Quay mặt phẳng chứa hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta được hình trụ tròn xoay.. r AD BC= = : bán kính của hình trụ l CD= : độ dài đường sinh của hình trụ Phần mặ
Trang 1PHẦN 1 – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I ĐỊNH NGHĨA
Khái niệm
Cho ( )P chứa đường thẳng ∆ và l song song với nhau, cách nhau .r
Khi quay ( )P quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra mặt trụ tròn xoay
Gọi tên
Trục: ∆
Đường sinh: .l
Bán kính: .r
II HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ
Khái niệm hình trụ tròn xoay
Xét hình chữ nhật ABCD Quay mặt phẳng chứa hình chữ nhật ABCD quanh
đường thẳng chứa cạnh AB ta được hình trụ tròn xoay ,
Gọi tên
Hình tròn (A AD, ) và (B BC, ) là hai đáy của hình trụ
r AD BC= = : bán kính của hình trụ
l CD= : độ dài đường sinh của hình trụ
Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi
quay quanh AB: Mặt xung quanh của hình trụ
Khoảng cách giữa hai đáy bằng h: chiều cao của hình trụ
Khái niệm khối trụ tròn xoay
Là phần không gian được giới hạn bởi hình trụ tròn xoay, kể cả hình trụ
tròn xoay đó
Điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ: Điểm trong
Điểm không thuộc khối trụ: Điểm ngoài
III CÔNG THỨC DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq =2 πrl Thể tích khối trụ: V =πr h2
VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1 Trong mặt phẳng ( )P cho đường tròn tâm O bán kính , r =6cm. Qua điểm M bất kì nằm trên
đường tròn, ta kẻ đường thẳng m vuông góc với ( )P Chứng minh rằng đường thẳng m nằm trên một mặt trụ tròn xoay xác định
Câu 2 Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10cm Người ta kẻ hai bán kính OA
và O B′ ′ lần lượt nằm trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng 30 ° Cắt khối trụ bởi một mặt
phẳng chứa đường thẳng AB′ và song song với trục của khối trụ đó Hãy tính diện tích của thiết diện
Câu 3 Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 Hai điểm A B, lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 3
2
giữa đường thẳng AB và trục của hình trục
Trang 2Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học Online Môn Toán Website: http://thayduc.vn/
_
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 4 Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB
và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ Biết BD a= 2,DAC= °60 Tính thể tích khối trụ
A 3 232 πa3 B 3 248 πa3 C 3 216 πa3 D 3 616 πa3
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán trường THPT Đô Lương 1 – Nghệ An
Câu 5 Một hình trụ có chiều cao bằng 2 ,a bán kính đáy bằng a Gọi O O′ là tâm hai mặt đáy Kẻ hai bán , kính OA và O B′ ′ lần lượt nằm trên hai mặt đáy sao cho góc giữa chúng bằng 30 ° Gọi ( )α là mặt phẳng
chứa đường thẳng AB′ và song song với OO′ Tính diện tích thiết diện tạo thành khi cắt hình trụ nói trên bởi mặt phẳng ( )α
A a2 2− 3 B 2 a2 C 2a2(2− 3 ) D 2a2 2− 3
Nguồn: Đề thi thử trực tuyến THPT Quốc gia 2023 môn Toán lần 3 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Câu 6 Cho hình trụ có tâm của hai đáy là O và O′ bán kính đáy bằng ,, a chiều cao bằng 2 a Hai điểm ,
M N lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy ( )O và ( )O′ sao cho đường thẳng MN tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 ° Khoảng cách từ tâm O đến mặt phằng (MNO′) bằng
A 2 11
11
a
B 22 11
a
C 6 3
a
D 2 22 11
a
Câu 7 Cho hình trụ ( )T có AB CD, lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn đáy của hình trụ và đồng thời vuông góc với nhau Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 10 Thể tích khối trụ ( )T bằng
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2023 môn Toán sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Câu 8 Cho khối trụ có chiều cao bằng 4 3 và diện tích xung quanh bằng 32 3.π Gọi A và B là hai điểm lần lượt thuộc hai đường tròn đáy của khối trụ sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30 ,° khoảng cách AB và trục của hình trụ bằng
A 4 3
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2023 môn Toán sở GD&ĐT Trà Vinh
Câu 9 Cho khối trụ có trục OO′ =3 a Một khối chóp đều O ABCD có thể tích bằng 2a và đáy 3 ABCD nội tiếp đường tròn ( )O′ là đường tròn đáy của khối trụ Thể tích khối trụ đã cho là
A πa3 B 2πa3 C 4πa3 D 3πa3
Nguồn: Đề thi thử TN THPT 2023 môn Toán lần 2 trường THPT chuyên ĐH Vinh – Nghệ An
Trang 3IF2 – Mặt trụ tròn xoay Website: http://hocimo.vn/
_
Câu 10 Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn có tâm O và O′ mặt phẳng , ( )P đi qua O′ và cắt đường tròn tâm O tại hai điểm A B sao cho tam giác , O AB′ là tam giác đều và có diện tích 3 3 a Biết góc giữa 2
( )
mp P và mặt phẳng đáy bằng 30 ° Thể tích khối trụ bằng
A 118 3
9
a
π
B 59 3 2
a
π
C 117 3 8
a
π
D 117 3 4
a
π
Câu 11 Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O O′ và có bán kính , r = 15 Khoảng cách giữa hai đáy là OO′ =6 Gọi ( )α là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn OO′ và tạo với đường thẳng OO′ một góc
30 ° Diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( )α và hình trụ bằng
Nguồn: Đề khảo sát Toán 12 THPT lần 2 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Phòng
Câu 12 Cho một hình trụ ( )T có hai đường tròn đáy là ( )O và ( )O′ Gọi M N nằm trên đường tròn , ( )O
và P nằm trên đường tròn ( )O′ Biết rằng tam giác MNP đều có cạnh bằng 12 6
5 và mặt phẳng (MNP) tạo với đáy trụ một góc 45 ,° giao điểm của mặt phẳng (MNP) với trục của hình trụ ( )T nằm trong tam giác
MNP Thể tích khối trụ ( )T bằng
A 144 π B 162
5
π
C 163 3
π
D 82 6 5 π
Nguồn: Bộ đề ôn thi tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán sở GD&ĐT Tiền Giang
Câu 13 Cho một cổ vật hình trụ có chiều cao đo được là 81cm, do bị hư hại nên khi tiến
hành đo đạc lại thu được AB=50cm,BC=70cm,CA=80cm, với A B C, , thuộc đường
tròn nắp trên như hình vẽ Thể tích khối cổ vật ban đầu gần nhất với số nào sau đây?
A 6,56m 3 B 0,42m 3
C 1,03m 3 D 0,43m 3
Nguồn: Đề thi thử lần 2 trường THPT Phụ Dực Thái Bình năm 2022-2023
Câu 14 Người ta sản xuất thùng phuy sắt có hình dạng là một hình trụ (có nắp đậy kín) bằng cách cán và gò các tấm thép có độ dày 1mm, biết chiều cao của thùng phuy là 876mm, đường kính ngoài của thùng phuy là
580 mm và khối lượng riêng của thép là 7850 kg / m3 Hỏi mỗi thùng phuy nặng khoảng bao nhiêu kg (tính gần đúng sau dấu phẩy đến 2 chữ số thập phân)?
A 15,57 kg B 18,23kg C 16,63kg D 17,21kg
Nguồn: Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán lần 2 liên trường THPT – Nghệ An