HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1 HỆ TRỤC TOA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian, ba trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục.
Gọi , ,i j k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz.
- Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz
- Điểm O được gọi là gốc toạ độ.
- Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz),(Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz
Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD A B C D có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.36) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B và các vectơ , ,i j k lần lượt là các vectơ B A B C B B , , không? Giải thích vì sao.
2 TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian Oxyz cho một điểm M tuỳ ý Bộ ba số ( ; , ) x y z duy nhất sao cho OM xiyj zk được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz Khi đó, ta viết M ( ; , ) x y z hoặc M x y z ( ; , ), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M
Ví dụ 2 Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng
1 đơn vị Tìm toạ độ của điểm M
Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D B A , , lần lượt thuộc các tia Ox,Oy,Oz (H.2.40) Giả sử đỉnh C có toạ độ là 2;3;5 đối với hệ toạ độ Oxyz , hãy tìm toạ độ của các đỉnh D B A , , đối với hệ tọa độ đó.
Nhận xét Nếu điểm M có toạ độ ( ; ; ) x y z đối với hệ toạ độ Oxyz thì:
- Hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox Oy và Oz , có tọa độ lần lượt là ( ;0;0) x , (0; ;0) y và (0;0; )z
- Hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng Oxy ,(Oyz) và (Ozx) có toạ độ lần lượt là
Người ta chứng minh được rằng bộ ba số ( ; , ) x y z trong HĐ3 là duy nhất.
Trong không gian Oxyz cho vectơ a tuỳ ý Bộ ba số ( ; ; ) x y z duy nhất sao cho a xi yj zk được gọi là toạ độ của vectơ a đối với hệ toạ độ Oxyz Khi đó, ta viết a ( ; ; ) x y z hoặc a x y z ( ; ; ).
- Toạ độ của vectơ a cũng là toạ độ của điểm M sao cho OM a
- Trong không gian, cho hai vectơ a ( ; ; ) x y z và b x y z ; ; Khi đó, a b nếu và chỉ nếu x x y y z z
Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz hãy tìm toạ độ của các vectơ ,i j và k
Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có
A B C và A (5;0;1). a) Tìm toạ độ của A
.b) Tìm toạ độ của các điểm B C , .
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
2.13 Trong không gian Oxyz cho ba vectơ , ,a b c đều khác 0 và có giá đôi một vuông góc Những mệnh đề nào sau đây là đúng? a) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt song song với giá của các vectơ , ,a b c
. b) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt trùng với giá của các vectơ , ,a b c
. c) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vectơ , ,i j k lần lượt bằng các vectơ , ,a b c
. d) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vectơ , ,i j k lần lượt cùng phương các vectơ a , ,a b c
2.14 Hãy mô tả hệ toạ độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng ( Oxy ) và mặt trần nhà trùngvới mặt phẳng ( Oxz ).
2.15 Trong không gian Oxyzxác định toạ độ của vectơ AB trong mỗi trường hợp sau: a) A (0;0;0) và B (4;2; 5) ; b) A (1; 3;7) và B (1; 3;7) ; c) A (5;4;9) và B ( 5;7; 2)
2.16 Trong không gian Oxyzxác định toạ độ của điểm A trong mỗi trường hợp sau: a) A trùng với gốc toạ độ; b) A nằm trên tia Ox và OA2; c) A nằm trên tia đối của tia Oy và OA3.
2.17 Trong không gian Oxyzcho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D B A , , có tọa độ lần lượt là (2;0;0),(0; 4;0),(0;0;3) (H.2.45) Xác định toạ độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.
2.18 Trong không gian Oxyzcho hình hộp OABC O A B C có A(1;1; 1), (0;3;0) B , C (2; 3;6) a) Xác định toạ độ của điểm C. b) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
2.19 Trong Vận dụng 2, hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì toạ độ của nó luôn có dạng ( ; ;0) x y với x, y là hai số thực nào đó.
BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
1 Phương pháp: Sử dụng khái niệm
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết: a) a 2 i 3 j 5 , k
Tìm tọa độ các vectơ a b c , ,
Tìm tọa độ các điểm M N ,
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết: a) a ( 3; 2; 1), b(3;0;12) Tính , theo các vecto , , a b i j k b) A( 5; 2;1), (0; 4; 11) Tính B OA OB , theo các vecto , , i j k
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz ,cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đỉnh A trùng với gốc O, các vectơ AB AD AA, , theo thứ tự cùng hướng với i j k , ,
và có AB 5, AD 6, AA 9 Tìm toạ độ các vectơ AB AC AC, , và AM với M là trung điểm của cạnh C D
Ví dụ 4: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B,
BC BA SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) và có độ dài bằng 2. a) Xác định một hệ toạ độ dựa trên gợi ý của hình vẽ. b) Tìm toạ độ các điểm A B C S , , ,
XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ, VÀ ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG
1 Phương pháp: Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán véc tơ
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto
Tìm tọa độ của vecto d a b 2c
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; 5 Tìm tọa độ của vectơ u2a3b 2c
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 2; 1 , B 1;4;3 Tính độ dài đoạn thẳng AB
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2;0 ; b 2; 2;0 ; c 2; 2; 2 Tính giá trị của a b c
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ a 3; m 1;3 , b 1; 3;2 n Tìm m n, để các vectơ a b ,
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ m 4;3;1
, n 0;0;1 Gọi p là vectơ cùng hướng với ,
(tích có hướng của hai vectơ m và n ) Biết p 15
XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM
Dùng công thức biểu thức tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm của tam giác…
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2; 4;3 và B 2;2;7 Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A 5; 2;0 , B 2;3;0 ,
C Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;0;3 , B 2;3; 4 , C 3;1;2 Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 2; 5;0 , B 1;1;3 , C 3,3,0 Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD BC
Ví dụ 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A B C D Biết tọa độ các đỉnh
, C ; ; 4 2 0 , B 2 1 1 ; ; , D ; ; 3 5 4 Tìm tọa độ điểm A của hình hộp.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD biết A 2;2;6 , B 3;1;8 , C 1;0;7 , D 1;2;3 Gọi H là trung điểm của CD , SH ABCD Để khối chóp S ABCD có thể tích bằng
2 (đvtt) thì có hai điểm S S 1 , 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán Tìm tọa độ trung điểm I của S S 1 2
XÁC ĐỊNH TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
1 Phương pháp: Áp dụng biểu thức tọa độ của tích có hướng và công thức ứng dụng của tích có hướng.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u 3;0;1 và v 2;1;0 Tính tích vô hướng u v
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ar2;1; 2 và br1; 0; 2
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ u 2;3; 1 và v 5; 4; m Tìm m để uv.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz , cho A 2;1; 1 , B 3; 0;1 , C 2; 1; 3 và D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5 Tìm tọa độ của điểm D
Ví dụ 5: Cho ba điểm A ; ; 5 1 2 , B ; ; 1 3 7 và M x; y; 1 Với giá trị nào của x, y thì ba điểm
Tìm m để ba vectơ trên đồng phẳng.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ABC có A (4;0;2), B (1; 4; 2) và C (2;1;1) Tính diện tích S của tam giác ABC.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD Biết A 2;1; 3 ,
B và C 1;1;3 Tính diện tích hình bình hành ABCD.
Ví dụ 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;5;1 , B 2; 6; 2 , C 1; 2; 1 và điểm
Tìm giá trị m để MB 2AC đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 10: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;5;1 , B 2; 6;2 , C 1; 2; 1 và điểm
, Tìm giá trị m để MA 2 MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất.
ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN
TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a i 2 j 3 k
Tọa độ của vectơ a là
Câu 2: Trong không gian Oxyz với i j k , ,
lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox Oy Oz , , Tính tọa độ của vectơ i j k
Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 3, SA4 và SA ABCD Chọn hệ trục Oxyz có gốc toạ độ tại A; các điểm B, D, S lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz Xác định tọa độ điểm C?
Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB 2; AD 3; AA ' 4 Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz có gốc O trùng với A, các điểm B; D; A’ lần lượt thuộc Ox; Oy; Oz Tọa độ của C’ là:
Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB 8; AD 6; AA ' 4 Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz có gốc O trùng với A, các điểm B; D; A’ lần lượt thuộc Ox; Oy; Oz Gọi M là trung điểm D’C’ Tọa độ điểm M là:
Câu 6: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho u i 3j 2k và v 2; 1;1 Tính u v
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2;2;1 Vectơ AB có tọa độ là
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2;2;1 Tính độ dài đoạn thẳng OA.
Câu 9: Trong không gian Oxyz,cho hai vectơ a (1; 2;3), b i j 2 k
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a (1; 2;3); b (2; 2; 1); c (4;0; 4)
Tọa độ của vecto 2 d a b c là
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho a 2;3;2 và b 1;1; 1 Vectơ a b có tọa độ là
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a 2; 3;3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1;5 Tìm tọa độ của vectơ u 2 a 3 b 2 c .
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a ( 2;1;3) Vectơ cùng phương với vectơ a là
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 1;2;5 , C 0;0;1 Tìm toạ độ trọng tâm
Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 , B 3;0; 2 Tính độ dài đoạn thẳngAB.
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a 2; m 1;3 , b 1;3; 2 n Tìm , m n để các vectơ
Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;5;3 và M 2;1; 2 Tìm tọa độ của điểm B , biết M là trung điểm của AB
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;5 , B 5; 5;7 , M x y ; ;1 Với giá trị nào của
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho các véc tơ u 2 i 2 j k
, v m ; 2; m 1 với m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị của m để u v
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho vectơ u (2;0; 1)
Tìm vectơ v biết v cùng phương với u và
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a2;1;0 và b 1;0; 2
Câu 22: Trong không gian Oxyz cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 và P 1; m 1;2 Tìm m để tam giác MNP vuông tại N
Câu 23: Trong không gian Oxy , cho tam giác ABC biết A 1;3;0 , B 2; 2;0 , C 3;1;0 Tính cosin góc A của tam giác.
Câu 24: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và u 3; 0;1 là
Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 , b 5;0;12 Côsin của góc giữa a và b bằng
Câu 26: Trong không gian Oxyz cho các điểm A 5;1;5 ; B 4;3;2 ; C 3; 2;1 Điểm I a b c ; ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a2b c ?
Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 5; 1;2 , C 3; 2; 4 Tọa độ điểm M thỏa mãn MA 2MB MC 0 là
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các véc tơ u 2 i 2 j k
, v m ;2; m 1 với m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị của m để u v
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D có A 0;0;0 , B a ;0;0 ;
, A 0;0;2 a với a 0 Độ dài đoạn thẳng AC là
Câu 30: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a 2;3;1
Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a 2; m 1;3 , b 1;3; 2 n Tìm m , n để các vectơ a
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 , B 0;1;2 Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;0;3 , B 2;3; 4 , C 3;1;2 Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B 1; 2; 3 , C 7; 4; 2 Nếu điểm E thỏa mãn đẳng thức CE 2EB thì tọa độ điểm E là:
Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 2 và B 3; 1;1 Tìm tọa độ điểm M sao cho AM 3AB
Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 , AB 1;3;1 thì tọa độ của điểm B là:
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD Biết A 1;0;1 , B 2;1; 2 và
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD A B C D Biết A 2;4;0 ,
B , C 1;4; 7 và D 6;8;10 Tọa độ điểm B là
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D có A 1;0;1 , B 2;1;2 , D 1; 1;1 ,
Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp.
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2; 1 , B 2; 1;3 , C 4;7;5 Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là
Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D , biết rằng A 3;0;0 ,
Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho véc tơ u 1;1; 2 , v 1;0; m Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa u
Câu 43: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1;1;0 , B 2;0; 3 Điểm M chia đoạn
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u (2;0; 1)
Tìm vectơ v biết v cùng phương với u và u v 20
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2; m 1;3 , b 1;3; 2 n Tìm m n , để các vectơ a b ,
Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 1;1;1 Gọi M N , lần lượt là trung điểm của AB CD, Toạ độ điểm G là trung điểm MN là:
Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm O , A , B , C sao cho O , A , B không thẳng hàng.
Tập hợp những điểm M sao cho MC MO 2 MA MB 0 là
A một mặt phẳng B một điểm.
C tập hợp rỗng D một đường thẳng.
Câu 48: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2;3;1 , B 2;1;0 , C 3; 1;1 Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S ABCD 3S ABC
TRẢ LỜI ĐÚNG SAI
Câu 1: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Biết A 1;0;1 , B 2;1;2 , ' 4;5; 5 , C D 1; 1;1
Các khẳng định sau đúng hay sai?
Câu 2: Trong không gian Oxyz, gọi i j k , ,
là các vectơ đơn vị, điểm M 2;0;1 , N 3;2;4 Các khẳng định sau đúng hay sai?
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử u 2i 3 j k
Các khẳng định sau đúng hay sai?
Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 3, SA4 và SA ABCD Chọn hệ trục Oxyz có gốc toạ độ tại A; các điểm B, D, S lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz Các khẳng định sau đúng hay sai?
Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB 2; AD 3; AA ' 4 Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz có gốc O trùng với A, các điểm B; D; A’ lần lượt thuộc Ox; Oy; Oz Các khẳng định sau đúng hay sai?
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3; SA vuông góc với đáy vàSA4.
Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O trùng với A; các điểm B; D; S lần lượt thuộc Ox; Oy; Oz. Các khẳng định sau đúng hay sai?
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D có A 0;0;0 , B a ;0;0 ;
, A 0;0;2 a với a 0 Các khẳng định sau đúng hay sai?
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 1;2 và B 1;3;0
A Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng (0;1;1).
D Tọa độ vectơ OA OB ( 2;4; 2)
Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho a 2;3; 2 và b 1;1; 1
B Tích vô hướng của hai vectơ a và b bằng 6.
C Hai vectơ a và b không cùng phương.
D Cosin góc giữa vectơ a và b bằng
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a ( 2;1; 3), b ( 1; 3; 2) và điểm A 4;6; 3
B Tọa độ điểm B (2;7; 6) thì a AB
C Hai vectơ a và b cùng phương hướng.
D Góc giữa vectơ a và b bằng 120
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a r 1;1;0 , b r 1;1;0 , r c 1;1;1
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a r 1;1;0 , b r 1;1;0 , c r 1;1;1 Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (4; 2;1), B (2;1;3), C ( 1;3; 2)
A Tọa độ trọng tâm tam giác ABC bằng
B Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB bằng
C Tứ giác ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D 1;4; 4
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 3;5; 1 , B 7; ;1 x , C 9;2; y
A Ba điểm , ,A B C thẳng hàng thì x y 5.
là trọng tâm tam giác ABC thì x 1; y 3.
C Tam giác ABC vuông tại A thì x13,y1.
D Tích vô hướng của AB AC 3 x 2 y 41
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a 1; 2;3 ; b 2; 2; 1 , c 4;0; 4
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a i 3 j 4 ; k b 2 i 4 j k
B Cosin góc giữa hai vectơ a b ,
C Tích vô hướng của hai vectơ a b ,
Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a 2;1; 2 , b 1; 2; 4 , c 1; 3;3
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho bốn vectơ a(2;3;1),b ( 1;5;2),c(4; 1;3) và x ( 3;22;5).
B Hai vectơ a và b cùng phương.
C Hai vectơ a và c không cùng phương.
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD Biết A 1;1;2 , B 1;0;3 , C 0;2; 2
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D , biết rằng
A Tọa độ các điểm A B ', ' là A' 1;0; 1 , ' 0; 4; 2 B .
B Tọa độ các điểm B D , là B 1;5;1 , D 1; 1; 1
C Tọa độ vectơ AB là AB i 4j k
D Tọa độ vectơ AB là B D i ' 5j 3k
Câu 21: Cho hình chóp S ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B, AD 2 AB 2 BC 2 a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , SA 2 a Gọi H là hình chiếu điểm C trên cạnh AD.
A Tọa độ các điểm A B , là A 0;0;0 , B a a ; ;0
B Tọa độ các điểm C D , là C a a ; ;0 , D a 2 ;0;0
Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông có các cạnh bằng 1, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy Gọi ,O M và N lần lượt là trung điểm của AD BC , và
CD Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
A Tọa độ các điểm A B , là
B Tọa độ các điểm C D , là
D Tọa độ các điểm M N , là
Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a 2; 2; 4 , b 1; 1;1
Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a 2 5 3; ; , b 0 2 1; ; , c 1 7 2; ;
Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho a i 3k 4j và b m n m ; 4 6 ; n n 2 3 m 2 , với , m nlà tham số. a) Tọa độ a 1;3; 4 b) Dựng điểm A thỏa OA a thì A 1; 4;3 c) Tồn tại giá trị của m và n để b0
Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho a 2; 2;0 , b 2j2k
. b) Toạ độ b 0; 2; 2 c) Toạ độ AB 2; 2;0 d) Góc AOB45
Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp OABC O A B C có
Gọi H K , lần lượt là trọng tâm của tam giác OA O và
CB C . a) Tọa độ điểm C là 2; 3;6 b) Tọa độ điểm O là 3; 5;5 c) Tọa độ véc to AB 2;3; 6
. d) Tọa độ véc tơ HK 1;2; 1
Câu 29: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 1, AD 2, SA vuông góc với mặt đáy và SA3 Với hệ toạ độ Oxyz được thiết lập như sau: Gốc tọa độ O trùng với điểm
A, các véc tơ AB AD AS, , lần lượt cùng hướng với ,i j và k Xét tính đúng sai của các khẳng định sau a) Tọa độ D 0;2;0 b) Tọa độ C 1;2;3 c) Tọa độ S 2;0;0 d) Tọa độ I 1;1;0
Câu 30: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng 2 Với hệ toạ độ Oxyz được thiết lập như hình bên (gốc tọa độ O trùng với tâm hình vuông ABCD ), hãy xét tính đúng sai của các khẳng định sau: a) Tọa độ A 1;0;0 b) AC 2 2;0;2
Câu 31: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2 như hình vẽ Hình chiếu vuông góc của A lên ABC trùng với trung điểm cạnh AB, góc A AO 60 Với hệ toạ độ Oxyz được thiết lập như hình bên (gốc tọa độ O trùng với trung điểm của đoạn BC ), hãy xét tính đúng sai của các khẳng định sau: a) Tọa độ điểm A 1;0;0 b) Tọa độ điểm C 0; 3;0 c) Tọa độ điểm A 0; 1; 3 d) Tọa độ điểm C 1; 3; 3
Câu 32: Cho các điểm A 1; 2;3 , B 2;1;2 , C 3; 1;2 a) AB 3;3; 1
. d) Ba điểm A B C , , không thẳng hàng.
Câu 33: Cho ba điểm A 3;3; 6 , B 1;3;2 và C 1; 3;1 Gọi M N K, , lần lượt là trung điểm của
AB BC và CA. a) Tọa độ M 2;3;2 b) Với G là trọng tâm tam giác ABC thì GC2 5. c) Trọng tâm tam giác MNK là E 1;1; 1 d) Với D 3; 3;9 thì tứ giác ABDC là hình bình hành.
Câu 34: Cho hình hộp ABCD A B C D , biết điểm A 0;0;0 , B 1;0;0 , C 1;2;0 , D 1;3;5 Gọi
M N là tâm của các hình bình hành ABB A ADD A , . a) Tọa độ D 0;2;0 b) Tọa độ A 1;1;5 c) Tọa độ MN 1;1;0 d) AB AD CC 29
Câu 35: Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát
2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km
Chọn hệ trục Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (Hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet. a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là ( 2;1;0,5). b) Với hệ tọa độ đã chọn, toạ độ khinh khí cầu thứ hai là 1,5; 1;0,8 c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng 21 km d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là 3,92 km (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 36: Cho ba vec-tơ a 1;1;0 , b 1;1;0 và c 1;1;1 a) a 2
Câu 37: Cho hai véctơ u 0;2;3 và v m 1;2 ;3 m a) u 13
Câu 38: Cho tam giác ABC có A 1; 2;0 , B 0;1;1 , C 2;1;0 a) Tam giác ABC vuông tại A. b) Chu vi tam giác là 7 3 2. c) Diện tích tam giác ABC là 6 d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
Câu 39: Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ Oxyz , trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. a) Tọa độ của các điểm A 5;0;0 b) Tọa độ của các điểm H 0;5;3 c) Góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG, hai mặt lần lượt là FGQP và FGHE gọi là góc dốc của mái nhà Số đo của góc dốc của mái nhà bằng 26, 6 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ). d) Chiều cao của ngôi nhà là 4.
TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1: Trong không gian Oxy ,cho hai vectơ a (3; 2;5) và b (3 m 2;3;6 n )
Tính giá trị biểu thức 6 m 2 n để hai vectơ ,a b bằng nhau.
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có ba đỉnh A (1; 2;3), ( 1; 2;0), (3;2; 3) B C và
G a b c là trọng tâm của tam giác ABC Tính giá trị biểu thức P a b c
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 Diện tích của tam giác ABC bằng:
Câu 4: Trong không gian Oxy ,cho hai điểm A (1; 2;3) và B (2;1;1) Cho điểm M x y z( ; ; ) 0 0 0 thuộc mặt phẳng ( Oyz ) sao cho ba điểm A B M , , thẳng hàng Tính giá trị biểu thức x 0 y 0 z 0
Câu 5: Trong không gian Oxy ,cho ba điểm A(1; 1;1), (3;1; 2) B và C ( 1;0;3) Có bao nhiêu điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có 2 cạnh đáy AB CD , và có góc tại D bằng 45
Câu 6: Trong không gian Oxy ,cho tam giác ABC , biết A(2;0;0), (0;3;1), ( 3;6; 4).B C Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC2MB Tính độ dài AM
Câu 7: Trong không gian Oxy ,cho ba điểm A(1; 2; 1), (2; 1;3), ( 2;3;3). B C Điểm M a b c ( ; ; ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM Tính giá trị của biểu thức P a 2 b 2 c 2
Câu 8: Trong không gian Oxy ,cho hai điểm trên trục hoành mà khoảng cách từ đó đến điểm
M bằng 12 Tính tổng hai hoành độ của chúng.
Câu 9: Trong không gian Oxy ,cho hai vectơ a (2;5; 3), b (0; 4;0)
Tính tích vô hướn của hai vectơ a b ,
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm OA i 0 j 3 k
Điểm D x y z ; ; sao cho ABCD là hình bình hành Tính P 2 x y z
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a2i3k
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM 2 3i j 4k
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho a 3; 5;2 ; b 2;1; 1 Vectơ a 3i y j2k
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , M 1;0; 2 , N 5;1; 6 Tính
Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 5, SA2 và SA ABCD Chọn hệ trục Oxyz có gốc toạ độ tại A; các điểm B, D, S lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz Tọa độ điểm C x y z ; ; Tính P x 3 y 3 z 3
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhậtABCD A B C D ’ ’ ’ ’có AB 2; AD 3; AA ' 4 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A, các điểm B; D; A’ lần lượt thuộc Ox; Oy; Oz Tìm tọa độ của C x ' ;3; z
Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 3, SA4 và SA ABCD Chọn hệ trục Oxyz có gốc toạ độ tại A; các điểm B, D, S lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz Gọi M là trung điểm SC Tìm tọa độ điểm M x y z ; ; Tính T x y 3 2 z
Câu 18: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tính AC'CA ' 2 CC'
Câu 19: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB 8; AD 6; AA ' 4 Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz có gốc O trùng với A, các điểm B; D; A’ lần lượt thuộc Ox; Oy; Oz Tọa độ điểm