BÀI 2 mặt TRỤ

BÀI 2: MẶT TRỤ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT TRỤ TRÒN XOAY Trong mp  P  cho hai đường thẳng  l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mp  P  xung quanh  đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ thẳng  gọi trục - Đường thẳng l gọi đường sinh - Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ - Đường HÌNH TRỤ TRỊN XOAY Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB , đường gấp khúc ABCD tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ - Đường thẳng AB gọi trục - Đoạn thẳng CD gọi độ dài đường sinh - Độ dài đoạn thẳng AB  CD  h gọi chiều cao hình trụ (độ dài đường sinh chiều cao hình trụ) - Hình trịn tâm A, bán kính r  AD hình trịn tâm B , bán kính r  BC gọi hai đáy hình trụ Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh CD quay quanh AB gọi mặt xung quanh hình trụ - KHỐI TRỤ TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ ta gọi khối trụ tròn xoay hay ngắn gọn khối trụ Các khái niệm tương tự hình trụ CƠNG THỨC CẦN NHỚ Cho hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r ta có: - Diện tích xung quanh S xq  2 rh - Diện tích đáy (hình trịn) S ht   r - Diện tích tồn phần Stp  S xqĐ 2.S  2 rh  2 r Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình trụ hay khối trụ - ta thường vẽ hình bên Thể tích khối trụ Vkt  B.h   r h Trang 192 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích thiết diện, chiều cao, bán kính đáy, diện tích đáy hình trụ Bài tập 1: Cho hình trụ có chiều cao 3 Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 18 Diện tích xung quanh hình trụ cho B 6 39 A 6 C 3 39 D 12 Hướng dẫn giải Chọn D Thiết diện thu hình chữ nhật ABCD OO '/ /  ABCD  , gọi I trung điểm AB Ta có OI   ABCD   d  OO ';  ABCD    d  O;  ABCD    OI  S ABCD  AB.BC  AB.3  18  AB   AI   r  OA  OI  AI  Diện tích xung quanh hình trụ cho S xq  2 rl  12 Bài tập 2: Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O'), thiết diện qua trục hình trụ hình vng Gọi A, B hai điểm nằm hai đường tròn (O) (O') Biết AB = 2a khoảng cách hai đường thẳng AB 00' Bán kính đáy A a 17 B a 14 C a 14 a Bán kính đáy D a 14 Hướng dẫn giải Chọn C A’ Gọi r bán kính đáy Do thiết diện qua trục hình vng nên độ dài đường sinh 2r Dựng đường sinh AA' Gọi M trung điểm A' B Lưu ý: d  OO’, AB  = + O'M + Góc AB mặt đáy góc ·ABA ' + Góc AB OO' góc ·A ' AB Trang 193  O ' M   AA ' B   d  OO ', AB   O ' M  O'M  a Ta có A ' B  AB  AA '2  4a  4r Mặt khác A ' M  O ' A '2  O ' M '2  r   a  4r  r  3a 3a a 14 r 4 Bài tập 3: Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O'), chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng    qua trung điểm OO ' tạo với OO ' góc 30 Hỏi    cắt đường trịn đáy theo dây cung có độ dài bao nhiêu? A 2R B 4R 3 C 2R D 2R Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I trung điểm OO ' Khi đó, mặt phẳng    =  IAB  Hạ OH  AB, OK  IH Dễ thấy H trung điểm AB OK   IAB  Suy ·  30 (vì KIO  OO ',       IO,  IAB     OI , KI   KIO vng O) Khi KO  R IO  Vì HIO vng O nên 2 1   2 OK OH OI  1 R2       OH  OH OK OI R R R  AH  OA2  OH  R  AB  R2 R  3 2R Trang 194 Bài tập 4: Cho hình trụ có chiều cao Biết mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB = A'B' = 6, dỉện tích hình chữ nhật ABB'A' 60 Bán kính đáy hình trụ A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Diện tích hình chữ nhật ABB'A' 60 (cm2) Lưu ý: Bài tập Bài tập đề cho khác thiết diện giống Ở Bài tập thêm cách hỏi khác dù thiết diện nên AB.BB' = 60  6.BB '  60  BB '  10 Ta có MK  Chiều cao hình trụ (cm) nên MO  OK  MK  MO  25  18  7; AB   KB  BO  OK  KB    Bài tập 5: Một hình trụ có bán kính đáy chiều cao a Một hình vng ABCD có AB, CD hai dây cung đường trịn đáy mặt phẳng ABCD khơng vng góc với đáy Diện tích hình vng 5a A B 5a 5a 2 C 2 5a D Hướng dẫn giải Chọn D Đặt AB  AD  x  S ABCD  x Gọi A', B' hình chiếu vng góc A, B lên mặt đáy hình trụ Xét tam giác AA'D vng A' ta có A ' D  AD  AA '2  x  a Mặt khác, gọi I trung điểm A ' D ta có: 1  A ' D  A ' I  O ' A '  O ' I  O ' A '   CD  2  2 2 1   a   2x   a2  x2 2  Trang 195 4x2  a2  a2  x  4x  a2   a2  x2  Do  4x2  5a 5a Vậy S ABCD  (đvdt) 2 Dạng 1: Thể tích khối trụ, toán cực trị Bài tập 1: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có · cạnh AB cạnh CD nằm hai đáy khối trụ Biết BD  a , DCA  30 Tính theo a thể tích khối trụ A 3 a 48 B 3 a 32 C 3 a 16 D a 16 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có AC  BD  a Mặt khác xét tam giác ADC vng D, ta có AD  AC.sin 30  2 ah a 2 CD  AC cos30  CD ar  a 2   3 a a  a Nên V   r h     16   Bài tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 3AB Gọi V1 thể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AB, V2 thể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật V1 quay xung quanh cạnh AD Tỉ số V2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Trang 196 Khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB có bán kính đáy chiều cao r1  AD  AB; h1  AB Khi đó, thể tích khối trụ V1   r1 h1  9 AB Khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AD có bán kính đáy chiều cao r2  AB; h2  AD  AB Khi đó, thể tích khối trụ V2   r2 h2  3 AB Vậy V1 9 AB   V2 3 AB AD a Quay hình thang miền quanh đường thẳng chứa cạnh BC Thể tích V khối tròn xoay tạo thành Bài tập 3: Cho hình thang ABCD vng Avà B với AB  BC  4 a A V  5 a B V  C V   a 7 a D V  Hướng dẫn giải Chọn B Thể tích V  V1  V2 Trong V1 thể tích khối trụ có bán kính đáy BA  a chiều cao AD  2a;V2 thể tích khối nón có bán kính đáy B ' D  a chiều cao CB '  a 5 a Khi V  V1  V2   a 2a   a a  3 Bài tập 4: Cho hình trụ có bán kính đáy a cắt hình trụ mặt phẳng  P  song song với a trục hình trụ cách trục hình trụ khoảng ta thiết diện hình vng Thể tích khối trụ A 3 a B  a 3 C  a3 D  a Hướng dẫn giải Chọn B Trang 197 Giả sử hình vng ABCD thiết diện hình trụ cắt  P  hình vẽ Gọi H, K trung điểm AD, BC Ta có OH  AD  OH   P   d  O;  P    OH  OH  Do AD  AH  OA2  OH  a a a Suy OO '  AB  AD  a Vậy nên V   R h   a a   a3 Bài tập 5: Cắt khối trụ cao 18cm mặt phẳng, ta khối hình Biết thiết diện elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy 8cm 14cm Tỉ số thể tích hai khối chia (khối nhỏ chia khối lớn) A 11 B C 11 D 11 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi V1;V2 thể tích khối nhỏ khối lớn Ta tích khối trụ V   R   14   11 R 2 (với R bán kính khối trụ)  R   14  Thể tích V2   11 R V1 V  V2 18 R  11 R    Vậy V2 V2 11 R 11 Bài tập 6: Cho tam giác vuông cân ABC có AB  AC  a hình chữ nhật MNPQ với MQ = 3MN xếp chồng lên cho M,N trung điểm AB, AC (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình quanh trục AI, với / trung điểm PQ A V  11 a Trang 198 5 a 11 a V  C 17 a D V  24 B V  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có BC  AB  AC  2a  MN  a, MQ  2a Gọi E, F trung điểm MN BC AF  a, EF  a  IF  a 2 Vậy thể tích cần tìm tổng thể tích khối nón có chiều cao AF bán kính đáy FB thề tích khối trụ có chiều cao IF bán kính IQ 1  a  17 V   AF FB   IF IQ   a.a   a     a3 3 2 24 Bài tập 7: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông cân A, góc AC' mặt phẳng  BCC ' B '  30 (tham khảo hình vẽ) Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' A  a B 2 a C 4 a D 3 a Hướng dẫn giải Chọn C Trang 199 Gọi bán kính hình trụ R Ta có CC '   ABC   CC '  AI Lại có tam giác ABC tam giác vng cân A nên AI  BC AI   BCC ' B ' hay góc · 'A AC’ mặt phẳng  BCC ' B '  IC Xét tam giác AIC ' ta có IC '  AI R · 'A tan IC Xét tam giác CIC ' ta có IC '2  IC  CC '2  3R  R  4a  R  a Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' V   R 2h  4 a Bài tập 8: Trong tất khối trụ có thể tích 330, xác định bán kính đáy khối trụ có diện tích tồn phần nhỏ A 165  B 165  C 330  D 330  Hướng dẫn giải Chọn A V  330  h R  330  h  330  R2 Khi diện tích tồn phần khối trụ S  h.2 R  2 R 330 660 S 2 R  2 R  S   2 R 2 R R Ta xem S hàm số ẩn R Xét S '   660  4 R R2 660 660  4 R 165 S '     4 R   0 R R R  Lập bảng biến thiên ta có Bài tốn hỏi bán kính đáy nên ta xem bán kính đáy ẩn, tính diện tích xung quanh theo bán kính đáy Trang 200 Vậy S đạt giá trị nhỏ R  165  Bài tập 9: Thể tích lớn khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R A 4 R 3 B 8 R 3 C 8 R 27 D 8 R 3 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi X khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt đáy hình trụ (0 < X