3.1 KHÁI NIỆM CHUNG
Phép tính biến phân là một ngành của toán học, nhằm khảo sát tính dừng của một phiếm hàm của nhiều hàm sô". Như vậy, mục tiêu của phép tính biến phân không phải đi tìm cực trị của một hàm của một sổ*
hữu hạn biến sô", mà là đi tìm trong số các hàm khả thi, hàm nào làm
cho phiếm hàm đã cho dừng. Một ví dụ tiêu biểu là đi tìm trong sô" các đường cong có thể chấp nhập được nối hai điểm cho trước trong không gian, đường nào-có khoảng cách ngắn nhất. Hoặc bài toán đi tìm đường cong bao một diện tích cho sẵn với chiều dài chu vi ngắn nhất là bài toán tiêu biếu thứ hai.
Bài toán biến phân được sử dụng rộng rài trong bài toán vật lý, toán học. Bới vì các hệ vật lý thường ứng xử sạo cho một phiếm hàm nào đó tùy thuộc vào sự ứng xử đó sẽ dừng.
Cơ học lả một ngành của vật lý toán học trong đó các phép tính về biến phân được sử dụng rộng rãi. Chúng ta sẽ ỉâ"y ví dụ bài toán một hệ chất điểm cân bằng tĩnh dưới tác dụng của các ngoại lực và nội lực. Cơ sở của phép tính biến phân là nguyên lý công khả dĩ (hoặc công ảo) có thế phát biểu như sau: “Giả sử một cơ hệ cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực và các điều kiện ràng buộc về hình học. Khi đó tổng công ảo của ngoại lực và nội lực, ký hiệu Ô’W, trong hệ thực hiện trên các chuyển vị khả dĩ bâ"t kỳ thỏa các điều kiện ràng buộc về hình học cho trước thì bằng không:
ỗ’W = 0 (3.1)
Nguyên lý này có thể phát biểu như sau: “Nếu S’W triệt tiêu với bất kỳ các chuyển vị khả dĩ vô cùng bé nào thỏa các ràng buộc về hình học, thì cơ hệ đã cho sẽ cân bằng”. Khi tất cả các nội lực và ngoại lực được suy ra từ một hàm thế năng u phụ thuộc vào tọa độ của các chất điểm sao cho
8'W = -8Ư (3.2)
nguyên lý công ảo dẫn đến nguyên lý dừng cửa th ế năng biến dạng toàn phần: “Trong sô" các câu hình có thể có, trạng thái cân bằng được đặc trưng bởi tính dừng của thế năng biến dạng toàn phần
5Ơ = 0 (3 .3 )
Phương pháp biến phân được áp dụng nhiều trong cơ học kết câu, lý thuyết đàn hồi chuyển vị bé. Trong phạm vi giáo trình này ta sẽ vận dụng nguyên lý công ảo và các nguyên lý biến phân tương ứng vào lý thuyết dẻo một cách có hệ thống. Nếu bài toán thuộc lý thuyết biến dạng bé, nguyên lý công ảo bù toàn phần có thế được sử dụng nhiều.
Bởi vì quan hệ giữa ứng suất - biến dạng trong lý thuyết dẻo phức tạp hơn trong lý thuyết đàn hồi nên việc thiết lập các nguyên lý biến phân trong lý thuyết dẻo sẽ khó khăn hơn.
Việc áp dụng thành công nhất các bài toán biến phân trong lý thuyết dẻo chính là lý thuyết phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn
(theory of limit analysis) cho vật thể làm bằng vật liệu dẻo lý tưởng
Prandtl - Reuss. Lý thuyết này đề cập đến việc xác định trị riêng gọi là tải trọng giới hạn của vật liệu. Hai nguyên lý biến phân cung cấp các cận trên và cận dưới của tải trọng giới hạn.
Xét một vật thể V, có diện tích bề mặt được phân thành hai phần: phần s ơ chịu tác dụng cửa
tải trọng bề mặt t i , còn phần s u chịu các chuyến vị cho trước Uj =ũj (H.3.1). Tìm trường ứng suất ơịj, trường biến dạng Ejj hay trường chuyển vị Uj phát
sinh trong vật thể. Lưu ý rằng các đại lượng có dấu gạch ở trên là các đại lượng áp đặt trước. Ta cần thiết nhắc lại một số định nghĩa cơ bản.
1-*Trường ứng su ấ t khả d ĩ tĩnh, Ơ-,
Trường ứng suất (a) thỏa phương trình cân bằng, (b) thổa các điều kiện biên tĩnh học và (c) không nơi nào vi phạm tiêu chuẩn chảy dẻo được gọi là “trường ứng suất khả dĩ tĩnh” (statically admissible stress field) dôi với bài toán đang khảo sát, nghĩa là:
dơn - ỢpL + /V = 0 trong V
f ) X j
Ơý7ĩj = t, trên Sa
Ta ký hiệu: Ơ,J = ớ j j
(3 .4 )
QUAN ĐIỂM BIẾN PHÁN CỦA THUYẾT DẺO 107
2- Trường chuyển vị, biến dạng khả d ĩ dộng,
Một trường chuyển vị (hay vận tốc của nó), biến dạng (hay tốc độ
biến dạng) được gọi là khả dĩ động nếu (a) thỏa điều kiện tương thích trong V và (b) điều kiện biên động học, nghĩa là:
1
0 2 du, du
— - L + — 2 -
dXj trong V
u, — trên s,
(3.5)
'u
Khi đó ta nói Zịj = , Uị =
Nếu viết theo tốc độ chuyển vị hay biến dạng ta có:
. 1
£// = — ỹ 2
ủị =
dù: N
—L + —Ấ.
d X j
trong V trẽn
(3.6)
3.2 PHƯƠNG TRÌNH CÔNG Ảo (HAY PHƯƠNG TRÌNH CÔNG KHẢ DĨ)
Ta có thề phát biểu “phương trình công ảo” như sau: “ Đôi với mọi trường ứng suất khả dĩ tĩnh, <5Sịjy tương ứng với các ngoại lực f,,ti và bât kỳ trường biến dạng, chuyển vị khả dĩ dộng, £•' và u}ị , ta có phương trình công khả dĩ sau:
J ĩjdV = p g d V + ị~t,uj‘dS„ +j njờỊjũidSu (3.7)
Chứng minh:
Vì trường biến dạng, chuyển vị khả dĩ động nên ta có thể viết phương trình đầu của (3.5) dưới dạng:
du* du* )
— - + —
d X j ỎXị
ef = ỉ
ij 2
Do vậy:
J o - £ * < Í V = J o - j -U- +du* —i
d X j
k \ dV
Mà theo định lý Gauss ta có:
H ơn nữa, th e o phư ơng tr ìn h cân b ằn g (3.4) ta suy ra:
¿>ơf,V _ — s
Do đó: j o ỉA - d V = Ị n tfju fd S + J /-;^dV