bài 04 dạng 01 lý thuyết và toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đths bậc ba gv

Tìm các điểm tại đó y =0 hoặc đạo hàm không tồn tại Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Lập bảng biến thiên, xác định chiều biến thi

Để khảo sát hàm số y= f x( ) thì ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số • Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Tính đạo hàm y Tìm các điểm tại đó y =0 hoặc đạo hàm không tồn tại Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Lập bảng biến thiên, xác định chiều biến thiên và các điểm cực trị của hàm số

• Bước 3: Cho thêm điểm và vẽ đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên

a) Trường hợp 1: y =0 có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 Khi đó hàm số có hai điểm cực trị là x= x1

và x=x2

b) Trường hợp 2: y =0 có nghiệm kép x=x0 Khi đó hàm số không có cực trị

b) Trường hợp 3: y =0 vô nghiệm Khi đó hàm số không có cực trị

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐTHS

= =• Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

20

a



• Liên hệ giữa tổng và tích hạ nghiệm 1 2

12

23

3

b

acx x

a

 + = −



• Toạ độ tâm đối xứng của đồ thị chính là trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị Hoành độ

tâm đối xứng là nghiệm của phương trình 0

• Tập xác định D \ d

c

= −   và có đạo hàm ()2

y

− =

+• Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng • Tiệm cận ngang: ya

trị khi phương trình y =0 vô nghiệm • Đồ thị nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng

• Hình dạng đồ thị được minh hoạ như sau:

Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc baBước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Tính đạo hàm y Tìm các điểm tại đó y =0 hoặc đạo hàm không tồn tại Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Lập bảng biến thiên, xác định chiều biến thiên và các điểm cực trị của hàm số

Bước 3: Cho thêm điểm và vẽ đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên

Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

 và limx→−= −; limx→+= + Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2 và đồng biến trên mỗi khoảng

(−;0) và (2; + ) Hàm số đạt cực đại tại x=0;yCD =1 và đạt cực tiểu tại x=2;yCT = −3

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

B

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (2; 3 ;− ) (− −1; 3 ; 3;1) ( )

Đồ thị nhận điểm I(1; 1− ) làm tâm đối xứng

 và limx→−= −; limx→+= + Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0) và nghịch biến trên mỗi khoảng

(− −; 1) và (0; + ) Hàm số đạt cực đại tại x=0;yCD =1 và đạt cực tiểu tại x= −1;yCT =0

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 4 ;− ) (−2;5)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên và hàm số không có cực trị

Đồ thị nhận điểm I −( 1;1) làm tâm đối xứng

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên và hàm số không có cực trị Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( ) (2; 2 ; 0; 2 ; 1;0− ) ( )

Đồ thị nhận điểm I( )1;0 làm tâm đối xứng

PHẦN I Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án

y=ax +bx +cx+d có đồ thị như hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A a 0, b 0, c 0, d 0 B a 0, b 0, c 0, d 0 C a 0, b 0, c 0, d 0 D a 0, b 0, c 0, d 0

Lời giải

Nhìn vào nhánh phải của đồ thị ta thấy đồ thị có hướng đi lên suy ra a 0Nhìn vào giao điểm của đồ thị với trục tung ta thấy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương suy ra d 0

y= − +xx+

Câu 3: Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Hàm số có hai điểm cực trị x x1; 2 thỏa mãn:

y=ax +bx +cx d+ a có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Điểm uốn của đồ thị có hoành độ dương nên 12 2

aba

3 00

02

03

0

03

bb

S

ca

P

ca

 − 

 



Câu 10: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+ có đồ thị như hình vẽ sau d

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y = ax + bx+c Gọi x1, x2 là các điểm cực trị của hàm số

Dựa vào đồ thị ta có 1 2

1 2

203

03

b

acx x

a

 + = − 

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ dương nên d 0 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung nên ac   0 c 0Đồ thị hàm số có hoành độ điểm uốn dương nên ab   0 b 0

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Hàm số có giá trị cực đại bằng 2 và giá trị cực tiểu bằng −2 nên loại B và C

y = ax + bx c+ Đồ thị có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung nên y =0có

hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2 Ta có

12

20

03

Lời giải

Dựa vào đồ thị, ta có các nhận xét Dựa vào dáng điệu đồ thị, ta suy ra a 0 Đồ thị cắt trục tung lại điểm có tung độ dương suy ra d 0 Hàm số có các điểm cực trị x =1 và x = −2 nên phương trình 2

y = ax + bx+ =c có hai nghiệm là x =1 và x = −2 Ta có 2 1

3

ba

− = − và

23

ca = − Do đó b 0 và c 0 Như vậy ab 0, bc 0 và cd 0

3

a c

bb

ca

Lời giải

Dựa vào dạng đồ thị hàm bậc ba ta có a 0 Đồ thị cắt trục tung tại điểm M( )0;1 suy ra d = 1 0

Hàm số có hai điểm cực trị dương suy ra

0

00.0

b

ba

3 1 2 1 03 3 2 3 0

2

ab

cd

= = − = = −Vậy c =9 là số lớn nhất

y=ax +bx +cx+d có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A a 0, b 0, c 0, d 0 B a 0, b 0, c 0, d 0 C a 0, b 0, c 0, d 0 D a 0, b 0, c 0, d 0

Lời giải

Ta có: 2

y = ax + bx+c Nhìn vào đồ thị ta có: Phần bên phải của đồ thị đi xuống nên a 0

Giao điểm với trục tung nằm phía dưới điểm O nên d 0 Hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung nên suy ra phương trình y =0 có hai nghiệm trái dấuac   Điểm uốn lệch phải so với trục tung nên 0 c 0 0 0

3

b

ba

= −  , thỏa mãn điều kiện Vậy m =1 thỏa mãn điều kiện bài toán

Câu 20: Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x3−3x2+2 cắt đường thẳng

Đồ thị hàm số 32

+ + 

 − − −    −

Gọi x x2, 3 là hai nghiệm của phương trình ( )

y=x + x +mx+mC Tìm các giá trị của m để đường thẳng d đi qua I −( 1; 2)

có hệ số góc bằng −m cắt đồ thị hàm số ( )Cm tại 3 điểm phân biệt

Để cho d và ( )Cm cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi ( )1 có 3 nghiệm phân biệt

( )2 có hai nghiệm phân biệt khác −1 1 (2 2) 0 3

2

m

mm

( )

2

22 2; 4

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thuộc −2; 4 ( )2 có hai nghiệm phân biệt thuộc

−2; 4 và khác 2 Đặt ( ) 2

g x =x +m g x( )=2x, ta có g x( )=  =0 x 0

Bảng biến thiên của y=g x( )

Từ bảng biến thiên phương trình g x =( ) 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc −2; 4và khác 2

y=x − x + −m x+m có đồ thị ( )C Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để ( )C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x x x1, 2, 3 sao cho 222

−  

 

 Điều kiện để phương trình ( )1 có 3 nghiệm phân biệt là phương trình

( )2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

01

1

4

mx



−  

 

( )

32

 

− − =

Đề đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x1, x2, x3 thì phương trình ( )* phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1 và thỏa mãn: 222

m

  − 

 =Vậy m =2 thỏa mãn điều kiện đầu bài

PHẦN II Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

y= f x =ax +bx +cx+d có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

a) Hàm số đạt cực tiểu tại x =1b) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có toạ độ ( )0;1c) Hàm số đồng biến trên khoảng (− −; 1)

d) 2a+3b+ =c 9

Lời giải

a) Sai: Hàm số đạt cực tiểu tại x =0, giá trị cực tiểu là y =1b) Đúng: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có toạ độ ( )0;1c) Sai: Hàm số đồng biến trên khoảng (−; x0) với − 2 x0  −1d) Sai: Đồ thị đi qua ba điểm (−2;1 ;) (−1; 2 ; 0;1) ( ) và đạt cực trị tại x =1 nên ta được hệ:

8 4 2 1

2

10

dc

− + − + =

 = =

y= f x =ax +bx +cx+d có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có toạ độ ( )0;1b) Đường thẳng đi qua điểm ( )0;1 luôn cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

c) a− + + = −bcd 1d) Đồ thị hàm số đi qua điểm (3;18)

Lời giải

a) Đúng: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là (−1;3) và (1; 1− ) suy ra toạ độ tâm đối xứng là

( )0;1 nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại ( )0;1 b) Đúng: Do I( )0;1 là tâm đối xứng của đồ thị nên đường thẳng qua nó sẽ cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt I A B, , với I là trung điểm của AB Suy ra xA+xB =2xI

Vậy ba điểm này có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng

c) Đúng: Ta có: ( ) 2

f x = ax + bx+c Từ hình vẽ ta có:

( )( )

( )( )

Vậy hàm số không đi qua điểm có toạ độ (3;18)

Câu 3: Cho hàm số ( ) 32

y= f x =ax +bx +cx+d có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

a) Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4b) Đường thẳng y =2 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt c) Trong bốn hệ số a b c d, , , có đúng hai số âm

d) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−4; 20)

Lời giải

a) Sai: Hàm số không có giá trị lớn nhất trên b) Đúng: Kẻ đường thẳng y =2 đi qua điểm ( )0; 2 và song song với Ox thì đường thẳng này cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

c) Đúng: Từ bảng biến thiên ta có:

( )( )

( )( )

2 00 4

2 00 0

ff

ff

− =



=

  − =

  =

Vậy có đúng hai số âm trrong bốn số trên d) Đúng: Do a= −1;b= −3;c=0;d =4 nên hàm số đã cho là 32

y= − −xx + Thay toạ độ điểm (−4; 20) vào phương trình thì thoả mãn nên đồ thị hàm số đi qua (−4; 20)

y= f x =x − m x+ có đồ thị ( )C a) ( )C luôn có hai điểm cực trị

b) Khi m thay đổi thì đồ thị ( )C luôn có tâm đối xứng cố định c) Khi m thay đổ thì đồ thị ( )C luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm d) Khi ( )C có 2 cực trị thì đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của ( )C có dạng y=ax+b Đặt

d) Sai: Khi ( )C có 2 cực trị, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của ( )C có dạng y=ax+b Đặt

S = +ab thì S 2024 (dấu "=" không xảy ra)

PHẦN III Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để đường thẳng y=3x+ −m 2 cắt đồ thị

()31

y= x− tại ba điểm phân biệt là

x

= =   =

 Bảng biến thiên

Vậy yêu cầu bài toán  − 3 m1 nên có ba giá trị nguyên của tham số m

4

mm

 



Do m là số nguyên dương nên m 1,3, 4

Câu 3: Với m là một tham số thực thì đồ thị hàm số 32

y=x − x + −x và đường thẳng y=m có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?

x

 == 

=

Dựa vào bảng biến thiên đồ thi hàm số 32

y=x − x + −x và đường thẳng y=m có nhiều nhất là ba giao điểm

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 322

x − x −m + m= có ba nghiệm thực phân biệt?

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn

 = +

Để đường thẳng dcắt đồ thị ( )Cm tại ba điểm phân biệt A B C, , thì 7

6

mm

 −  −

= − 

Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn nên tổng các giá trị của m bằng −6

Câu 6: Gọi đường thẳng d là đường thẳng đi qua A( )2;0 có hệ số góc m m ( 0) cắt đồ thị

Cy= − +xx − x+ tại ba điểm phân biệt A B C, , Gọi B C , lần lượt là hình chiếu vuông góc của B C, lên trục tung Biết rằng hình thang BB C C  có diện tích bằng 8 Hãy tìm giá trị của tham số m

''1

b

−

= + ; trong đó a b, là các số nguyên dương và phân số

ab là tối giản Giá trị biểu thức T = +ab bằng bao nhiêu?

x

=

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 lớn hơn −1

Suy ra A(0; 1)− và hoành độ của điểm B và C là nghiệm của phương trình ( )1Để ( )C và ( )d cắt nhau tại ba điểm phân biệt A B C, , khi và chỉ khi phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt khác 0

GG

GG

xx

mGm

3

m

m

+= +  = thỏa mãn ( )*

-HẾT -