TẢI TRỌNG GIỚI HẠN CỦA CÁC KẾT CẤU KỸ THUẬT
6.3 LÝ THU YẾT PHÂN TÍCH TRựC TIẾP TẢI TRỌNG GIỚ! HẠN VÀ BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐNTOÁN TẤM CHỊU UỐN
6.3.2 Tâm hình tròn chịu tác dụng của tải đối xứng
a) ứng suất suy rộng và phương trình vi phân cân bằng
Iíình 6.23. ứ n g suất và ứng suất suy rộng trong p h ầ n tủ tấm tròn (a) ứ n g suất (b) ứ n g suất suy rộng (generalized stresses)
Xét một phần tử tấm tròn vi phân như trên H.6.23. Do tính chất đối xứng của kết câu và tải trọng, các ứng suất cắt Tr e = XZ0 = 0. Bởi vì tấm mỏng, tỉ sô" giữa bề dày tấm và bán kính R, h /R xem như rất nhỏ, riên các ứng suât ơz và Trz không đáng kể so với ơ r và Ơ0. Như th ế trạng thái ứng suất của phân bô" tấm tròn là trạng thái ứng suâ"t phẳng với ơr và Ơ0 là các ứng suất chính.
Các hợp lực của ứng suất trên các cạnh của phân tô" là mômen uôh hướng kính trên một đơn vị chiều dài, Mr, và mômen uôh hướng vòng trên một đơn vị chiều dài, M0.
rc/ 2 re¡2
Mr = c rzdz, Ma = Oazdz (6.148)
J-e/ 2 r w J-C/2 w Aír và M ớ là các ứng suất suy rộng của bài toán uôh tấm tròn.
Do tính chất đô"i xứng, chỉ có một thành phần lực cắt Q xuất hiện:
_ fứ/2
(6.149)
và thành phần lực cắt này không được xem là ứng suất suy rộng mà chỉ xem là phản lực cần thiết cho phương trình vi phân cân bằng:
d_
dR
d
dR
(.RQ) = -P R (RMr) = M e + RQ
(6.150)
R P ỉĩ
Nếu sử dung cỏc biến khụng thứ nguyờn: r ---ằ phương
L ơMp
trình vi phân cân bằng có thể đặt dưới dạng:
d rr
—(rmr) - m ữ= -a\ prdr (6.151)
dr Jo
Lưu ý là các phương trình vi phân cân băng kể trên chỉ có giá trị đối với tấm mỏng trong phạm vi lý thuyết biến dạng nhỏ sao cho thành phần ứng suất theo phương z có thể bỏ qua so với các ứng suất do uốn.
Tuy nhiên, tấm khổng được quá mỏng sao cho chuyển vị w xem như nhỏ so với bề dày. Khi đó tính chất tuyến tính của lý thuyết uốn vẫn còn được giữ.
b) Tiêu chuẩn chảy dẻo
Do tính chất đối xứng, các mômen Mr, và Me, là các mômen chính nên sử dụng tiêu chuẩn Tresca sẽ cho dạng toán học đơn giảm hơn các tiêu chuẩn khác và có dạng:
max( I Mrt , IMe 1, IMr - M tìl) = Mp hay dưới dạng không thứ nguyên
max( I mr i , I m.Q I, I m r - me I) = 1
c)Quan hệ độn g học
i _ d2w Ả 1 3ô) • _ A
a ỉr R dR
(6.152) (6.153)
(6.154)
trong đó <ị>r và <ị>e là những độ cong chính do tính đối xứng, hay theo
biến không thứ nguyên:
kr = 2eệr , K„ = 2eệe
ta có: í - t
U J
'2e Z
U J
1 dw
r dr (6.155)
L Ý TH U YẾT PHẢN TÍCH TRựC TIẾP TTGH CỦA CÁC K ẾT CẤU KỸ THUẬT 1 8 1
d) N ăn g lượng tiêu tá n dẻo trên m ột đơn vị diện tích
D =Mr<tv + Mg(ị>e
Theo tiêu chuẩn Tresca và định luật phôi hợp, phương trình trên được viết thành:
D = | A f p ( l ệ r l + l ộ 0 l + l ệ r - ộ e l ) ( 6 . 1 5 6 )
e) Các dường bất liên tục
Theo H.6.24, cung c biểu diễn đường bất liên tục về ứng suất. Sự cân bằng đòi hỏi Mr và Q phải liên tục qua biên giới chung c , nhưng Me
có thể bất liên tuc. Từ phương trình .vi phân cân bằng, ta suy ra ẺỀẼ2L
dR
H ìn h 6.24. Đường bất liên tục p h â n chia hai m iền ứng suất dẻo
Sự liên tục của tấm đòi hỏi vận tốc chuyển vị w(R) phải liên tục, nhưng các độ cong ộr và Ộ0 có thể bất liên tục, nghĩa là các độ dốc của
có thể bất liên tuc.
dR
Tương tự như các khớp dẻo trong dầm, trong trường hợp tấm tròn chịu uốn cũng có các đường tròn khớp dẻo (plastic hinge circle). Các
đường tròn khớp dẻo này là giới hạn của một hình vành khuyên hẹp
qua đó vân tốc của đô dốc biến đổi nhanh nhưng liên tuc, khi bề
dR
rộng của vành tiến tới zero. Ngoài ra tại vòng tròn khớp dẻo, đạo hàm
d2 '
bậc h a i ---- - , tức độ cong ộr , tiế n tới vô cực ở giới h ạ n .
d R 2
g) Ví dụ
• Tâm tròn tựa đơn chịu tác dụng của tải trọng tập trung
a) c)
Mr
Hình 6.25. Tấm tròn tựa đơn chịu tác dụng của tải tập trung a) Cơ cấu phá hủy; b) Đường cong tiêu chuẩn Tresca và luật phối hợp
c) Sự cân bằng của phân tố tròn
- Cận trên Một cách trực quan ta có thể chọn cơ cấu phá hủy như trên H.6.24 trên đó ộe >0 và ộr = 0. Vì Mr > 0 và Mq > 0, trường ứng suất kết hợp
với cơ câu này sẽ ở trên chế độ AB của đa giác Tresca. Đặc biệt, ở tâm của tấm tròn, các mômen uôn đạt tới trạng thái giới hạn, nghĩa là
Mr = Me = Mp tương ứng với điểm A của đa giác Tresca. Tại đây luật
chảy dẻo phổi hợp dẫn đến <ị)r = 0 và <ị>0 * 0. Nàng lượng chảy dẻo trên một đơn vị diện tích là:
Ồ = Ỉ M p(l<ị>el + l<t>el) = Mp<Ì>6
Với giả định ộr = 0, ta suy ra:
dR 2
Các điều kiện biên đối với w là:
R = a => w = 0
R =0
dw
ủ) = w„
Suy ra: w„
dR a
LÝ THUYẾT PHÁN TÍCH TRỰC TIẾP TTGH CỦA CÁC KẾT CẤU KỸ THUẬT 183
w = ìv 1- R
a
Phương trình này diễn tả cơ cấu phá hủy dạng cônic.
Công suất ngoại: WE =Pủ)0
Với w có đươc, ta tính đươc đô cong (ị>n = - 4:— - = — Từ đó tích
phân năng lượng chảy dẻo trên toàn diện tích tấm, ta được tổng công suất tiêu tán dẻo trên toàn tấm là:
Wj = [M À ữdA = \UM \ ^
• Jo ^
Cho Wị = WE ta được cận trên của tải trọng giới hạn:
p + = 2nMp
- Cận dưới
Xét phương trình cân bằng của phần tử tròn bán kính R theo
phương thẳng đứng:
RQ = - — p
2 n
Thay vào phương trình vi phân:
d(RMr)p
= RQ +■ Mn —— + Mn
dR * H 2n
Tích phân ta đươc: Mr = M„ — —■p c + —
F 1 2n R
Điều kiện rằng Mr có trị sô hữu hạn tại 0 dẫn đến Cị 0. Mặt khác, điều kiện trên biên tựa đơn phía ngoài đòi hỏi Mr = 0 tại
Do vậy ra suy ra cận dưới của tải trọng giới hạn là:
p~ = 2nMp
So sánh với cận trên, ta suy ra:
p + = p p exact = 271 Mp