skkn cấp tỉnh một số phương pháp giải bài toán bất phương trình hàm

Để giảiđược bài toán về bất phương trình hàm, đòi hỏi các em bước đầu có tư duy về đại số; biếtvận dụng các kiến thức về giải tích: hàm liên tục, đạo hàm, bất đẳng thức; biết thay cácgiá

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm

3 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình của các lớp chuyên toán và kì thi học sinh giỏi quốc gia trunghọc phổ thông, bài toán về bất phương trình hàm đóng một vai trò quan trọng Để giảiđược bài toán về bất phương trình hàm, đòi hỏi các em bước đầu có tư duy về đại số; biếtvận dụng các kiến thức về giải tích: hàm liên tục, đạo hàm, bất đẳng thức; biết thay cácgiá trị đặc biệt của hàm số nhằm tìm quy luật Chúng ta mong muốn tạo ra sự hứng thútrong học tập cho học sinh, bên cạnh việc giúp các em rèn luyện phương pháp xử línhững bài về bất phương trình hàm, là vận dụng thành thạo tư duy đó cho các loại bài tập

khác Trong khuôn khổ đề tài “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM”, tác giả chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em

giải quyết bài toán một cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn Từ đó giúpcác em củng cố kiến thức, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, trang bị thêm kiếnthức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2023-2024 và các năm học sau

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là tìm ra các phương pháp giúphọc sinh tiếp cận và có nền tảng kiến thức cơ bản để xử lí bài toán bất phương trình hàm

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các lớp chuyên Toán, các độituyển học sinh giỏi môn Toán Trường THPT chuyên Lam Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về Dãy số, Phương trình hàm, Bất đẳngthức, Phương pháp dạy học môn Toán có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm.Quan sát: Quan sát thực trạng dạy học phần bất phương trình hàm của các lớpchuyên Toán 10,11 nói chung và đội tuyển HSG môn Toán nói riêng

Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm và xem xét hiệu quả dạyphần Bất phương trình hàm tại các lớp chuyên Toán 10,11 và đội tuyển học sinh giỏiToán ở Trường THPT chuyên Lam Sơn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1 Các định lí cơ bản của hàm số liên tục trong SGK 11

2 Các Bất đẳng thức cơ bản như AM-GM, Cauchy-Schwarz

3 Các kiến thức cơ bản về hàm số

4 Các phương pháp cơ bản để giải phương trình hàm

5 Các kiến thức cơ bản về dãy số, đa thức

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Học sinh các lớp chuyên và đội tuyển thường gặp khó khăn khi gặp bài toán bấtphương trình hàm Các tài liệu về bất phương trình hàm còn rất thiếu

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng pháthiện và giải quyết vấn đề Đưa ra các phân tích tư duy, tại sao và thế nào, cách nghĩchung nhất để phát hiện lời giải

- Luôn hướng dẫn học sinh dùng tương tự hóa để tìm lời giải cho bài toán mới

- Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các công đoạn để dễ thực hiệngiải toán

- Luôn linh hoạt trong giải toán, kết hợp thành thục giữa các phương pháp

- Nêu ra một số phương pháp chung để giải bài toán bất phương trình hàm với hệthống bài tập và các ví dụ mẫu mực

Sau đây là phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm

I Phương pháp 1: Dùng phép thế (phương pháp cốt lõi).

a Vài kiến thức lưu ý

Điều này tương tự như bên phương trình hàm, phép thế là một kỹ thuật đơn giản mà rất hiệu quả để thu được các hệ quả hướng đến việc xác định được hàm số

+ Khi vận dụng phương pháp cần chú ý sử dụng kết quả vừa có được

bởi ; muốn có thì cho , muốn có thì thế bởi

+ Chú ý là để xác định được giá trị của hàm số tại 1 điểm từ một bất đẳng thức hàm, ta cần sử dụng ý tưởng kẹp hai phía giá trị của

b Các bài toán minh họa.

1 Xác định các hàm số f ( x) liên tục trên thoả đồng thời các điều kiện sau:

Lời giải

Vậy Thử lại thấy đúng

2 Cho trước hàm số Xác định các hàm số f ( x) liên tục trên thoả đồng

Lời giải

h( x+ y )=h( x)+h( y) Đặt f ( x)=h(x )+g( x)

Khi đó ta có g( x)≥0; ∀ x∈ R và

g( x)=0; ∀ x∈ R

Thử lại thấy thoả điều kiện (2.1) và (2.2)

3 Cho a>0 Xác định các hàm số f ( x) liên tục trên thoả đồng thời các điều kiện

Vậy thoả điều kiện bài toán

4 Xác định các hàm số f ( x) liên tục trên thoả đồng thời các điều kiện sau:

Lời giải

Thay y=0 vào (4.1’) và (4.2’)

(kết hợp với (6”) Thử lại thấy thoả điều kiện.

7 OLP Liên bang Nga 2000: Tìm tất cả các hàm số thoả mãn:

.Lời giải

Từ (2) và (3) ta được Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy là hàm số cần tìm (C: là hằng số)

Lời giải Thay vào (*) ta có :

Từ (4) và (6) ta suy ra : Đảo lại xét hàm số

Ta nhận thấy thỏa yêu cầu của bài toán

Vậy

Vậy: , và dễ thử lại, đó là đáp số bài toán.

11 Tìm tất cả các hàm số thoả mãn đồng thời các điều kiện:

Ta thấy là một nghiệm bài toán

Xét trường hợp , khi đó tồn tại để Từ (1), ta có:

Thay vào (1), ta được

Mặt khác, thay vào (1) ta cũng có nên:

Thay vào (1) và (2), ta lần lượt có ; nên:

Từ đây, thay bởi vào (1), ta có nên:

Thay bởi ; thay bởi vào (2), ta có nên

Hàm vừa cộng tính, vừa nhân tính và không đồng nhất 0, nên theo các kết quả quen thuộc, ta có:

Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Tòm lại, có 2 hàm số thỏa mãn yêu cầu là và

II Phương pháp 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

a Vài kiến thức lưu ý

Trong giải toán bất phương trình hàm, tính đơn điệu của hàm số là 1 tính chất mạnh mà

Hay hs trên là nghịch biến trên

VD: Cho hai hàm số và cùng xác định và đồng biến trên khoảng I

- Nếu cộng tính và đơn điệu trên (hoặc +) thì

- Nếu đơn điệu thực sự thì f là đơn ánh

- Nếu ta dự đoán được công thức hàm số, chẳng hạn thì có thể xét

và , sau đó sử dụng tính đơn điệu của hàm để dẫn tới điều vô lý

Nếu đơn điệu và ta đã có công thức của trên tập số hữu tỉ thì dùng kỹ thuật chọn hai dãy hữu tỉ đơn điệu ngược nhau, rồi sau đó chuyển qua giới hạn

b Các bài toán minh họa

15 Romania District Olympiad 2011

Lời giải

- Kí hiệu chỉ việc thay thế bởi , thay bởi vào (1)

- Từ (1) ta có:

- Như vậy là hàm số liên tục trên Giả sử là hai số thuộc sao cho

Khi đó suy ra là đơn ánh Kết hợp liên tục nên suy ra là đơn điệu thực sự

- Thấy rằng nếu thỏa (1) thì và cũng thỏa (1), do đó có thể giả sử

và là hàm đơn điệu tăng

(do tăng và 0 < 1)

- Cũng chứng minh như trên ta suy ra

(2)(3)

17 Bài T11/404 - THTT

Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:

Lời giải

BĐT đã cho tương đương với:

Thử lại, ta thấy hàm thỏa mãn bài toán Vậy

III Phương pháp 3: Chuyển qua giới hạn

a Vài kiến thức lưu ý

Việc xét các điểm đặc biệt luôn là một kỹ thuật thông dụng khi giải phương trình hàm và bất phương trình hàm Bên cạnh các điểm hữu hạn như thì điểm là một điểm đặc biệt có thể khai thác Nếu nắm vững bản chất giới hạn thì nhiều bất phương trình hàm giải được bằng phép chuyển qua giới hạn Xin ghi lại một số lý thuyết hàm liên tục:

a/ Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên khoảng Hàm số được gọi là liên tục tại nếu

Trường hợp thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm ,

thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm

Nếu hàm số không liên tục tại thì được gọi là gián đoạn tại điểm Vậy gián đoạn tại điểm khi không tồn tại hoặc

b/ Định lí 1: Cho hàm số liên tục trên đoạn Khi đó:

i) bị chặn trên đoạn , nghĩa là tồn tại số sao cho:

ii) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn

e/ Định lý 3: Giả sử là một hàm liên tục, nhân tính:

Chúng minh rằng hàm có dạng (với tuỳ ý)

f/ Một số lưu ý:

- Nếu liên tục và đơn ánh thì đơn điệu thực sự

- Nếu có công thức của trên tập và X trù mật trong thì ta cũng có công thức của trên

b Các bài toán minh họa

18 OLP Toán Quốc tế 2011

Lời giải

Trước hết ta chứng minh

Thật vậy, giả sử có mà Trong (1) lấy ta được:

- Cho ta được , suy ra

- Lại thế vào (3) ta được:

Mặt khác trong (1) cho ta có

Do đó:

Từ đây suy ra Vậy từ (4) có

19 OLP Sinh viên Quốc tế 2001

Chứng minh rằng không tốn tại hàm số thoả mãn đồng thời

Lời giải

Giả sử trái lại, tồn tại hàm số thỏa mãn (1) và

Nếu như thì với bất kì ta có:

Như vậy là hàm giảm Từ đó do suy ra mâu thuẩn

Vậy phải tồn tại sao cho Cố định này và cho trong (1) ta được:

do đó:

Vì thế, tồn tại và sao cho:

Đến đây ta gặp mâu thuẩn Vậy không tồn tại hàm thỏa mãn các điều kiện nói trên, ta

có điều phải chứng minh

20 Tìm tất cả các hàm số thoả mãn đồng thời các điều kiện:

.Lời giải

Theo giả thiết ta có:

IV Phương pháp 4: Sử dụng dãy số

a Vài kiến thức lưu ý

Nếu như phép thế là một kĩ thuật thông dụng khi giải các bất phương trình hàm có nhiều biến tự do thì với bất phương trình hàm (và phương trình hàm) có một biến tự do,

kĩ thuật dãy số và lặp có thể giúp ta xác định giá trị hàm số tại một điểm hoặc những bất đẳng thức hàm chặt hơn

Có một vài kết quả chú ý:

1/ (với là biểu thức không phụ thuộc vào )

2/ Cho hai dãy số hội tụ Khi đó nếu thì

3/ Cho là một biểu thức phụ thuộc vào , và cho A là một hằng số Để chứng minh

ta xây dựng một dãy số sao cho cũng được) và

b Các bài toán minh họa.

21 Tìm tất cả các hàm số liên tục trên và thoả mãn:

.Lời giải

Từ (3) và do là hàm liên tục trên , suy ra:

Vậy là hàm hằng trên , thử lại thấy thỏa mãn

22 Cho hàm số là một hàm liên tục sao cho và thoả mãn:

Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ giả thiết suy ra với mọi ta có:

Ta có:

Do liên tục trên nên từ (1) cho ta được

Vậy

23 HSG QG năm 2003 - Bảng A

Hãy tìm số thực lớn nhất sao cho với mọi hàm số thuộc tập F, ta đều có: ,Lời giải

Dễ thấy hàm số thuộc F Khi đó với mọi ta có

Vậy Vì nên trong (1) thay bởi suy ra (2)

Xét dãy số như sau:

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mọi thì: (4)

Do (2) nên (4) đúng khi n = 1 Giả sử đã có (4) khi Kết hợp với (1) suy ra với mọi

ta có:

Vậy (4) cũng đúng khi Theo nguyên lý quy nạp suy ra (4) đúng với mọi

Tiếp theo ta chứng minh Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được dãy

là dãy bị chặn trên bởi Từ đó:

Suy ra là dãy tăng, do đó dãy hội tụ Đặt , khi đó

Từ các chứng minh trên ta được các giá trị cần tìm là:

24 Tìm số thực lớn nhất để nếu là hàm số tùy ý xác định trên thỏa mãn bất

thì ta luôn có

Lời giải

Giả sử tồn tại số thực thỏa mãn bài toán

Khi đó vì thỏa mãn bất phương trình hàm (*) nên ta có

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng: Nếu là hàm số tùy ý xác định trên , thỏa mãn bất phương trình hàm (*) thì ta luôn có

Từ (*) thay bởi ta được:

Theo nguyên lý quy nạp suy ra:

Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được dãy tăng và bị chặn trên (bởi số ) nên cógiới hạn Suy ra Từ đó:

Từ giả thiết ta có

Cố định và đặt thì Khi đó:

với Dùng quy nạp, ta chứng minh được: với xác định bởi:

3 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

Khi mới bắt đầu giảng dạy phần bất phương trình hàmvì còn tìm tòi, thực nghiệmnhiều phương pháp nên những kinh nghiệm trên chưa được áp dụng rõ nét Sau nhiềunăm giảng dạy tác giả đã tích lũy được một số kinh nghiệm trong dạy học các dạng toánliên quan đến bài toán bất phương trình hàm Sáng kiến có phân tích khá đầy đủ và chitiết phương pháp và cách thức áp dụng vào giải các bài toán Chuyên đề này tác giả cũng

đã cập nhật và tổng hợp những dạng toán mới nhất trong các kì thi Olympiad của cácnước, khu vực và quốc tế về chủ đề bất phương trình hàm Hệ thống các bài tập đưa ratheo thứ tự tăng dần độ khó để người đọc thấy được ứng dụng đặc biệt cũng như hướng

tư duy có liên quan đến vận dụng kiến thức cũng như kết hợp các thao tác tư duy khácnhau để giải toán

Khả năng áp dụng của sáng kiến

Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh đội tuyển Toán tại trườngTHPT chuyên Lam Sơn, bước đầu đã thu được một số kết quả khả quan Học sinh có sựtiến bộ rõ rệt, thể hiện qua chất lượng các kì thi HSG các cấp Đề tài đã được thảo luận,đánh giá ở tổ chuyên môn và đã được đồng nghiệp áp dụng trong công tác giảng dạy Tất

cả đều có phản hồi rất tích cực về hiệu quả của đề tài Không chỉ vậy, việc giải quyếtnhững nội dung còn hạn chế của đề tài lại là nguồn cảm hứng cho đồng nghiệp trong việcnghiên cứu khoa học Từ đó, phong trào nghiên cứu khoa học, trau dồi kiến thức, bồidưỡng nghiệp vụ ngày càng được chú trọng

4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 4.1 Kết luận

Để giảng dạy có hiệu quả phần bất phương trình hàm giáo viên cần trang bị chohọc sinh những kiến thức nền tảng của tất cả các mảng đại số, giải tích và số học có liênquan Đối với học sinh lớp 10 giáo viên cần giảng dạy đầy đủ và chi tiết các chuyên đề vềphương (bất) trình hàm đơn giản nhất để hình thành thói quen cũng như các thao tác tưduy của môn học Theo tác giả có thể chọn ra một số cuốn sách để giảng dạy như:phương trình hàm của tác giả Nguyễn Trọng Tuấn, Functional Equations của tác giả TituAndreescu…

Giáo viên nên chọn các ví dụ phù hợp nhất và phân tích chi tiết cho các em cách sử dụng các kiến thức liên quan, cách dự đoán tính chất đặc trưng và tại sao lại sử dụng các tính chất đó trong tình huống như vậy

4.2 Kiến nghị

Do thời gian có hạn nên trong phạm vi bài viết, tôi cũng chỉ mới giải quyết một sốdạng toán Vẫn còn một số dạng bất phương trình hàm khó mà để hình thành tư duy, cáchgiải khá khó khăn Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có cách khai thác tốthơn cho các bài toán thuộc thể loại này./

Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi viết, không sao chép của người khác

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2024

NGƯỜI VIẾT SKKN

Bùi Văn Bình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Báo Toán Học và Tuổi Trẻ

2 Tài liệu chuyên Toán 10,11 phần Đại số+Giải tích

3 Đề thi HSG Toán quốc gia từ năm 1990 đến năm 2023

4 Funtional Equations, Titu Andreescu, Iurie Boreico

5 Bài toán hàm số qua các kì thi, Nguyễn Trọng Tuấn

6 Tài liệu mạng: www.http://toanmath.vn

www.http://mathscopre.org.vnwww.http://diendantoanhoc.org

Mẫu 1 (2) DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Bùi Văn Bình

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán, Trường THPT chuyên Lam Sơn,

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp

loại

(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Bài toán giới hạn dãy số Ngành GD tỉnh;

4 Một số kinh nghiệm hướng dẫn

học sinh giải bài toán max-min