Khi áp dụng định lý cận trên ta cần phải xác định công suất tiêu tán dẻo định nghĩa bởi:
D = ơỹ-èg. (4.27)
trong đó ơjj thỏa tiêu chuẩn chảy dẻo:
f(ơịj) = F(ơu) - k2 = 0 (4.28;
Chúng ta thấy rõ ràng công suất tiêu tán dẻo chỉ là một hàm
của tốc độ biến dạng dẻo tfj;
(i) tại phần lồi: è£ xác định ơc và
Di i(.) là duy nhất;
(ii) tại phần phang: igxác định
Ơ£ và D( ig) là duy nhất nhưng
không cho ơb; \ B
(iii) tại điểm góc: t pA xác định ƠA \ / f'B2
và D( èA) một cách duy nhất.
Trước tiên chúng ta giả đinh
Hình 4.2. Tôc độ tiêu năng lượng là tốc độ dạng èỊỊ
rằng hàm chảy dẻo /ĩỡịj) là lồi nghiêm ngặt (nghĩa là không có phần phẳng và điểm góc). Do vậy hàm này liên tục và vi phân được. Để tính D với ifj cho trước, chúng ta phải giải các phương trình:
df . „ „
và /ĩơij) = 0
2 = 0
aA /
í ° c\
ƠB2V'
f(ơ,|) = o
-ôIB1-
tf-= i
đối với các biến và ơjj.
(4.29)
125
Phép tính nghịch không thể thực hiện trong trường hợp tổng quát.
Một ví dụ về phép tính nghịch sè được nghiên cứu sau đây cho tiêu chuẩn chảy dẻo của von Mises, nhưng chắc chắn rằng ơ jj được xác định một cách duy nhất, cũng như công suất tiêu tán dẻo D.
Bây giờ chúng ta khảo sát phần phẳng của mặt phăng tiêu chuẩn (H.4.2). Rõ ràng từ hình vè, với è?j cho sẵn (¿3 trên hình) vuông góc
với phần phăng.của mặt tiêu chuẩn Ạơy) = 0, ứng suất ơ jj không duy nhất (ví dụ <5fí ,ƠB. ) nhưng D = Gịjèfj thì được xác định một cách duy
nhất.
Các phát biểu trên có thể nới rộng cho điểm góc của mặt tiêu chuẩn (điểm A trên hình vẽ), tại đó với cùng ứng suất ƠA có nhiều vận tốc phôi hợp.
4.5.1 N ăng lượng tiêu tán cho các vật liệu von M ises, Tresca và Moằhr - Coulomb
a) Tiêu chuẩn von Mises dược sử dụng: (4.28) có thể được viết
ffoìj) = F(ơịj) - kl = h „ s ,7 - = 0 (4.30)
trong đ(ó S,J là tenxơ độ lệch ứng suất; kv là ứng suất cắt giới hạn theo
von Mises.
Luật kết hợp được xác định:
. PF
é 5 = ĩ - r - (4.31)
dau
LÝ TH U YẾT PHÂN TÍCH Tfìực TIẾP TẢI TRỌNG GIỞI HẠN
sao cho., bằng định iý Euler về các hàm đồng nhât, ta được:
D = ơ, èf: = Ã.G ~ (4.32)
<*ư
bời vì F = - S j j S ị j thì đồng nhất bậc hai theo các thành phần ứng suất.
2
Vớỉ tiêu chuẩn này ta có:
(4.33)
è f â = x % s 0 (4.34)
Do vậy: (4.35)
Suy ra: (4,36)
Đô i với trường hợp biến dạng phẳng ¿3 = (), phương trình trên rút
thành:
D
(èfj) = kvẠ ( é ỉ Ý + 2(é£ = I ẽf I (4.37)
bởi vì các thành phần của tốc độ biến dạng thỏa điều kiện tín h không nén được è f+¿2 = 0.
Ghi chú rằng:
lỹLc' = lèí-è£l =2!èfl (4.38)
trong đó Ýpax là tốc độ cực đại của biến dạng cắt dẻo, do vậy biểu thức của công suâ't tiêu tán dẻo có dạng:
d(èfJ) = kvýpmẵ (4.39)
b) Tiêu chuẩn Tresca được sử dụ ng
Bằng cách xem xét một sô' diêm tiêu biểu trên m ặt tiêu chuẩn, cùng với dạng nới rộng của quy luật kết hợp và điều kiện không nén được, tốc độ tiêu tán năng lượng được cho bởi công thức:
D(Èfj) = 2kT max\ip (4.40)
trong đó max I Ếp I biểu thị trị sô' tuyệt đôi của thành phần tốc độ biến dạng dẻo lớn nhâ't, /ey. là ứng suâ't cắt giới hạn Tresca.
Trong trường hợp đặc biệt của biến dạng phăng, ¿2 = -£] và ¿3=0 cho nên
6_ ý P
max I ép I = 1
2 2
Như vậy, đôi với trường hợp biến dạng phảng, ta có:
D(£?j) = kTỴmax
(4.41)
(4.42)
c) Tiêu chuẩn ch ảy dẻo của Mohr-Coulomb được sử dụ n g
Như đà biết, công suât tiêu tán dẻo có thể được viết dưới dạmg sau:
D= wp = f; ỵ \è pc \ (4.43)
?7Ĩ
trong đó ẽp và éf lần lượt là các thành phần biến dạng dẻo nén và kéo;
f clà giới hạn chịu nén một phương và = fcl ft với f t là giới h ạn chịu kéo một phương và các đại lượng này liên hệ với độ dính, c, và góc nội ma sát, (ị), bằng các phương trình sau:
„ 2c cosộ - x
fc = - = 2c tg
1 - sinty
K (ị)
4 2 (4.44a)
LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH TRỰC TIẾP TẢI TRỌNG Glởl HẠN 127
r, _ 2 c c o scỊ)
f t = , - — — — = 2 c c o í g
11 + sinệ
Tí ộ
4 2
m = — + Z.n ố
4 2
(4.44b)
(4.45)
Dùng các biểu thức này chúng ta có thế’ viết lại biểu thức (4.43) theo dạng sau:
D = 2c tg
hay D = 2c cotgằÍHèE*
(4.46)
(4.47)
Phương trình (4.46) nói lên rằng công suất tiêu tán dẻo trên một
đơn vị thể tích bằng 2c tg — + — lần tổng các giá tri tuyệt đối của các
l 4 2 tốc độ biến dạng dẻo nén. Như chúng ta đã biết trong các chương trước, công thức (4.43) có giá trị cho mọi trường hợp trạng thái ứng suất, cũng như các công thức (4.46), (4.47). Ta có thể chứng minh rằng công suất tiêu tán năng lượng có dạng như sau:
D = c cot (ẽf +¿2 + £3) (4.48)
Thực vậy, biểu thức (4.48) có thể thấy dễ dàng nếu ta xét ngọn vectư ở tại đỉnh của hình tháp Mohr-Coulomb, tại đó:
(4.49) (4.50) ƠJ- = <32-= ơa-= c cot <t>
và bang cách sử dụng định nghĩa của công suất tiêu tán dẻo
D = ơjèf +ơ2è ị + < yỊ_
ta tìm lại được công thức (4.49).
Trường hợp đặc biệt của trạng thái biến dạng phẳng, một trong các thành phần vận tốc biến dạng sẽ triệt tiêu, và hai thành phần còn lại có quan hệ:
7t <ị) ^ éf = mI é£ I = IẺ£ I ---Ị-
4 . 2 (4.51)
có kể đến hệ thức sau đây giữa các thành phần vận tốc biến dạng kéo và nén:
- = m
sao cho vận tố"c cực đại của biến dạng cắt dẻo cho bởi hệ thức:
(4.52)
Ỹmax = |ẽ? I + è? = lê?
cos — 4* —71 í>
4 2
(4.53)
Như vậy trong trường hợp biến dạng phăng, công thức (4.47) trở thành:
D = c cos <t> ỳPax (4.54)
4.5.2 Năng lượng tiêu tán tại mặt bất liên tục
r ________ _ / Ị d 7/777/777/
/ỵ/ cứng ^
7777777777,
ị cứng ị
<///////// ỵ
d -> 0
a) b)
Hình 4.3. Lớp chuyển mỏng
Trong phương pháp áp dụng cận trên ta thường gặp các trường hợp xuất hiện trường vận tốc bất liên tục. Loại bất liên tục khảo sát ở đây chỉ là sự lý tưởng hóa của một sự phân bô' liên tục, trong đó vận tốc thay đổi rất nhanh qua một lớp chuyển tiếp mỏng. Dọc theo những lớp như thế, vật châ't trượt lẫn nhau giữa hai khôi xem như cứng tuyệt dôi và điều này không gây ra lỗ hống trong vật liệu. Để thuận tiện cho việc biện luận, gọi d là bề rộng của dải trượt mà sự chảy dẻo xảy ra và trường tốc độ chuyển vị sao cho (sau đó cho d 0):
ủn- 0 (không có sự mất liên tục của vật chất) (4.55)
ủs - — 11 (5ú là hằng số trên mỗi dải) (4.56)
d.
Suy ra trường vận tốc biến dạng:
è„ =z (4.57)
Ý,ns = 2è =ns dủn dùc
+ ỗủ
d (4.58)
ds dn
\ /
Tốc độ tiêu tán năng lượng tại lớp chuyển tiếp mỏng trên một đơn vị thể tích được tính bởi:
LÝ THUYẾT PHÁN TÍCH TRỰC TIẾP TẢI TRỌNG GIỞI HẠN 129
D = kj2 jẽ~ ĩ~ j =kVẻL+4ỉ>ủ
d (4.59)
trong đó k v là giới hạn cắt bát diện theo tiêu chuẩn von Mises. Tô"c độ tiêu tán năng lượng trên một đơn vị diện tích vùng bất liên tục về giá trị bằng tích sô" của ứng suất chảy dẻo chịu cắt thuần túy nhân với vận tô"c tương đôi của hai khô"i cứng.