1.2 LÝ THUYẾT CHẢY DẺO (THE PLASTIC FLOW THEORY)
1.2.3 Tiêu chuẩn chảy dẻo
a) Tổng q u á t
Tiêu chuẩn chảy dẻo xác định các giới hạn đàn hồi của vật liệu dưới tác dụng của trạng thái ứng suất phức tạp. Như chúng ta đã biết, giới hạn đàn hồi trong trường hợp kéo đơn là ơp, trong khi giới hạn đàn hồi khi cắt đơn là Tp . Thông thường, giới hạn đàn hồi hay ứng suất chảy dẻo (yield stress) là hàm của ứng suât, ơịj. Do vậy, tiêu chuẩn
chảy dẻo có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:
/‘(ơơ,Ẳ1,Ã2,...) = 0 (1.7)
trong dó kị.k2'" là các hằng sô" của vật liệu như Gp,Tp và được xác định
bàng thí nghiệm.
Vế thứ nhất của (1.7) được gọi là hàm ngưỡng chảy dẻo (yield function):
f = f i e ^ k ị) (1.8)
và là một hàm tông quát theo ứng sụất. Mặt chảy dẻo f = 0 biểu diễn bởi một siêu mặt trong không gian ứng suất 9 chiều, ơ ị j.
Đôi với vật liệu đẳng hướng, phương của các ứng suất chính thì không tùy thuộc vào vật liệu và các ứng suất chính đủ đê biểu diền trạng thái duy nhất của ứng suất. Do vậy, tiêu chuẩn chảy dẻo có thê biếu diễn theo các ứng suất chính:
/*(a1,ơ9,ơ3.A1 = 0 (1.9)
Đòi với vật liệu dẻo lý tưởng, hàm ngưỡng chảy dẻo thì độc lập với biến dạng dẻo và do tính đẳng hướng vật lý, nó chỉ tùv thuộc vào các bất biến của trường ứng suất, nghĩa là:
f = f{ J ỉ„.Jĩa.Jạa) (1.10)
trong đó c/lơ, J2ơ’^3ơ là các bất biến cùa tenxơ ứng suất.
J lơ= ơ , (1.11)
'72ơ -| (ơ, : / ơjt, (1.12)
J 3o = g ^ p q r ^ i p O j q ^ k r (1-13)
Mặt khác, thí nghiệm chứng tỏ rằng, dôi với một sô' các vật liệu như thép,..., gia số ứng suâ't thủy tĩnh không gây ra biến dạng dẻo. Do
vậy, hàm ngưỡng chảy dẻo chi tùy thuộc vào các bất biến cùa tenxơ độ lệch ứng suất, nghĩa là:
/* = / V 2s^ 3 S) (1.14) trong đó J 2s và Jzs lần lượt là các bất biến thứ hai và thứ ba của tenxơ độ lệch ứng suất, với:
, 1
^2s -2 (1.15)s'js'j
J1
" 3 s ~ 2 sijsij (1.16)
với Sỹ là tenxơ độ lệch ứng suất định bởi:
sij =ơỳ ~^uơkk /3 (1.17)
Hàm ngưỡng chảy dẻo này có dạng của một hình trụ hay hình lăng trụ có trục nghiêng đều với ba trục của không gian ứng suất chính.
Ghi chú: Mỗi điểm trong không gian ứng suất chính Haigh-
Westergaard tương ứng với một trạng thái ứng suất và vectơ vị trí của điểm này P(G1.Gn ,Gm )có thể phân tích thành một thành phần OA dọc
theo đường OZ hợp với các trục tọa độ những góc bằng nhau và một thành phần OB trong mặt: phăng vuông góc với OZ (gọi là mặt phăng
71) đi qua góc tọa độ.
Hình 1.8. Không gian ứng suất Haigh-Westergaard
Thành phần dọc theo OZ có: ƠỊ = ƠJJ = ƠỊII biểu diễn ứng suểt thủy tĩnh, do vậy thánh phần trên mặt phẳng n biểu diễn độ lệch ứng suất
của trạng thái ứng suất. Chúng ta dễ dàng thấy phương trình cùa mặt phăng n có dạng
ƠỊ+Ơn+Ơni =0 (1.18)
NHỮNG KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT VẺ LÝ THUYẾT DẺO 39
Đôi với vật liệu thép, là loại vật liệu chuẩn, hai tiêu chuẩn chảy dẻo thường dùng là tiêu chuẩn của Tresca - St Venant và tiêu chuẩn von Mises. Còn đối với đất, là loại vật liệu không chuẩn, người ta thường dùng các tiêu chuẩn Mohr-Coulomb và tiêu chuẩn Drucker-Pracger.
b) Tiêu chuẩn T resca -St Venant
Tiêu chuẩn này có thể được phát biểu như sau:
“Sự chảy dẻo xảy ra khi ứng suất cắt cực đại đạt tới giá trị ứng suất cắt k-p , bằng phân nửa của ứng suất giới hạn chịu kéo”.
max[l ũ Ị I,! ^^ 0” (1.19)
hoặc dưới dạng đôi xứng:
f — [( ơ/ — ơ// Ý ~ 4kị][(ơ/J — Ơ Ị Ị Ị ) 4Ãị.] = 0 (1.20) trong đó kp là ứng suất giới hạn cắt đơn của Tresca, với:
k r = ^ - (1.21)
2
Trong không gian của các ứng suất chính, mặt chảy dẻo của Tresca là một hình lăng trụ có trục sao cho ƠJ = ƠJJ = Ơ J Ị J. Tiết diện của lăng
trụ này là một hình bát giác đều cạnh nội tiếp trong vòng tròn bán kính R = J2kT(H.1.9).
Hình 1.9. Tiêu chuẩn chảy dẻo của Tresca - Saint Venant
Ta có thể biểu diễn mặt tiêu chuẩn theo các bất biến J 2s ,Jị,s như sau:
f ( J 2s,J 3s) = 4 J l - 2 7 J l - 3 6 k ị J l + 9 6 k ị J 2s-6 4 k ị= 0 (1.22) Trong không gian các ứng suâ't, giao tuyến của mặt tiêu chuẩn Tresca và mặt phẳng ơ v -Txycó dạng hình ellipse:
(1.23)
ơ x/ Gp
Hình 1.10. Các tiều chuẩn chảy Hình 1.11. Giao tuyến của mặt phảng dẻo trong mặt pliẳng ơx ~ Txy vói mặt phảng tiêu chuân
c) Tiêu chuẩn von Mises
Mặc dù tiêu chuẩn ứng suât tiếp cực đại đơn' giản nhưng không phản ảnh được ảnh hưởng của ứng suất chính trung gian. Tiêu chuẩn von Mises ra đời từ 1913 nhằm cải tiến tiêu chuẩn trên và được phát biểu như sau:
“Sự chảy dẻo xảy ra khi ứng suất tiếp bát diện đạt tới giá trị ứng suất cắt giới hạn kv bằng 1 / yj3 của ứng suất giới hạn chịu kéo”.
Tiêu chuẩn chảy dẻo của von Mises có thể được viết:
f = J 2s- k t = 0 mg đó kv ứng suất cắt giới hạn cho bởi:
k = ?JL v ~ ả
(1.24)
(1.25)
Theo các ứng suất chính, tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises có dạng:
(c/ - ơ í, )2+(ơ,/ - ơffl)2 + ( % - ơ,)2=6k* (1.26) Trong không gian ứng suất chính, (1.26) biểu diễn một hình trụ tròn có trục trùng với trục của lăng trụ Tresca (H .l.ll).
NHỮNG KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT THUYẾT DẺO 41
Tiêu chuẩn von Mises đôi với trạng thái ứng suất phẳng biểu diễn bởi giao tuyến của khối lăng trụ với mặt phẳng tọa độ Ơ3 = 0, nghỉa là:
(1.27)
<*/+<*//-ơ /ơ // =<*?, đó chính là hình ellipse Iren (H .l.ll)
Hình 1.12. Tiêu chuẩn chảy dẻo của von Mises
Giao tuyến của mặt tiêu chuẩn von Mises trong không gian ứng suất và mặt phẳng cx -X cũng là ellipse cho bới:
G2x.+ 3 x ị = o 2p (1.28)
viết dưới clạng chuẩn hóa:
f = <t>-1 <0 với 1 /3 1 <ì> = — J ? s „6„ = — JJ,As„) (1,28a)
, —s, — ---
V V 2 ° K
d) Tiêu chuẩn Mohr-Coulomb
Viết dưới dạng chuẩn hóa ta có:
/• = 0 - 1 < 1 (1.29)
0 = (ƠJ - ơ7/)/2ccosT + (ơy + ơ7// ìtgV/2c (1.30) với ơ/ >Ojj >ơ//7; c - hệ sô dính của đất; T - góc ma sát nội.
Trong không gian ứng suât chính, mặt tiêu chuẩn Mohr-Coulomb được biểu diễn bởi hình tháp trên H.1.13.
e) Tiêu chuẩn D rucker-P rager
Nếu tiêu chuẩn Mohr-Coulomb có thể được xem là sự tổng quát hóa của tiêu chuẩn Tresca có xét đến ảnh hưởng của ứng suất thủy tĩnh, thì tiêu chuẩn Drucker-Prager là một sự biến đổi đơn giản của tiêu chuẩn von Mises trong đó có thêm vào một S() hạng tính đến ảnh hưởng của
ứng suất thủy tĩnh. Do vậy tiêu chuẩn này có dạng:
lơ ( 1 . 3 1 )
. ■ . , , eccos'P 2sin4/ - -
trong đó: ---- ; —--- (1.32)
V3(3±sinT) V3(3±sin'l')
dâu + hay dâu - đế chỉ lần lượt việc chọn hình cône nội tiếp hay ngoại tiếp với hình tháp Mohr-Coulomb.
Trong không gian ứng suất chính, tiêu chuẩn Drucker-Prager biểu diễn bởi hình cône (H.1.13).
Hình 1.13.Tiêu chuẩn Druckcr-Pragcr và Mohr-Coulomb trong không gian
ứng suất. chính(a); trong phẳng độ (b)
Ví dụ: so sánh giữa tiêu chuẩn Tresca và von Mises
Khi tải trọng tác dụng lên một thanh đạt tới giá trị làm việc, các thành phần ứng suất khác không tại điểm nguy hiểm của thanh khi sự chảy bắt đầu là ơxx = 100 MPa, ơyy =-14.0 MPa và ơXy =50.0 MPa . Các
quan hệ lực - ứng suất thì tuyến tính sao cho hệ số an toàn tải trọng và ứng suất là như nhau. Vật liệu của thanh có ứng suất chảy dẻo là
Y = 300 MPa.
(a) Giả sử vật liệu tuân theo luật chảy dẻo Tresca, xác định hệ số an toàn đốĩ với dẻo
(b) Giả sử vật liệu tuân theo luật chảy dẻo von Mises, xác định hệ số an toàn đối với dẻo
(c) Xác định xem tiêu chuẩn nào trong hai tiêu chuẩn trên có độ dự phòng cao
43
(d) Minh họa trạng thái ứng suất và hệ sô' an toàn trong mặt phăng Jĩ đôi với vật liệu
Lời giải (à) Tiêu chuẩn Tresca
Tiêu chuẩn này xác định bởi phương trình:
NHỮNG KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT VẾ LÝ THUYẾT DẺO
trong đó ứng suất hiệu dụng
- ^max với: T I11DX = ơmax~ ° min2
Để xác định ơmax và ơmjn , chúng ta tính các ứng suất chính tại điểm khảo sát (ƠJ,Ơ2,Ơ3). Với các dữ kiệp đã cho, phương trình xác định các ứng suâ't chính có dạng:
ơ3 - 86ơ2 - 3900o = 0 Nghiệm sô" của phương trình đã cho: (118,8; 0; - 32,8-). Do vậy Gmax
= 118,8 MPa và ơmin =-32,8 MPa. Khi tải trọng tăng lên bởi hệ sô" an
toàn n, các ứng suất chính cũng tăng lên n lần. Kết quả là:
Tmax = y /2 = 300/2 = /i(Gmax - ơ miIỈ) = /7(118,8+ 32,8)/2
Do vậy, n = 1,98, nếu vật liệu tuân theo tiêu chuẩn chảy dẻo Tresca.
(b) Tiêu chuẩn von Mises
Theo phương trình:
y = -^ [(1 1 8 ,8)2 +(32.8)2 +(-32,8-118,8)2]1'2
Do đó: n = 2,17 nếu vật liệu tuân theo tiêu chuẩn von Mises
(c) Với cùng tải trọng thiết kê cho thanh trong hai trường hợp (a)
và (b), nếu tiêu chuẩn Tresca được áp dụng, tải trọng thiết k ế được tăng lên một thừa số 1,98 thì đạt đến chảy dẻo đầu tiên. Tuy nhiên, nếu sử dụng tiêu chuẩn von Mises, tải trọng thiết kế sẽ tăng lên 2,17 lần thì đạt đến chảy đầu tiên. Như vậy, tiêu chuẩn Tresca có dự phòng tốt hơn vì nó tiên đoán sự chảy dẻo đầu tiên dưới tải trọng nhỏ hơn tiêu chuẩn von Mises.
(d) Minh họa trong mặt phẳng độ
Đế minh họa lời giải này, chúng ta chỉ cần chiếu mỗi thành phần của ủng suất chính trên mặt phăng độ lệch n lấy tổng các hình chiếu
và xác định chiều dài của hợp lực. Các hệ sô' an toàn có được băng cách so sánh chiều dài này với khoảng cách hướng kính từ tâm đến m ặt chảy deo thích hợp. Một cách khác, chúng ta có thể tính với các trị sô' của ứng suât lệch (deviuLur òtrras).
Trên H.1.14a ta có hình chiếu của các thành phần ứng suất chính.
Vectơ OA là hình chiếu của ƠJ và có chiều dài = MPa. Còn vectơ AB là hình chiếu của Ơ] Ị J và có chiều dài J —Ơ[2 3 = - 26,78 MPa.
Tổng hai hình chiếu này là OB có chiều dài 112,8 MPa. Nếu ứng suất trung bình ơra = 26,67 MPa được trừ cho mỗi thành phần ứng suất chính, ta được các thành phần của ứng suất lệch chính là:
Sj =90,13 MPa ; s2=-28,67 MPa; s3 = -61,47 MPa
Các thành phần của ứng suất lệch cũng được chiếu như các thành phần ứng suất chính và chúng lần lượt là các vectơ OE, EF, FB. Tổng của các vectơ hình chiếu này là vectơ OB trùng với trường hợp trên H.1.14a.
Chúng ta nhận thấy rằng trạng thái ứng suất biểu diễn bởi OB là đàn hồi bởi vì nó ở bên trong của hai tiêu chuắn đang xét. Đôi với tiêu chuẩn Tresca, hệ sô' an toàn đôi với dẻo được biểu diễn bởi tỉ sô' chiều dài của các vectơ o c và OB. Vectơ o c có chiều dài 232,2 MPa. Do đó hệ sô' an toàn đôi với tiêu chuẩn Tresca là SF = 223,3/112,8 = 1,98. Còn đôi với tiêu chuẩn von Mises, hệ sô' an toàn là OD/OB. Chiều dài của vectơ OD đơn giản là bán kính của vòng tròn von Mises, nghĩa là
NHỮNG KHÁI NIỆM TồNG QUÁT VẾ LÝ THUYẾT DẺO 45
Y = 244,95 M Pa. Như vậy đch với tiêu chuẩn von Mises, SF =
244,95/112,8 = 2,17 1.2.4 H iện tượng tá i b ề n (hardening)
a) K hải niệm
Đó là hiện tượng qua đó mặt đặt tải (đôi khi gọi là mặt chảy dẻo) bị thay đổi, tức làm gia tăng ứng suất giới hạn.
• Việc gia tăng ứng suất ra ngoài mặt đặt tải đầu tiên (initial yield surface) và vào vùng tái bền sẽ gây ra cả hai loại biến dạng: đàn hồi và
dẻo. ứ ng với mỗi mức của biến dạng dẻo, một mặt đặt tải mới lại xuất hiện, được gọi là mặt chảy dẻo kế tiếp (subsequent yield surface) mà
được định nghĩa như là biên của vùng đàn hồi hiện tại.
• Nếu một điểm ứng suât nằm ở bên trong của vùng này, không có ứng suất dẻo gia tăng thêm.
• Mặt chảy dẻo kế tiếp không cô' định mà tùy thuộc quá trình gia tải và vào thụng sổằ tỏi bền a mn
A ơy.am/1) = °
• Quy luật diền tả đáp ứng của vật liệu sau giai đoạn chảy dẻo đầu tiên gọi là quy luật tái bền hay tái bền.
b) Phân loại
- Tái bền đẳng hướng (isotropie hardening)', diễn tả sự nở đều mọi
hướng của mặt đặt tải ban đầu trong không gian ứng suât.
Hình 1.15
* Taylor, Quinney, Schmidt: cho rằng tái bền tùy thuộc vào công sinh ra do biến dạng dẻo:
K r = l 7 p =Jơycteg. ( 1 .3 3 )
và rằng, ứng suất giới hạn gia tăng theo một quy luật thực nghiệm.
* Qdqvist đề nghị thông số tái bền
K0 = Ị(ỉ e £ (1.3 4)
- Tái bền động học (hay tái bền dịch chuyển): diễn tả sự tịnh tiến
của mặt đặt tải trong không gian ứng suất.
Meian, Ishlinsky, Prager giả sử một sự tịnh tiến của tâm của mặt tải gây ra do các biến dạng dẻo:
f = f(ai j - a ij) ( 1 . 3 5 )
với aij=c£.fj ( 1 . 3 6 )
trong đó c là một hằng sô' dương.
- Tái bền hỗn hợp: thông thường khi vật liệu chịu một sự gia tải
phức tạp, mặt tải thực hiện sự tịnh tiến kèm theo sự phình. Sự tái bền hồn hợp chẳng qua là sự tổ hợp hai loại tái bền kể trên.
Độc giả muốn tìm hiểu sâu hơn xin tham khảo trong các tài liệu liên quan.