BÀI 2 mặt TRỤ

BÀI MẶT TRỤ MỤC TIÊU Kiến thức: Nắm định nghĩa mặt trụ trịn xoay, hình trụ trịn xoay khối trụ tròn xoay Nắm vững cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ, diện tích đáy hình trụ, diện tích tồn phần hình trụ, thể tích khối trụ Kỹ năng: Nhận biết khối tròn xoay khối trụ Tỉnh yếu tố liên quan đến hình trụ, khối trụ chiều cao, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích thiết diện, thể tích khối trụ Giải toán liên quan đến khối trụ toán cực trị, toán thực tế I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT TRỤ TRÒN XOAY Trong mp  P  cho hai đường thẳng ∆ I song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mp  P  xung quanh đường thẳng I sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ - Đường thẳng ∆ gọi trục - Đường thắng I gọi đường sinh - Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ HÌNH TRỤ TRỊN XOAY Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB, đường gấp khúc ABCD tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ - Đường thẳng AB gọi trục - Đoạn thẳng CD gọi độ dài đường sinh - Độ dài đoạn thẳng AB  CD  h gọi chiều cao hình trụ (độ dài đường sinh chiều cao hình trụ) - Hình trịn tâm A, bán kính r = AD hình trịn tâm B, bán kính r = BC gọi hai đáy hình trụ - Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh CD quay quanh AB gọi mặt xung quanh hình trụ KHỐI TRỤ TRỊN XOAY Trang Phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kế hình trụ ta gọi khối trụ tròn xoay hay ngắn gọn khối trụ Các khái niệm tương tự hình trụ Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình trụ hay khối trụta thường vẽ hình bên CƠNG THỨC CẦN NHỚ Cho hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r ta có: - Diện tích xung quanh S xq  2 rh - Diện tích đáy (hình trịn) Sht   r - Diện tích tồn phần Stp  S xq  2.S D  2 rh  2 r - Thể tích khối trụ Vkt  B  h   r h SƠ ĐỒ HỆ THỐNG MẶT TRỤ Trang II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Câu hỏi lý thuyết mặt trụ, hình trụ, khối trụ Phương pháp giải Nắm vững lý thuyết mặt trụ, hình trụ, khối trụ Ví dụ: Tập hợp điểm M không gian cách đường thẳng ∆ cố định khoảng không đổi  R  0 A Hai đường thẳng song song B Một mặt cầu, C Một mặt nón D Một mặt trụ Hướng dẫn giải Tập hợp điểm M không gian cách đường thẳng ∆ cố định khoảng R không đổi  R   mặt trụ Chọn D Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Thể tích V khối trụ có bán kính đáy R, độ dài đường sinh xác định công thức sau đây? 1 A V   R2 B V   R3 C V   R D V   R 3 Hướng dẫn giải V  S Đ    R2 Chọn A Lưu ý: Đây câu hỏi lý thuyết, cần nhớ cơng thức tính thể tích khối nón giống cơng thức thức tính thể tích khối chóp cơng thức tính thể tích khối trụ giống cơng thức tính thể tích khối lăng trụ (bằng diện tíchđáy nhân chiều cao) Ví dụ Cho hai điểm A, B cố định Tập hợp điểm M cho diện tích tam giác MAB khơng đổi A mặt phẳng B mặt trụ C mặt cầu D không xác định Hướng dẫn giải Vì AB cố định nên diện tích tam giác MAB không đổi dễ d  M , AB   const hay M thuộc mặt trụ trục đường thẳng AB Chọn B Chú ý: 1 SMAB  d ( M , AB )  AB  MH AB 2 Bài tập tự luyện dạng Câu : Chọn khẳng định sai khẳng định sau A Hình cầu có vơ số mặt phẳng đối xứng B Mặt cầu mặt tròn xoay sinh đường tròn quay quanh đường kính C Cắt hình trụ trịn xoay mặt phẳng cắt trục hình trụ ta được thiết diện hình trịn D Cắt hình nón tròn xoay mặt phẳng qua trục thu thiết Câu : Mệnh đề sau sai? A Tồn mặt trụ tròn xoay chứa tất cạnh bên hình lập phương B Tồn mặt trụ tròn xoay chứa tất cạnh bên hình hộp C Tồn mặt nón trịn xoay chứa tất cạnh bên hình chóp tứ giác D Tồn mặt cầu chứa tất đỉnh hình tứ diện ĐÁP ÁN 1-C 2-B Trang Dạng Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích thiết diện, chiều cao, bán kính đáy, diện tích đáy hình trụ Phương pháp giải Nắm vững cơng thức diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích đáy Biết sử dụng kết phần kiến thức quan hệ song song, quan hệ vng góc, hệ thức lượng tam giác… để áp dụng vào tính tốn Ví dụ: Cho khối trụ (T) có bán kính đáy R = 1, thể tích V  5 Diện tích tồn phần hình trụ tương ứng A S  12 B S  11 C S  10 D S  7 Hướng dẫn giải Vì bán kính đáy R = 1, thể tích V    12 h  5  h  Vậy diện tích tồn phần hình trụ S  2 1.5  2 12  12 Chon A Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình trụ có chiều cao 3 Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 18 Diện tích xung quanh hình trụ cho A 6 Hướng dẫn giải B 6 39 C 3 39 D 12 Thiết diện thu hình chữ nhật ABCD OO '/ /  ABCD  , gọi trung điểm AB ta có OI  ( ABCD)  d  OO ;( ABCD)   d (O;( ABCD))  OI  S ABCD  AB  BC  AB.3  18  AB   AI   r  OA  OI  AI  Diện tích xung quanh hình trụ cho S xq  2 rI  12 Chọn D Ví dụ Cắt hình trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cạnh 2a Diện tích xung quanh hình trụ A 2 a B 8 a2 C 4 a D 16 a2 Hướng dẫn giải Trang Do thiết diện hình vng cạnh 2a nên chiều cao h hình trụ 2a đường kính mặt đáy da suy bán kính đáy r = a Khi diện tích xung quanh hình trụ S xq  2 m  4 a Chọn C Ví dụ Cho hình trụ có diện tích xung quanh 50 độ dài đường sinh đường kính đường trịn đáy Bán kính r đường tròn đáy A r  B r   C r  2 D r  2 Hướng dẫn giải Theo giả thiết, độ dài đường sinh l  2r Ta có S xq  2 rl  50  2r  25  r  2 Chọn D Ví dụ Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O'), thiết diện qua trục hình trụ hình vng Gọi A, B hai điểm nằm hai đường tròn (O) (O') Biết AB = 2a khoảng cách hai đường thẳng AB OO ' a 17 Hướng dẫn giải A B a 14 a Bán kính đáy C a 14 D a 14 Gọi r bán kính đáy Do thiết diện qua trục hình vng nên độ dài đường sinh 2r Dựng đường sinh AA' Gọi M trung điểm A ' B  O M   AA B   d  OO , AB   O M  O M  a Ta có A B  AB  AA2  4a  4r Trang Mặt khác A M  AB  AA2  4a  4r  4a  4r  r  3a a 14 r 4 Chọn C Lưu ý:  d  OO', AB   O ' M + Góc AB mặt đáy góc ABA ' + Góc AB OO ' góc A ' AB Ví dụ Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O'), chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng (α) qua trung điểm OO ' tạo với OO ' góc 300 Hỏi (α) cắt đường trịn đáy theo dây cung có độ dài bao nhiêu? 2R Hướng dẫn giải A 4R 3 B C 2R D 2R Gọi I trung điểm OO' Khi đó, mặt phẳng     IAB  Hạ OH  AB,OK  IH Dễ thấy H trung điểm AB OK   AB  Suy OO ,( )   (IO,(AB))  (OI , KI )  KIO  30  Khi KO   (vì ∆KIO vng O) R 1 IO  Vì ∆HIO vng O nên   2 2 OK OH OI 1 R2       OH  OH OK OI R R R  AH  OA2  OH  R   AB  R2 R  3 2R Chọn A Ví dụ Cho hình trụ có chiều cao Biết mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB  A ' B '  , diện tích hình chữ nhật ABB ' A ' 60 Bán kính đáy hình trụ A Hướng dẫn giải B C D Trang Diện tích hình chữ nhật ABB ' A ' 60  cm  nên AB.BB '  60 66.BB '  60  BB '  10 Ta có MK  Chiều cao hình trụ  cm  nên MO  OK  MK  MO  25  18  AB   KB  BO  OK  KB    Chọn C Lưu ý: Ví dụ ví dụ đề cho khác thiết diện giống Ở ví dụ thêm cách hỏi khác dù thiết diện Ví dụ Một hình trụ có bán kính đáy chiều cao a Một hình vng ABCD có AB,CD hai dây cung đường tròn đáy mặt phẳng (ABCD) khơng vng góc với đáy Diện tích hình vng 5a Hướng dẫn giải B 5a2 A C 5a 2 D 5a 2 Đặt AB  AD  x  S ABCD  x Gọi A ', B ' hình chiếu vng góc A, B lên mặt đáy hình trụ Xét tam giác AA'D vng A ' ta có A D  AD  AA2  x  a Mặt khác, gọi trung điểm A'D ta có: 1  A D  A I  O A  O I  OA   CD  2     2  2 2 1   a   2x   a2  x2 2  Do 4x2  a2  a2  x2  4x2  a2   a2  x2  Trang  x2  5a 5a Vậy S ABCD  (đvdt) 2 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu : Cho hình trụ (T) có đáy đường trịn tâm O O ' , bán kính 1, chiều cao hình trụ Các điểm A, B nằm hai đường tròn  O   O '  cho góc  OA, O ' B   600 Diện tích tồn phần tứ diện OAO ' B A S   19 B S   19 C S   19 Câu : Cho hình trụ có tỉ số diện tích xung quanh diện tích tồn phần D S   19 Biết thể tích khối trụ 4 Bán kính đáy hình trụ A B C D.2 Câu : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  6, AD  8, AC  12 Diện tích xung quanh S xq hình trụ có hai đường trịn đáy hai đường trịn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' A S xq  20 11 B S xq  10 11 C S xq  10(2 11  5) D S xq  5(4 11  5) Câu : Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ', biết góc hai mặt phẳng  A ' BC   ABC  450, diện tích tam giác ABC a Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' 4 a 8 a B 2 a C 4 a D 3 Câu : Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường tròn đáy 6cm, chiều dài lăn 25cm (như hình đây) Sau lăn trọn 10 vịng trục lăn tạo nên tường phẳng diện tích A A 1500 cm2 B 150 cm2 C 3000 cm2 D 300 cm2 Câu : Cho hình trụ có chiều cao cm Biết mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB  A ' B '  6cm , diện tích tứ giác ABB ' A ' 60 cm2 Tính bán kính đáy hình trụ cm Câu : Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy cm Điểm A nằm đường tròn đáy tâm O, điểm B nằm đường tròn đáy tâm O hình trụ Biết khoảng cách đường thẳng OO ' A 5cm B 2cm C 4cm D AB 2 cm Khi khoảng cách O ' A OB Trang A cm B cm C 3cm D cm Câu Cho khối trụ có hai đáy hai hình tròn  O; R   O; R  , OO '  R Trên đường tròn (O;R) lấy hai điểm A, B cho AB  a Mặt phẳng (P) qua A, B cắt đoạn OO ' tạo với đáy góc 600, (P) cắt khối trụ theo thiết diện phần elip Diện tích thiết diện  4 3 A   R    1-A 2-D  2 3 B   R    3-A 4-C  2 3 C   R    ĐÁP ÁN 5-A 6-C 7-D  4 3 D   R    8-A Dạng Thể tích khối trụ, tốn cực trị Phương pháp giải Tương tự dạng toán phần khối nón Ví dụ: Tính theo a thể tích khối trụ có bán kính đáy a, chiều cao 2a A 2 a3 B 2 a 3 C  a3 D  a3 Hướng dẫn giải Thể tích khối trụ V   R2 h    a2  2a  2 a3 Chon A Ví dụ mẫu Ví dụ Một hình trụ có bán kính đáy a, chu vi thiết diện qua trục 10a Thể tích khối trụ cho 4 a 3 Hướng dẫn giải A B 3 a3 C 4 a3 D  a3 Gọi ABCD thiết diện qua trục hình trụ, ta có ABCD hình chữ nhật Từ giả thiết suy AB  2a  AB  BC   10a  BC  3a Vậy thể tích khối trụ cho bằng: Trang 10  a2 3a  3 a3 Chọn B Ví dụ Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có cạnh AB cạnh CD nằm hai đáy khối trụ Biết BD  a 2, DCA  300 Tính theo a thể tích khối trụ 3 a 48 Hướng dẫn giải A B 3 a 32 C 3 a 16 D a 16 Ta có AC  BD  a Mặt khác xét tam giác ADC vuông D, ta có 2 ah a 2 CD CD  AC  cos 300  ar   a 2 AD  AC  sin 300    3 Nên V   r h     a  a  a    16   Chọn C Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AD  AB Gọi V1 thể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AB,V2 thể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AD Tỉ số A V1 V2 B C D Hướng dẫn giải Khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB có bán kính đáy chiều cao r1  AD  AB; h1  AB Khi đó, thể tích khối trụ V1   r12 h1  9 AB3 Khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AD có bán kính đáy chiều cao r2  AB; h2  AD  3AB Khi đó, thể tích khối trụ V2   r22 h2  3 AB3 Vậy V1 9 AB3  3 V2 3 AB Chọn B Trang 11 AD a Quay hình thang miền quanh đường thẳng chứa cạnh BC Thể tích V khối trịn xoay tạo thành Ví dụ Cho hình thang ABCD vng A B với AB  BC  4 a3 Hướng dẫn giải A V  B V  5 a 3 C V   a3 D V  7 a3 Thể tích V  V1  V2 Trong V1 thể tích khối trụ có bán kính đáy BA = a chiều cao AD  2a;V2 , thể tích khối nón có bán kính đáy B ' D  a chiều cao CB '  a 5 a3 Khi V  V1  V2   a  2a   a  a  3 Chọn B Ví dụ Cho hình trụ có bán kính đáy a Cắt hình trụ mặt phẳng (P) song song với trục a hình trụ cách trục hình trụ khoảng ta thiết diện hình vng Thể tích khối trụ A 3 a3 B  a3 C  a3 D  a3 Hướng dẫn giải Giả sử hình vng ABCD thiết diện hình trụ cắt (P) hình vẽ Gọi H, K trung điểm AD, BC a Ta có OH  AD  OH  ( P)  d (O;( P))  OH  OH  Do AD  AH  OA2  OH  a a Suy OO  AB  AD  a Vậy nên V   R2h   a2  a   a3 Chọn B Ví dụ Cắt khối trụ cao 18cm mặt phẳng, ta khối hình Biết thiết diện elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy 8cm 14cm Tỉ số thể tích hai khối chia (khối nhỏ chia khối lớn) Trang 12 11 Hướng dẫn giải A B C 11 D 11 Gọi V1;V2 , thể tích khối nhỏ khối lớn Ta tích khối trụ V   R2 18 (với R bán kính khối trụ) Thể tích V2   R (8  14)  11 R 2 V V  V2 18 R  11 R   Vậy  V2 V2 11 R 11 Chọn D Ví dụ Cho tam giác vng cân ABC có AB  AC  a hình chữ nhật MNPQ Với MQ  3MN xếp chồng lên cho M,N trung điểm AB, AC (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình quanh trục AI, Với trung điểm PQ 11 a Hướng dẫn giải A V  B V  5 a C V  11 a D V  17 a 24 Ta có BC  AB2  AC  2a  MN  a, MQ  2a Gọi E, F trung điểm MN BC a AF  a, EF   IF  a 2 Vậy thể tích cần tìm tổng thể tích khối nón có chiều cao AF bán kính đáy FB thể tích khối trụ có chiều cao IF bán kính IQ Trang 13 1  a  17 V   AF FB   IF I Q    a  a    a      a3 3   24 Chọn D Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông cân A, góc AC ' mặt phẳng  BCC ' B ' 300 (tham khảo hình vẽ) Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A ' B ' C ' A  a3 B 2 a3 C 4 a3 Hướng dẫn giải D 3 a3 Gọi bán kính hình trụ R Ta có CC  ( ABC)  CC  AI Lại có tam giác ABC tam giác vuông cân A nên AP  BC AI   BCC ' B ' hay góc AC' mặt phẳng  BCC ' B ' IC ' A AI Xét tam giác AIC ' ta có IC   R tan IC ' A Xét tam giác CIC ' ta có IC 2  IC  CC  3R  R  4a  R  a Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A ' B ' C ' V   R2 h  4 a3 Chọn C Ví dụ Trong tất khối trụ có thể tích 330, xác định bán kính đáy khối trụ có diện tích tồn phần nhỏ 165 x Hướng dẫn giải A B 165  C 330  D 330  330  R2 Khi diện tích tồn phần khối trụ V  330  h. R  330  h  Trang 14 S  h.2 R  2 R2 330 660 S  2 R  2 R  S   2 R 2 R R 660 Ta xem S hàm số ẩn R Xét S     4 R R 660 660  4 R3 165   R   0 R 2 R R  Lập bảng biến thiên ta có S'    Vậy S đạt giá trị nhỏ R  165  Chú ý: Bài tốn hỏi bán kính đáy nên ta xem bán kính đáy ân, tính diện tích xung quanh theo bán kính đáy Ví dụ 10 Thể tích lớn khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R 4 R 3 A Hướng dẫn giải 8 R 3 B 8 R3 C 27 8 R 3 D Gọi x khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt đáy hình trụ   x  R  Bán kính đáy hình trụ r  R  x Thể tích khối trụ V   r h   r 2 x  2  R  x  x  f  x  f  ( x)  2 R  6 x ; f  ( x)   x  R 3 (vì x  ) Ta có bảng biến thiên sau Vậy thể tích lớn khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R Vmax  R  4 R3  f      Trang 15 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu : Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật có cạnh cạnh CD nằm hai đáy khối trụ Biết BD  a 2, DAC  600 Thể tích khối trụ 3 3 3 B C D a a a a 16 16 32 48 Câu : Thể tích khối trụ trịn xoay sinh quay hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AD biết AB  3, AD  A A 48 B 36 C 12 D 72 Câu : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có độ dài cạnh đáy a, chiều cao h Thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ  a2h 3 a B V  C V  3 a h D V   a2 h 48 Câu : Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông cân A, góc AC mặt phẳng (BCC'B') 300(tham khảo hình vẽ) A Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABCA BC A  a3 B 2 a3 C 4 a3 D 3 a3 Câu : Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC  DA  Cho hình thang quay quanh AB vật trịn xoay tích A  B  C  D  3 3 Câu : Cho hình thang ABCD vuông A D, AD  CD  a, AB  2a Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng CD Thể tích khối trịn xoay thu 5 a 7 a 4 a A B C D  a3 3 Câu : Một hình trụ có tâm hai đáy O O', bán kính đáy R, đường cao trụ 2R Gọi A điểm cố định nằm đường tròn tâm O' điểm B thay đổi đường trịn tâm Osao cho AB khơng đường sinh Độ dài đoạn thẳng AB trường hợp thể tích OO ' AB lớn bao nhiêu? A 2R B R C R D 2R Câu : Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chu vi 12cm Thể tích lớn mà hình trụ nhận A 8 cm3 B 32 cm3 C 16 cm3 D 64 cm3 Câu : Các hình trụ trịn xoay có diện tích tồn phần S khơng đổi, gọi chiều cao hình trụ h kính đáy hình trụ r Thể tích khối trụ đạt giá trị lớn A h  4r B h  3r C h  2r D h  r Câu 10 : Ông A dự định làm bể nuôi cá có dạng hình trụ (khơng có nắp) với dung tích 200 dm.3 Bán kính đáy hình trụ để ơng A sử dụng nguyên liệu tốn A r  31,69cm B r  39,93cm Trang 16 C r  42,57cm 1-B 2-B D r  57,58cm 3-B 4-C ĐÁP ÁN 5-D 6-A 7-B 8-A 9-C 10-A Dạng Bài toán thực tế khối trụ Phương pháp giải - Nắm vững kiến thức dạng toán 1, để áp dụng vào giải tốn thực tế khối tru chất tốn xoay quanh hình trụ, khối trụ Ví dụ: Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1,5m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 1,6 m B 2,5 m C 1,8 m D 2,1 m Hướng dẫn giải Gọi r bán kính bể dự định làm, h chiều cao bể Ta có  r h   12  1,52  h  r  12  1,52  1,8(m) Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ Cho bìa hình chữ nhật có kích thước 3a, 6a Người ta muốn tạo bìa thành hình khơng đáy hình vẽ đây, có hai hình trụ có chiêu cao 3a, 6a hai hình lăng trụ tam giác có chiều cao 3a, 6a Trong bốn hình H1, H2, H3, H4 theo thứ tự tích lớn nhỏ A H1, H4 B H1, H3 C H2, H3 D H2, H4 Hướng dẫn giải Gọi R1 , R2 bán kính hai hình trụ hình H1, H2 V1 ,V2 , thể tích hai hình trụ hình H1, H2 C1 , C2 , chu vi đáy hai hình trụ hình H1, H2 Ta có C1  2 R1  6a  R1  3a  ; C2  2 R2  3a  R2  3a 2 27a3 27a3  3a   3a  V1  3a    ;V2  6a     2    2  Trang 17 Do hai hình H3, H4 hai hình lăng trụ tam giác nên ta có độ dài cạnh đáy hai hình H3, H4 2a;a Thể tích hình H3, H4 1 3 V3  3a   2a  2a  sin 600  3a ;V4  6a   a  a  sin 600  a 2 Từ ta có hai hình tích lớn nhỏ theo thứ tự H1, H4 Chọn A Lưu ý: Khơng phải cắt nhỏ bìa để tạo hình bên khơng thỏa đề mà lấy bìa lần tạo thành hình đề Ví dụ Người ta đổ cống cát, đá, xi măng sắt thép hình vẽ bên Thể tích ngun vật liệu cần dùng Hướng dẫn giải Ta có V  V1  V2   R12 I   R22 I   I  R12  R22       0,52  0,32   0,32 Chọn A Chú ý : Thể tích nguyên vật liệu cần dùng thể tích khối trụ to có bán kính R1 trừ thể tích khối trụ nhỏ có bán kính R2 Ví dụ Một người thợ có khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính MN, PQ hai đáy cho MN  PQ Người thợ cắt khối đá theo mặt cắt qua điểm M, N, P, Q để khối đá có hình tứ diện MNPQ Biết MN  60cm thể tích khối tứ diện MNPQ 30 dm3 Thể tích lượng đá cắt bỏ bao nhiêu? (Làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) A 101,3dm3 B 111, 4dm3 C 121,3dm3 D 141,3dm3 Hướng dẫn giải Gọi O, O ' tâm đáy đáy hình trụ Ta có MN  (OPQ)  VMNPQ  2VN OPQ    NO.SOPQ Trang 18  2.SOPQ    OO   30  OO  Ta tích khối trụ VKT  OO  R  5.32    45 Vậy thể tích lượng đá cắt bỏ 45  30  111,  dm3  Chọn B Ví dụ Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ  H1  ;  H  xếp chồng lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r2  r1; h2  2h1 (tham khảo hình vẽ bên) Biết thể tích tồn khối đồ chơi 30 cm, thể tích khối trụ  H  A 24cm3 B 15cm3 C 20cm3 D 10cm3 Hướng dẫn giải Gọi thể tích tồn khối đồ chơi V, thể tích khối khối V1 V2 Ta có V  V1  V2 1 1 r1 , h2  2h1 nên V2  h2   r22  2h1     r12  h1.  r12  V1 2  30  V1  V1  V1  20 Chọn C Ví dụ Cho dụng cụ đựng chất lỏng tạo hình trụ hình nón lắp đặt hình sau Bán kính đáy hình nón bán kính đáy hình trụ Chiều cao hình trụ chiều cao hình nón h Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao chiều cao hình trụ Lật ngược dụng cụ theo 24 phương vng góc với mặt đất Độ cao phần chất lỏng hình nón theo h Mà r2  h Hướng dẫn giải A Thể tích chất lỏng V   r  B 3h C h D h 1 h   r h 24 24 Trang 19 Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng V    r 2 h' r  h h  h  h'3  Mà   r   r Do V '     r  h   r  r h h h  h h3 1 h Theo V   V   r    r h  h'3  h3  h '  h 24 Chọn C Ví dụ Cơng ty ơng Bình dự định đóng thùng phi hình trụ (có đáy nắp đậy phía trên) thép khơng gỉ để đựng nước Chi phí trung bình cho 1m2 thép không gỉ 350000 đồng Với chi phí bỏ để làm thùng phi khơng q 6594000 đồng, hỏi cơng ty ơng Bình có thùng phi đựng tối đa mét khối nước? (Lấy   3,14 ) A 12,56 B 6,28 C 3,14 D 9,52 Hướng dẫn giải Gọi R, h số đo bán kính chiều cao thùng phi hình trụ Với giả thiết diện tích thép khơng gỉ dùng tối đa A  Ta có Stp  2 R( R  h)  A  h  6594000 471  m  350000 25 A R 2 R  A  A Thể tích thùng phi V   R h   R   R   R   R ( coi V la hám số biến R)  2 R  A A  3 R ;V    R  , ( R  0) 6 Bảng biến thiên V  Dựa vào bảng biến thiên ta có, giá trị lớn thể tích max V  A A  6, 28m3 6 Chọn B Ví dụ Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá vật liệu để làm mặt xung Trang 20 quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi chiều cao thùng h bán kính đáy r Tỉ h số cho chi phí vật liệu sản xuất thùng nhỏ bao nhiêu? r h h h h A  B  C  D  r r r r Hướng dẫn giải V h V   r r r Giá thành vật liệu để làm thùng  2V  V V  T   2 rh  6 r   A    6  r   A     6 r   A A giá đơn vị diện tích  r  r r  Ta có V   h  r  h  vật liệu làm mặt xung quanh thùng Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, Dấu “=” xảy V V , , 6 r T  3 6 V r r V V  6 r   r r Vậy chi phí vật liệu sản xuất thùng nhỏ h 6 r Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu : Một người dùng ca hình bán cầu (một nửa hình cầu) có bán kính cm để múc nước đổ vào thùng hình trụ chiều cao 10 cm bán kính đáy cm Hỏi người sau lần đổ nước đầy thùng? (Biết lần đổ, nước ca đầy) A 10 lần B 24 lần C 12 lần D 20 lần Câu : Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính R, chứa 10 bóng cho bóng tiếp xúc với thành hộp theo đường tròn tiếp xúc với Quả tiếp xúc với hai nắp hộp Thể tích khối trụ mà thể tích bóng bàn khơng chiếm chỗ 20 R 40 R A B C D  R3 3 Câu : Mặt tiền ngơi biệt thự có cột hình trụ trịn, tất có chiều cao 4,2 cm Trong số có hai cột trước đại sảnh đường kính 40 cm, sau cột cịn lại phân bổ hai bên đại sảnh chúng có đường kính 26 cm Chủ nhà th nhân công để sơn cột Trang 21 loại sơn giả đá, biết giá thuê 380000 đồng /m2 (kể vật liệu sơn thi công) Hỏi người chủ tiền để sơn hết cột nhà (đơn vị đồng)? (lấy   3,14159 ) A  11.833.000 B  12.521.000 C  10.400.000 D  15.642.000 Câu Người ta thả viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kínhnhỏ 4,5 cm vào Cốc hình trụ chứa nước viên billiardsđó tiếp xúc với đáy cốc tiếp xúc với mặt nước sau dùng (tham khảo hình vẽ bên) Biết bán kính phần đáy cốc 5,4cm chiều cao mực nước ban đầu cốc 4,5cm Bán kính viên billiards A 2,7 cm B 4,2 cm C 3,6 cm D 2,6 cm Câu : Một nhà máy dự định sản xuất cốc thủy tinh hình trụ khơng nắp tích 50 cm3 Giá nguyên vật liệu làm thành cốc 100 đồng/ cm2 , giá nguyên vật liệu làm đáy cốc 200 đồng/ cm2 Hỏi chi phí nhỏ mua nguyên liệu cho cốc gần với số tiền sau đây? A 9466 đồng B 10616 đồng C 7513 đồng D 8235 đồng Câu : Có bể hình trụ cao 10 dm với bán kính đáy dm chứa đầy nước bị thùng gỗ hình lập phương đóng kín rơi vào làm cho lượng nước V tràn Biết cạnh thùng gỗ 8dm rơi vào miệng bể, đường chéo dài vng góc với mặt bể, ba cạnh thùng chạm vào thành bể hình vẽ Tính V A 6 B 10 C D ĐÁP ÁN 1-D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-D 7- 8- 9- 10- Trang 22 ... hai hình trụ hình H1, H2 V1 ,V2 , thể tích hai hình trụ hình H1, H2 C1 , C2 , chu vi đáy hai hình trụ hình H1, H2 Ta có C1  2? ?? R1  6a  R1  3a  ; C2  2? ?? R2  3a  R2  3a 2? ?? 27 a3 27 a3  3a... ? ?2 1   a   2x   a2  x2 ? ?2  Do 4x2  a2  a2  x2  4x2  a2   a2  x2  Trang  x2  5a 5a Vậy S ABCD  (đvdt) 2 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu : Cho hình trụ (T) có đáy đường trịn... khối khối V1 V2 Ta có V  V1  V2 1 1 r1 , h2  2h1 nên V2  h2   r 22  2h1     r 12  h1.  r 12  V1 2  30  V1  V1  V1  20 Chọn C Ví dụ Cho dụng cụ đựng chất lỏng tạo hình trụ hình nón