bài 04 dạng 01 lý thuyết và toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đths bậc ba gv

Để khảo sát hàm số yf x  thì ta thực hiện theo các bước sau:

 Tính đạo hàm y Tìm các điểm tại đó y  hoặc đạo hàm không tồn tại0

 Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Lập bảng biến thiên, xác định chiều biến thiên và các điểm cực trị của hàm số

a) Trường hợp 1: y  có hai nghiệm phân biệt là 0 x và 1 x Khi đó hàm số có hai điểm cực trị là21

x x và x x 2

b) Trường hợp 2: y  có nghiệm kép 0 x x 0 Khi đó hàm số không có cực trị

b) Trường hợp 3: y  vô nghiệm Khi đó hàm số không có cực trị0

KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ VẼ ĐTHSẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐTHSỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐTHSẾN THIÊN VÀ VẼ ĐTHS

04BÀI

LÝ THUY T C N NHẾN THIÊN VÀ VẼ ĐTHSẦN NHỚỚA

1 Các bước khảo sát hàm số y = f(x)c kh o sát hàm s y = f(x)ảo sát hàm số y = f(x)ố y = f(x)

2 Hàm s b c ba y = ax3 + bx2 + cx + dố y = f(x) ậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d

Một số lưu ý cần nhớ về hàm số bậc ba:

 Hàm số không có điểm cực trị khi và chỉ khi b2  3ac hoặc 0

00

ab





 Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 2

3

b

acx x

a

 



 Toạ độ tâm đối xứng của đồ thị chính là trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị Hoành

độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình 0 3

b

a

    Tiếp tuyến tại tâm đối xứng sẽ có hệ số góc nhỏ nhất nếu a 0 và lớn nhất nếu a 0

cx d

 

 Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

 Tiệm cận ngang:

ay

c

; tiệm cận đứng

dx

trị khi phương trình y  vô nghiệm0

 Đồ thị nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng Hình dạng đồ thị được minh hoạ như sau:

Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc baBước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

 Tính đạo hàm y Tìm các điểm tại đó y  hoặc đạo hàm không tồn tại0

 Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Lập bảng biến thiên, xác định chiều biến thiên và các điểm cực trị của hàm số

Bước 3: Cho thêm điểm và vẽ đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên

Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y x 3 3x21 b) y2x3 3x21c) y x 33x2 3x2 d) y x 3 3x24x 2

 và xlim   ; limx Bảng biến thiên:

PHÂN LO I VÀ PHẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNNG PHÁP GI I TOÁNẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐTHSB

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2

và đồng biến trên mỗikhoảng  ;0 và 2; .

Hàm số đạt cực đại tại x0;yCD  và đạt cực tiểu tại 1 x2;yCT  3

Đồ thị hàm số đi qua các điểm 2; 3 ; 1; 3 ; 3;1     Đồ thị nhận điểm I1; 1 

làm tâm đối xứngb) y2x3 3x21

 và xlim   ; limx Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;0

và nghịch biến trên mỗikhoảng   ; 1

và 0; 

.Hàm số đạt cực đại tại x0;yCD  và đạt cực tiểu tại 1 x1;yCT  0

Đồ thị hàm số đi qua các điểm 1; 4 ; 2;5   

Đồ thị nhận điểm

1 1;2 2

I    làm tâm đối xứngc) y x 33x2 3x2

Tập xác định: D 

Sự biến thiên: y 3x2 6x4 0    và xxlim   ; limx Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên  và hàm số không có cực trịĐồ thị hàm số đi qua các điểm 2;2 ; 0; 2 ; 1;0    

Ta có y 3ax22bx c

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị x , 1 x với 21 2 0 0 0

A yx3 3x2 B y x 3 3x2 1 C y x 32x2 1 D y x3 3x 1

Lời giải

Ta thấy đây là hàm số bậc ba và x  lim  

nên a 0Ta có f  0 1

Câu 4: Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị như hình bên Khẳng định nào sau đây đúng?

A a0,b0,c0,d 0 B a0,b0,c0,d 0

Lời giải

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: a 0Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương  d 0

Hàm số có hai điểm cực trị x x thỏa mãn:1; 2

Câu 6: Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị như hình bên Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 7: Cho hàm số y ax 3bx2cx d a0 có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải

Ta có y 3ax22bx c theo hình vẽ:Đồ thị cắt trục tung tại điểm 0, d

nằm phía trên trục hoành nên d  ;0Hàm số có hai cực trị trái dấu nênac  mà 0 a  , do đó 0 c  0

Điểm uốn của đồ thị có hoành độ dương nên



Do a  nên 0 b  0

Câu 8: Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải

Do nhánh bên phải của đồ thị đi xuống nên a 0.

Đồ thị cắt trục tung ở phần dương nên d 0

Đồ thị có 2 cực trị tại hai giá trị x dương nên phương trình y 0 có 2 nghiệm dương phân

biệt 3ax22bx c 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

2 3 00

02

03

0

03

bac

bb

S

ca







Câu 10: Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Gọi x , 1 x là các điểm cực trị của hàm số.2

Dựa vào đồ thị ta có

1 2

203

03

bxx

acx x

a





 , mà a  , suy ra 0 b  , 0 c  0Vậy a  , 0 b  , 0 c  , 0 d  0

Câu 11: Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a0,b0,c0,d 0 B a0,b0,c0,d 0.

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm bậc ba ta nhận xét:Nhánh cuối đồ thị hàm số đồng biến nên a  0

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ dương nên d  0Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung nên ac 0 c 0Đồ thị hàm số có hoành độ điểm uốn dương nên ab 0 b 0

Câu 13: Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây Trong các hệ

số a b c d, , , có bao nhiêu số âm ?

Lời giải

Dựa vào hình dạng đồ thị: đồ thị hàm bậc ba có hệ số a 0, đồ thị cắt trục tung tại điểm có

tung độ dương nên d 0.

Ta có: y 3ax22bx c Đồ thị có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung nên y 0có

hai nghiệm dương phân biệt x x Ta có 1, 2

Dựa vào đồ thị, ta có các nhận xét.Dựa vào dáng điệu đồ thị, ta suy ra a  0Đồ thị cắt trục tung lại điểm có tung độ dương suy ra d  0Hàm số có các điểm cực trị x  và 1 x  nên phương trình 2 y 3ax22bxc0 có hainghiệm là x  và 1 x  Ta có 2

213

ba



và 3 2

ca  Do đó b  và 0 c  0Như vậy ab  , 0 bc  và 0 cd  0

Câu 15: Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Khi đó

00

3

b

ca





Đồ thị cắt trục tung tại điểm M0;1 suy ra d  1 0.

Hàm số có hai điểm cực trị dương suy ra

0.0

b

ba

a

 



2

ab

cd

 

 Vậy c  là số lớn nhất.9

Câu 18: Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?A a  , 0 b  , 0 c  , 0 d  0 B a  , 0 b  , 0 c  , 0 d  0

C a  , 0 b  , 0 c  , 0 d  0 D a  , 0 b  , 0 c  , 0 d  0

Lời giải

Ta có: y 3ax22bx c Nhìn vào đồ thị ta có: Phần bên phải của đồ thị đi xuống nên a  0

Giao điểm với trục tung nằm phía dưới điểm O nên d  0Hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung nên suy ra phương trình y 0 có hai

nghiệm trái dấu ac 0 c Điểm uốn lệch phải so với trục tung nên 0 3 0 0

b

ba

.Vậy suy ra a  , 0 b  , 0 c  , 0 d  0

Câu 19: Tìm m để đồ thị của hàm số y x 33mx2 2x 4 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có

Thử lại : Thay m  vào 1  1 ta được

     

  , thỏa mãn điềukiện

Vậy m  thỏa mãn điều kiện bài toán.1

Câu 20: Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx3 3x22 cắt đường thẳng

 1

Đồ thị hàm sốyx3 3x2  cắt đường thẳng 2 y m x (  1) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ

  

m 

32

Để cho d và Cm cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi  1 có 3 nghiệm phân biệt

 2 có hai nghiệm phân biệt khác 1

    

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thuộc 2;4  2

có hai nghiệm phân biệt thuộc

2;4

và khác 2

Đặt g x  x2m  g x  2x, ta có g x   0 x0

Bảng biến thiên của y g x  

Từ bảng biến thiên phương trình g x   0 có hai nghiệm phân biệt thuộc 2;4và khác 2

       

Vì m  , nên m    3; 2; 1 

Tổng các giá trị nguyên của m bằng 6

Câu 23: Cho hàm số yx3 2x21 m x m  có đồ thị  C Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để  C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x x x sao cho 1, ,2 3 222



 

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:x3 2x2 1 m x m   0 x1x2 x m 0 1 

 

32

 Điều kiện để phương trình  1 có 3 nghiệm phân biệt là phương trình

 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

01

1

4

mx



Khi đó phương trình  2 có 2 nghiệm phân biệt x x 1, 2



 

Câu 24: Cho hàm số yx3 2x2 1 m x m 

có đồ thị là đường cong Cm

Tìm tất cả các giá trịcủa tham số m để Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x , 1 x , 2 x thỏa mãn3

m

  

 Vậy m 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài

PHẦN II Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.Câu 1: Cho hàm số yf x  ax3bx2 cx d

có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

a) Sai: Hàm số đạt cực tiểu tại x 0, giá trị cực tiểu là y 1

b) Đúng: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có toạ độ 0;1

c) Sai: Hàm số đồng biến trên khoảng  ; x0 với 2x0 1d) Sai: Đồ thị đi qua ba điểm 2;1 ; 1;2 ; 0;1   

và đạt cực trị tại x 1 nên ta được hệ:

2

10

a b c d

dc

    

 

Câu 2: Cho hàm số yf x  ax3bx2 cx d

có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có toạ độ 0;1

b) Đường thẳng đi qua điểm 0;1luôn cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thànhmột cấp số cộng

b) Đúng: Do I0;1 là tâm đối xứng của đồ thị nên đường thẳng qua nó sẽ cắt đồ thị tại bađiểm phân biệt , ,I A B với I là trung điểm của AB Suy ra xA xB 2xI

Vậy ba điểm này có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng

c) Đúng: Ta có: f x  3ax22bx c

Từ hình vẽ ta có:

  

 

Câu 3: Cho hàm số yf x  ax3bx2 cx d

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

a) Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4b) Đường thẳng y  cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt2

c) Trong bốn hệ số , , ,a b c d có đúng hai số âm

d) Đồ thị hàm số đi qua điểm 4;20

Lời giải

a) Sai: Hàm số không có giá trị lớn nhất trên 

b) Đúng: Kẻ đường thẳng y  đi qua điểm 2 0;2 và song song với Ox thì đường thẳng nàycắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

c) Đúng: Từ bảng biến thiên ta có:

 

 

2 00 4

2 00 0

ff

ff





  

  

Vậy có đúng hai số âm trrong bốn số trênd) Đúng: Do a1;b3;c0;d  nên hàm số đã cho là 4 yx3 3x2 Thay toạ độ4điểm 4;20

vào phương trình thì thoả mãn nên đồ thị hàm số đi qua 4;20

Câu 4: Cho hàm số y ax 3bx2cx d a  0 có đồ thị như hình bên

a) Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu.b) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là số âm.c) Phương trình ' 0y  có ba nghiệm phân biệt.

d) Trong các hệ số , , ,a b c d có 2 hệ số dương.

Lời giải

Ta có: y ax 3bx2 cx d y ; 3ax22bx c“Nhánh bên phải” hướng lên  a0

d) Đúng: Trong các hệ số , , ,a b c d có 2 hệ số dương.

Câu 5: Cho hàm số yf x  x3 3m x2 2024

có đồ thị  C .

a)  C

luôn có hai điểm cực trị

b) Khi m thay đổi thì đồ thị  C luôn có tâm đối xứng cố định.

c) Khi m thay đổ thì đồ thị  C luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm.

d) Khi  C có 2 cực trị thì đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của  C có dạng y ax b  Đặt

b) Đúng: Khi m thay đổi,  C luôn có tâm đối xứng cố định.

c) Đúng: Khi m thay đổi,  C luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm (Hàm số bậc ba luôn cắt

trục hoành tại ít nhất 1 điểm)

d) Sai: Khi  C

có 2 cực trị, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của  C

có dạng y ax b  Đặt S  a b thì S 2024 (dấu " " không xảy ra)

PHẦN III Câu trắc nghiệm trả lời ngắnCâu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để đường thẳng y3x m  2 cắt đồ thị

Xét hàm số y x 3 3x2 ; 1 y 3x2  6x,

00

2

xy

x

    

Bảng biến thiên

Vậy yêu cầu bài toán   3 m1 nên có ba giá trị nguyên của tham số m.

Câu 2: Cho hàm số y x 3 3x2mx có đồ thị 1  C và đường thẳng :d y2x Có bao nhiêu1

giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị  C cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt?

4

mm

 



Do m là số nguyên dương nên m 1,3, 4 .

Câu 3: Với m là một tham số thực thì đồ thị hàm số y x 3 2x2   và đường thẳng y mx 1  có

nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?

x

 



Dựa vào bảng biến thiên đồ thi hàm số y x 3 2x2  và đường thẳng y mx 1  có nhiều nhất là ba giao điểm

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x3 3x2 m2 5m có ba0

nghiệm thực phân biệt?

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn

  

Để đường thẳng dcắt đồ thị Cm

tại ba điểm phân biệt , ,A B C thì

76

mm





 

Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn nên tổng các giá trị của m bằng 6

Câu 6: Gọi đường thẳng d là đường thẳng đi qua A2;0 có hệ số góc m m  0 cắt đồ thị

 C :yx36x2  9x2

tại ba điểm phân biệt , , A B C Gọi ,B C  lần lượt là hình chiếuvuông góc của ,B C lên trục tung Biết rằng hình thang BB C C  có diện tích bằng 8 Hãy tìmgiá trị của tham số m

cắt d tại 3 điểm phân biệt thì  0 4 m 1 0  m3.



Câu 7: Cho hàm số f x  x3 6m1x23 2 m1x2

Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trịthực của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn

1 Biết rằng

;

aS

b



   ; trong đó ,a b là các số nguyên dương và phân số

ab là tối giản.

Giá trị biểu thức T  a b bằng bao nhiêu?

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình  * có hai nghiệm phân biệt x x lớn hơn 11; 2 

Do đó a2;b 3 T   a b 5

Câu 8: Cho hàm số y x 3 2x2  có đồ thị 1  C , đường thẳng  d :y mx  và điểm (4;11)1 K Biết

GG

GG

xx

mGm

y

 

Trọng tâm G nằm trên đường thẳng y2x suy ra 1