Bài 2 biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ đáp án

Bài BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A LÝ THUYẾT I Biểu thức tọa độ phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân số với vectơ   u  x1 ; y1  v  x2 ; y2  Nếu   u  v  x1  x2 ; y1  y2    u  v  x1  x2 ; y1  y2   ku  kx1 ; ky1  , k       u  x1 ; y1  , v  x2 ; y2  (v 0) Nhận xét: Hai vectơ phương có số thực k cho x1 kx2 y1 ky2   Ví dụ Cho u (2;  1), v (1;5) Tìm tọa độ vectơ sau:   a) u  v ;   b) u  v Giải   u  (2;  1), v (1;5) nên ta có: Do     a) u  v (2  1;   5) Vậy u  v (3; 4)     b) u  v (2  1;   5) Vậy u  v (1;  6)      3    3a; 2a  b ; a  2b  c Ví dụ Cho a ( 2;3), b (2;1), c (1; 2) Tính tọa độ vectơ sau: Giải    a  (  2;3), b (2;1), c (1; 2) nên ta có: Do   +) 3a (3 ( 2);3.3) Vậy 3a ( 6;9)  +) 2a (  4; 6)     Do 2a  b (  2;6  1) , 2a  b ( 6;5) 3     c   ;       +) 2b (4; 2), a  2b (2;5)   3 1  a  2b  c  ;  2  Do Ví dụ Cho ba điểm A( 1;  3), B(2;3) C (3;5) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Giải     AB  (3;6), BC  (1; 2) AB  3BC Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng Ta có: Suy II Tọa độ trung điểm đoạn thẳng tọa độ trọng tâm tam giác A  xA ; y A  B  xB ; y B  M  xM ; y M  Cho hai điểm Nếu trung điểm đoạn thẳng AB x x y  yB xM  A B ; yM  A 2 A  x A ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  G  xG ; yG  Cho tam giác ABC có Nếu trọng tâm tam giác ABC x x x y  yB  yC xG  A B C ; yG  A 3 Trang Ví dụ Cho tam giác ABC có A( 2;1), B (2;5), C (5; 2) Tìm toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB trọng tâm G tam giác ABC Giải M  xM ; yM  Do trung điểm đoạn thẳng AB nên  22 15 xM  0; yM  3 2 Vậy M (0;3) Do G  xG ; yG  trọng tâm tam giác ABC nên xG   8 (  2)   1  G ;  ; yG  3 Vậy  3  III Biểu thức tọa độ tích vơ hướng     u  x1 ; y1  v  x2 ; y2  u Nếu v  x1 x2  y1 y2 Nhận xét     2 a) Nếu a ( x; y ) | a | a a  x  y  2 AB | AB |  x2  x1    y2  y1  A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  b) Nếu    u  x1 ; y1  v  x2 ; y2  c) Với hai vectơ khác , ta có:   - u v vng góc với x1 x2  y1 y2 0   u v x1 x2  y1 y2  cos(u , v )     | u | | v | x1  y12  x22  y22 Ví dụ  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1;  1), C (8; 0)  ABC a) Tính BA, BC  cos  b) Chứng minh AB  AC c) Giải tam giác ABC Giải     BA  (1;3), BC (7;1) Do BA BC 1 7  1 10 a) Ta có: Mặt khác, ta có:   | BA | 12  32  10,| BC |  12  50,    BA BC 10 cos ABC cos( BA, BC )      | BA | | BC | 10  50       AB  (  1;  3) AC  (6;  2) AB  AC  (  1)   (  3)  (  2)  AB  AC b) Do nên Vậy   cos ABC    nên ABC 63 c) Do AB  AC nên BAC 90 , tức tam giác ABC vuông A Mà     Vì ACB 90  63  27 Mặt khác, ta có: AB | BA | 10 ,  BC | BC | 50 5 2, CA  BC  AB  (5 2)  ( 10) 2 10 Ví dụ Một xe ô tô bị mắc kẹt bùn lầy Để kéo xe ra, người ta dùng xe tải kéo cách gắn đầu dây cáp  kéo xe vào đầu xe tơ móc đầu cịn lại vào phía sau xe tải kéo Khi kéo, xe tải tạo lực F1 có độ lớn (cường độ) 2000 N theo phương ngang lên xe tơ Trang  Ngồi ra, có thêm người đẩy phía sau xe tơ con, tạo lực F2 có độ lớn 300 N lên xe Các lực   F1 , F2 5 biểu diễn vectơ hình cho Độ lớn lực tổng hợp tác động lên xe ô tơ Newton (làm trịn kết đến hàng đơn vị)? Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình bên, đơn vị trục ứng với N   Ta có: - F1 (2000;0) ;    F1 , F2 5 - nên toạ độ F2 là: F2  300 cos5 ;300 sin 5   F Do đó, lực tổng họp̣ lực tác động lên xe ô tô có toạ độ là:    F F1  F2  2000  300 cos 5 ;300 sin 5   Độ lớn lực tổng hợp F tác động lên xe ô tô là:  2 | F |  2000  300 cos 5    300 sin 5  2299( N )   PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG TRỤC TỌA ĐỘ Trên trục x' Ox cho điểm A, B có tọa độ -2  a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB    c) Tìm tọa độ điểm M cho MA  5MB 0 d) Tìm tọa độ điểm N cho NA  NB  Câu  Lời giải a) Tọa độ AB :    x  ; x   AB  x  x   AB  i A B B A Ta có: ( i vectơ đơn vị) b) Vì I trung điểm đoạn AB nên tọa độ I :  25 3 xI    xI  2      M  m MA  MB   MA 2,5 BM c) điểm xác định hệ thức:      MA.i 2,5.BM i    m 2,5  m    3,5m 10 ,5  m 3  xm 3 N  n điểm xác định hệ thức: NA  3NB   NA  3NA  NB  22 22 12  NA  AB   NA   3.7  22  NA     n   N 5 d) Câu Trên trục x' Ox cho điểm A, B có tọa độ -3 Trang a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA  2MB 1 Tìm tọa độ điểm N cho NA  NB  AB Lời giải  A   3 ; B  1  AB 4 Trên trục x' Ox cho điểm A, B có tọa độ -3 3MA  MB 1  MA  MA  MB 1 a) Tọa độ điểm M cho    MA 1  AB 9    m 9  m  12  M   12  b) Tọa độ điểm N cho NA  3NB  AB  NA  NB  NB 4  NB 4  AB 8  NB 2   n 2  n   N   1 A    ,B   ,C  1 ,D   Trên trục x' Ox cho điểm 1   a) Chứng minh AC AD AB Câu b) Gọi I trung điểm đoạn AB Chứng minh IC.ID IA Gọi J trung điểm CD Chứng minh AC.AD  AB.AJ Lời giải  Trên trục  x' Ox cho điểm A  2; AD 6 ,B   ,C  1 ,D    AC 3; AB 4 1 1      a) Ta có AC AD AB  22 AB  i  0  IA 2; IC 1; ID 4 I  i b) trung điểm  IC.ID 1.4 2 IA c) I  j 1 CD  j    AJ  2 trung điểm AC AD 3.6 18    AC AD  AB AJ AB AJ 4 18  Ta có: Câu Trên trục x' Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB      MB  MC 0 b) Tìm tọa độ điểm M cho MA    c) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB NC Lời giải Trên trục x' Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tọa độ trung điểm I  i cảu AB: i a b M  m b) độ điểm     Tọa   MA  MB  MC 0  MA BC  a  m c  b  m a  b  c Trang thỏa mãn:         NA  3NB NC  NA  NB  NB  NC 2 NC c) Tọa độ điểm thỏa mãn:       BA  BC c b 3b 3a  BA  BC 2 NC  NC   n  c a  b   n a   2 2 N  n Câu     Trên trục x' Ox cho điểm A, B, C, D tùy ý a) Chứng minh rằng: AB.CD  AC.DB  DA.BC 0 b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm Lời giải Gọi a, b, c, d tọa độ điểm A, B, C , D a) Ta có: AB.CD  AC.DB  AD.BC  b  a   d  c    c  a   b  d    d  a   c  b   bd  bc  ad  ac    bc  cd  ab  ad    dc  bd  ac  ab  0 I  i , J  j K  k  , L l  trung điểm đoạn AC , BD, AB, CD a c bd a b cd  i ;j ;k  ;l  2 2 b)  a c bd      Khi đó, trung điểm IJ có tọa độ là:   a b c  d      Trung điểm KL có tọa độ là:   a b c  d  Vậy hai trung điểm có tọa độ nên chúng trùng DẠNG TỌA ĐỘ VÉC TƠ   a  1;   ; b  0; 3 Câu Cho tìm tọa độ vectơ sau:              x  a  b ; y  a  b ; z  a  b a)        1 u 3a  2b ; v 2  b ; w 4a  b b) Lời giải         x a  b   0;   3  1;1 , y a  b   0;     1;   , a)    z 2a  3b  3.1  3.0;     3.3  2;  13          1 11   u 3a  2b  3;  12  , u 2a  b  2;  1 , w 4a  b 4  3;   2  b)    1  a  2;  ; b   1;  ; c  4;   2  Câu Cho     a) Tìm tọa độ vectơ d 2a  3b  c     ma  b  n c 0 b) Tìm số m, n cho Trang   a,b c c) Biểu diễn vectơ theo Lời giải     63     d 2a  3b  5c  2.2    1  5.4; 2.0       27;   2    a)            ma  b  nc 0  m.2i    i  j   n 4i  j 0     b) Ta có:   2m   4n 0   1   6n 0   m    n   12   x.2  y   1  x 8        y  12   x.0  y c  xa  yb  x; y  R   c) Giả sử:  ta có:  Vậy c 8a  12b DẠNG TỌA ĐỘ ĐIỂM Câu A  3;   B  1;  ,   C OC  AB a) Tìm tọa độ điểm cho: Cho hai điểm b) Tìm điểm D đối xứng với A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  Lời giải C  xC ; yC  a) Gọi     xC ; yC     2;5   6;  15   C  6;  15  Theo OC  AB x A  xD   xC     y  y A  yD  C b) D đối xứng với A qua C hay C trung điểm AD  xD 2 xC  x A 2.6  12   yD 2 yC  y A 2   15       25  D  12;  25  x A  3xB  3.1   xM        y  y A  yB    3.0   M  ;   M 1 4  4 c) M chia đoạn AB theo tỉ số k   Câu A   1;1 B  1;3 C   2;0  , , a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Cho ba điểm b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB Lời giải:   AB  2;   3   BC  AB BC   3;    a) Từ tọa độ điểm ta có:  nên điểm A, B C thẳng hàng b) Ta có: Trang   AB  2;   AC   1;  1   AB   AC  A +  chia đoạn BC theo tỉ số k    BA   2;    2   BA  BC  k  AC   3;    3 B chia đoạn AC theo tỉ số +   CA  1;1  1   CA  CB  k CB  3;3    C chia đoạn AB theo tỉ số 3 + A  1;   B  0;  C  3;  , ,    a) Tìm tọa độ vectơ AB , AC , BC b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB    CM  AB  AC M c) Tìm tọa độ điểm cho     d) Tìm tọa độ điểm N cho AN  BN  4CN 0 Câu 10 Cho ba điểm  a)   Lời giải: AB   1;6  AC  2;  BC  3;   , , x A  xB  x   I  2   y  y A  yB 1  I  ;1  I   b) I trung điểm AB    CM  xM  3; yM   AB  AC 2   1;    2;    8;0  c) Ta có: ,  xM    x    M     yM  0  yM 2  M   5;   CM 2 AB  AC       xN  1; yN     xN ; y N     xN  3; yN    0;0  d) AN  BN  4CN 0  xN 11     xN  11;  yN    0;0   y N 2  N  11;  A   1;1 B  2;1 C   1;  3 , , ABC a) CMR: Tồn tam giác Câu 11 Cho ba điểm b) Tính chu vi tam giác c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC d) Xác định điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành e) Tìm điểm M thuộc trục Ox cho M cách A, B f) Tìm điểm N thuộc trục Oy cho N cách B, C Lời giải a) Ta có phương trình đường thẳng AB : y ax  b A d 1  a  b  a 0    d : y 1  B  d 1 2a  b b 1 Do C không thuộc d nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng, tức tam giác tồn  AB  3;  BC   3;   AC  0;  b) Ta có , , Trang  AB 3; BC  32  42 5; AC 4  PABC 3   12 x A  xB  xC  x  0 G    y  y A  yB  yC   G  0;   G 3 3  c) Tọa độ trọng tâm G :  d) Gọi D  x; y   D   4;  3    x 3  x       y 0  y   , ABCD hình bình hành AB  DC e) Phương trình trung trực đoạn thẳng AB x M giao trung trực với trục 1  M  ;0  Ox hay   CN 1   x  3   2 N  0; x   BN 2    x  f) Gọi 2 N cách B C CN  BN    x  3 2    x  5   x  x  10  x  x   x   N  0;   8  A  4;1 B  2;  C  2;   Câu 12 Cho tam giác ABC có , , a) Tính chu vi tam giác b) Xác định điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c) Xác định tọa độ trọng tâm G tam giác ABC d) Xác định tọa độ trực tâm H tam giác e) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Lời giải    AB   2;3 BC  0;   AC   2;  3 a) Ta có , , 2  AB    13 ; BC 6 , AC  22  32  13  PABC 2 13 b) Gọi D  x; y   D  4;     , ABCD hình bình hành AB  DC 2  x   x 4     y 3  y  8  422 1  yG  1  G  ;1  3  3; c) Tọa độ trọng tâm G tam giác y  x d) Ta có phương trình đường thẳng AC : Suy đường cao BF qua B vng góc 2 16 y   x     y  x  3 với AC y  x  Phương trình đường thẳng AB suy đường cao CK qua C vng góc với xG  AB Trang y 2 10  x  2   y  x  3 10   y  x  13  x    13    y  x  16  H  ;1  y 1  3    CK  H BF Tọa độ trực tâm giao điểm nên  5 M  3;    , N  2;1 e) Trung điểm đoạn AB BC y   x  3  Phương trình trung trực AB qua M vng góc với AB là: Phương trình trung trực BC y 1 3  I  ;1 Tâm đường tròn ngoại tiếp I giao điểm hai trung trực nên   A  1;3 B  2;5 C  4;  1 , a) Tìm chu vi tam giác ABC Câu 13 Cho b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB, AC c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC d) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành e) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác f) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Lời giải    AB  1;  BC  2;   AC  3;  a) Ta có , ,  AB  12  22  5; BC  22  62  40; AC  32  42 5  PABC    40 3  1 35 xM   yM  4  M  ;  2  2; b) Tọa độ trung điểm M đoạn AB : 5  1 3 xn   yN  1  N  ;1 2  2; Trung điểm N đoạn AC : 7 7 G ;  c) Tọa độ trọng tâm G tương tự toán trước  3  d) Gọi D  x; y   D  3;  3   , ABCD hình bình hành AB  DC 4  x 1  x 3     y 2  y  y   x    y  x  e) Ta có phương trình đường thẳng AB : Suy đường cao CH 13 y  x  y   x  2  3 Suy đường cao BE Phương trình đường thẳng AC   y   x      x   y   x  2     y 2  H   2;  Tọa độ trực tâm H thỏa mãn  f) Phương trình trung trực AB qua M vng góc với AB là: y  1 3 x 4 2 2 Trang 3 5 y   x   1 4 2 Phương trình trung trực BC là: Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I giao điểm hai trung trực nên thỏa mãn  1 3   y   x     x         y 3  x   1  y   I  ;          2 DẠNG ỨNG DỤNG A 1;1 , B 2;  , C  10;   Câu 14 Trong mặt phẳng Oxy cho    a) Chứng minh ABC tam giác vng   b) Tính BA.BC suy cosB  a) AB  AB  10  , AC  AC  90  , Lời giải BC BC  100 2 Có BC  AB  AC 100  ABC vuông A     BA   1;  3 BC  8;    BA.BC ( 1).8  ( 3)( 6) 10 b) Có ,     BA.BC  BA BC cos BA, BC Ngoài   BA.BC 10  cos BA, BC      10 100 10 BA BC   Câu 15 Cho ba điểm     , B  0;3 , C  A 3;  3;3  a) Tìm đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD     b) Tìm AD AB , AD.BC Lời giải   a) Tú giác ABCD hình bình hành nên AD BC   AD  x  3; y  BC  3;0 D x ; y   Gọi tọa độ điểm D ,   , y  Vậy ta có D  12 3;  1 Từ suy x 12   1    AD AB   AD  AB  b) Ta có    AD.BC  AD 192     AD  AB  Lời giải Trang 10     64  448   187  ;  1     u  i 5j v Câu 16 Cho ki  j Tìm k để     u v a) u  v b)  1  u  ;    2  , v  k ;   Ta có   u  v  k        0  k  40 a) 