MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM • Δ gọi trục mặt trụ (T) • l gọi đường sinh mặt trụ (T) • R gọi bán kính mặt trụ (T) Cho mặt phẳng (P) song song với trục Δ mặt trụ (T) Khi • (P) cắt (T) theo hai đường sinh d P ; R • (P) tiếp xúc với (T) d P ; R • P T d P ; R • Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R chiều cao h S xq 2 Rh • Diện tích xung quanh hình trụ Stp Sxq Sñ 2 Rh 2 R • Thể tích khối trụ V R h B CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Dạng Bài toán liên quan đến cơng thức, thể tích Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 a bán kính đáy a Tính độ dài đường cao hình trụ A l 2a B l a a D l C l 4a Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h Biết hình trụ có diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh Mệnh đề sau đúng? A h R B h R C h R D 2h R Ví dụ 3: Cho hình trụ có bán kính đáy a, diện tích tồn phần 4 a Thể tích khối trụ cho A V 2 a B V 2 a C V a D V 4 a Ví dụ 4: Cho hình trụ có khoảng cách hai đáy a, tích khối 4 a Diện tích tồn phần hình trụ cho A Stp 8 a B Stp 4 a C Stp 2 a D Stp 12 a Ví dụ 5: Cho hình trụ có diện tích xung quanh 4π, diện tích tồn phần 12π Thể tích khối trụ cho A V 12 B V 4 C V 8 D V 6 II Dạng Bài toán thiết diện với hình trụ Ví dụ 1: Cắt hình trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cạnh 2a Diện tích xung quanh hình trụ A 16 a B 4 a C 8 a D 2 a Ví dụ 2: Cho hình trụ có diện tích tồn phần 6π có thiết diện cắt mặt phẳng qua trục hình vng Thể tích khối trụ cho A 2π B 4π C 8π D 12π Ví dụ 3: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π, thiết diện qua trục hình vng Một mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện tứ giác ABB'A', biết cạnh thiết diện dây cung đường trịn đáy cùa hình trụ căng cung 120° Tính diện tích thiết diện ABB'A' A B 2 C D 3 III Dạng Hình trụ nội - ngoại tiếp hình lăng trụ đứng Phương pháp: Hình trụ nội - ngoại tiếp lăng trụ đứng có chiều cao độ dài cạnh bên lăng trụ đáy đường tròn nội - ngoại tiếp đa giác đáy lăng trụ (tham khảo hình vẽ) Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy 2, chiều cao Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ A 6π B 4π C 8π D 12π Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A, AB a , AC a Góc đường thẳng A'B mặt phẳng đáy 600 Thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ cho A a B 3 a C 3 a D 2 a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB 3a, BC 5a Khối trụ nội tiếp lăng trụ đứng tích 2 a Thể tích khối lăng trụ đứng A 16a B 6a C 12a D 8a IV Dạng Hình trụ nội, ngoại tiếp hình cầu Ví dụ 1: Cho hình trụ có chiều cao nội tiếp hình cầu bán kính Tính thể tích V khối trụ A 4π B 8π C 12π D 20π Ví dụ 2: Hình trụ (T) có bán kính đáy 3a, chiều cao 8a có hai đáy nằm mặt cầu (S) Thể tích khối cầu A 125 a Ví dụ 3: Một cầu tích B 25 a C 500 a D 375 a 256 cm3 đặt vào cốc có dạng hình trụ với đường kính đáy cm hình vẽ Phần nhô khỏi cốc cầu (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 2,21 cm B 2,38 cm C 4,52 cm D 6,65 cm LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình trụ có diện tích tồn phần 16π, thể tích khối trụ 8π Diện tích xung quanh hình trụ cho A V 12 B V 4 C V 8 D V 6 Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = 2a Thể tích khối trụ tạo thành quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB A 4 a B 2 a C 8 a D 12 a Bài 3: Hình trụ (T) sinh quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN, với M, N trung điểm AB CD Biết AC 2a 2, ACB 450 Diện tích tồn phần hình trụ cho A 4 a B 12 a C 8 a D 6 a Bài 4: Từ tơn hình chữ nhật có kích thước 50 240, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50, theo hai cách sau (xem hình vẽ minh họa): Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai tôn nhau, gị thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 thể tích thùng gị theo cách Khi tỉ số V1 V2 A B C D Bài 5: Người ta thả viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ 4,5 cm vào cốc hình trụ chứa nước viên billiards tiếp xúc với đáy cốc tiếp xúc với mặt nước sau dâng (tham khảo hình vẽ bên) Biết bán kính phần đáy cốc 5,4 cm chiều cao mực nước ban đầu cốc 4,5 cm Bán kính viên billiards A 2,7 cm B 4,2 cm C 3,6 cm D 2,6 cm Bài 6: Mặt tiền biệt thự có cột hình trụ trịn, tất có chiều cao 4,2 m Trong số đó, có hai cột trước đại sảnh đường kính 40 cm, sáu cột cịn lại phân bố hai bên đại sảnh chúng có đường kính 26 cm Chủ nhà th nhân cơng để sơn cột loại sơn giả đá, biết giá thuê 380 000/1 m2 (kể vật liệu sơn thi công) Hỏi người chủ tiền để sơn hết cột nhà (đơn vị đồng)? (lấy 3,14159 ) A 11 833 000 đồng B 12 242 000 đồng C 10 405 000 đồng D 13 657 000 đồng Bài 7: Một xưởng sản xuất muốn tạo đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát hai nửa hình cầu Hình vẽ bên với kích thước cho thiết kế thiết diện qua trục đồng hồ (phần tô màu làm thủy tinh) Khi đó, lượng thủy tinh làm đồng hồ cát gần với giá trị giá trị sau A 602,2 cm3 B 1070,8 cm3 C 6021,3 cm3 D 711,6 cm3 Bài 8: : Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a, góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (ABC) 600 Diện tích xung quanh hình trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC chiều cao chiều cao hình chóp A 2 a B 2 a C 3 a 3 a D Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2, góc cạnh bên SA mặt đáy 30° Gọi S diện tích tồn phần hình trụ có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD chiều cao chiều cao hình chóp S.ABCD Khẳng định đúng? A S 10,181 B S 11, 413 C S 13, 285 D S 12, 669 Bài 10: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A 10 cm B 10 cm C 500 cm D 500 cm Bài 11: : Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao hình trụ cách trục khoảng A 3R B 3R Mặt phẳng (α) song song với trục R Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng (α) 3R C 3R D 3R Bài 12: Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vuông ABCD cạnh với AB đường kính đường trịn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung AB đường tròn đáy cho ABM 60 Thể tích khối tứ diện ACDM A B C 12 D Bài 13: Một hình trụ có bán kính đáy R = 70 cm, chiều cao hình trụ h 20cm Một hình vng có đỉnh nằm hai đường trịn đáy cho có cạnh khơng song song khơng vng góc với trục hình trụ Khi đó, cạnh hình vng A 80 cm B 100 cm C 100 cm D 140 cm Bài 14: Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 30° Khoảng cách AB trục hình trụ A R B R C R D R Bài 15: Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O', bán kính chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O' lấy điểm B cho AB 2a Thể tích khối tứ diện OO'AB A 3a 12 B 3a C 3a D 3a Bài 16: Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O'), chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng (α) qua trung điểm OO' tạo với đường thẳng OO' góc 30° Mặt phẳng (α) cắt đường trịn đáy theo dây cung có độ dài A R B R C 2R D R Bài 17: Một cốc hình trụ có đường kính đáy cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ đến mép nước ngang với đường kính đáy cốc Khi diện tích bề mặt nước cốc A 26 cm C 26 cm B 26 cm D 26 cm 10 Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên a, đáy tam giác vng cân A Góc đường thẳng AC' mặt phẳng (BCC'B') 300 Diện tích xung quanh khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' A B 2 a 2 a C a D 4 a Bài 19: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có góc hai mặt phẳng (A'BC) (ABC) 30° Biết AB a , thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ cho A 3 a B 3 a C 3 a D 3 a Bài 20: Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a A a B 2 a C 2 a D 4 a Bài 21: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB a, AD 2a Diện tích tam giác A'DC a 13 Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho A 5 a B 3 a C 15 a D 5 a Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy ABCD hình vng cạnh a, góc hai mặt phẳng (A'BD) (ABCD) 45° Diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp lăng trụ đứng cho A a2 B a2 C 2 a D 2 a Bài 23: Cho mặt cầu (S) có bán kính R khơng đổi (cho trước) Một hình trụ có chiều cao h bán kính r thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn A h R B h R C h R D h R Bài 24: Cho mặt cầu (S) có bán kính R khơng đổi (cho trước) Một hình trụ có chiều cao h bán kính r thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo R cho thể tích khối trụ lớn A h R B h 2R C h R D h R