skkn trình bày các phương pháp đặc trưng giải quyết các bài toán lưỡng cực điện trong chương trình bồi dưỡng hsg

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên khi dạy và học về phần tĩnh điện, tôi thấy có nội dung về lưỡng cực điện, trong các tài liệu tham khảo đều trình bày tương đối

LƯỠNG CỰC ĐIỆN PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên khi dạy và học về phần tĩnh điện, tôi thấy có nội dung về lưỡng cực điện, trong các tài liệu tham khảo đều trình bày tương đối đầy đủ về việc xác định điện trường và điện thế của lưỡng cực điện điểm, tuy nhiên việc vận dụng cho trường hợp lưỡng cực điện có phân bố phức tạp, tương tác giữa lưỡng cực điện với các vật dẫn có hình dạng đặc biệt, ảnh của lưỡng cực điện, dao động của lưỡng cực điện, chuyển động của lưỡng cực trong điện trường và từ trường thì sách giáo khoa chuyên 11 mới đề cập ở mức độ ít, theo tôi cần phải có chuyên đề về phần này Vì phần này là kiến thức tổng hợp và được đề cập nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi, đặc biệt là học sinh giỏi Quốc gia môn Vật lý, trong các kỳ thi APHO và IPHO

Sau đây là nội dung của chuyên đề:

- Tóm tắt các kiến thức liên quan

- Các ứng dụng

- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết

- Các bài tập tự luyện tập với đáp số

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Hệ thống hóa các kiến thức chuyên sâu lưỡng cực điện

Trình bày các phương pháp đặc trưng giải quyết các bài toán lưỡng cực điện trong chương trình bồi dưỡng HSG

Hướng dẫn học sinh giải quyết một số bài toán lưỡng cực điện điển hình

PHẦN II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Lưỡng cực điện là một hệ hai điện tích có độ lớn bằng nhau

nhưng trái dấu + q và – q, cách nhau một đoạn rất nhỏ so với khoảng cách từ lưỡng cực tới các điểm đang xét trong điện trường

Để đặc trưng cho lưỡng cực điện người ta dùng đại lượng vec tơ mô men

e

p ql (1)

từ – q đến + q (hình 1) Đường thẳng nối hai điện tích gọi là trục

của lưỡng cực

Lưỡng cực điện là một hệ điện tích thường gặp trong các vật thể, ví dụ như các nguyên tử hay phân tử của nhiều vật thể khi đặt trong điện trường ngoài, thì dưới tác dụng của điện trường ngoài, chúng bị biến dạng (vì các hạt mang điện cấu thành

chúng bị dịch chuyển do tác dụng của điện trường), khiến cho

về mặt phân bố điện tích, có thể xem chúng là lưỡng cực điện

Ngoài ra một số phân tử như phân tử nước, có cấu tạo sao cho

tuy toàn bộ phân tử là trung hòa về điện nhưng phân tử có thể

xem như một lưỡng cực (ở phân tử nước do ion âm oxi và hai

ion dương hidro phân bố không đối xứng như hình 2)

2 Cường độ điện trường và điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện

a) Điện trường gây ra bởi lưỡng cực điện

Ta xét vec tơ cường độ điện trường gây ra bởi lưỡng cực điện tại điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nối hai điện tích của lưỡng cực

điện tích điểm +q và – q gây ra tại M, sau đó áp

dụng nguyên lý chồng chập điện trường ta có

l c

r

 

+q – q l

Hình 1

2-O

+ H

+ H

Hình 2

+q – q l



M E

Từ đó: 3

0 1 4

M

ql E

p E

4

e M

p E

24

e M

p E

b) Điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện

Theo công thức tính điện thế, điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện tại điểm M cách lưỡng cực (trung điểm O của AB) một khoảng r có biểu thức:

Vì r1, r2 >> l nên r1 r2 lcos (với  là góc giữa OM và AB) và r r1.2 r2

coscos

e M

p ql

Dựa vào hệ thức giữa cường độ điện

trường và điện thế, từ biểu thức (5) của điện

thế ta tìm được cường độ điện trường E tại

điểm M do lưỡng cực điện gây ra

Trong hệ tọa độ cực, liên hệ giữa điện

trường và điện thế là:

3 0

cos 2

e r

p V

r E



r

M

Và 3

0

sin 1

4

e p V E

1 3cos 4

e r

3 Tác dụng của điện trường lên lưỡng cực điện

a) Lực tác dụng lên lưỡng cực đặt trong điện trường

+ Trước tiên ta hãy xét trường hợp điện trường đều (hình vẽ) Khi đó các lực tác dụng lên hai điện tích của lưỡng cực có độ lớn bằng nhau ( F = qE) và ngược

với  là góc hợp bởi vec tơ l và vec tơ E Vec tơ mô men ngẫu lực M có

Ngẫu lực này có tác dụng làm cho lưỡng

cực điện quay trong điện trường sao cho hai

bằng của lưỡng cực điện là vị trí ở đó có mô

   Vị trí ứng với   0 là vị trí cân bằng

bền còn vị trí    là vị trí cân bằng không

bền, vì chỉ cần

cho lưỡng cực điện quay lệch khỏi vị trí đó một chút là sẽ có xuất hiện ngay một

mô men ngẫu lực làm nó lệch thêm khỏi vị trí này

Với quy ước mô men lực làm lưỡng cực quay theo chiều kim đồng hồ có giá trị âm thì thay cho (10) ta có thể viết: M  qE l .sin   p E e .sin  (11)

+ Bây giờ ta xét lưỡng cực điện đặt trong điện

trường không đều Đầu tiên ta giả sử rằng, lưỡng

cực điện đã nằm dọc theo một đường sức của điện

các điện tích không bằng nhau và lực điện tổng

hợp tác dụng lên lưỡng cực điện là khác không Ta

chọn trục tọa độ x theo hướng của vec tơ p e (tức

nên cường độ điện trường tại điểm đặt điện tích –

q là E còn cường độ điện trường tại điểm đặt điện

x





Như vậy, nếu đặt một lưỡng cực điện vào trong một điện trường không đều, thì

nó chịu tác dụng của lực và ngẫu lực Ngẫu lực có xu hướng làm nó quay trong

còn lực có tác dụng kéo lưỡng cực về phía có điện trường mạnh Điều này giải thích tại sao đũa thủy tinh hay ebonit nhiễm điện lại có thể hút các vật thể nhẹ Khi ta đưa đũa thủy tinh nhiễm điện lại gần các vật nhẹ, thì dưới tác dụng của điện trường do điện tích trên đũa tạo ra, các vật bị nhiễm điện trở thành lưỡng cực điện, lưỡng cực điện này chịu tác dụng của điện trường không đều do đũa tạo ra, bị hút về phía đũa là nơi có điện trường mạnh hơn

b) Thế năng của lưỡng cực điện trong điện trường

Sự định hướng của một lưỡng cực điện trong điện trường có liên quan đến thế năng của nó: khi lưỡng cực được định hướng ở trạng thái cân bằng thì mô men

thế năng của lưỡng cực có giá trị lớn hơn ở mọi dịnh hướng khác của lưỡng cực Bởi vì chỉ có hiệu thế năng mới có ý nghĩa vật lý, ta có thể quy ước: thế năng

Phép tính chi tiết cho ta: W t  p E c e os   p E e. (13)

Từ (13) ta thấy thế năng của lưỡng cực là nhỏ nhất W t  p E e. khi  = 0, nghĩa là

.

t e

c) Chú ý: Khi lò vi sóng (thiết bị nấu chín thức ăn nhờ sóng điện từ bước sóng

một điện trường biến thiên nhanh cả về cường độ lẫn chiều Vì phân tử nước có

mô men lưỡng cực lớn, nên nếu có nước trong lò, điện trường biến thiên đó sẽ tác dụng mô men lực lên các phân tử nước làm cho chúng đổi chiều liên tục để định hướng mô men lưỡng cực của chúng theo chiều điện trường Năng lượng (thế năng) mà chúng thu được từ điện trường sẽ chuyển thành năng lượng nhiệt, truyền cho khối nước làm nhiệt độ của nước tăng lên Các thực phẩm có chứa nước đặt trong lò vi sóng được đun nóng (nấu chín) nhờ sự làm nóng nước đó Nếu như phân tử nước không phải là lưỡng cực điện thì không có điều nói trên

và lò vi sóng sẽ vô dụng!

II BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài tập 1

có tâm O, được đặt dọc theo trục x’Ox Lưỡng cực

đặt trong điện trường ngoài đều có vec tơ cường độ

a) Tìm biểu thức cho điện thế V của hệ gồm

lưỡng cực và điện trường tại một điểm M có tọa độ

cực r, và

bằng không tại điểm gốc O

b) Xác định mặt đẳng thế V = 0 Xác định kích thước mặt đẳng thế đó

c) Chứng minh rằng cường độ điện trường trên mặt đẳng thế V = 0 có giá trị

0

3E cos 

d) Thay mặt đẳng thế đó bằng một mặt cầu kim loại mà không làm thay đổi

Tại điểm O, x = 0, V0 = 0 nên V E  E x0  E r c0 os 

0

os 1

4

e

p c V

e p r

e r

p V

* 3 0

0

sin 4

e p V

e p E r

trục z, được đặt tại gốc tọa độ O Hãy tìm hình chiếu của vec tơ cường độ điện

e r

p V E

4

e p V E

1 3cos 4

e r

r E

E

z E



Bài tập 3

Một hệ gồm một điện tích q > 0 phân bố đều theo

một nửa đường tròn bán kính a, tại tâm O của nó có đặt

một điện tích điểm – q Hãy tìm:

a Mô men lưỡng cực điện của hệ này

b Độ lớn của vec tơ cường độ điện trường tại trục x

của hệ ở khoảng cách r >> a

Giải

trong cung AA’

chẳng hạn, đặt trong điện trường của lưỡng cực kia Theo đề:

72.10 2

Bài tập 5

Đặt trong chân không một vòng dây mảnh, tròn, bán

kính R, tâm O, mang điện tích dương Q phân bố đều Dựng

trục Oz vuông góc với mặt phẳng của vòng dây và hướng

theo chiều vec tơ cường độ điện trường của vòng dây tại O

(hình vẽ) Một lưỡng cực điện có vec tơ mô men lưỡng cực

Oz Bỏ qua tác dụng của trọng lực

cực ở vị trí cân bằng không bền Tính chu kì T của dao động nhỏ của lưỡng cực quanh vị trí cân bằng bền

b) Giả sử ban đầu điểm C nằm ở điểm O và vận tốc của lưỡng cực bằng không

Tính vận tốc cực đại của lưỡng cực khi nó chuyển động trên trục Oz

đó thế năng là cực đại, cân bằng là không bền)

b) Xét hai quả cầu dẫn điện được cách điện (bán kính a) trong một điện trường đều có hướng sao cho đường thẳng nối tâm của chúng, có chiều dài R và song song với điện trường Khi R lớn, hãy mô tả một cách định tính điện trường

Ta sẽ coi hệ q q1, 2 trở thành lưỡng cực điện có mô men điện

2 ' aq aq a l da

của q1 và q2 Điện tích thay thế q' được đặt tại trung điểm C của A, B với

r

L

ngoài quả cầu là sự chồng chập của các điện thế do P P; ' và q' sinh ra , nghĩa là:

3 3 0

0

4

quả cầu Hai quả cầu dẫn điện cách biệt với nhau như trong bài tập này có thể coi như một lưỡng cực nếu chúng ta sử dụng phép gần đúng bậc không Nhưng khi chúng ta sử dụng phép gần đúng có bậc cao hơn thì tương tác giữa hai quả cầu dẫn điện phải được xét đến Bây giờ sự tác dụng của quả cầu thứ nhất lên quả cầu thứ hai giống như trường hợp a) của bài này (khi hai quả cầu được tách

xa nhau với khoảng cách lớn) Nói một cách khác, tác dụng này có thể coi như

Tính toán cho trường hợp 1 = 0, ;

4 2

 

điện trường E1 của p1

b) Tìm giá trị của 1 sao cho năng lượng đó là cực tiểu Xác định lực hút

3 Tính năng lượng cực tiểu và lực hút nếu các lưỡng cực là hai phân tử nước

Giải

2 0

os 1

4

p c V

r

p V E

4

p V E

2

os sin

Ở vị trí cân bằng của p2 (ứng với 2  2C), năng lượng là :

p p W

2 4

p p W

điểm q1, q2 đặt cách nhau một khoảng r trong chân không Ion A1 nằm trong

các mô men lưỡng cực p1 và p2 của các ion theo q1, q2, r Đặt rA A1 2 và các

b) Suy ra năng lượng liên kết của phân tử đặt ở A2, lực hút (lực Walls der Van) giữa các phân tử theo r,  và p1

Giải

0

4

q r E

2 4 1

r r p

r r

2 4 1

q q

r r p

r r

Hay p2 23 p1

r





b) Thế năng của phân tử đặt ở A2, cũng tức là năng lượng liên kết giữa hai phân

tử là: W p E2 hay

2 1 6 0

Trong mặt phẳng Oxy người ta đặt cố định tại

gốc toạ độ O một lưỡng cực điện có momen

hướng theo chiều dương của Ox (Hình vẽ) Một

hạt nhỏ khối lượng m, điện tích q chuyển động ở

2 Biết tại thời điểm t = 0 hạt ở vị trí M0 có

r 0  r ;  0   ; r ' 0  r ;   (0)   Hãy xác định khoảng cách r(t) từ hạt tới gốc O theo t

3 Tìm các điều kiện để hạt chuyển động theo quỹ đạo là cung tròn tâm O

hạt trong hai trường hợp: q > 0 và q < 0



Giải

x

2W qpcos

Thay vào phương trình (4) có:

tới  / 2 Tại = /2   thì    0và "   0, góc giảm và hạt quay trở lại Tại

=   /2 thì    0 và "   0, góc tăng, hạt lại chuyển động quay trở lại Vậy

Bài tập 10 Một lưỡng cực điện điểm momen p đặt trong điện trường ngoài đều

trong những mặt đẳng thế bao bọc lưỡng cực là mặt cầu Hãy tìm bán kính của mặt đó

cos 1

với 1

0

cos 1

Khoảng cách giữa chúng là l Hãy tìm điện thế và môđun của vectơ cường độ điện trường tại khoảng cách r >> l dưới góc  với vectơ l

2 2

Hãy tính lực tác dụng lên lưỡng cực nếu vectơ

pqa: momen lưỡng cực điện A, B cho ảnh điện A'B', lưỡng cực p cho ảnh

F

4 (2 ) (2 )

a kpq l

kpq l a Eq

F

4 (2 ) (2 )

a kpq l

kpq l a Eq

Bài tập 13 Một lưỡng cực với momen điện là p đặt cách một sợi dây dài mang

a) Dọc theo sợi dây

A

P N

M r

O

r B

N

A +q F-

và F = F- + F+ = - qE+ qE = 0

b) Từ định lí O - G ta có h = 2rhD = 20rhE

Suy ra

0 2

 

0

1 2

Bài tập 14 Chuyển động của một lưỡng cực điện trong từ trường

tích gắn với chuyển động quay của nó Do đó, các định luật bảo toàn liên quan

phải được phát biểu dưới dạng khác so với cách thông thường Điều đó được nghiên cứu trong bài toán này khi khảo sát chuyển động của một lưỡng cực điện tạo bởi hai hạt có cùng khối lượng m nhưng mang các điện tích trái dấu nhau q

F+ F1 N

l

φ F-

(q > 0) và – q Hai hạt này nối với nhau bởi một thanh cách điện mỏng, cứng có

chiều dài l và khối lượng không đáng kể Gọi l r1 r2 trong đó r1 và r2 lần lượt

lượt là vec tơ vị trí và vec tơ vận tốc của khối tâm Có thể bỏ qua các hiệu ứng tương đối tính, bức xạ sóng điện từ và chuyển động quay của lưỡng cực điện quanh đường thẳng nối hai hạt

phần x, y, z của các vec tơ này trong hệ tọa độ vuông góc bởi các công thức sau:

1 Các định luật bảo toàn

a) Hãy tính lực tổng cộng và mô men lực tổng cộng đối với khối tâm tác dụng lên lưỡng cực điện và viết các phương trình chuyển động của khối tâm và chuyển động quay quanh khối tâm của nó

b) Từ phương trình chuyển động của khối tâm, hãy rút ra dạng biến đối của



c) Mô men động lượng gồm hai phần Một phần là do chuyển động của khối tâm, còn phần kia là do chuyển động quay quanh khối tâm Từ dạng biến đổi của định luật bảo toàn đối với động lượng toàn phần và phương trình của chuyển

động quay quanh khối tâm, hãy chứng minh rằng đại lượng J được định nghĩa

như sau:

J  r  P I B là đại lượng bảo toàn Ở đây I là mô men quán tính đối với

Đối với ba vec tơ A1, A2 và A3 bất kì Áp dụng nhiều lần hai công thức đầu

ở trên để rút ra các định luật bảo toàn đã nêu

2 Chuyển động trong mặt phẳng vuông góc với B

tơ đơn vị dọc theo trục z Sau đây ta giả thiết rằng lưỡng cực điện chỉ chuyển

có thể đạt tới là bao nhiêu?

c) Lực căng tác dụng lên thanh nối là bao nhiêu? Hãy biểu diễn lực này như

Giải

1 Các định luật bảo toàn

1.a) Kí hiệu vận tốc của hai hạt là v1 và v2 Ta có

Vì lưỡng cực điện không quay xung quanh đường thẳng nối hai hạt, mô men

Do đó phương trình cho chuyển động quay quanh khối tâm là:

Có thể biết vận tốc tương đối của hai hạt là l.    v1 v2  l

Bởi vậy, từ phương trình (1) và (3) ta nhận được:

a) Vì lưỡng cực điện nằm trong mặt phẳng z = 0, ta có thể viết

b) Phương trình (10) có thể viết lại là : PP y, để cho PqlB 0

Từ phương trình (6) ta có:

CM

x PI J (15) Tại thời điểm t = 0, x CM  0 và  0  c Do đó J I0 và phương trình (15) trở thành:

Nếu  0  c,  sẽ không khi nào bằng không và luôn luôn dương Giá trị cực

0

1 4

C

q F

III BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài tập 1

Hai sợi dây mảnh song song tích điện đều với mật

tìm điện thế và mô đun của véc tơ cường độ điện

trường tại điểm M cách tâm O của lưỡng cực một đoạn

r >> l dưới góc  với vec tơ l

Đáp số:

2 0

cos 2

Hai vòng tròn đồng trục, mỗi vòng có bán kính R

được làm bằng một sợi dây dẫn mảnh và cách nhau một

khoảng l << R và chúng mang các điện tích q và – q

trên trục của hệ theo x Hãy biểu diễn trên cùng một

ql x R E

Hai mặt phẳng vô hạn song song cách nhau một

R, với R >> l và hai lỗ thủng tròn đồng trục Lấy

trục Ox và gốc O như hình vẽ, hãy tìm điện thế V

trên trục x theo tọa độ x Vẽ phác đồ thị V(x)

x

lR E

z

M