Cơ kết cấu nâng cao - Bùi Công Thành.pdfCơ kết cấu nâng cao - Bùi Công Thành.pdfCơ kết cấu nâng cao - Bùi Công Thành.pdf
CÁC PHƯƠNG TRÌNH cơ BẢN CỦA cơ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
Lý thuyết ứng suât
a) Các thành phần ứng suất tại một điểm ■ tenxơ ứng suất
Xét một vật thể cân bằng (H.0.3) Dưới tác dụng của các ngoại lực ,P ; P7, các nội lực sẽ phát sinh giữa các phần của vật thể Để khảo sát cường độ của nội lực tại một điểm, tưởng tượng một mặt phăng K cắt ngang qua điểm này và chia vật thể làm hai phần (A) và (B) Xét sự cân bằng của một phần vật thể (A) chẳng hạn, dưới tác dụng của các ngoại lực tác dụng lên (A) và hệ nội lực phân bô' trên mặt cắt m.n diễn tả phán lực của vật liệu ở phần (B) tác dụng lên phần (A) Có thể giả thiết rằng hệ nội lực này phân bố liên tục trên mặt cất m.n Trong trường hợp tổng quát hệ nội lực không phân bô' đều trên toàn mặt cắt m.n
Xung quanh điểm khảo sát, ta xét diện tích A vô cùng bé và gọi A là hợp lực của hệ nội lực tác dụng lên AF Theo định nghĩa, người ta gọi Ặp ứng suất tai điểm khảo sát là giới han của — khi AF tiến tới zero.
Thông thường, phương của ứng suất này sẽ nghiêng với diện tích A mà trên đó nó tác dụng và ta có thể phân thành hai thành phần: một thành phần “ứng suất pháp” vuông góc với mặt cắt và “ứng suất tiếp” tác động trong mặt phẳng của A
Ta hãy xác định một hệ trục tọa độ Cxyz sao cho có một trục tọa độ hướng theo phương pháp tuyến của mặt cắt m.n và hai trục kia nằm trong mặt phẳng m.n Khi đó thành phần ứng suất tiếp còn
Hình 0.3 Sự cân bằng của vật thể được phân thành hai thành phần hướng theo hai trục tọa độ.
Tập hợp các thành phần ứng suâ't trên các mặt phẳng đi qua một điểm được gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó.
Tưởng tượng tách một phân tô' lập phương vô cùng bé tại điểm p bằng các mặt song song với các trục tọa độ (H.0.4) Trên các mặt của phân tố có phương pháp tuyến song song với các trục tọa độ, tồn tại các thành phần ứng suất pháp Ơ11, Ơ22, Ơ33 và các thành phần ứng suất tiếp ơij (i * j) với i, jbiến thiên từ 1 đến 3 Trong ký hiệu trên, chỉ sô' thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt phăng, còn chỉ sô' thứ hai chỉ phương của ứng suất tiếp Ví dụ như Ơ12 chỉ ứng suất tiếp tác động trên mặt phẳng có phương pháp tuyến theo phương XỊ và hướng theo trục Xỵ.
Quy ước dấu của các thành phần ứng suất:
- Úng suất pháp ơ n , Ơ22, Ơ33 dược xem là dương khi có chiều hướng gây kéo và được xem là âm khi gây nén.
- ứ ng suất tiếp trên một mặt bất kỳ có phương pháp tuyến hướng theo chiều dương của một trục tọa độ được xem là dương nếu nó hướng theo chiều dương của trục tọa độ tương ứng; còn trên mặt có pháp tuyến âm, ứng suất tiếp được xem là dương nếu hướng theo chiều âm của trục tọa độ tương ứng.
NHÁC LẠI PHẦN TOÁN HỌC MỞ ĐẨU-VỞI cơ HỌC VẬ T RẮN BIẾN DẠNG 15
Theo quy ước trên, các chiều dương của các thành phần ứng suất được cho trên H.0.4.
Hình 0.4 Quy ước dương của các thành phần ứng suất
Chín thành phần của các vectơ ứng suất trên ba mặt của phân tô’ là các thành phần của một tenxơ Đề-các hạng hai gọi là tenxơ ứng suất [ơjji có thể biểu diễn bằng các thành phần của một ma trận. Ơ11 Ơ12 Ơ13
Ta có thể chứng minh được rằng nếu biết các thành phần của [ơjj] tại một điểm, ta có thể tính được các thành phần ứng suất trên một mặt phăng bất kỳ đi ngang qua điểm đó.
Thật vậy, xét sự cân bằng của một phân tô' tứ diện OABC giới hạn bởi các mặt phẳng của hệ trục tọa độ và mặt phẳng nghiêng ABC cần xét Gọi diện tích của ABC là dS, diện tích của các mặt chiếu = dSnj đốí với mặt OCB, d S2 = dSn2 đôi với mặt OAC, dS3 dSn3 đôi với mặt OAB hay dSi = dS cos(n,ẻi) = (0.25) trong đó ra,- =cos(ra,ẽ,) là cosin chỉ phương của phương pháp tuyến n của m ặt ABC.
Viết phương trình cân bằng hình chiếu trên phương một ta được: tjdS = Ơ]J dSi + Ơ21 + dS3
Suy ra: tị = ƠỊỊtiỊ + Ơ2jn2 ơ3In3 tương tự t2 = &i2n i +