: Cho f là một ánh xạ từ E vào F

Chứng minh rằng f là đơn ánh khi và chỉ khi với mỗi tập D và với các ánh xạ g và h từ D

vào E, ta có:

 1

fgf h gh

Cần   : Giả sử f là đơn ánh và fgf h Khi đó:

  

    

       

'"

c LËp luËn theo bao hµm hai chiÒu:

f xAf xBf xAB

vµ lµ 2 phÇn bÊt biÕn theo

Hái vµ cã bÊt biÕn theo ?

B y

0 1 2 x -1

-2

Bài 8: Xét hai tập có thứ tự E và F, trong đó thứ tự cho bởi  trên cả hai tập Hãy xác định

quan hệ R sau đây Xác định trên E F có phải là quan hệ thứ tự không?

 x y, R  ', '' hay ' và '

x y

Ta có x R y f x Tf y   

nh-ng f x  AX B,X nên hệ ph-ơng trình:  1AXy

 

  

Do đó:

f P  A P  B P  E

 y z, yz

VI CÂU HỎI TỰ ĐÁNH GIÁ

Cõu 1. Cho Ax f x 0 , Bx g x 0 , Cx f x g x    0 với y f x 

và yg x  xác định trên toàn bộ R Khi đó:

VII Đáp án câu hỏi

BÀI 2 (phần 1) ĐỊNH THỨC

Xin chào các anh/ chị học viên!

Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 2 môn Đại số

Định thức là khái niệm cơ bản của đại số, có nhiều ứng dụng về lý thuyết và thực hành Ta cần tìm hiểu khái niệm về định thức, các tính chất và cách tính định thức Khi tính định thức cấp cao, người ta khai triển định thức theo các phần tử của một hàng hoặc theo một cột phương pháp biến đổi sơ cấp để triển khai định thức …Những khái niệm và kết quả này rất cần thiết cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính và nghiên cứu không gian véc tơ

@ Nội dung của bài học gồm có các mục sau:

1 Khái niệm về định thức 2 Các tính chất của định thức 3 Cách triển khai định thức 4 Định thức cấp cao

Ngoài ra trong bài học còn có câu hỏi trắc nghiệm cuối bài và phần tóm tắt lại nội dung bài học

III NỘI DUNG PHẦN LÝ THUYẾT

Biểu thức  a b1 2 a b2 1 gọi là định thức cấp 2 ứng với bảng trên, ký hiệu bởi:  

1 22 122

a ba bab

Biểu thức  a b c1 2 3b c a1 2 3c a b1 2 3c b a1 2 3b a c1 2 3 a c b1 2 3 gọi là định thức cấp 3, ký hiệu bởi:

O O OO O OO O O

3 số mang dấu (+) theo đường chéo chính

3 số mang dấu (-) theo đường chéo phụ

a b cb c ac a bc b ab a ca c b

 

So sánh hai biểu thức (2.2) và (2.3), ta thấy   '

Chú thích: Do tính chất 1, từ nay về sau ta phát biểu các tính chất cho cột và cần phải hiểu nó cũng đúng đối với hàng

Tính chất 2.2: Khi ta đổi vị trí hai cột cho nhau thì định thức đổi dấu

Tớnh chất 2.3: Một định thức cú 2 cột giống nhau thỡ bằng 0

Chứng minh:

Thật vậy, gọi  là định thức trờn Nếu đổi hai cột giống nhau ấy cho nhau thỡ định thức đổi dấu theo tớnh chất 2.2 Mặt khỏc, vỡ hai cột ấy giống nhau nờn khi đổi chỳng cho nhau thỡ định thức khụng đổi Vậy:

, do đó 2 0 0       

Tớnh chất 2.4: Thừa số chung của cỏc phần tử của cựng một cột cú thể đưa ra ngoài dấu định thức

III.3 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC THEO CÁC PHẦN TỬ CỦA CÙNG MỘT CỘT (HAY MỘT HÀNG) ĐỊNH THỨC CON PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ

Biểu thức (2.2) trong định nghĩa định thức cấp ba có thể sắp xếp lại:

Chú thích: Trong công thức (2.7) giả sử a1a2 0 th×  a A3 3

Vì vậy, ta có thể áp dụng tính chất 2.6 để đưa một định thức cấp ba về dạng trong đó có hai phần tử của cùng một hàng hay một cột bằng 0, sau đó áp dụng tính chất trên, ta có thể tính định thức cấp ba khá nhanh



0 nÕu

hµng

hµng

Định thức d nhận được từ định thức d bằng cách thay các phần tử của hàng thứ j

bằng các phần tử tương ứng của hàng thứ i (các hàng khác giữ nguyên) Khai triển định thức d theo dòng thứ j, ta được vế trái của đẳng thức (2.8) Mặt khác, d0 vì định thức có hai hàng giống nhau Vậy công thức (2.8) đúng khi ij

IV TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Sau khi học xong bài này, yêu cầu Anh/chị cần nắm các vấn đề chính sau đây:

❖ Định thức là gồm các phần tử được sắp xếp thành hàng và cột, trong đó: - Số hàng phải bằng số cột

- Cấp của định thức = chính số hàng hay số cột ❖ Định thức có 5 tính chất cơ bản:

- Khi ta đổi Hàng i cho Cột i, đổi Cột j cho Hàng j thì định thức không đổi - Khi ta đổi vị trí hai cột (hàng) cho nhau thì định thức đổi dấu

- Một định thức có 2 cột (hàng) giống nhau thì bằng 0

- Thừa số chung của các phần tử cùng 1 hàng (cột) có thể đưa ra ngoài định thức - Nếu nhân mỗi phần tử của Cột (hàng) thứ i với cùng một số rồi cộng vào cột (hàng) thứ k thì định thức không đổi

= (b - c)(b - a)

= (b - c)(b - a)(a - c)

= (b - c)(b - a)(a - c)

01

= (b - c)(b - a)(a - c)(-1)

= (b - c)(b - a)(c - a)(c2+ a2+ ca - ca - cb - c2- a2- ab- ac) =(b - c)(a - b)(c - a)(cb + ab + ac)

b

với ε = cos

+ sin

TA CÓ:

=



1 cos cos 2 cos cos cos cos

cos coscos

 

1 2 cos cos cos cos cos cos 2 cos cos cos

    

abcdbadc

a b c d b a d cda dab cc db ab a

c db a c db a c da b c d b a d c b a c d b c da

* Nếu a0 vµ c0, phương trình có 2 nghiệm x 1 vµ x 1

LÊy cét 3 céng víi cét 21

LÊy cét 3 trõ ®i cét 11

SỬ DỤNG –ABCC1 + (AB+ BC+ CA)C2 + C3 đưa vào C3

Ä =

abbcca abcc

aaa ba caaabcbbb cb abbabcccc ac bccabc

aaabcbbcc

  

0 0 0 1

 

n

1 2 3 4 0 2 3 4 20 0 3 4 2

1.2.3.4 !0 0 0 4 2

an

Lấy hàng 2, 3, , lần lượt trừ đi hàng 1, ta được:

, , ta được:

axaxaxaxax axax

xax axax

 

20 0 0

0 0 0 0 0 0 1

Nh©n hµng 2 víi , nh©n hµng 3 víi , , nh©n hµng víi råi céng vµohµng 1, ta ®­îc:



 

   2

01

BÀI 3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Xin chào các anh/ chị học viên!

Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 3 môn Đại số.

Đầu tiên, ta xét việc giải hệ 2, 3 phương trình và 2, 3 ẩn để nắm chắc phương pháp giải theo quy tắc Cramer

Tiếp đó, ta sẽ xét phương pháp Gausse Sau đó, ta xét hệ phương trình thuần nhất Cuối cùng, ta mở rộng kết quả để xét phương trình tuyến tính tổng quát, cũng chia ra làm hai trường hợp: hệ phương trình thuần nhất và hệ phương trình có vế phải khác 0

7 Câu hỏi trắc nghiệm

8 Đáp án câu hỏi trắc nghiệm

Sau khi học xong chương này, anh/ chị sẽ:

- Nắm được phương pháp giải hệ 2, 3 phương trình và 2, 3 ẩn; hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gausse;

- Nắm được phương pháp giải hệ phương trình thuần nhất;

- Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát cho hai trường hợp: hệ phương trình thuần nhất và hệ phương trình có vế phải khác 0;

- Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính

II NỘI DUNG PHẦN LÝ THUYẾT

trong đó x,y là các ẩn số a a b b h h1, 2, ,1 2, ,1 2 là các số đã biết

Hệ (3.1) được gọi là không thuần nhất nếu ít nhất một trong hai số h h1, 2 khác 0; được gọi là thuần nhất nếu h1 h2 0

Ta gọi nghiệm của hệ (3.1) là cặp (x,y) thỏa mãn cả hai phương trình của hệ ấy Hệ được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, là không tương thích trong trường hợp trái lại

Ta cũng có các định nghĩa tương tự cho hệ (3.2) như đối với hệ (3.1)

3.2 Điều kiện tương thích phương pháp Cramer và phương pháp Gausse