skkn cấp tỉnh một số phương pháp giải bài toán cực trị hàm ẩn dành cho học sinh khối 12 ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM ẨN DÀNH CHO HỌC SINH KHỐI 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM ẨN DÀNH CHO HỌC SINH KHỐI 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Người thực hiện: Đào Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2024

MỤC LỤC 1.Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài 01

1.2 Mục đích nghiên cứu……… ……… 01

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….………… 01

1.4 Phương pháp nghiên cứu……….… 01

1.5 Những điểm mới của SKKN……….01

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 01

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 02

2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện 03

2.3.1 DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA CỰC TRỊ……… …… 03

2.3.2 PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC ……… ………… ……… 08

2.3.3 DỰA VÀO BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ……… 11

2.4 Những kết quả đạt được 14

3 Kết luận 15

3.1 Kết luận 15

3.2 Kiến nghị 16

(*)Tài liệu tham khảo 17

1.Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài :

Cực trị hàm số là một chuyên đề toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế… Chính vì lẽ đó các bài toán về Cựctrị đã được đưa vào chương trình toán lớp 12, nhằm cung cấp cho học sinh nhữngkiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này để có thể áp dụng vào các bàitoán thực tế, cùng với đó nâng cao được khả năng phát triển tư duy của học sinhTHPT

Những năm gần đây, trong các đề thi Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia luôn xuấthiện các bài toán về Cực trị hàm ẩn Qua thực tiễn giảng dạy Cực trị cho học sinhlớp 12 chương trình cơ bản môn Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấuđáo các khái niệm cơ bản của định nghĩa Cực trị, các em chỉ biết giải bài toán Cựctrị trong một số kiểu bài tập tính toán quen thuộc Đa số học sinh chưa thể giảiquyết các bài toán liên quan đến hàm ẩn, mà đây là những dạng bài tập hầu nhưnăm nào cũng xuất hiện trong các đề thi Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12 nắm vững các kiến thức cơ bản

về “Cực trị hàm ẩn’’ đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó

để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải bài toán cực trị hàm ẩn dành cho học sinh khối 12 ôn thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia’’.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh phần nào giải quyết được 1 số bài toán “Cực trị hàm ẩn’’, đồngthời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụthể

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Một số phương pháp giải bài toán cực trị hàm ẩn dành cho học sinh khối 12 ôn

thi Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu tài liệu

Phương pháp thực nghiệm

Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

Các dạng toán có kèm theo những đánh giá, nhận xét, cùng với hệ thống bàitập thích hợp

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến:

Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính

chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học[1]

1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và điểm x0( ; )a b

+ Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x( ) f x( )0 với mọi x(x0  h x; 0 h) và x x 0

thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực đại tại x 0

+ Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x( ) f x( )0 với mọi x(x0  h x; 0 h) và x x 0

thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại x 0

2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số yf x( ) liên tục trên

0 0

K  x  h x h và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { }x , với 0 h 0.

+ Nếu f x '( ) 0 trên khoảng (x0  h x; )0 và f x '( ) 0 trên ( ;x x0 0 h) thì x là một0

điểm cực đại của hàm số f x( ).

+ Nếu f x '( ) 0 trên khoảng (x0  h x; )0 và ( ) 0 f x  trên ( ;x x0 0 h) thì x là một0điểm cực tiểu của hàm số f x( ).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Bước 3 Lập bảng biến thiên.

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Bước 4 Dựa vào dấu của f x( )i suy ra tính chất cực trị của điểm.

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:

Năm học 2016 – 2017, bộ GD – ĐT chuyển đổi hình thức thi Tốt Nghiệp

THPT Quốc Gia của môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, nên đòi hỏiphương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Trước khi chưa áp dụng đề tài “Một số phương pháp giải bài toán cực trị hàm ẩn dành cho học sinh khôi 12 ôn thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia’’ vào giảng dạy trong các tiết ôn tập về chủ đề cực trị của hàm số thì mức độ nhận thức, cũng như mức độ nắm bài học của học sinh còn hạn chế nhiều Minh chứng điều đó là kết quả khảo sát chất lượng nội dung học của 2

lớp khi tôi dạy “ Chủ đề tìm số điểm cực trị của hàm số ” theo phương pháp truyền thống.

Lớp Sĩsố Điểm dưới 5

Điểm từ 5đến dưới 6,5

Điểm từ 6,5đến dưới 8 Điểm trên 8

Ghichú

Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến dưới 6,5 Điểm từ 6,5 đến dưới 8 Đi ểm trên 8

Chính vì vậy mà khi dạy học, giáo viên cần liên hệ nhiều đến những kiến thứcsinh động để tăng tính tập trung và để các em vận dụng kiến thức tốt hơn Ngườigiáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em, bằng cách thiết kế bài giảngkhoa học, hợp lý

2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện:

2.3.1. DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA CỰC TRỊ [1][4]

1 Kiến thức sử dụng

i) Cho hàm số y f x( ) có các điểm cực trị x (Đề có thể cho bằng hàm tuờng i

minh, đồ thị, bảng biến thiên của f x( ) hoặc ( )f x ) Yêu cầu chúng ta tìm số điểmcực trị của hàm số y f u( ) trong đó u là một hàm số đối với x

- Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số y f u x( ( ))

- Số điểm cực trị của hàm số y f u( ) là số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình (1) và (2)

- Số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình (1) là số điểm cực trị của u x( ).

- Suy ra: Số điểm cực trị của f u ( ) Số điểm cực trị của u SNBL u x   i

ii) Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối.

- Bài toán: Đồ thị hàm số y | ( ) |f x có bao nhiêu điểm cực trị

1

2 3( vo nghiem )0

Cách 2: Công thức đếm nhanh số điểm cực trị

Xét hàm số y f u( )f x 2  2x với u x 2  2x

Bảng biến thiên của hàm số u x( ) như sau:

Công thức đếm nhanh:

1SDCT{ ( )} SDCT{ } SNBL 1 1 2 3

là nghiệm kép nên khi qua giá trị x 2 thì ( )f x

không đổi dấu

Hay phương trình (1) và phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 5

Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.

Cách 2: Phương pháp đếm nhanh số điểm cực trị

| 1

12

| 1

031

x x

x

x y

y không xác định tại x 1.





| 2 3 | 2 0'( ) 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 5 điểm cực trị

2.3.2 PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC [4]

1 Kiến thức sử dụng

Cho hàm số yf u x( ( ))ta tiến hành vẽ bảng biến thiên hàm số như sau:

Bước 1: Vẽ bảng biến thiên hàm số y f x( ) Đặt u x , khi đó ta được bảng biến thiên hàm y f u( ).

Bước 2 Vẽ bảng biến thiên hàm u u x ( ).

Bước 3 Vẽ bảng biến thiên hàm y f u x( ( )) bằng cách thực hiện ghép trục.

i) Ở dòng thứ 2, ta giữ dòng 3 của bảng ở bước 2 Sau đó trên từng khoảng đồng biến(nghịch biến) của hàm u u x ( )ta xét các điểm a làm i y u '( ) 0hoặc

không xác định của bảng 1, nếu điểm nào nằm trong từng khoảng yêu cầu thì

ta thêm vào dòng thứ 2, điểm không thỏa mãn ta loại Như vậy dòng 2 bao gồm các điểm a để làm i y u '( ) 0hoặc không xác định của bảng 1 và các

điểm b để làm j u x '( ) 0hoặc không xác định ở bảng 2.

ii) Ở dòng đầu là các điểm x thỏa mãn ( ) o u x i a u x i; ( )j b j

iii) Ở dòng thứ 3, ta lần lượt ghi các giá trị của y f u x( ( ))cho từng điểm tương ứng của u a i và b , theo nguyên tắc giá trị bé hơn nằm dưới, giá trị lớn hơn j nằm trên Ta có thể lấy thêm các điểm a m a a1; n a2rồi so sánh ( ) f a với m

1

( )

f a , ( ) f a với n f a để xác định chiều biến thiên của hàm khi ( )2 x a x a 1;  2

Từ đây ta có bảng biến thiên hàm y f u x( ( )).

Dưạ vào BBT ta thấy hàm số g x f x 3  3x2 có 7 điểm cực trị.

Ví dụ 2 : Cho hàm số yf x  liên tục, xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ

Dưạ vào BBT ta thấy hàm sốg x  f x 3  3x 1 có 6 điểm cực tiểu

Ví dụ 3: Cho hàm số yf x  liên tục, xác định trên R và đồ thị có 3 điểm cực trịnhư hình vẽ

Dưạ vào BBT ta thấy hàm sốg x  f x 3  3x 2 có 4 điểm cực đại

2.3.3. DỰA VÀO BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ [5]

1 Kiến thức sử dụng

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị ( )C và Khi đó

+ Tịnh tiến ( )C lên trên a đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x( )a

+ Tịnh tiến ( )C xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x( ) a

+ Tịnh tiến ( )C sang trái a đơn vị ta được đồ thị hàm số yf x a(  )

+ Tịnh tiến ( )C sang phải a đơn vị ta được đồ thị hàm số yf x a(  )

+ Lấy đối xứng ( )C qua Ox ta được đồ thị hàm số y f x( )

+ Lấy đối xứng ( )C qua Oy ta được đồ thị hàm số yf( x)

* Lối thường gặp: Biến đổi đồ thị sai

* Đặc biệt khi f x( ) là hàm đa thức

1) Với hàm y| ( ) |f x (có thể mở rộng với hàm y| ( )f x  m| )

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y| ( ) |f x bằng tổng số giao điểm của đồ thị hàm

số y f x( ) với Ox và số điểm cực trị không thuộc Ox của đồ thị hàm số yf x( ).2) Với hàm yf x(| |) (có thể mở rộng với hàm yf x(| |m) )

Số điểm cực trị của hàm số là 2k 1 trong đó k là số điểm cực trị dương

Đặc biệt: Hàm số y f x( ) là hàm chẵn nhận đường thẳng x x 0làm trục đối xứng, khi đó số cực trị của hàm số là 2k 1( với k là số cực trị của hàm số trong trường hợp x x 0).

A 3.

B 4.

C 2.

D 5.

Lời giải Chọn A

Xét hàm số g x( ) 4 ( ) f x  x2 Ta có( ) 4 ( ) 2 ; ( ) 0

2

x

y  tại các điểm có hoành

độ 1;0;2

Bảng biến thiên của g x( )

Từ đồ thị của ( )f x a 0

  mà ae 0 e 0 g(0) 4 (0) 4. f  e0.Nhận thấy g x( ) có 1 điểm cực tiểu và đồ thị hàm số y g x ( ) cắt trục hoành tại haiđiểm phân biệt nên hàm số y | ( ) |g x có 3 điểm cực tiểu

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai và ứng dụng rộng rãi trong toàn

bộ học sinh khối 12 Đặc biệt, có thể dùng để ôn thi học sinh giỏi và luyện thiTHPT Quốc gia

* Kết quả thực nghiệm.

Đối tượng thực nghiệm:Học sinh trường THPT Mường Lát

Cách thức thực hiện: Cho HS làm bài tập trắc nghiệm sau khi dạy.

Lớp Sĩ số Điểm dưới 5

Điểm từ 5đến dưới 6,5

Điểm từ 6,5đến dưới 8 Điểm trên 8

Ghichú

Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến dưới 6,5 Điểm từ 6,5 đến dưới 8 Đi ểm trên 8

Thông qua kết quả thực nghiệm đã bước đầu khẳng định được tính đúng đắn của phương pháp mà sáng kiến đưa ra

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận.

Qua một thời gian giảng dạy, nghiên cứu về phần hàm ẩn của hàm số, phần lớn

những vướng mắt của học sinh do thiếu kĩ năng cơ bản về các phép biến đổi, đánhgiá, nhìn nhận Có thể nói sáng kiến kinh nghiệm của tôi thật sự cần thiết và hữuích cho giáo viên và học sinh Đặc biệt là giáo viên trẻ mới ra trường, còn non kinhnghiệm

Một lần nữa, tôi có thể khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả màTôi thu được sau một thời gian học tập, rèn luyện và nghiên cứu về Cực trị Đồngthời, tích lũy những kinh nghiệm qua quá trình dạy học với đối tượng học sinh Đó

là sự kết tinh kiến thức đã qua nhiều thế hệ và là sự giúp đỡ, học hỏi từ đồngnghiệp Một số bài toán có nêu lời giải đầy đủ, còn có một số bài chỉ vạch ra hướnggiải Hầu hết qua các bài tập đều có nhận xét để học sinh hoặc người đọc có thểcảm nhận sâu sắc hơn về bài toán Do yếu tố thời gian, cũng như kiến thức và cáchtrình bày còn nhiều hạn chế Rất mong được sự nhận xét, góp ý của quý đồngnghiệp và các em học sinh, để sáng kiến này được hoàn thiện hơn Hy vọng rằng,

tài liệu này có thể giúp ích cho quý đồng nghiệp và các em học sinh trong quá trìnhgiảng dạy và học tập.

Trong thời gian tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện hơn, nhằm từngbước hoàn thiện kĩ năng cho bản thân và tạo mũi nhọn cho nhà trường

Đào Anh Tuấn

(*) DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12- Ban cơ bản;

[2] Bộ đề thi đại học, cao đẳng, đề minh họa của Bộ GD và ĐT từ năm 2016 đếnnay;

[3] 90 đề thi thử Đại học, cao đẳng của nhà sách Lovebook – GSTT Group;

[4] Một số kiến thức về Cực trị hàm ẩn trên mạng Internet, cùng hệ thống bài tậptrên facebook của các nhóm Toán Vận Dụng Cao;

[5] Bộ tài liệu về cực trị hàm ẩn của VTV7

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Đào Anh Tuấn

Chức vụ và đơn vị công tác: TTCM – Trường THPT Mường Lát

TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá

xếp loại

(Ngành giáo dục cấp huyện;

tỉnh…)

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B hoặc C)

Năm đánh giá xếp loại

1 Phương pháp giải quyết

một số dạng tích phân

hàm ẩn

Ngành GD tỉnh Thanh Hóa