Bài tập lớn ứng dụng thực tế công thức hình học môn Giải tích 2 đề tài KHỐI VẬT THỂ ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI MẶT TRỤ VÀ CÁC MẶT PHẲNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHỐI VẬT THỂ ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI MẶT TRỤ VÀ CÁC MẶT PHẲNG Bài tập lớn ứng dụng thực tế cơng thức hình học mơn Giải tích GVHD: Huỳnh Thị Vu SV thực hiện: Lê Phạm Hữu – 2113635 Lê Khánh Huy – 2110197 Trần Đỗ Trọng Huy – 2113542 Trần Quốc Huy – 2113555 Tp Hồ Chí Minh, Tháng 05/2022 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Mục lục I LỜI CẢM ƠN II GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI III BẢNG PHÂN CƠNG NHĨM IV CƠ SỞ LÝ THUYẾT Mặt trụ không gian [1] Mặt phẳng khơng gian [2] Tích phân kép [3] Tích phân bội ba [4] Tích phân đường loại [5] Tích phân mặt [6] V BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Bài tập 2: Bài tập 3: Bài tập 4: Bài tập 5: Bài tập tính thể tích vật thể 4 5 6 hình xoắn: 11 14 16 VI Tổng kết 19 VIITài liệu tham khảo 20 Đề tập lớn môn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 1/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh I LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình hình thành ý tưởng, lên kế hoạch tiến hành thực đề tài tập lớn, nhóm chúng em nhận nhiều quan tâm giúp đỡ tận tình từ thầy cô, ban bè thông qua giảng nguồn tài liệu tham khảo Bên cạnh đó, nhóm muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Huỳnh Thị Vu – giảng viên hướng dẫn cho đề tài người sẵn sàng giải đáp thắc mắc, qua góp phần giúp tiến độ thực nhóm trì với kế hoạch vạch từ trước Sự tin tưởng tận tâm nguồn động lực to lớn thúc thành viên làm việc chăm chỉ, hiệu quả, đóng góp để xây dựng nên báo cáo hồn thiện Đó kết cuối mà nhóm chúng em mong muốn đạt II GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI Chúng ta biết Giải tích mơn học vơ quan trọng vai trò to lớn tính ứng dụng cao thực tế Đây môn học sử dụng hầu hết ngành khoa học lĩnh vực kỹ thuật, cho phép cơng thức hóa tượng, vật, mơ hình diễn xung quanh người tính tốn, giải chúng cách xác Như vậy, thấy, việc dành thời gian cho Giải tích vơ cần thiết, cách giúp chúng xây dựng cho thân tảng kiến thức vững môn khoa học ứng dụng tiền đề để thích nghi, học tốt mơn cịn lại Bài báo cáo phần trình bày nhóm – lớp L19 với đề tài tìm hiểu giải câu hỏi khối vật thể giới hạn mặt trụ mặt phẳng Đề tập lớn môn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 2/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh III BẢNG PHÂN CƠNG NHĨM MSSV Họ tên 2113635 Lê Phạm Hữu 2110197 Lê Khánh Huy 2113542 Trần Đỗ Trọng Huy 2113555 Trần Quốc Huy Cơng việc hồn thành Viết phần mở đầu sở lý thuyết đề tài; viết phương trinh, vẽ hình dẫn chứng tập 1, 2, 3, 5; tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; thuyết trình tập 4, Tham gia viết sở lý thuyết; viết phương trình, vẽ hình, dẫn chứng, tính thể tích, diện tích tập 4; trình bày Latex; tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; thuyết trình tập Tham gia viết sở lý thuyết; tính thể tích, diện tích tập 1, 2, 3, 5; tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; kiểm tra chỉnh sửa đề tài; thuyết trình phần mở đầu kết luận đề tài Tham gia viết sở lý thuyết; tính thể tích, diện tích tập 1, 2, 3, 5; tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; kiểm tra chỉnh sửa đề tài; thuyết trình tập 1, 2, Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 3/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh IV CƠ SỞ LÝ THUYẾT Mặt trụ không gian [1] Mặt trụ mặt tạo đường thẳng l giữ nguyên phương di chuyển cho ln ln song song với nó, tựa đường cong ω không đồng phẳng với l • Mặt trụ eliptic: xa2 + x2 b2 • Mặt trụ tròn xoay: xa2 + =1 x2 a2 =1 • Mặt trụ parabolic:x2 + 2ay = • Mặt trụ hyperbolic: xa2 − x2 b2 =1 Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 4/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Mặt phẳng khơng gian [2] Mặt phẳng đối tượng toán học, mặt phẳng khơng có bề dày khơng có giới hạn Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dựng mơ hình, dùng hình bình hành (đối với số mặt phẳng đơn giản) ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ in hoa chữ Hi Lạp đặt dấu ngoặc Tích phân kép [3] Cho hàm f(x,y) xác định miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n mảnh rời D1 , D2 , , Dn có diện tích △S1 , △S2 , , △Sn Trong mảnhDi , lấy tùy ý điểm Mi (xi , yi ) Lập tổng (gọi tổng tích phân hàm f(x,y)) n Sn = f (xi , yi )△Si i=1 Gọi d(Di ) khoảng cách lớn hai điểm Di Nếu tồn giới hạn: lim Sn = x→+∞ lim maxd(Di )→0 Sn = S Giới hạn hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn điểm Mi (xi , yi ), hàm f(x,y) gọi khả tích miền D, S gọi tích phân kép hàm f(x,y) miền D, ký hiệu: f (x, y)dS C Tích phân bội ba [4] Cho hàm số f(x,y,z) xác định miền đóng, giới nội Ω khơng gian Oxyz Chia miền Ω thành n miền nhỏ tích △v1 , , △Vn Lấy tùy ý điểm Mi (xi , yi , zi ) miền nhỏ thứ i Lấy tổng: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 5/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh n In = f (xi , yi , zi )△Vi i=1 Nếu giới hạn lim In = x→+∞ lim maxd(Di )→0 In = I hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền Ω Mi , f(x,y,z) gọi khả tích miền Ω, I gọi tích phân bội ba hàm f Ω, ký hiệu: f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dxdydz [4] Ω Ω Tích phân đường loại [5] Cho hàm số f(M) xác định cung AB Chia cung AB thành n phần tùy ý điểm A = A0 < A1 < An Đặt △li độ dài cung Ai Ai − cung Ai Ai − lấy điểm tùy ý Mi Lập tổng: n Sn = f (Mi )△li i=1 Nếu Sn có giới hạn hữu hạn n → ∞ cho max{△li } → i không phụ thuộc vào cách chia cung Ai Ai−1 cách chọn Mi , S chọn gọi tích phân đường loại f(M) cung AB ký hiệu là: f (M )dl = lim n→+∞ AB f (Mi )△li = i=1→+n f (x, y, z)dl = lim n→+∞ AB f (x, y, z)△li i=1→+n Tích phân mặt [6] • Trong tốn học, tích phân mặt tích phân xác định tích bề mặt (có thể tập hợp đường cong khơng gian); xem tích phân kép tích phân đường • Để tính tốn cụ thể tích phân mặt, cần tham số hóa S cách biểu diễn S hệ tọa độ cong, giống kinh độ vĩ độ mặt cầu • Đối với mặt phẳng có hàm f(x,y) cho trước ta xem có kinh độ vĩ độ cần áp dụng cơng thức tính Khi đó, diện tích mặt cong z=f(x,y), có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy D tính theo cơng thức + (fx′ )2 + (fy′ )2 S= D Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 6/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh V BÀI TẬP ÁP DỤNG Dựng mơ hình vật thể miền giới hạn cho đề (phương trình cụ thể tự cho) Có thể sử dụng: Matlab Geogebra , Trên thực tế mơ hình tương đồng với khối vật thể dựng Bài tập 1: a) Mô hình: • Mặt trụ: x2 + y = • Mặt phẳng: z = Hình 1: Hình ảnh vật thể khơng gian: b) Các hình ảnh thực tế: Hình trụ trịn phổ biến thực tế có cấu trúc chắn chịu áp lực lớn, vật dụng hình trụ dễ cằm nắm nên ứng dụng nhiều lĩnh vực Hình 1: Hình ảnh vật thể thực tế: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 7/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh c) Tính thể tích khối vật thể: Với x2 + y = Ta có x = r cos φ; y = r sin φ; D = (r, φ) : ≤ r ≤ 1; ≤ φ ≤ 2π 2φ 2φ V = dzdrdφ = 0 3rdr dφ = 3π (Đơn vị thể tích) 0 d) Tính diện tích bề mặt bao quanh vật thể: • Diện tích đáy: Sday = 2.π.R = 2.π.12 = 2π • Diện tích xung quanh: Sxq = 2.π.r.h = 2π.1.3 = 6π • Diện tích tồn phần: S = 2Sday + Sxq = 2.2π + 6π = 10π Bài tập 2: a) Mơ hình: • Mặt trụ: x2 + 30y = • Mặt phẳng: y = −5; y = 5; x = 3; x = −3 Hình 3: Hình ảnh vật thể khơng gian: b) Các hình ảnh tương đồng thực tế: Đối với mơ hình thực tế ta có ứng dụng: • Mái vịm Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 8/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh • Cầu • Rada • v.v Hình 4: Hình ảnh vật thể thực tế: c) Tính thể tích vật thể: Với x2 + 30y = Ta có D = (x, y) : −3 ≤ x ≤ 3; −5 ≤ y ≤ − x30 ; z = 0; z = x − 30 V = 1323 (Đơn vị thể tích) dzdxdy = −3 −5 d) Tính diện tích bề mặt bao quanh vật thể: S = Ldz = dl D 3 dz = dx 1+ x2 dx = 54, 36 (Đơn vị diện tích) 225 −3 Bài tập 3: a) Mơ hình: • Mặt trụ: x2 + y2 =1 • Mặt phẳng: z = 3; z = Đề tập lớn môn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 9/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Hình 5: Hình ảnh vật thể khơng gian: b) Các hình ảnh tương đồng thực tế: Mơ hình thực tế sử dụng vật dụng ngày gương, bàn ghế, đồ hộp, Hình 6: Hình ảnh vật thể thực tế: c) Tính thể tích vật thể: Với: x9 + x2 =1 (x, y) : −3 ≤ x ≤ 3; −2 − Ta có: D = V = 1− x2 dx −3 −2 dy x2 1− x2 x2 ≤y ≤2 1− 9 dz = 18π (Đơn vị thể tích) d) Tính diện tích bề mặt bao quanh vật thể: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 10/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh • Diện tích đáy: dSday Sday = 2π = 2 dφ D rdr = 23 2.π 12 = 6π (Đơn vị diện tích) • Diện tích xung quanh: 2π Sxq = dx dt dSxq = D + dy dt dt dz = 47, (Đơn vị diện tích) • Diện tích tồn phần: S = 2Sday + Sxq = 12π + 47, (Đơn vị diện tích) Bài tập 4: a) Mơ hình: • Mặt trụ: x2 + y = 2y • Mặt phẳng: z = 12 − 0.5x; z = + 51 xy Hình 7: Hình ảnh vật thể khơng gian: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 11/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh b) Các hình ảnh thực tế: Trong kháng chiến chống Mỹ cứu nước để tránh bị máy bay địch phát hoạt động nấu ăn cao gần anh hùng ni qn Hồng Cầm phát bếp tên ơng Cấu tạo bếp gồm phần bếp phần ống khói với phần ống khói cấu tạo gồm nhiều ống khác tản khói khơng khí Mơ hình hình ảnh ống khói bếp Hồng Cầm nhơ lên phần lỏm hai mô đất, đầu cắt xiên Hình 8: Hình ảnh cấu tạo bếp Hồng Cầm c) Tính thể tích vật thể: Miền Ω giới hạn mặt z = 12 − 12 , mặt z = + 15 xy mặt xung quanh hình trụ với phương trình x2 + y = 2y Theo cơng thức tính tích phân bội ba, ta có: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 12/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh 3+0.2xy V = (12 − 0.5x) − (3 + 0.3xy) dxdy với dz dxdy = D 12−0.5x D= D 2y − y ≤ x ≤ (x, y) : ≤ y ≤ 2; − 2y − y Bằng phép đổi biến x = rcosφ, y = rsinφ, chuyển miền D sang hệ tọa độ trụ Khi đó: (r, φ) : ≤ r ≤ 2sinφ; ≤ φ ≤ π D= Như vậy, 2sinφ π 1 (12 − r.cosφ − − r2 cosφ(1 + sinφ) rdr V = dφ π 12 .4.sin2 φ − = 1 cosφ .(2sinφ)3 − .(2sinφ)2 − cosφ(1 + sinφ) .(2sinφ)4 dφ π 4 18.sin2 φ − cosφ.sin3 φ − cosφ(1 + sinφ)sin4 φ dφ = 9π (Đơn vị thể tích) = d) Tính diện tích bề mặt bao quanh vật thể: * Diện tích mặt phẳng biên (C1): • Giao mặt trụ x2 + y = 2y mặt phẳng z = + 51 xy • Miền D hình chiếu mặt cong z = + 15 xy mặt phẳng Oxy nẳm mặt trụ x2 + y = 2y Ta có: D= S(C1) = 1+ 2y − y ≤ x ≤ (x, y) : ≤ y ≤ 2; − y x + 2y − y 2 dxdy √D 2y−y 2 = 1+ − √ y + x dx dy = 4π − (Đơn vị diện tích) π 2y−y *Diện tích mặt trụ bao quanh vật thể (C2): • Giao mặt trụ x2 + y = 2y hai mặt phẳng z = 12 − 12 x, z = + 15 xy • Theo cơng thức tính tích phân đường loại 1, ta tham số hóa sau: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 13/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh x = cos(t); y = sin(t) với ≤ t ≤ 2π 2π 12 − 12 cos(t) − − 15 cos(t) + sin(t) S(C2) = sin2 (t) + cos2 (t) dt = 18π (Đơn vị diện tích) Bài tập 5: a) Mơ hình: • Mặt trụ: x = cos(φ)(1 − sin(φ)) y = sin(φ)(1 − sin(φ)) < φ < 2π • Mặt phẳng: z1 = 0; z2 = + y Hình 9: Hình ảnh vật thể khơng gian: b) Các hình ảnh thực tế: Trong dịp lễ hội, người ta dự định làm tường hoa hình trái tim trồng hoa hồng đỏ dọc phần cung màu đỏ, kết hoa thành hồng vàng dọc tường vàng Vật thể dùng làm mẫu trang trí vương miệng Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 14/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Hình 10: Hình ảnh vật thể thực tế: c) Thể tích vật thể: Miền Ω giới hạn mặt z1 0; z2 = + y mặt xung quanh hình trụ với x = cos(φ)(1 − sin(φ)) phương trình tọa độ cực < φ < 2π y = sin(φ)(1 − sin(φ)) 02+y dz dxdy Theo cơng thức tích phân bội ba, ta có: D Do đề cho hệ phương trình hệ tọa độ cực nên ta có: D = {(r, φ) : ≤ r ≤ − sin(φ); ≤ φ ≤ 2π} 2pi 1−sin(φ) π 1 − sin(φ) 2 + sin(φ)(1 − sin(φ)) rdr dφ = Như vậy: I = 0 2+ sin(φ)(1 − sin(φ)) dφ = π (Đơn vị thể tích) d) Diện tích bề mặt bao quanh vật thể: • Độ dài viền vật thể: Trong tọa độ cực vật thể xác định hệ phương trình: x = cos(φ)(1 − sin(φ)) y = sin(φ)(1 − sin(φ)) < φ < 2π Nên ta có: r = − sin(φ) Theo cơng thức tính tích phân đường loại dùng để tính chiều dài hình chiếu đường cong mặt phẳng Oxy ta có: 2π 2π LC = r′ (φ)2 + r(φ)2 dφ = dl = C [cos(φ)2 ] + [1 + sin(φ)]2 φ = (Đơn vị diện tích) • Diện tích vật thể: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 15/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Trong tọa độ cực vật thể xác định hệ phương trình: x = cos(φ)(1 − sin(φ)) y = sin(φ)(1 − sin(φ)) < φ < 2π hai mặt phẳng z1 = 0; z2 = + y Nên ta có: r = − sin(φ) Theo cơng thức tính tích phân đường loại dùng để tính diện tích hình trụ giới hạn đường cong mặt phẳng (giao mặt phẳngz2 = + y hình trụ đường cong) 2π f (x, y)dl = SC = C f (φ) r′ (φ)2 + r(φ)2 dφ 2π + [1 − sin(φ)]sin(φ) = [cos(φ)2 ] + [1 + sin(φ)]2 φ = 9, (Đơn vị diện tích) Bài tập tính thể tích vật thể hình xoắn: a) Mơ hình đoạn code Matlab: Qua q trình tìm tịi, nghiên cứu, tham khảo tài liệu nhóm chúng em giả sử phương trình hình xoắn sau:   x = (1 − u)(3 + cos(v))cos(4πu); y = (1 − u)(3 + cos(v))sin(4πu); với ≤ u ≤ 1; ≤ v ≤ 2π   z = 3u + (1 − u)sin(v); Matlab phần mềm tốn học cung cấp mơi trường tính tốn số lập trình, khơng quen thuộc với thuộc với việc lập trình giải tốn, matlab cịn cơng cụ vẽ hình học hiệu quả, trực quan Nhận thấy tiện dụng khả thể hình học tuyệt vời matlab nhóm chúng em định chọn matlab để vẽ hình vật thể theo yêu cầu Hình 11: Đoạn code Matlab Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 16/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Hình 12: Hình ảnh vật thể khơng gian: b) Các hình ảnh thực tế: Trong cơng viên trò chơi nước người ta muốn thiết kế ống trượt nước hình vịng uốn lượn tương tự rắn cuộn mình, trước thi cơng kỹ sư mơ hình ảnh máng trượt, hình ảnh mơ tương tự mơ hình Hình 13: Hình ảnh rắn cuộn mình: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 17/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Hình 14: Máng trượt nước cơng viên giải trí Six Flags Hurricane Harbor : c) Thể tích vật thể: Cũng việc vẽ mơ hình, chúng em lựa chọn Matlab cơng cụ để tính thể tích vật thể Hình 15: Đoạn code Matlab tính thể tích vật thể: Vậy thể tích cần tính vật thể là: V = 3π (Đơn vị thể tích) Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 18/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh VI Tổng kết Với phân công kỹ lưỡng, cố gắng chuẩn bị sớm nên nhóm có thời gian tìm tịi, sáng tạo hạn chế tối đa lỗi mắc phải tập lớn Và cuối cùng, nhóm hồn thành đề tài giao Qua tập lớn nhóm chúng em rút kỹ năng, kinh nghiệm bổ ích: • Ứng dụng cơng thức tốn học đặc biệt cơng thức tích phân việc tính thể tích, diện tích mơ hình vật thể • Hiểu biết hình ảnh mơ hình thực tế đời sống • Giúp nâng cao hứng thú với mơn học • Trau dồi kỹ làm việc nhóm • Nâng cao tinh thần trách nhiệm thắt chặt tình đồn kết thành viên nhóm • Tập luyện nhiều kỹ mềm giúp ích sau kỹ lập trình Matlab, Latex, Như thấy rõ ứng dụng tính thiết thực cơng thức tốn học đặc biệt mơn giải tích Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 19/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh VII Tài liệu tham khảo [1] WIKIPEDIA Bách khoa toàn thư mở - Mặt trụ [Trực tuyến] Available:https://vi.wikipedia.org/wiki/M%E1%BA%B7t_tr%E1%BB%A5 [Truy cập 4/2022] [2] Đại cương đường thẳng mặt phẳng [Trực tuyến] Available: https://kien-thuc.fandom.com/vi/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_c%C6%B0%C6%A1ng_v%E1 %BB%81_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_th%E1%BA%B3ng_v%C3%A0_m%E1%BA%B7t _ph%E1%BA%B3ng#: :text=M%E1%BA%B7t%20ph%E1%BA%B3ng%20l%C3%A0%20m%E1 %BB%99t%20%C4%91%E1%BB%91i,g%C3%B3c%20c%E1%BB%A7a%20h%C3%ACnh%20bi %E1%BB%83u%20di%E1%BB%85n.[Truy cập 22/4/2022] [3] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, pp 75-77 [4] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xn Đại, Ngơ Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, pp 112-113 [5] Tích phân đường tích phân mặt [Trực tuyến] Available: https://dangcnd.files.wordpress.com/2009/08/gt2c3.pdf [Truy cập 4/2022] [6] WIKIPEDIA Bách khoa toàn thư mở - tích phân mặt [Trực tuyến] Available: https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n_m%E1%BA%B7t [Truy cập 4/2022] Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 20/20