Trong không gian với hệ tọa độ giả sử , khi đó tọa độ véc tơ làA.. Trong không gian với trục hệ tọa độ , cho Tọa độ của vectơ là:A.. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và
Trang 1BÀI 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
1 Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
2 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác
Cho hai điểm , nếu là trung điểm đoạn thẳng thì:
Cho tam giác có , nếu là trọng tâm của tam giác thì:
3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
DẠNG 1 CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Trang 21 Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
+) Ta có nên
Câu 4 Trong không gian , cho hai điểm , Vectơ có tọa độ là
Lời giải
Hai điểm , Vectơ có tọa độ là
Câu 5 Trong không gian , cho và Vectơ có tọa độ là
Trang 3A B C D .
Lời giải Chọn A.
Câu 9 Trong không gian cho và b 1;1; 1 Vectơ có tọa độ là
Lời giải Chọn D.
Do đó đáp án C sai
Câu 11 Trong không gian , cho hai véctơ Véctơ có toạ độ là
Trang 4Ta có:
Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho , , Tìm tọa độ của vectơ
Lời giải Chọn B.
Ta có: , ,
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , Tìm tọa độ của vectơ
Lời giải Chọn B.
Có
Khi đó:
Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ và Tìm tọa độ của vectơ
Trang 5A B C D .
Lời giải Chọn D.
Trang 6Lời giải Chọn A.
ìïï ï
x y
Gọi
Ta có: ;
Trang 7Câu 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và Tìm tọa độ điểm M sao cho
Gọi Vì M thuộc đoạn AB nên:
Câu 10 Trong hệ trục tọa độ , cho hai điểm là , Tìm tọa độ của điểm thỏa mãn hệ thức
Trang 10c) (S) nên Ba điểm không thẳng hàng.
Câu 7 Trong không gian , cho hình bình hành có và
a) Toạ độ của điểm là (S)
c) Véc tơ có toạ độ là: (Đ)
Trang 11b) Tìm tọa độ của vecto là (S)
c) Với Ta có cùng phương với (Đ)
PHẦN III Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 1 Trong không gian cho hai vectơ và Tính giá trị biểu thức để hai vectơ bằng
nhau
Lời giải
Ta có
Câu 2 Trong không gian cho hai điểm và Cho điểm thuộc mặt phẳng sao cho ba
điểm thẳng hàng Tính giá trị biểu thức
Trang 12Câu 4 Trong không gian cho ba điểm Điểm là đỉnh thứ tư của hình bình hành Tính giá
Hai vectơ cùng phương thì
Với (vô nghiệm
Với
Vậy
Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ và Tọa độ của vecto Giá trị của biểu thức
Lời giải
Câu 7 Trong không gian , cho ba điểm và Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và toạ
độ trọng tâm của tam giác Giá trị biểu thức
Câu 8 Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa
phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau
5 phút tiếp theo là Giá trị biểu thức ( làm tròn đến hàng đơn vị)?
Trang 13Lời giải
Gọi là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo Vì hướng của máy bay không đổi nên và cùng hướng Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ đến gấp đôi thời gian bay từ đến nên
Do đó
Mặt khác, nên
Từ đó và vì vậy
Vậy toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
Câu 9 Tọa độ vectơ , biết rằng: với , Giá trị của biểu thức
Lời giải Đáp án:
+ Gọi vectơ có tọa độ:
Nếu thì
Tích vô hướng 2 vectơ: ;
Hai vectơ vuông góc:
Góc hai vectơ:
PHẦN I Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trang 15Ta có nên không vuông góc
Câu 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho hai vectơ , Phát biểu nào sau đây là sai?
Lời giải Chọn B
Dễ thấy Từ đó suy ra vectơ ngược hướng với vectơ và
Trang 17không vuông góc với nhau.
Câu 20 Trong không gian Oxyz cho ; Tọa độ của sao cho đồng thời vuông góc với là:
Trang 18Câu 4 Trong không gian , cho các vec tơ và Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để
góc giữa hai vec tơ và là góc tù?
Lời giải
Chọn A
Ta có
Góc giữa hai vec tơ và là góc tù khi và chỉ khi
Vì nguyên dương nên
Vậy có 2 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 5 Trong không gian , cho ba điểm Cosin của góc là
vuông tại nên
Câu 7 Trong không gian , cho , Côsin của góc giữa và bằng
Lời giải Chọn D
Ta có:
Câu 8 Trong không gian , cho và Côsin của góc giữa và bằng
Lời giải
Trang 19Nên diện tích tam giác là
Câu 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho và Tìm số thực sao cho tích vô
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ cho các véc tơ , với là tham số thực Có bao
nhiêu giá trị của để
Lời giải Chọn C.
Trang 20Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp có , ; , với Độ dài đoạn
Vậy độ dài đoạn thẳng
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình vuông Biết đỉnh thuộc mặt phẳng và
có tọa độ là những số nguyên, khi đó bằng:
Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , Tam giác với ; , nhận điểm làm trọng tâm
của nó thì giá trị của tổng bằng
Lời giải Chọn D
Câu 1 Trong không gian , cho ba điểm Có tất cả bao nhiêu điểm trong không gian thỏa
mãn không trùng với các điểm và
Trang 21Lời giải
Chọn C
Gọi Ta có:
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác , biết , , Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác bằng
là trọng tâm tam giác
Cách 2: Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Ta có Gọi là trọng tâm tam giác
Câu 5 Trong không gian , cho các vec tơ và Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để
góc giữa hai vec tơ và là góc tù?
Lời giải Chọn A
Ta có
Góc giữa hai vec tơ và là góc tù khi và chỉ khi
Vì nguyên dương nên Vậy có 2 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 6 Trong không gian , cho hai vectơ và tạo với nhau một góc và , Tính
C D
C
D
Trang 22Theo giả thiết ta có khác và vuông góc với cả hai vectơ nên
Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ , cho tứ diện với
Trang 23Câu 2 Trong hệ tọa độ cho , Tính các tích vô hướng
Trang 24Câu 10 Trong không gian cho ba điểm và Có bao nhiêu điểm sao cho tứ giác là hình
thang có 2 cạnh đáy và có góc tại bằng
Có 2 điểm D thỏa điều kiện
Câu 11 Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm Chiếc thứ nhất nằm cách điểm
xuất phát về phía nam và về phía đông, đồng thời cách mặt đất Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát về phía bắc và về phía tây, đồng thời cách mặt đất Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)
Trang 25Chọn hệ trục toạ độ với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng trùng với mặt đất với trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (H.2.50), đơn vị đo lấy theo kilômét
Lời giải
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có toạ độ lần lượt là và
Khoảng cách giữa hai chiếc khình khí cầu là
Câu 12 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và vuông góc với mặt phẳng Giả sử ,
Độ dài là
Giải
Trang 26Vì trùng gốc toạ độ nên Vì thuộc tia và nên Vì thuộc tia và nên Vì thuộc tia và nên Vì hình chiếu của lên các trục lần lượt là nên
Trang 27Do đó chu vi của tam giác là:
Câu 16 Trong không gian cho hai vectơ Số đo độ của góc giữa hai vectơ ?
Lời giải
Câu 17 Trong không gian cho ba vectơ Tổng các giá trị thực của tham số để
Lời giải
Tổng các giá trị của bằng
Câu 18 Trong không gian cho hai điểm trên trục hoành mà khoảng cách từ đó đến điểm
bằng Tính tổng hai hoành độ của chúng
Dấu bằng xảy ra khi
Câu 20 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , Điểm sao cho đạt giá trị
Trang 28Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và điểm với là các số thực thay
đổi thỏa mãn Biết và góc có số đo lớn nhất Tính , (làm tròn đến số thập thứ hai)
Trang 29DẠNG 3
ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
là trung điểm đoạn thẳng thì:
là trọng tâm của tam giác thì:
Cho tam giác ABC có là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC Khi đó tacó:
D A
Trang 30Lời giải Chọn D
2 2 2(2;3; 3) 2 3 ( 3) 22
Ta có
Câu 4 Trong không gian , cho 2 điểm , Độ dài đoạn bằng
Lời giải Chọn C
Gọi M là trung điểm của AB ta có:
1 32
1 11
y y y
z z z
Giả sử B x y z B; B; B
Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
1 2
Trang 31Vậy B5; 3; 7 .
Câu 7 Trong không gian, cho Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng là
Lời giảiChọn B
Vì I là trung điểm của AB nên vậy
Câu 8 Trong không gian , cho hai điểm và Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ là
Tọa độ trung điểm của đoạn với và được tính bởi
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ , cho , Tìm tọa độ trung điểm của
Gọi là trung điểm của đoạn Ta có
Câu 13 Trong không gian , cho hai điểm và Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là
Lời giải Chọn A
Trung điểm có tọa độ là
Câu 14 Trong không gian , cho các điểm Toạ độ trọng tâm của tam giác
Gọi trọng tâm tam giác
Trang 32Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm Tìm trọng tâm của tam giác
Hướng dẫn giảiChọn C
Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và Tọa độ điểm biết là trung
y y y
z z z z
Trang 33Câu 20 Trong không gian , cho các điểm Toạ độ trọng tâm của tam giác
Gọi trọng tâm tam giác
B Thông hiểu
trọng tâm là điếm Tọa độ của điểm là
Gọi G x y z , , là trọng tâm của hình chóp SABC suy ra
Trang 34z E
34
1 33
1 338
z z z
Gọi điểm M x y z ; ; Khi đó: AM 2MB
x y z
Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3;1; 2 , B2; 3;5 Điểm M thuộc đoạn AB
sao cho MA 2MB, tọa độ điểm M là
Trang 35Gọi M x ; y;z Vì M thuộc đoạn AB nên:
73
Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho , và Trên mặt phẳng , điểm nào
dưới đây cách đều ba điểm , ,
Trang 36Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;3;1 và B5; 6; 2 Đường
thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M Tính tỉ số AM
;2 ;2
AC a a a
.Suy ra ACAC
Trang 37Vậy độ dài đoạn thẳng AC 3a
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD B, 3;0;8 , D 5; 4;0 Biếtđỉnh A thuộc mặt phẳng Oxy và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB
bằng:
Lời giải Chọn B
tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC
Trang 38D A
32
I D O
Trang 39tròn nội tiếp tam giác OMN.
A (1;1;1)I . B (0;1;1)I . C (0; 1; 1)I - - . D (1;0;1)I .
Lời giải Chọn B
Ta có bài toán bài toán sau
Trong tam giác ABC, I là tâm đường tròn nột tiếp DABC ta có: a IA b IB+ + c IC. = 0
Trang 40.
0 y y y
Vậy điểm I(0;1;1) là điểm cần tìm
Câu 4 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A2;0;0 , B0; 2;0 , C0;0; 2 Có tất cả bao nhiêuđiểm M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A B C, , và
AMB BMC CMA ?
Lời giải Chọn C
Gọi I J K, , lần lượt là trung điểm của AB BC CA, ,
Do AMB BMC CMA 90 nên các tam giác AMB BMC CMA, , vuông tại M
Vậy MI MJ MK 2 Khi đó M thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy IJK và cách
IJKmột khoảng không đổi là 2 Khi đó có hai điểm M thỏa mãn điều kiện trên
Câu 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A 2;3;1, B2;1;0, C 3; 1;1 Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện tích tứ giác ABCD bằng
3 lần diện tích tam giácABC
A D 12; 1;3 B
8; 7;112;1; 3
D D
D D
Trang 41Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên AD 2BC
D D D
x y z
A a b c 6 B a b c 5 C a b c 8 D a b c 7
Lời giải Chọn A
a b c
a b c
C a b nhận điểm G1; ;3c làm trọng tâm của nó
a Nếu là trung điểm đoạn thẳng thì tọa độ điểm là (Đ)
b Tọa độ vectơ là (S)
d (Đ)
Lời giải
Trang 42a Nếu là trung điểm đoạn thẳng thì tọa độ điểm là ĐÚNG
b Tọa độ vectơ là SAI
3 4 2
13
3
3 53
Trang 43D
Trang 44PHẦN III Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 1 Trong hệ tọa độ cho:
a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn
b) Tìm tọa độ trong tâm tam giác
c) Tìm tọa độ điểm thỏa
Câu 2 Trong hệ tọa độ cho:
a) Chứng tỏ rằng là hình chữ nhật Tính diện tích của nó
b) Tính cos các góc của tam giác
c) Tìm trên đường thẳng điểm cách đều hai điểm
d) Tìm tọa độ điểm thỏa
Câu 3 Trong hệ tọa độ cho
a) Tìm tọa độ điểm và cách đều hai điểm
b) Tìm trên mặt phẳng sao cho tam giác vuông cân tại
Câu 4 Trong không gian tọa độ cho ba điểm
a) Chứng minh ba điểm không thẳng hàng
b) Tìm tọa độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành
c) Tính góc
d) Tính diện tích Từ đó suy ra độ dài đường cao của
Câu 5 Trong không gian tọa độ cho ba điểm
a) Chứng minh ba điểm tạo thành
b) Tìm tọa độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành
c) Tìm tọa độ trọng tâm của
Trang 45d) Tính góc
e) Tính độ dài đường cao của
Câu 6 Cho hình hộp Biết rằng:
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và
c) Tìm tọa độ trọng tâm của
Câu 7 Cho hình hộp Biết rằng:
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và
c) Tìm tọa độ trọng tâm của