2.3 PHÂN TÍCH sự CHẢY DẺO CỦA DẦM CHỊU UỐN
2.3.2 Khảo sát các trạng thái có thể xảy ra
a) Trường hợp tiế t diện chữ nhật
Xét một dầm có tiết diện đều và chiều cao h, chịu uốn thuần túy (H.2.7).
Hình 2.7:Dầm chịu uốn thuần túy Hình 2.8: Quá phân bố ứng suất
Tăng dần M, ta có thể nhận thấy dầm trải qua các trạng thái sau:
- Trạng thái đàn hồi
Theo SBVL, ứng suất trên mặt cắt ngang của một thanh chịu uốn thuần túy cho bởi công thức:
ÁP DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BD DẺO TOÀN PHẦN THEO pp TỪNG BƯỚC 77
M .
° ' J . y (2.59)
trong đó: M là mômen uốn trên mặt cắt ngang, J x là mômen quán tính chính trung tâm của tiết diện.
ưng suất cực đại xảy ra tại các thớ biên và có trị sô":
c . max M
w (2.60)
(2.61) với w = mômen chông uô"n cùa tiết diện khảo sát
{hỉ 2)
- Giới hạn đàn hồi
ưng suât cực đại ơmax đạt đến trị sô" của ứng suât chảy dẻo ơp khi
M đạt đến trị số M sao cho:
Mc=ap w (2.62)
M . được gọi là mômen giới hạn đàn hồi.
Theo giả thuyết Bernọulli về mặt cắt ngang phăng, ta có:
2 £...
£z = xy; x = —/ỉp -
ơ trạng thái này, £max = £p, với
(2.63)
ơp = E e pvà X -ằ Xe =2ep (±
h (*) (2.64)
- Trạng thái dàn dẻo
Nêu tiếp tục tăng Af, vùng hóa dẻo gia tăng và tiến dần về phía trục trung hòa (trục này vẫn nằm ở nửa chiều cao bởi vì ta luôn luôn có:
N - |ơ,(£F = 0 ). Tiết diện chỉ còn tồn tại một phần có chiều cao '¡ỶI là
nằm trong miền đàn hồi. Ta gọi phần còn nằm trong phạm vi đàn hồi này là 4inhân đàn hồi”.
Độ cong đàn dẻo Xep (> Xe ) luôn cô" định bởi quan hệ đàn hồi (*)
nhưng với chiều cao:
h ’ =ĩ]h (2.65)
Do vậy: xCp = - ^ - (2.66)
ĩ)/i
Suy ra: r| =_ Xe
Xep
• Đô"i với tiết diện chữ nhật:
(2.67)
M = ị o zydF =2 b
ịịA 2 Ơ - /
J0 ĩ| h
h2
dy + J ơpyđy n*2
Khai triển và rút gọn ta được:
M = (3 - ^ 2) Ý ^ = —h ~ p - ° " w
Suy ra: _M = 3
Me 2 1 -1
(
X e
2"
3yXep J
(2.68)
(2.69)
(2.70)
- Giới hạn dẻo
Tiếp tục tăng tải trọng, trạng thái giới hạn xảy ra khi toàn bộ tiết diện bị chảy dẻo (H.2.8d); khi đó biến dạng của dầm tăng lèn mãi mà không cần tăng mômen uốh. Tại tiết diện đang khảo sát, hình thành một khớp dẻo truyền một mômen uốn bằng mômen giới hạn được
định như sau: ,
Mp =Ị FOpydF = op.2.ịF/2ydF = c p.2(2.71).
trong đó Smax là mômen tĩnh của nửa diện tích tiết diện đôi với trục
trung hòa.
Ta còn gọi 2.Smax là mômen chông uốn dẻo z hay môđun dẻo và ta
có thể viết:
Mp =apZ (2.72)
nghĩa là mômen chống uốn dẻo (hay môđun uốn dẻo) bằng hai lần
mômen tĩnh của — tiết diện đối với trục đối xứng nằm ngang.
2
Ta nhận thây một khái niệm mới về hệ số dạng a:
M 7.
cx = —^ = — (2.73)
Mew
biểu diễn độ lợi của việc tính toán theo dẻo so với tính toán theo đàn hồi.
• Đôi với tiết diện chữ nhật ta có:
z = — ; w = — => a= (2.74)
4 6
Điều này có nghĩa là khi tính dầm có tiết diện chữ nhật chịu uôn theo trạng thái giới hạn, ta được phép tăng khả năng chịu mômen uôn
ÁP DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BD DẺO TOÀN PHẦN THEO pp TỪNG BƯỚC 79
trong dầm lên 50% so với khi tính dầm theo ứng suất cho phép, tức là khi xem dầm mâ't khả năng chịu lực ngay từ khi mới có ứng suất ở thớ biên đạt tới giới hạn chảy.
• Đối với các tiết diện chữ I: a = 1,15 -ỉ- 1,17 (2.75)
• Đối với các tiết diện hình tròn: a = 1,7 (2.76) Trong trường hợp tổng quát ta có thể viết:
M _ M P
M„ “ M. 1 - g 'te A
X
= a 1 - ẩ Xe.
X
(2.77)
b) Trường hợp tiế t diện ch ữ I - Khi cánh vẫn còn trong giai đoạn đàn hồi
M _ x 1 b h 2 ' bh2 \ a ( Ý
2k
M e Xe 1 —
6W
1
4 w 1 3 , X ,
- Khi cánh đạt tới trạng thái dẻo M = a - a h 2 ( Xe '
12 w X
(2.78)
(2.79)
B
D
Hình
Uốn dẻo lý tưởng:
OCD: đường cong thực OAB: đường cong lý tưởng đàn hồi - dẻo 0 ’AB: đường cong cứng - dẻo
Trên H.2.11, ta có các đường cong biểu thị quan hệ giữa mômen uốn và độ cong ứng với các ứng xử khác nhau của vật liệu, trong đó ta sử dụng các biến tổng quát như sau:
- ứng suất tổng quát hóa M;
- biến dạng tổng quát hóa X- Trong trường hợp uốn dẻo lý tưởng, ta đã thay thê đường cong thực OCD bằng đường gãy khúc OAB. Do vậy, chúng ta đã sử dụng mô hình ứng xử đàn hồi dẻo lý tưởng có thể được mô tả như sau:
d ỵ = d x c +dx, , . d x c = dM
d x p * 0
d x = 0
M M.
M
= 1 và d-X > 0 (2.80)
M, < 1 hay M
M . =1 uà dx0
*Khi M đạt tới trị sô' Mp X trở nên bất kỳ và tại tiết diện khảo sát ,
xuất hiện khớp dẻo.
Nếu Xe ô Xp ằ ta cú ứng xử cứng - dẻo lý tưởng (0 ’AB) của vật liệu.
Khớp dẻo và năng lượng tiêu tán dẻo
Giả sử ta xét trường hợp dầm tiết diện chữ I tựa đơn, chịu tác dụng của tải trọng tập trung p ở giữa dầm (H.2.12a).
Như chúng ta biết, đây là trường hợp chịu uôh ngang phẳng nên ngoài ứng suât do mômen gây ra, còn có thành phần ứng suât tiếp do lực cắt và bài toán sẽ phức tạp hơn. Thực tế các ứng suât pháp của dầm
ÁP DỤNG CỦA L Ý THUYẾT BD DẺO TOÀN PHẦN THEO pp TỪNG BƯỚC 81
không thể hoàn toàn đạt tới trạng thái chảy dẻo như trường hợp chịu uốn thuần túy phăng, do vậy trên tiết diện luôn tồn tại một bộ phận vật liệu còn nằm trong giới hạn đàn hồi. Do đó, sự phân bố của ứng suất pháp trong dầm chịu uốn ngang phẳng có dạng H.2.12a.
Đôi với dầm chữ I ta có:
M - M e
AL = ■ p — c L = 0.123L; a = 1,14 (2.81)
Me
Bởi vỡ a -ằ °° tại E, nú tương tự như hàm Dirac:
2 2
bởi vì: A<$ = M pị^ 2_ Aỵdx =>(Ị> = | ỳdx (2.83)
T có giá trị hữu hạn khi Àx -> oo.
Tất cả xảy ra như chúng ta có các tiết diện rời rạc. Với n khớp dẻo ta có:
(2.84)
a) Dầm chữ 1 tựa đơn
b) Biểu đố mỏmen uốn
c) Biểu đố độ cong
d) Trạng thái dàn - dẻo
e) Trạng thái lý tưởng hóa
Hình 2.12. Dầm chữ. I chịu uốn ngang plĩẳng Wp = L M P i ỹ i
¡-'i
A dcp
dx dx = M, (2.82)
c) Dầm có 'tiết diện bất kỳ
Lý thuyết trên đây có thể áp dụng cho một dầm có tiết diện bất kỳ.
Xét trường hợp dầm có một trục đối xứng thẳng đứng, và chịu uốn trong mặt phẳng này, giả sử tiết diện đã hoàn toàn
hóa dẻo (H.2.13).
c
Bởi vì hợp lực của các nội lực phải bằng không, trục trung hòa n-n phải
chia tiết diện thành hai
phần có diện tích bằng nhau sao cho hợp các lực nén bằng với hợp các
ơ F
lực kéo và có trị sô" —— . Các hợp lực này đặt tại trọng tâm mỗi phần
2
Gỵ và G2,vlần lượt cách trục trung hòa dẻo n-n các khoảng cách yGÌ và
yG9, sao cho mômen uốn nội lực cân bằng với mômen ngoại lực Mp có
giá trị.
GnF
diện dầm có một trục đối xứng
Mp = +JYj2)
Môđun uốh dẻo
M. F ,
z = — = Ê ( * ằ + *02) ơp 2
(2.85)
(2.86)
Ví dụ: Tính môđun uô’n dẻo, z
mômen chông uôn đàn hồi w và
hệ số dạng cho dầm tiết diện chữ T như trên H.2.14
Giải
Diện tích tiết diện chữ T trên hình 2.14 là
F = 15 X 1 + 14 X 1 = 29 cm2
B(ằi vì F/2 nhỏ hơn diện tích
1 5 c m
1cm
14cm
trục trung hòa dẻo
n v P
r—*r
cm Hình 2.14
của phần cánh, trục trung hòa dẻo nằm ở phần cánh và khoảng cách yh
từ trục trung hòa dẻo đến đỉnh tiết diện cho bởi:
ÁP DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BD DẺO TOÀN PHẦN THEO pp TỪNG BƯỚC 83
từ đó suy ra
, _ F _ 29 , . _ 2 15yn = — = — = 14,5cm
p2 2
yp = 0,967cm Vậy ta có
z = (15x0,967) — +(15x0,033) +(14xl)x7,033 = 105,5c/n3
V 2 J l 2 ;
Khoảng cách yc từ trục trung hòa đàn hồi đến đỉnh tiết diện có
được như sau
(15xl)x0,5 + (14xl)x8 y„ = --- ---— i--- — = 4,121
e29 Do vậy ta có
I = — x l5 x ( l f + (15xl)x(3,62lf+ — xlx(14)3 + (14xl)x(3,879)2 =637cm4
12 12
w= — = — = 58,6cm3
c 10,879
_ z _ 105,5 fi
w 58,6