knttvcs đại số 12 chương 1 bài 2 gtln gtnn của hàm số chủ đề 6 gtln gtnn của biểu thức đại số lời giải

Biết rằng đồ thị hàm số yf x  có ít nhất một giao điểm với trục hoành... Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos tan cot 1 1 sin cos... Bảng biến thiên.

Trang 1

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số - Bài tập theo CT mới 2025 KNTTVCS

CHỦ ĐỀ 6 TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA BIỂU THỨC

Câu 1. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x0,y1; x y 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 32y23x24xy 5x lần lượt bằng:

A 20 và 18 B. 20 và 15 C 18 và 15 D 15 và 13

Lời giải Chọn B.

Ta có y 3 x 1 x 2 x0;2

Khi đó P x 32 3  x23x24 3x  x  5x x 3x2 5x18

Xét hàm số f x  x3x2 5x18 trên đoạn 0;2 ta có:

0;2

f x

x





Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 32y23x24xy 5x lần lượt bằng 20 và

15

Câu 2. Cho các số thực x, y thõa mãn x0,y0 và x y 1 Giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất

m của biểu thức S(4x23 )(4y y23 ) 25x  xy là:

;

12;

16

; 12 2

; 0 2

Lời giải Chọn A.

Do x y 1 nên S 16x y2 212(x y x )( 2 xy y 2) 34 xy

16x y2 212[(x y )2 3 ] 34 , xy  xy do x y  1 16x y2 2 2xy12

Đặt txy Do x0;y0 nên 0 ( )2 1 [0; ]1

x y

Xét hàm số f t( ) 16 t2 2t12 trên [0; ]1

4 Ta có ( ) 32f t  t 2 ;

1 ( ) 0

16

f t   t

Trang 2

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

1

0;

4

1 191 min ( )

16 16

 

 

 

 

  

0;

4

1 25 max ( )

 

 

 

 

  

 

Vậy giá trị lớn nhất của S là 25

2 đạt được khi

1 1

2

4

2

xy

y







giá trị nhỏ nhất của S là 191

16 đạt được khi

2 3 2 3

1

2 3 2 3

x y

x y xy

x y



 







Câu 3. Cho các số thực x, y thoả mãn x 42y 422xy32 Giá trị nhỏ nhất m của biểu

thức A x 3y33(xy1)(x y  2) là :

A 17 5 5.

4

Ta có x 42y 422xy32 x y 2 8x y  0 0 x y8

3 3 3( 1)( 2) ( )3 3( ) 6 6

2

Đặt t x y Do 0 x y8 nên t [0;8]

Xét hàm số ( ) 3 3 2 3 6

2

f t  t t  t trên [0;8]

( ) 3 3 3, ( ) 0

2

f t  t  t f t   t  hoặc 1 5

2

t  ( loại)

0 0+1212

Trang 3

(0) 6; ( ) ; (8) 398 Suy ra A

4

x y  thì dấu bằng xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 5 5

4



Câu 4. Cho hai số thực x0, y0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện (x y xy x )  2y2 xy Giá trị

lớn nhất M của biểu thức 3 3

1 1

A

  là:

Lời giải Chọn D.

A

Đặt x ty Từ giả thiết ta có: (x y xy x )  2y2 xy (t1)ty3 (t2 t 1)y2

Do đó

2

;

1

2

2 2

2

1

A

 

Xét hàm số

2



Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất của A là: 16 đạt được khi 1

2

Câu 5. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2b2)ab(a b ab )( 2) Giá trị nhỏ nhất

m của biểu thức

P

      

4

Lời giải Chọn C.

Với a, b là các số thực dương, ta có:

2 2 2(a b )ab(a b ab )( 2) 2(a2b2)ab a b ab 2  22(a b )

1 1

2 a b 1 (a b) 2

         

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta được:

(a b) 2 2 2(a b) 2 2 a b 2

             

Trang 4

2

Đặt t a b

b a

  , 5

2

4( 3 ) 9( 2) 4 9 12 18

Xét hàm số: 3 2

( ) 4 9 12 18

f t  t  t  t với 5

2

t 

( ) 6(2 3 2) 0,

2

f t  t  t   t Suy ra 5;

2

min ( )

 







 

  

Vậy min 23

4

P  đạt đươc khi và chỉ khi 5

2

a b

1 1 2

a b

    

( ; ) (2;1)a b

  hoặc ( ; ) (1; 2)a b 

Câu 6. Cho hai số thực dương thỏa mãn 1 x 2; 1 y 2

Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức: 2 2 2 2 1

P

4

8

m 

Do 1 x 2; 1 y 2 nên (x1)(x 2) 0 , nghĩa là x2 2 3x Tương tựy2 2 3y

P

Đặt t x ysuy ra 2 t 4 Xét ( ) 1

1 4( 1)

t

f t

  , với 2 t 4

( )

4( 1) 1

f t

t t



 Suy ra ( ) 0f t   t 3

Mà (2) 11; (3) 7; (3) 53

f  f  f  nên ( ) (3) 7

8

f t f  Do đó 7

8

P 

Khi x1,y2 thì 7

8

P  Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 7

8

Câu 7. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y  x1 2y2 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P x 2y22x1 y18 4 x y Tính giá trị M m

x y 2  x 1 2 y12 3x y  0  x y 3

Trang 5

Đặt t 4 x y t , 1;2

Ta có:    22  2 4 2

f t  t  t

 

2

2 1; 2 2

2 1 0

1 2 1; 2

t t

t

  









  



 1 25;  2 18

Suy ra      

Vậy M m43

Câu 8. Cho x, y 0 thỏa mãn 3

2

x y  và biểu thức 4 1

4

P

  đạt giá trị nhỏ nhất Tính x2y2

A 153

5

2313

25

16.

2

x y  suy ra 3

2

y  x Ta có: 0 , 3

2

x y

Xét hàm  

3 4 2

P x

 



6 4

 

 trên khoảng 0;3

2

 , ta có:

 

2

6 4

P x



P x 

 





6 5 2

x x















Bảng biến thiên của P x  trên 0;3

2

Trang 6

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 0;3  

2

25 min

6

P x

 khi 6

5

Với 6

5

x  thì 3

10

Như vậy min 25

6

P  khi 6

5

10

Khi đó, 2 2 153

100

Câu 9. Cho ba số thực , ,x y z thỏa mãn x0,y0,z1, x y z  2.Biết giá trị lớn nhất của biểu

thức P xyz bằng a

b với

* ,

a b   và a

b là phân số tối giản Giá trị của 2a b bằng

2 3

Xét hàm số   1 2 3

4 4 4

f z  z z z trên 1;2 

Ta có:    2  

2 ( ) 1

z









 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 1

4

P 

Vậy max 1

4

P  khi

1 1 2

z









 



Câu 10. Cho hàm số f x  x4 ax3 bx2 cx 1 Biết rằng đồ thị hàm số yf x  có ít nhất một giao điểm với trục hoành Bất đẳng thức nào sau đây là đúng?

3

Trang 7

Phương trình hoành độ giao điểm x4 ax3 bx2 cx 1 0 1 

Nhận xét x  không phải là nghiệm Với 0 x  phương trình trở thành0

x

2

1

x

2

2 2 2

4 2

2 2

1

x

2

2 2



Vậy để đồ thị hàm số yf x  có ít nhất một giao điểm với trục hoành thì 2 2 2 4

3

Câu 11 Cho x2 xy y 2 2 Giá trị nhỏ nhất của P x 2xy y 2 bằng:

A 2

1

Xét

+12nếu y  thì 0 x  Do đó 2 2 P x 2  suy ra min2 P 2

+12nếu y  ta chia tử mẫu cho 0 2

y ta được

2

1 2

1

   

  

   

   

Đặt t x

y

 , khi đó

2 2

1

t t

 



 

2

'

1

t

f t

t





   



Trang 8

Khi đó min 1

2 3

P

 do đó min 2

3

P 

Câu 12. Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn x2y2 xy1 và hàm số f t  2t3 3t21 Gọi

M , m tương ứng là GTLN và GTNN của 5 2

4

x y

   

 

  Tổng M m bằng:

4

x y

t

x y

 



  Theo giả thiết, 2 2 1 3 2 1 2 1

nên ta đặt

1

3

1

sin

3 2

x

y

x y





Khi đó, 2 3 cos 4sin 2  2 sin 3.cos 1 2 1 

2sin 4



Phương trình  1 có nghiệm t 22  32  1 2t2  3t2 6 0   2 t 2

Xét hàm số Qf t 2t3 3t21, t   2 ; 2

f t  t  t Cho   0 0 2 ; 2

1 2 ; 2

t

f t

t

    



  

    



 2 5 4 2

f    ; f  0 1; f  1 0; f  2  5 4 2

2 ; 2

2; 2

  



 





Vậy M m  4 4 2

Trang 9

Câu 13. Cho các số thực x , y thỏa mãn x y  1 2 x 2 y3 Giá trị lớn nhất của biểu thức

3x y 1 2 x y 3

A 9476

243

148

3 .

Điều kiện x2;y3

Vì 2 x 2 y   3 x y 1 nên từ (*) suy ra x y 12 8x y 1  x y 7

Vì 2 x 2 y 3 0 nên từ (*) suy ra x y 12 4x y 1 1 0

1 4

x y

  



    



1 0

1 4

x y

  



    



1

3

x y

 



   

Do x 2 nên x2 2x, 2

1 2

y   y, suy ra x2y2 1 2x y  Từ đó ta có

Đặt t x y với t 1 hoặc 3 t 7

Xét hàm số f t  3t4 t 1 2 7t 6t 3

     , ta có  1 2188

243

  3 ln 3 2t 4 7 t  1 2 7 tln 2 6

  3 ln 3t 4 2  1 ln 2 2 2 ln 2 0 7 t

Suy ra f t  đồng biến trên 3;7, mà f t  liên tục trên 3;7 và f 3 f 7 0 nên phương trình

f t  có nghiệm duy nhất t 0 3;7

4 148

3

f(t o)

f(t)

0

t f'(t)

t o

+12

Suy ra 4   7  2 2 148

3

       Đẳng thức xảy ra khi x 2, y  1

Câu 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos tan cot 1 1

sin cos

Trang 10

Ta có sin cos tan cot 1 1

sin cos

Đặt tsinxcosx 2 sin

4

 , 2; 2 \ 1 

2 2

,sin cos 2 1

2

t

Suy ra 12

1 2

t



 



2 1

t t

 



Xét hàm số   2

1

t

 

 ,  

 2

2 1

1

g t

t

  



2

1 2 1

t t

 



 ,g t  0  

2 1

2 1 t/m

t

  





  



 2 3 2 2 0,

g    g  20, g  2 1  2 2 1 0 

Ta có bảng biến thiên

g - 2 

g - 2+1 

g 2 

+∞

-∞

y=g(t)

+∞

g 2 

g - 2+1 

g - 2 

g(t)

0

t g'(t)

1

+

- 2

Dựa vào bảng biến thiên suy ra ymin y 2 1  2 2 1

Câu 15. Cho hai số thực ,x y thỏa mãn:9x32 y 3xy 5x 3xy 5 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của P x 3y36xy3 3 x21 x y  2

A 296 15 18

9

 B 36 296 15

9

9x  2 y 3xy 5 x 3xy 5 0

Trang 11

3

27x 6x 3xy 5 3xy 5 2 3xy 5

Xét hàm f t  t3 2t với t 0;

có f t'  3t2   2 0 t 0; nên hàm số liên tục và đồng biến trên 0; 

Khi đó ta có 3x 3xy 5 x0 và 9x2 3xy 5

Với x 0 thì 05 l 

với x 0 thì P x 3y36xy3 3 x21 x y  2

3 3 6xy 9x2 3 x y 2

3 3 6xy 3xy 2 x y 2

 

3 3 3x y2 3xy2 2 x y 4

 

x y3 2x y 4

Mà

2

x



       Đặt t x y thì 4 5

3

Xét f t   t3 2t4 với 4 5

3

t  Khi đó f t 3t2 2 0 với 4 5

3

t

Do đó   4 5 36 296 15

9 3

Suy ra 36 296 15

9

P  Vậy GTNN của P là 36 296 15

9

Câu 16 Cho ,x y  và 0 5

4

x y  sao cho biểu thức 4 1

4

P

  đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó

32

16

x y   y  x, nên 4 1

5 4

P

 

 Xét hàm số 4 1

5 4

P

 

 với 0 5

4

x

 

2

5 4

P

  

 ; P  0 x2 5 4 x2

5

1 0;

4

0;

x x

   



 





 

 



Trang 12

Như vậy: minP 5 khi x 1; 1

4

y 

Khi đó 2 2 17

16

Câu 17 Cho ,x y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 1  xy 1 y 1 x 1

y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2  

2 6 3

P

x y



3  30. B

5 7

3 30. D

5 7 30



y

2

x

       

1

0

4

x

y

   Dấu bằng đạt được khi y  , 2 1

2

x 

2 6 3

P

x y



3

t



y

 và 0;1

4

t   

 

Ta có 2 1 58 7

27 3

t



4

t   

 

Thật vậy 2 1 58 7

27 3

t



 

2

4 1 20 25 6 1

0

 

với mọi 0;1

4

t   

 

8 7

t



Trang 13

Khi đó  

2

1 16 5 32 5 16 5 27

f t

t

4

t   

 

Vậy 58 7 2  

t





1 7 10 5

  

  , dấu bằng đạt được khi 1

2

x  , y  2

Câu 18. Xét các số thực dương , , x y z thỏa mãn x y z  4 và xy yz zx  5 Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức  3 3 3 1 1 1

     

  bằng:

Ta có:

4 4

x y z

  



  



Lại có: x y 2 4xy  2  2 2

3

        Dấu " " xảy ra khi x y

Và x y z  3 x3y3z33x y z x y z      3xy x y  

        64 3 4   z 5z2

Ta có:  3 3 3 1 1 1

      

5

Đặt t z 3 4z25z, với 2 2 50 2

3  z 27 t .

Do đó xét hàm số f t  5 4 3

t

   

 , với 50 2

27 t .

Ta có   202 0, 50; 2

27

t

       nên hàm số f t  liên tục và nghịch biến

Do đó Pmin f  2 25 đạt tại x y 1, z  2

Câu 19 Gọi M , m lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin2018xcos2018x trên  Khi đó:

A M 2, 10081

2

Ta có: 2018 2018

y sin xcos x  2 1009  2 1009

sin x 1 sin x

Đặt tsin2 x, 0 t 1 thì hàm số đã cho trở thành y t10091 t1009

Trang 14

Xét hàm số f t  t10091 t1009 trên đoạn 0;1 

Ta có:   1008  1008

f t  1009t10081009 1  t10080

1008

1

t



1 1

t t



2

t

 

Mà f  1 f  0 1, 1 10081

f  

Suy ra max0;1 f t  f  0 f  1 1,

min

f t f  

Vậy M 1, 10081

2

Câu 20 Cho các số thực x , y thỏa mãn x y 2 x 3 y3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P4x2 y2 15xy

A minP 80 B minP 91 C minP 83 D minP 63

Điều kiện: 3

3

x

y









Ta có x y 2 x 3 y3  x y 2 4x y 8 x 3 y 3 4x y  4  1

0

x y

 



   

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được:

Từ  1 và  2 ta có x y 4;8

Ta lại có x3 y3 0 xy3x y  9

Đặt t x y suy ra P4x2y215xy4x y 27xy4t2 21t 63

Xét hàm số f t  4t2 21t 63, với t 4;8

Ta có   8 21 0 21 4;8

8

f t  t   t  Do đó      

4;8 min f t f 4 83

Do đó P 83 suy ra minP 83khi







Trang 15

Câu 21. Biết rằng bất phương trình m x  1 x2 1 2 x2 x4  x2  1 x2 2 có nghiệm khi và chỉ khi m   ;a 2b

 với a b , Z Tính giá trị của T  a b

Điều kiện:   1 x 1

2 4 2

1

t

  



  



Khi đó, bất phương trình trở thành:

2

1

t

 

     

 (vì t 1;2 nên t  1 0)

Xét hàm số  

1

f t

t

 



 trên 1; 2 

 

 

2 2

0, 1; 2 1

t

 suy ra hàm số đồng biến trên 1; 2 

 

1; 2

3

2

 

 

  ; max1; 2 f t  f  2 1 2 2

 

 

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình

1

m

t

 





có nghiệm t  1; 2

1; 2

 

 

2

a

  , b 1 a b 1

Câu 22 Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2x2y2xyx y xy   2 Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

P

A 25

4

Ta có 2x2y2xyx y xy   2 x y 2 2xy

Đặt a x 2y b xy2;  ta được: 2a b 2 8b a 2b 4a2 4ab15b2 0

Trang 16

5

2

a

b

  Suy ra:

t



Ta có:

P

    4t3 3t 9t2 2 4t3 9t212 18t f t  với 5

2

t 

Khảo sát hàm số f t  với 5

2

4

Câu 23. Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 2 5

4

x y  Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thứcmin

2 1

4

P

 

A min

34

5

65 4

Từ giả thiết ta có 5 2

4

y  x Vì y 0 nên 5 2 0 5

4 x  x8 Do đó

5 0

8

x

4

x P



8

x

P

2

2 2

120 160 50

P

 

0;

0 120 160 50 0

0;

x

   



 



 

 



Dựa vào bảng biến thiên ta có P  min 5

Câu 24 Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 2y37y2 1x  x 3 1 x3 2 y21 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y

Lời giải

Tiêu đề	Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
Chuyên ngành	Đại số
Thể loại	Bài tập
Năm xuất bản	2025

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,52 MB