Bài giảng toán cao cấp 1 bf10 3 Đại học mở hà nội

BÀI 1 TẬP HỢP – QUAN HỆ - ÁNH XẠ I. GIỚI THIỆU Xin chào các anh/ chị học viên! Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 1 môn Đại số tuyến tính. Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản của Toán học. Ta cần tìm hiểu khái niệm về tập hợp, sau đó là mối quan hệ giữa các tập hợp, các phép toán về tập hợp. Trong các quan hệ giữa các tập hợp thì quan hệ hai ngôi đóng vai trò quan trọng. Từ đó, ta sẽ xét các quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự. Sau đó, nội dung của chương này trình bày khái niệm về ánh xạ. Các ánh xạ cơ bản được xét là đơn ánh, song ánh và toàn ánh. Tiếp đó, xét ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ. Cuối chương xét lực lượng của tập hợp. Bài học này gồm có 07 nội dung: 1. Tập hợp 2. Quan hệ hai ngôi 3. Ánh xạ 4. Tóm lược 5. Bài tập 6. Câu hỏi trắc nghiệm 7. Đáp án câu hỏi trắc nghiệm II. MỤC TIÊU: Sau khi học xong Bài I, anh/ chị sẽ: - Hiểu về tập hợp và các phép toán về tập hợp. - Nắm được khái niệm về quan hệ giữa các tập hợp, đặc biệt là quan hệ hai ngôi và các quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự. - Khái niệm về ánh xạ với các ánh xạ cơ bản: đơn ánh, song ánh, toàn ánh. Tiếp đó là ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ. - Cuối cùng là lực lượng của tập hợp. - Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm

BÀI 1 TẬP HỢP – QUAN HỆ - ÁNH XẠ

Xin chào các anh/ chị học viên!

Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 1 môn Đại số tuyến tính.

Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản của Toán học Ta cần tìm hiểu khái niệm

về tập hợp, sau đó là mối quan hệ giữa các tập hợp, các phép toán về tập hợp

Trong các quan hệ giữa các tập hợp thì quan hệ hai ngôi đóng vai trò quan trọng Từ đó,

ta sẽ xét các quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự

Sau đó, nội dung của chương này trình bày khái niệm về ánh xạ Các ánh xạ cơ bản được xét là đơn ánh, song ánh và toàn ánh Tiếp đó, xét ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh

xạ Cuối chương xét lực lượng của tập hợp

Bài học này gồm có 07 nội dung:

6 Câu hỏi trắc nghiệm

7 Đáp án câu hỏi trắc nghiệm

- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp

- Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và

III NỘI DUNG PHẦN LÝ THUYẾT

- Nếu y không thuộc A, ta viết y  A

- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu  Ví dụ, tập các nghiệm thực của phương trình 2

1

x   là tập rỗng

Một số khái niệm và ký hiệu cần thiết

Mệnh đề toán học là một khẳng định toán học hoặc là đúng hoặc là sai (không có nhập nhằng), ký hiệu bởi các chữ in A,B,C,

Ví dụ:

812

: 

A là mệnh đề đúng

04

Đọc

bao hµm trong chøa

Tính chất 1.3 (Tính chất chung của  và )

:)(

)(

)(

)

1

( A BC  AB  AC tính chất phân phối đối với 

:)(

)(

)(

Hiệu của hai tập hợp

Định nghĩa 1.3: Hiệu của tập A và tập B là tập tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B (Hình 1.5)

Ký hiệu A B \    x A vµ x  B 

A

B

Hình 1.5

Tập bù

Khi A  E th× E \ A gọi là bù của A trong E, ký hiệu C AE hay A (Hình 1.6)

Ví dụ: Gọi A là tập nghiệm của phương trình 2  

A X





  2 Ai Aj   i  j

3.2 QUAN HỆ HAI NGễI

3.2.1 KHÁI NIỆM VỀ QUAN HỆ HAI NGễI

Giả sử cho tập X khỏc rỗng và một tớnh chất Rđược thỏa món với một số cặp phần tử

, nào đó của

a b X Khi đú, ta núi a có quan hệ R với b và viết là aR b, cũn R được gọi

là một quan hệ hai ngụi trong X

3.2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ TRONG MỘT TẬP HỢP

Quan hệ R trong tập X (tức R  X2) có thể có các tính chất sau:

3.2.3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Quan hệ R trong tập X gọi là quan hệ tương đương nếu nó có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.Trong trường hợp này, ta viết ~ thay v× a b a R b

Ví dụ: Quan hệ đồng dạng giữa các tam giác; quan hệ cùng tỉnh của một tập hợp dân một thành phố là các ví dụ trực quan của quan hệ tương đương

Các lớp tương đương: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trong X Với mỗi phần tử

Ta thu được định lý: Một quan hệ tương đương trong X xỏc định một phõn hoạch của X, mỗi phần tử của phõn hoạch này là một lớp tương đương

Họ cỏc lớp tương đương này được gọi là tập thương, ký hiệu X / ~

- Lớp tương đương ứng với b  0 là cỏc số chẵn

- Lớp tương đương ứng với b  1 là cỏc số lẻ

3.2.4 QUAN HỆ THỨ TỰ

Định nghĩa 1.5: Quan hệ R trong X gọi là quan hệ thứ tự (hay quan hệ thứ tự bộ phận) nếu cú tớnh phản đối xứng và bắc cầu

Nếu ngoài ra, với bất kỳ hai phần tử nào x  X y ,  X đều cú xR y hoặc

y R x thỡ quan hệ thứ tự gọi là thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tớnh)

Khi R là một quan hệ thứ tự trong X, ta núi X được xếp thứ tự bởi R thay vỡ xR y ta viết x  y và đọc " bé hơn " hoặc " đi trước "x y x y Ta viết y  x và đọc là

" lớn hơn " hoặc " đi sau " y x y x

Nếu xy và xy ta viết xyhay yx

Vớ dụ 1: Quan hệ < hoặc  thụng thường trong tập hợp cỏc số thực là cỏc quan hệ thứ tự toàn phần, R là tập được sắp thứ tự

Vớ dụ 2: Quan hệ " a b" tức là bội số của trong *a b N là quan hệ thứ tự bộ phận Tập X

trong đú đó xỏc định một quan hệ thứ tự gọi là tập được sắp xếp

Tập X gọi là miền xác định hay nguồn của ánh xạ, tập Y gọi là đích của ánh xạ

Phần tử y  Yứng với phần tử x  X bởi quy tắc đã cho gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y  f x  

Nói riêng, khi X và Y là các tập hợp số thì khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số Cho f X :  Y là một ánh xạ từ X vào Y

Cần để ý là 1 

,

f B B , có thể là tập rỗng

3.3.2 ĐƠN ÁNH – TOÀN ÁNH – SONG ÁNH

Trong số các ánh xạ, các ánh xạ dưới đây giữ vai trò quan trọng:

• Ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu f x  1  f x  2 th× x1  x2, nói cách khác hai phần tử khác nhau sẽ có ảnh khác nhau

• Ánh xạ f gọi là toàn ỏnh, nếu f X    Y, núi cỏch khỏc   y Y đều tồn tại

ỏnh xạ f X :  X cho bởi f x      x , x X gọi là ỏnh xạ đồng nhất trờn X, ký hiệu

là iX Dễ thấy, iX là song ỏnh Trường hợp X = R là tập mọi số thực thỡ iR chớnh là ỏnh xạ

3.3.3 ÁNH XẠ NGƯỢC (CỦA MỘT SONG ÁNH)

Giả sử f X :  Y là song ỏnh thỡ với bất kỳ y  Y đều tồn tại duy nhất một phần tử

  sao cho

Vậy, ỏnh xạ ngược của 1

f lại là ỏnh xạ f, vậy f và f1 là cặp song ỏnh ngược

Giả sử f X :  Y là một ỏnh xạ, A  X là tập con thực sự của X.

ỏnh xạ g A: Y xác định bởi g x  f x ,  gọi là thu hẹp của ỏnh xạ x A f trờn tập

A, ta ký hiệu g  fA

Nếu: X'X X, 'X thì ánh xạ 'X Y sao cho h x    f x ,  gọi là mở rộng của x X f

lờn tập

Thực chất, việc đánh số hay việc đếm số phần tử là sự thiết lập một song ánh f từ tập n

số tự nhiên En   1,2, , n  vào tập A Nhận xét đó giúp ta đưa vào khái niệm lực lượng của một tập hợp bất kỳ

Định nghĩa 1.7:

Cho hai tập hợp A và B khác rỗng (hữu hạn hoặc vô hạn) Nếu tồn tại một song ánh

:

f A  B thì ta nói A và B đồng lực lượng

Tập có cùng lực lượng với tập En gọi là tập hữu hạn

Rõ ràng, hai tập hữu hạn đồng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử.Vậy khái niệm “cùng lực lượng” là sự khái quát hóa khái niệm “cùng số lượng” thông thường

Nếu A và B đồng lực lượng, ta nói A tương đương với B và viết A  B

Tập có cùng lực lượng với tập số N gọi là tập vô hạn đếm được

Tập vô hạn không cùng lực lượng với tập N gọi là tập không đếm được

Người ta chứng minh được rằng tập các số thực R là tập không đếm được

Các tập hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được thường được gọi chung là đếm được

3.3.6 QUY NẠP TOÁN HỌC

Quy nạp toán học thường được sử dụng để chứng minh các mệnh đề dạng n P(n), trong đó

n là số nguyên dương tùy ý

Quá trình chứng minh P(n) là đúng với mọi số nguyên dương n bao gồm hai bước:

1 Bước cơ sở: Chỉ ra mệnh đề P(1) là đúng

2 Bước quy nạp: Chứng minh phép kéo theo P(n)  P(n + 1) là đúng với mọi số

nguyên dương n, trong đó người ta gọi P(n) là giả thiết quy nạp

Khi hoàn thành cả hai bước chúng ta đã chứng minh P(n) là đúng với mọi số nguyên dương, tức là đã chứng minh P(n) là đúng

Ví dụ: Bằng quy nạp toán học, hãy chứng minh rằng tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên

là n2

Giải: Gọi P(n) là mệnh đề “tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2” Đầu tiên ta cần làm bước cơ sở, tức là phải chỉ ra P(1) là đúng Sau đó phải chứng minh bước quy nạp, tức là cần chỉ ra P(n + 1) là đúng nếu giả sử P(n) là đúng

Bước cơ sở: P(1) hiển nhiên là đúng vì 1 = 12

Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng, tức là với mọi n nguyên dương lẻ ta có:

Đẳng thức này chứng tỏ P(n + 1) được suy ra từ P(n)

Vì P(1) là đúng và vì mệnh đề kéo theo P(n)  P(n + 1) là đúng với mọi n nguyên dương, nguyên lý quy nạp toán học chỉ ra rằng P(n) là đúng với mọi n nguyên dương

- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp

- Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm

Bài tiếp theo anh/ chị sẽ được học về Định thức và ma trận

V HỆ THỐNG BÀI TẬP _ CÓ LỜI GIẢI

Bµi 1: Cho hai tËp hîp X vµ Y

Từ (3) và (4), ta có điều phải chứng minh

Bài 3: Cho  là một họ các bộ phận của E Hãy xác định các quan hệ sau:

Bài 4: Cho f là một ánh xạ từ E vào F

Chứng minh rằng f là toàn ánh khi và chỉ khi đối với mỗi tập G và với các ánh xạ g và h

, ' Do giả thuyết không phải là toàn ánh

Bài 5: Cho f là một ánh xạ từ E vào F

Chứng minh rằng f là đơn ánh khi và chỉ khi với mỗi tập D và với các ánh xạ g và h từ D

c LËp luËn theo bao hµm hai chiÒu:

vµ lµ 2 phÇn bÊt biÕn theo

Hái vµ cã bÊt biÕn theo ?

-2

Bài 8 : Xét hai tập có thứ tự E và F, trong đó thứ tự cho bởi  trên cả hai tập Hãy xác định

quan hệ R sau đây Xác định trên E F  có phải là quan hệ thứ tự không?

VI CÂU HỎI TỰ ĐÁNH GIÁ

Cõu 1. Cho Ax f x 0 , Bx g x 0 , Cx f x g x    0 với y f x 

và y  g x   xác định trên toàn bộ R Khi đó:

BÀI 2 (phần 1) ĐỊNH THỨC

Xin chào các anh/ chị học viên!

Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 2 môn Đại số

Định thức là khái niệm cơ bản của đại số, có nhiều ứng dụng về lý thuyết và thực hành

Ta cần tìm hiểu khái niệm về định thức, các tính chất và cách tính định thức Khi tính định thức cấp cao, người ta khai triển định thức theo các phần tử của một hàng hoặc theo một cột phương pháp biến đổi sơ cấp để triển khai định thức …Những khái niệm và kết quả này rất cần thiết cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính và nghiên cứu không gian véc tơ

@ Nội dung của bài học gồm có các mục sau:

Sau khi học xong bài này, anh/ chị sẽ:

- Hiểu về khái niệm định thức,

III NỘI DUNG PHẦN LÝ THUYẾT

So sánh hai biểu thức (2.2) và (2.3), ta thấy    '

Chú thích: Do tính chất 1, từ nay về sau ta phát biểu các tính chất cho cột và cần phải hiểu nó cũng đúng đối với hàng

Tính chất 2.2: Khi ta đổi vị trí hai cột cho nhau thì định thức đổi dấu

Tính chất 2.3: Một định thức có 2 cột giống nhau thì bằng 0

Chứng minh:

Thật vậy, gọi  là định thức trên Nếu đổi hai cột giống nhau ấy cho nhau thì định thức đổi dấu theo tính chất 2.2 Mặt khác, vì hai cột ấy giống nhau nên khi đổi chúng cho nhau thì định thức không đổi Vậy:

III.3 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC THEO CÁC PHẦN TỬ CỦA CÙNG MỘT CỘT (HAY MỘT HÀNG) ĐỊNH THỨC CON PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ

Biểu thức (2.2) trong định nghĩa định thức cấp ba có thể sắp xếp lại:

Chú thích: Trong công thức (2.7) giả sử a1 a2  0 th×   a A3 3

Vì vậy, ta có thể áp dụng tính chất 2.6 để đưa một định thức cấp ba về dạng trong đó

có hai phần tử của cùng một hàng hay một cột bằng 0, sau đó áp dụng tính chất trên, ta có thể tính định thức cấp ba khá nhanh

hµng

Định thức d nhận được từ định thức d bằng cách thay các phần tử của hàng thứ j

bằng các phần tử tương ứng của hàng thứ i (các hàng khác giữ nguyên) Khai triển định thức d theo dòng thứ j, ta được vế trái của đẳng thức (2.8) Mặt khác, d  0 vì định thức

có hai hàng giống nhau Vậy công thức (2.8) đúng khi i  j

IV TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Sau khi học xong bài này, yêu cầu Anh/chị cần nắm các vấn đề chính sau đây:

❖ Định thức là gồm các phần tử được sắp xếp thành hàng và cột, trong đó:

- Số hàng phải bằng số cột

- Cấp của định thức = chính số hàng hay số cột

❖ Định thức có 5 tính chất cơ bản:

- Khi ta đổi Hàng i cho Cột i, đổi Cột j cho Hàng j thì định thức không đổi

- Khi ta đổi vị trí hai cột (hàng) cho nhau thì định thức đổi dấu

- Một định thức có 2 cột (hàng) giống nhau thì bằng 0

- Thừa số chung của các phần tử cùng 1 hàng (cột) có thể đưa ra ngoài định thức

- Nếu nhân mỗi phần tử của Cột (hàng) thứ i với cùng một số rồi cộng vào cột (hàng) thứ k thì định thức không đổi

1

a c ca a c

a b c

c b a

1

a c ca a c

c a a c

c b a

a c ca a c

c b a

a c b a

01

= (b - c)(b - a)(a - c)(-1)

ca a c a c

c b a

= (b - c)(b - a)(c - a)(c 2 + a 2 + ca - ca - cb - c 2 - a 2 - ab- ac)

=(b - c)(a - b)(c - a)(cb + ab + ac)

b

111

2

2 2

2

2 2

2 2

10

01

01

01

1 cos cos 2 cos cos cos cos

cos coscos

1 2 cos cos cos cos cos cos 2 cos cos cos

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2

3 3 3

1111

1

1

c c

b b

a a c b a c c

b b

a a

c c

abc ca bc ab b b b

abc ca bc ab a a a

1 1 1

n

n n n

n n

 

   

2 0 1

BÀI 3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Xin chào các anh/ chị học viên!

Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 3 môn Đại số

Đầu tiên, ta xét việc giải hệ 2, 3 phương trình và 2, 3 ẩn để nắm chắc phương pháp giải theo quy tắc Cramer

Tiếp đó, ta sẽ xét phương pháp Gausse Sau đó, ta xét hệ phương trình thuần nhất Cuối cùng, ta mở rộng kết quả để xét phương trình tuyến tính tổng quát, cũng chia ra làm hai trường hợp: hệ phương trình thuần nhất và hệ phương trình có vế phải khác 0

7 Câu hỏi trắc nghiệm

8 Đáp án câu hỏi trắc nghiệm

Sau khi học xong chương này, anh/ chị sẽ:

- Nắm được phương pháp giải hệ 2, 3 phương trình và 2, 3 ẩn; hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gausse;

- Nắm được phương pháp giải hệ phương trình thuần nhất;

- Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát cho hai trường hợp: hệ phương trình thuần nhất và hệ phương trình có vế phải khác 0;

- Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính

II NỘI DUNG PHẦN LÝ THUYẾT

trong đó x,y là các ẩn số a a b b h h1, 2, ,1 2, ,1 2 là các số đã biết

Hệ (3.1) được gọi là không thuần nhất nếu ít nhất một trong hai số h h1, 2 khác 0; được gọi là thuần nhất nếu h1  h2  0

Ta gọi nghiệm của hệ (3.1) là cặp (x,y) thỏa mãn cả hai phương trình của hệ ấy

Hệ được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, là không tương thích trong trường hợp trái lại

Ta cũng có các định nghĩa tương tự cho hệ (3.2) như đối với hệ (3.1)

3.2 Điều kiện tương thích phương pháp Cramer và phương pháp Gausse

Vậy:

231234622369323

x y z

Hệ tam giác (3.4) rất dễ giải: từ phương trình thứ 3, ta suy ra x3, thế x3 vào phương trình thứ 2, ta suy ra x2, thế x2 và x3 vào phương trình thứ nhất, ta suy ra x1

Sau đây, ta xét một ví dụ cụ thể rồi nêu ra các quy tắc thực hành

x x Lặp lại quá trình như trên

Trước hết, ta chia  b" cho hệ số của x2, tức là cho 7, ta được:

122

x x x

Trên đây, ta đã trình bày phương pháp Gausse một cách trình tự Trong thực hành, ta

có thể thực hiện biến đổi ma trận như sau:

x x x

1 Nếu   0 thì hệ (3.5) có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường

2 Nếu   0 thì do    1 2 0, hệ (3.5) có vô số nghiệm không tầm thường n

1 3 1 3

15

3.4 Hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát

3.4.1 Dạng của hệ phương trình đại số tuyến tính

Dạng tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính được viết như sau:

4.3

n

x x x x

4.4

m

b b b b

- Không thuần nhất nếu có ít nhất một b i  0;

- Tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trị của x x1, 2, ,x n

mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức;

- Không tương thích nếu không có một nghiệm nào;

- Xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất;

- Bất định nếu tồn tại quá một nghiệm

Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính thì trước hết phải xác định xem hệ đã cho tương thích hay không tương thích Nếu là hệ tương thích thì lại phải xem hệ là xác định hay bất định Nếu hệ phương trình là xác định thì ta đi tìm nghiệm duy nhất của nó

3.4.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính có thể xảy ra hai trường hợp:

Ta nhân hai vế của đẳng thức (4.2) với 1

A về bên trái, ta được: