skkn Đề tài một số phương pháp giải phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN LỜI NÓI ĐẦU Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học đặc biệt là môn toán, nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải toán và phát hiện những học sinh có năng lực về toán học. Đúng như tên gọi của sáng kiến: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN” nhằm tổng hợp đưa ra các phương pháp giải các phương trình nghiệm nguyên có tính chất chọn lọc và định hướng phát triển bài toán này cho học sinh khá giỏi ở trường trung học cơ sở. Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sinh nhiều phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng ,một trong những dạng toán đó là dạng toán về phương trình nghiệm nguyên, nhưng việc biên soạn bài toán này ở các cuốn sách không được tập chung chưa hoàn chỉnh và hệ thống còn hạn chế về phương pháp giải.Với mục đích hệ thống, xây dựng cô đọng những phương pháp giải, hướng phát triển các bài toán, vận dụng kết quả của bài toán này vào giải quyết một số bài toán khác, nhằm mục đích đưa ra một tài liệu cho học sinh, giáo viên tìm hiểu tham khảo thêm và cũng là một tài liệu giúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi của giáo viên được tốt hơn. Với rất nhiều mục đích mà sáng kiến đưa ra, nhưng với thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bản thân còn khiêm tốn ,việc biên soạn còn phụ thuộc GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội 1 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN vào nhiều tài liệu liên quan của các nhà viết sách, chắc chắn nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú. Nhưng với sự cố gắng của bản thân tôi nghĩ sáng kiến là một tài liệu quan trọng cho những người quan tâm đến việc dạy và học Toán. Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của bạn đọc để sáng kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán. GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội 2 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN A/ CƠ SỞ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : 1. Cơ sở lý luận: - Với mục tiêu phát hiện ,bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về toán từ đó xây dựng cho học sinh kỹ năng nhận dạng và giải toán. - Thúc đẩy việc tim hiểu mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh. - Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng toán khó ở cấp học THCS. - Với nội dung của đề tài chỉ phù hợp với những học sinh khá giỏi. - Việc vận dụng của đề tài không những giới hạn ở cấp học THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn 2. Cơ sở thực tế: - Thực tế chương trình SGK chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng toán khó ,thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu. - Những học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong việc tìm tài liệu nghiên cứu. - Việc tìm hiểu của giáo viên ở một số chuyên đề ở một số tài liệu còn chưa tập chung và còn mất nhiều thời gian. - Cần thiết phải xây dựng một số chuyên đề về toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học toán được tốt hơn. - Cần phát triển cao hơn , đầy đủ hoàn thiện hơn một số dạng toán nâng cao cơ bản ở trường THCS. - Việc viết sáng kiến là một định hướng của chính bản thân tôi. GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội 3 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN B/ MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU 1. Mục đích: - Giới thiệu đầy đủ về phương pháp giải và nội dung dạng toán về phương trình nghiệm nguyên - Làm cho học sinh yêu thích môn toán hơn,mong muốn được tìm hiểu nghiên cứu sự thú vị và phong phú của môn Toán. - Phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán. - Rèn luyện khả năng tư suy luận lôgic, phát triển trí tuệ. - Làm tài liệu tham khảo giáo viên và học sinh nghiên cứu thêm. - Ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác. - Phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tư duy tự học của học sinh. 2. Yêu cầu: - Hệ thống hoá các kiến thức và phương pháp giải bài toán về phương trình nghiệm nguyên - Có những kỹ năng cần thiết khi nhận dạng và tìm hướng giải. - Có sự đam mê tìm hiểu ,nghiên cứu ,sáng tạo trong việc dạy và học Toán. GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội 4 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên: a) 2 2 1998x y− = b) 2 2 1999x y+ = Giải: a) Dễ chứng minh 2 2 ,x y chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên 2 2 x y− chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) 2 2 ,x y chia cho 4 có số dư 0, 1 nên 2 2 x y+ chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2 9 2x y y+ = + Giải Biến đổi phương trình: 9 2 ( 1)x y y+ = + Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên ( 1)y y + chia cho 3 dư 2. Chỉ có thể: 3 1y k= + , 1 3 2y k+ = + với k nguyên Khi đó: 9 2 (3 1)(3 2)x k k+ = + + 9 9 ( 1)x k k⇔ = + ( 1)x k k⇔ = + Thử lại, ( 1)x k k= + , 3 1y k= + thỏa mãn phương trình đã cho. GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội 5 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN Đáp số ( 1) 3 1 x k k y k = +   = +  với k là số nguyên tùy ý 2) PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương. Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 8x y x y+ − − = (1) Giải: (1) 2 2 4 4 4 4 32x y x y⇔ + − − = 2 2 2 2 2 2 (4 4 1) (4 4 1) 34 | 2 1| | 2 1| 3 5 x x y y x y ⇔ + + + − + = ⇔ − + − = + Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương 2 2 3 ,5 . Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: | 2 1| 3 | 2 1| 5 x y − =   − =  hoặc | 2 1| 5 | 2 1| 3 x y − =   − =  Giải các hệ trên ⇒ phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), ( − 1 ; − 2), ( − 2 ; − 1) 3) PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … a) Phương pháp sắp thứ tự các ẩn Ví dụ 4: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Giải: Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội 6 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN . .x y z x y z+ + = (1) Chú ý rằng các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1 x y z≤ ≤ ≤ Do đó: 3xyz x y z z= + + ≤ Chia hai vế của bất đảng thức 3xyz z≤ cho số dương z ta được: 3xy ≤ Do đó {1;2;3}xy ∈ Với xy = 1, ta có x = 1, y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = 2. Thay vào (1) được z = 3 Với xy = 3, ta có x = 1, y = 3. Thay vào (1) được z = 2 loại vì y z≤ Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3. Cách 2: Chia hai vế của (1) cho 0xyz ≠ được: 1 1 1 1 yz xz xy + + = Giả sử 1x y z≥ ≥ ≥ ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 yz xz xy z z z z = + + ≤ + + = Suy ra 2 3 1 z ≤ do đó 2 3z ≤ nên z = 1. Thay z = 1 vào (1): 1x y xy+ + = 1xy x y⇔ − − = ( 1) ( 1) 2x y y⇔ − − − = ( 1)( 1) 2x y⇔ − − = Ta có 1 1 0x y− ≥ − ≥ nên Suy ra Ba số phải tìm là 1; 2; 3 Ví dụ 5: GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội x 3 y 2 x – 1 2 y – 1 1 7 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt . Giải Vì vai trò của x, y, z, t như nhau nên có thể giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t. Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10 3 15 15 2yzt t t⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 2 2 30 2 30 3yz z z⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 . Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là (x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5). Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t = 2. Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của các bộ số này. b) Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 1 1 3x y + = Giải: Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x y≥ . Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (là y). Hiển nhiên ta có 1 1 3y < nên 3y > (1) Mặt khác do 1x y≥ ≥ nên 1 1 x y ≤ . Do đó: GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội 8 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN 1 1 1 1 1 2 3 x y y y y = + ≤ + = nên 6y ≤ (2) Ta xác định được khoảng giá tri của y là 4 6y≤ ≤ Với y = 4 ta được: 1 1 1 1 3 4 12x = − = nên x = 12 Với y = 5 ta được: 1 1 1 2 3 5 15x = − = loại vì x không là số nguyên Với y = 6 ta được: 1 1 1 1 3 6 6x = − = nên x = 6 Các nghiệm của phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) c) Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên Ví dụ 7: Tìm các số tự nhiên x sao cho: 2 3 5 x x x + = Giải: Viết phương trình dưới dạng: 2 3 1 5 5 x x     + =  ÷  ÷     (1) Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2, loại. Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1, đúng Với 2x ≥ thì 2 2 3 3 , 5 5 5 5 x x     < <  ÷  ÷     nên: 2 3 2 3 1 5 5 5 5 x x     + < + =  ÷  ÷     loại Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1 d) Sử dụng diều kiện 0∆ ≥ để phương trình bậc hai có nghiệm Ví dụ 8: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 x y xy x y+ + = + (1) Giải Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x: GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội 9 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN 2 2 ( 1) ( ) 0x y x y y− + + − = (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 0 ∆ ≥ 2 2 2 ( 1) 4( ) 3 6 1 0y y y y y∆ = + − − = − + + ≥ 2 3 6 1 0y y⇔ − − ≤ 2 3( 1) 4y⇔ − ≤ Do đó 2 ( 1) 1y⇔ − ≤ suy ra: y – 1 -1 0 1 y 0 1 2 Với y = 0 thay vào (2) được 2 1 2 0 0; 1x x x x− = ⇔ = = Với y = 1 thay vào (2) được 2 3 4 2 0 0; 2x x x x− = ⇔ = = Với y = 2 thay vào (2) được 2 5 6 3 2 0 1; 2x x x x− + = ⇔ = = Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1) Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) 4) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các biến số cũng như các biểu thức chứa trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn a) Phương pháp phát hiện tính chia hết của ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình. Ta thấy 159 và 2x đều chia hết cho 3 nên 17y M 3 do đó y M 3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau) Đặt y = 3t ( t ∈¢ ). Thay vào phương trình ta được: 3x + 17.3t = 159 GV: Mai Thị Thu Hương - Trường THCS Đông Thái - Tây Hồ - Hà Nội 10 [...]... với mỗi giáo viên cần tìm tòi tham khảo nhiều tài liệu để tìm ra các bài toán hay, với nhiều cách giải khác nhau để tung ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện các cách giải hay - Thông qua phơng pháp giáo dục cho các em năng lực t duy độc lập, rèn t duy sáng tạo tính tự giác học tập, phơng pháp giải toán nhanh, kỹ năng phát hiện tốt Trên đây là vài kinh nghiệm nhỏ về việc bồi dỡng học sinh khá, giỏi... ra nhiều cách giải toán không cần sự góp ý của giáo viên Từ đó đã mang lại các kết quả bất ngờ từ việc giải toán thông qua các phơng pháp sáng tạo toán cho học sinh Chính vì vậy mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để đa ra các bài tập và phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp các em làm đợc và sáng tạo các cách giải gây hứng thú... các em học sinh đã thực sự có hứng thú học toán bồi dỡng cho học sinh khá giỏi, đã tự độc lập tìm tòi ra nhiều cách giải khác nhau mà không cần sự gợi ý của giáo viên 10% các em còn cần gợi ý các trờng hợp, song rất mong muốn đợc tham dự lớp bồi dỡng học sinh giỏi này Qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn và tin chắc có nhiều bất ngờ từ kết quả đạt đợc ở trên GV: Mai Th Thu Hng - Trng THCS ụng... tạo tính tự giác học tập, phơng pháp giải toán nhanh, kỹ năng phát hiện tốt Trên đây là vài kinh nghiệm nhỏ về việc bồi dỡng học sinh khá, giỏi Rất mong bạn bè, thầy cô giáo góp ý để tôi có nhiều kinh nghiệm tốt hơn./ LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca bn thõn, c xut phỏt t yờu cu phỏt sinh trong cụng vic bi dng hc sinh gii Cỏc s liu cú ngun gc rừ rng tuõn th ỳng nguyờn tc v kt . Nội 4 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm. Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN LỜI NÓI ĐẦU Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán. - Hà Nội 12 Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là 1 tích các thừa số nguyên, vế phái là một hằng số. Ta có x