skkn cấp tỉnh phương pháp sử dụng tích phân khi giải các bài toán về tính diện tích hình phẳng

MỤC LỤCTrang Mục lục SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍCH PHÂN KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Người

MỤC LỤC

Trang

Mục lục

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍCH PHÂN KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Người thực hiện: Phạm Thị Hường Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

MỤC LỤC

2.2 Thực trạng và giải pháp giúp học sinh sử dụng tích phân khi giảicác bài toán về tính diện tích hình phẳng 2

2.2.1 Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải 3

2.3 Phương pháp sử dụng tích phân khi giải các bài toán về tínhdiện tích hình phẳng 42.3.1 Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàmsố y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b 42.3.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứadấu giá trị tuyệt đối 52.3.3 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thịhàm số với trục hoành 6

Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao

điểm của hai đồ thị hàm số

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt

động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà

trường

27

Tài liệu tham khảo

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lụcgiác… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớpdưới Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đốivới các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượnghoá Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8, 9, 10, 11 vốn

đã gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố “trực quan vàthực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu

Do đó các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hìnhphẳng Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức mộtcách máy móc mà chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các

em hay bị nhầm lẫn, học không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải cóhình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được Thêm vào đó trong sách giáo khoacũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp họcsinh học tập và khắc phục những sai lầm đó Càng khó khăn hơn cho những họcsinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế

Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, đặc biệt là tích phân

có chứa dấu giá trị tuyệt đối, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, khắc phục nhữngkhó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng, từ đó giúp học sinhphát huy tốt kiến thức về diện tích hình phẳng mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấyđược tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học,học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, tự tin, hình thành cách nhìn nhận vấn đềnhẹ nhàng, thuận lợi, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, tôi

lựa chọn đề tài “Phương pháp sử dụng tích phân khi giải các bài toán về tính diện tích hình phẳng” Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng

như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi THPT quốc gia, ôn thi đánh giá năng lực

và đánh giá tư duy

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài giúp các em học sinh Trung học phổ thông có kiến thức

và phương pháp vững chắc để giải quyết bài toán về tính diện tíchhình phẳng trong các đề thi THPT Quốc gia, thi đánh giá năng lực và đánhgiá tư duy đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng để giải quyếtnhanh bài toán, thúc đẩy sự hứng thú, tự tin cho học sinh khi họctập, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toántrong Nhà trường

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Để hoàn thành đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu dựa trên cáckiến thức cơ bản tính diện tích hình phẳng trong chương trình

Hình học thuộc môn Toán Trung học phổ thông, các chuyên đề vềứng dụng tích phân để tính diện tích của hình phẳng.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài đã thực hiện các phương pháp nghiên cứu như:

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về tính diện tíchhình phẳng, phương pháp tính tích phân trong chương trình ToánTrung học phổ thông

- Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh giảiquyết bài toán tính diện tích của hình phẳng

- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm trên một

số đối tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi và hiệu quảcủa đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Về các kiến thức tích phân cơ bản

Định nghĩa: Cho hàm số yf x  liên tục trên K; a b, là hai phần tử bất kìthuộc K, F x  là một nguyên hàm của f x  trên K Hiệu số F b  F a  gọi làtích phân của của f x  từ a đến b và được kí hiệu:        

b

b a a

2.2.1 Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ởchương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp họcsinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hìnhphẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số Đây cũng là một nội dung thường gặp trongcác đề thi học kì II, đề thi THPT quốc gia, ôn thi đánh giá năng lực và đánh giá tưduy Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi)thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:

- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hìnhphẳng, do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hìnhphẳng đã học trước đây (diện tích đa giác, thể tích các khối đa diện …) Học sinhkhông tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiêncứu vấn đề này

- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “chưađủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinhchưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng

- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đềnày, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách máymóc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu

các biểu thức, kỹ năng “chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích;cộng, trừ thể tích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải.

- Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệtđối, chẳng hạn thường áp dụng sai công thức:  

b

a b

a

dx x f dx x f

2.2.2 Hướng khắc phục

- Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạttùy thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau:

+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối

+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trịtuyệt đối

+ Hoặc dùng công thức sau:  

b

a b

a

dx x f dx x f

Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a;b)

- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờdạy phụ đạo để học sinh tham khảo Qua đó rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồthị và vận dụng vào giải toán Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng

Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng, gần gũi thực tế hơn, hứng thú hơn

- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ

để học sinh luyện tập từ dễ tới khó Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải,

số còn lại để học sinh tự thảo luận làm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên

2.3 Phương pháp sử dụng tích phân khi giải các bài toán về tính diện tích hình phẳng

2.3.1 Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a; b

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và haiđường thẳng x = a, x = b có diện tích là S và được tính theo công thức:





b

dx x f

S ( ) (1)

Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối.

x f

Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) Thường

có hai cách làm như sau:

- Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam thức

bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥

0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn  a; b

- Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn  a; b để suy ra dấu

của f(x) trên đoạn đó.

+ Nếu trên đoạn [a;b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì

a b

x

x f

x -∞ -2 +∞

f(x)=2x + 4 - 0 + Suy ra 2x 4  0 ,  x - 2;0

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

dx x I

( ) 2 2 ( 2

3

0 2 3

27 0 2 0 3

0 3 2 3 3

2 3

2

x

x x

x

x -∞ 0 1 2 +∞f(x)= x2 - 3x + 2 + 2 + 0 - 0 +

Suy ra f(x)  0  x 0;1 và f(x)  0  x 1;2

2

1 2 1

0 2 2

0

2 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx x

K

1

2 ) 2 2

3 3

( 0

1 ) 2 2

3 3 (

2 3

2 3

x x

x x

x x

5 )

2 3 ( )

2 3 ( 2

3

2

1 2 1

0 2 2

Diện tích S của hình phẳng trên là S  x dx

Từ hình vẽ, suy ra 2x 4  0 ,  x - 2;0

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

dx x S

Từ hình vẽ, suy ra  2x 4  0  x - 2;0

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

dx x S

x

f x   = x

3 4

0 2

3 0

3 ) 2 (

2 2 2

0 3

2 0

2 ) 3

2

0 2 2

Bài toán 5: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2, trụchoành Ox và hai đường thẳng x = -1; x = 2 có giá trị nào sau đây?

1 3

8 3

) 1 ( 3

2 1

2 ) 3 (

3 3

3 2

1 2 2

Bài toán 6: Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x - 2, y =

0, x = 0 và x = 3 Diện tích hình thang có giá trị là:

21 0 2 2

0 3 2 2

3 0

3 ) 2 2 ( ) 2 ( 2

2 2

2 3

( ) 2 2 ( 2

3

0 2 3

27 0 2 0 3

0 3 2 3 3

x

f x  = x 2 +2x+2

3 6

2 -1

1

1 ) 2 3

( ) 2 2 ( 2

2

1 2 1

x dx

x x

S

3

14 1 3

1 3 3

1 ) 2 1 3

1 ( 3 3

1 2 ) 1 ( 3

) 1 ( 1 2 1 3

2 -1

2 ) 2 3 4 ( ) 2 (

2

3 4 2

1

2 3 2

1

2 3

x dx x

x

S

12

85 ) 2 3

1 4

1 ( 4 3

8 4

16 ) 2 3

) 1 ( 4

) 1 ( ( 2 2 3

2 4

1 0

1 0

1

) 1

3 1 ( )

1

3 ) 1 ( )

1

2 (

1

2

dx x

dx x

x dx

x

x dx

x

x S

1 2 ln 3 ) 2 ln 3 1 ( ) 1 ln 3 0 ( 1

0 ) 1 ln 3

1 3

x , 0

3

x

0 2

3 ) 4

( 1

0 ) 4 (

4 4

2 3

0 3 0

1 3 0

1

2 3

0

3 3

x dx x dx x

81 4

1 0 64

81 ) 4

1 0 ( 4

0 4

) 2

3 ( ) 4

) 1 ( 4

0

(

4 4 4

x f dx x f dx x f

2

1 1

Bài toán 12: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C) Tính diện tích củahình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2. . 5

2 3 2

0

2

3 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx x

S

2

5 4

5 4

5 4

5 4

5 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4

x

f x  = x 4 -3x 2+2

3

2 -1

Do đó 2 )11 125

5 ( ) 2 3 ( 2

1

1

5 2

4 1

1

2 4

x dx x

x dx x

1

2 4 2

4 1

2 2

2

2 4

22 15

76 15

Bài toán 15: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx,

trục hoành, trục tung và đường thẳng x = e là:

Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S cần tìm là  

e e

xdx x dx x x S

1 1

ln ln

2

x v dx x du xdx dv

x u

Do đó

4

1 1

4 2 1

ln 2

1 2 1

ln 2 ln

2 2

1 ) (

2

1 1

0 2

e e

dx e

x y

Hình 23

Với y ≥ 0 ta có:y r2  x2 có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành

0 2 2 2 2 2 1

r dx r

x r dx r

b Diện tích của elip:

Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình: 22  22  1

b y a x

, 0 b  a

(P)

x y

Bài toán 17: Cho hình phẳng sau, biết rằng hình phẳng đó được giới hạn bởi

Nửa elíp (E) cắt trục hoành tại các điểm (- 3;0) và ( 3;0)

(E) cắt trục tung Oy tại điểm (0;1)

Suy ra (E ) có nửa trục lớn a = 3 và nửa trục bé b = 1

Phương trình của nửa (E ) là : 1

9

2 2



y x

với y ≥ 0 hay (E): 9 2

3 3

1

3

0 3

21 4

2.3.5 Hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

2.3.5.1 Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C), y = g(x) có đồ thị là (C’)

Nếu hai đồ thị (C) và (C’) có điểm chung là điểm M(x0 ; y0) thì cặp số (x0; y0)

là nghiệm của hệ phương trình 







) ( ) (

x g y

x f y

2.3.5.2 Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y x2 3x

1 0

) 1 )(

3 ( 0 ) 3 ( ) 3 ( 0 ) 3 ( 3

2

y

y x

x x

x x

x x x

x x

Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ lần lượt là: (1;- 2)

và (3;0)

Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = xlnx và y = x

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:

0 ) 1 (ln 0

Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho

Giải

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình:

0 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 0 1 2 2

4 4

1 0

1

0 1 2 0 ) 1 )(

1 2

x

x x

x x





x

2.3.5.3 Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x

=b (a<b) Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x), y = g(x) và hai đườngthẳng x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức:

dx x g x f S b

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:

0 ) 1 (ln 0

ln

lnxx x x x  x x 

x

Vì x > 0 nên x(lnx 1 )  0  lnx 1  0  lnx 1  xe

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e

Trên đoạn 1 ;e phương trình xlnx - x = 0 chỉ có một nghiệm x = e

Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y =xlnx, y = x và hai đường thẳng x = 1,

x = e có diện tích S được tính theo công thức:

dx x x x

e e

xdx x

x dx

x x x dx

x x

x

S

1 1

1 1

ln )

ln ( ln

4

3 2

1 2 4

1 1

2 4

x dx

x x x x

0

2 3 2

3 3 3 ( 4 4 ) ( 2 1 )( 1 )

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình:

0 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 0 1 2 2

4 4

; 0 1

2

; 0 2 1

0 1 0 1 2 0 ) 1 )(

1 2

x x x x

x x

x

7 6

35 6

7 )

1 )(

1 2 ( )

1 )(

1 2

(

2

1

2 1

Bài toán 20: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng

y = x – 1 có diện tích bằng bao nhiêu?

-3 -2 -1

3 2 1

3 4 1

x x

x x

Suy ra diện tích của hình phẳng trên là:

dx x x dx x x

x

3

1 2 3

1

3

4 3

4

1

3 ) 3 2 3 ( ) 3 4 ( 3

3

1 2 3

-3 -2 -1

3 2 1

) 4 ( 0 4 2

x x

x x

2

3 3x 2 (x 2 )dx x 3x 2 (x 2 )dx x

S

dx x x dx x x



2

0 3 0

2

Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ta có:

8 4 4 )

4 ( )

4 (

0 3 2

x y

-2 4

-3 -1

3 2 1

O 1

0 16

4 3

0 4

) 1 4 3 4

1 ( 4

3

2 2

x

x x

x x

x x

x x x

x

Diện tích của hình phẳng đã cho là:

dx x

x dx

x x dx

x x dx x

0

0

2

2 2

1 4

3 4 4

3 4

dx x

4 16

( 9

1 4

16 9

1 4

16 2

3 6

1 6

1 6

3 16

4 2 1 16

112 4

9

56 56 9

56 4

1 9

56 4

Bài 1: Hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 12

Biết rằng (C) là đồ thị của hàm số

1

2 3

y ; đường thẳng d đi qua haiđiểm (4;0) và (0;-4) ; đường thẳng  là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độbằng 1

Bài 3 Cho hình phẳng sau được giới hạn bởi parabol (P) và trục hoành Biếtrằng (P) đi qua ba điểm (0,0); (2,0) và (2,4) Tính diện tích của hình phẳng đã cho

- 2

2 4

x y

Bài 4 Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi hai đường parabol (P) và đườngthẳng (d) như hình vẽ Tính diện tích của hình phẳng đã cho.Biết rằng parabol (P)

đi qua gốc toạ độ O(0,0) và điểm (2;-4); đường thẳng (d) đi qua hai điểm (2;-4) và(-2;0)

(d) ()

Bài 5 Cho hình phẳng sau giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = x(x +1)(x-2)

và trục hoành Tính diện tích của hình phẳng đã cho

- 2

2 4

x y

Bài 6 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0; y = x3 -3x2

+ 3x - 1 và tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ x = 3

Bài 7 Tính diện tích của hình phẳng giới parabol y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ;5) và trục tung

Bài 8 Cho hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường

1 2

- 2

2 4

x y