Bài toán vận tải là một bài toán tổ hợp phức tạp, trong đó cần phải tối ưu hóa việc phân phối hàng hóa từ nhiều điểm xuất phát đến nhiều điểm đích sao cho chi phí vận chuyển được giảm th
LÝ THUYẾT BÀI TOÁN VẬN TẢI
Thiết lập bài toán vận tải
Gọi xij là lượng hàng hóa cần vận chuyển từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj
Tổng chi phí vận chuyển bằng
Lượng hàng vận chuyển khỏi trạm
Lượng hàng vận chuyển tới trạm
Tìm ma trận cấp, sao cho:
Bài toán vận tải (1) – (4) là bài toán quy hoạch tuyến tính nên ta có thể dùng các khái niệm của bài toán quy hoạch tuyến tính như: hàm mục tiêu, phương án, phương án tối ưu, …, và dùng phương pháp đơn hình để giải Tuy nhiên do cấu trúc đặc biệt của bài toán vận tải và do số lượng ẩn lớn nên ta có phương pháp giải riêng hiệu quả hơn
• Các điểm nguồn (Sources) (i) và Khả năng cung cấp của từng điểm nguồn (Supply) (si)
• Các điểm đích (Destinations) (j) và Nhu cầu của từng điểm đích (Demand) (ⅆj)
• Chi phí vận chuyển cho 1 đơn vị hàng hóa từ Điểm nguồn đến Điểm đích (cij)
• si: Khả năng cung cấp của Điểm nguồn i (i = 1, 2, …, m)
• ⅆj: Nhu cầu của Điểm đích j (j = 1, 2, …, n)
• xij: Lượng hàng chuyên chở từ Điểm nguồn i (i = 1, 2, …, m) đến Điểm đích j (j 1, 2, …, n)
• cij: Chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ Điểm nguồn i (i = 1, 2, …, m) đến Điểm đích j (j = 1, 2, …, n).
Dạng quy hoạch tuyến tính của bài toán vận tải
𝐴 𝑖 (i=1, …m): các trạm phát 𝐵 𝑗 (j=1, …n): các trạm thu 𝑎 𝑖 : lượng hàng hóa có ở trạm phát 𝐴 𝑖
∑ 𝑏 𝑗 : lượng hàng hóa yêu cầu ở trạm thu 𝐵 𝑗 𝑐 𝑖𝑗 : chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ trạm phát 𝐴 𝑖 (i=1,…m) đến trạm thu 𝐵 𝑗 (j=1,…n) (𝑐 𝑖𝑗 > 0)
𝑥 𝑖𝑗 lượng hàng hóa vận chuyển từ trạm phát 𝐴𝑖 đến trạm thu 𝐵𝑗 , 𝑥 𝑖𝑗 ≥ 0(∀𝑖, 𝑗)
Hãy thành lập một phương án vận chuyển hàng hóa sao cho đáp ứng đầy đủ yêu cầu của các trạm thu bằng tất cả hàng hóa có ở trạm phát với tổng chi phí là nhỏ nhất
Tìm bộ giá trị {𝑥 𝑖𝑗 } ( i =̅1̅,̅𝑚̅̅̅; j =̅1̅,̅𝑛̅̅) sao cho Nếu thì bài toán cân bằng thu phát
Rút gọn lại: Dạng QHTT của Bài toán vận tải:
Dạng bảng của bài toán vận tải
Nhằm giải quyết bài toán vận tải, một số phương pháp đã được đưa ra dựa vào cấu trúc khá đặc biệt của nó Để áp dụng các phương pháp này, bài toán thường được thiết lập ở dạng bảng (Transportation Tableau) Việc thiết lập bảng thực hiện qua các bước sau:
1 Thiết lập một ma trận với các hàng biểu diễn cho các điểm nguồn, các cột biểu diễn cho các điểm đích
2 Lập một cột sau cùng của bảng biểu thị cho khả năng cung cấp của từng điểm nguồn và một hàng sau cùng biểu thị cho nhu cầu của từng điểm đích
3 Giá trị của các ô là lượng hàng vận chuyển giữa điểm nguồn và điểm đích tương ứng
4 Ở góc trên của từng ô, biểu diễn chi phí vận chuyển đơn vị giữa điểm nguồn và điểm đích tương ứng.
Dạng cân bằng của bài toán vận tải (cân bằng thu phát)
Bài toán vận tải được gọi là ở dạng cân bằng nếu như tổng lượng cung cấp từ các điểm nguồn bằng với tổng lượng yêu cầu từ các điểm đích Khi đó, dạng quy hoạch tuyến tính của f bài toán như sau:
Dạng không cân bằng của bài toán vận tải
Một bài toán vận tải dạng không cân bằng luôn có thể được chuyển thành bài toán dạng cân bằng theo nguyên tắc sau: a) Nếu:
- Tạo một điểm đích giả (Dummy Demand Node) với nhu cầu bằng:
- Gán chi phí vận chuyển đơn vị từ điểm nguồn giả đến mọi điểm đích bằng 0
- Dễ dàng nhận thấy rằng việc chuyển về bài toán cân bằng theo hai nguyên tắc nêu trên sẽ cho ra một bài toán tương đương với bài toán không cân bằng ban đầu Do vậy, việc khảo sát lời giải cho bài toán vận tải chỉ được đề cập với không cân bằng.
Phương pháp giải bài toán vận tải
6.1 Tìm lời giải ban đầu cho bài toán vận tải Phương pháp cước phí thấp nhất
Chọn ô có cước phí bé nhất Điền vào ô đó giá trị lớn nhất có thể
Loại bỏ các ô mà trạm phát hàng hết khả năng cung cấp hoặc trạm thu hàng hết nhu cầu
Xác định lại ô có chi phí bé nhất trong các ô còn lại và tiếp tục làm giống như 2 bước trên cho tới khi nào hết khả năng phân phối
Trong quá trình chọn ô phân phối có nhiều ô chọn có chi phí nhỏ nhất giống nhau thì phân phối vào ô nào cũng được Phương án thu được bằng phương pháp này là phương án cực biên
6.2 Phương pháp tìm nghiệm tối ưu
Phương pháp phân phối cải tiến từ phương pháp duyệt tuần từ với việc thay đổi cách tính chỉ số cải tiến Các bước của phương pháp phân phối cải tiến
Bước 1: Xác định giải pháp ban đầu Bước 2: Ở bảng vận tải, thêm cột bên trái ui và hàng bên trên vj Trị tại tất cả các ô được xác định bằng công thức: u i + v j = c ij = Chi phí đơn vị tại ô ij
Bước 3: Tính chỉ số cải tiến kij cho tất cả các ô rỗng kij = cij - ui – vj
Bước 4: Chọn ô có chỉ số cải tiến kij âm nhất để phân bổ lại hàng hóa
Bước 5: Lặp lại bước 2-4, (Bước 2: không thêm cột ui, hàng vj mà chỉ định lại trị) cho đến nào chỉ số cải tiến không âm
Thiết lập công thức tính chi phí đơn vị cho các ô có gán giá trị: x1B: u1 + vB = 8 (1) x1C: u1 + vC = 10 (2) x2C: u2 + vC = 11 (3) x3A: u3 + vA = 4 (4) x3B: u3 + vB = 5 (5)
Hình: Định trị cho các chỉ số ui,vj
Từ 5 phương trình - 6 biến, để giải, giả sử u1 = 0 ta định trị cho các chỉ số ui, vj u2 = 1, u3 = -3, vA= 7, vB = 8, vC = 10 Dùng công thức sau để tính chỉ số cải tiến: kij =cij - ui - vj
Chỉ số cải tiến cho những ô trống ở hình 4.26 x1A: k1A = c1A - u1 - vA = 6 - 0 - 7 = -1 x2A: k2A = c2A - u2 - vA = 7 - 1 - 7 = -1 x2B: k2B = c2B - u2 - vB= 11- 1 - 8 = +2 x3C: k3C = c3C - u3 -vC = 12 - (-3) - 10 = +5
Hình: Định vị trí ô có chỉ số cải tiến nhanh nhất
Chỉ số cải tiến tại x1A âm nhất và tạo thành chu trình, nên điều chỉnh lượng hàng ở chu trình này theo x min = 25
Sau đó tính lại trị cho các chỉ số ui, vj
Tính lại trị cho các chỉ số ui, vj, với u1 = 0 x1A: u1 + vA = 6, vA = 6 x1C: u1 + vC = 10, vC = 10 x2C: u2 + vC = 11, u2 = 1 x3A: u3 + vA = 4, u3 = -2 x3B: u3 + vB = 5, vB = 7
Hình: Trị ui, vj được tính lại cho bảng vận tải mới
Chỉ số cải tiến của các ô rỗng, kij = cij - ui - vj x1B: k1B = c1B - u1 - vB = 8 - 0 - 7 = +1 x2A: k2A = c2A - u2 - vA = 7 - 1 - 6 = 0 x2B: k2B = c2B - u2 - vB = 11 - 1 -7 = +3 x3C: k2B = c2B - u3 - vC = 12 - (-2) - 10 = +4 Do các chỉ số cải tiến không âm, giải pháp hiện tại là tối ưu Chỉ số cải tiến ở ô 2A = 0 đa nghiệm.
Cách giải bài toán vận tải
Việc giải một bài toán vận tải được thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra bài toán ở dạng cân bằng hay chưa, nếu bài toán chưa ở dạng cân bằng thì thực hiện bước 2, đã ở dạng cân bằng thì thực hiện bước 3
Bước 2: Đưa bài toán về dạng cân bằng Bước 3: Tìm phương án xuất phát: Thành lập phương án cực biên ban đầu theo nguyên lý phân bổ tối đa với các ô chọn phân bổ và áp dụng các phương pháp: phương pháp góc Tây Bắc,
Bước 4: Kiểm tra phương án suy biến hay không suy biến
• Phương án không suy biến là phương án có số ô chọn đúng bằng số ô trạm phát + số ô trạm thu –1 → chuyển tới bước 6
• Phương án suy biến là phương án có số ô chọn < số ô trạm phát + số ô trạm thu –1 → tiếp tục bước 5
Bước 5: Đưa về phương án không suy biến Bổ sung thêm các ô loại bất kì của bảng làm ô chọn giả (lượng hàng phân bổ xij = 0) cho đủ (m + n − 1) ô chọn và đảm bảo không tạo thành chu trình
Bước 6: Giải bài toán bằng các phương pháp: phương pháp duyệt tuần tự, cải thiện nghiệm ban đầu cho đến khi đạt được điều kiện tối ưu
Dưới đây là một số lưu ý khi giải bài toán vận tải:
- Cần xác định chính xác các dữ liệu đầu vào của bài toán, bao gồm nhu cầu, cung và chi phí vận chuyển
- Lựa chọn phương pháp giải phù hợp với quy mô và tính chất của bài toán
- Phân tích kết quả một cách cẩn thận và đề xuất các giải pháp cải thiện phù hợp.
GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI
Đề bài toán vận tải
Ba ngân hàng máu ở Quận Franklin phối hợp với nhau được tổ chức thông qua một văn phòng trung tâm tạo điều kiện thuận lợi cho việc lọc máu chuyển giao cho bốn bệnh viện trong khu vực Chi phí vận chuyển một thùng máu tiêu chuẩn từ mỗi ngân hàng đến mỗi ngân hàng bệnh viện được thể hiện trong bảng dưới đây Cũng đưa ra là số lượng container có sẵn hai tuần một lần tại mỗi ngân hàng và số lượng hộp đựng máu hai tuần một lần cần thiết ở mỗi bệnh viện Cần bao nhiêu chuyến hàng được thực hiện hai tuần một lần từ mỗi ngân hàng máu đến từng bệnh viện để tổng chi phí vận chuyển được giảm thiểu?
Giải bài toán vận tải
2.1 Giải bài toán bằng EXCEL
2.2 Giải bài toán dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất và phương pháp phân phối cải tiến
Bài toán QHTT được thiết lập:
Hình: Biểu diễn đồ thị của bài toán vận tải a Phương pháp chi phí nhỏ nhất
CChi phí nhỏ nhất = 50*8 + 40*7 + 40*5 + 40*14 + 30*10 + 50*7 = $2090 b Phương pháp phân phối cải tiến
Phương pháp phân phối cải tiến từ phương pháp duyệt tuần từ với việc thay đổi cách tính chỉ số cải tiến Các bước của phương pháp phân phối cải tiến
Bước 1: Xác định giải pháp ban đầu Bước 2: Ở bảng vận tải, thêm cột bên trái u, và hàng bên trên vị Trị tại tất cả các ô được xác định bằng công thức: u₁ + v₁ = C₁₁ = Chi phí đơn vị tại Ôij
Bước 3: Tính chỉ số cải tiến kỹ cho tất cả các ô rỗng Kij = Cij - u1 - Vi
Bước 4: Chọn ô có chỉ số cải tiến kỹ âm nhất để phân bổ lại hàng hóa
Bước 5: Lặp lại bước 2-4, (Bước 2: không thêm cột u, hàng vì mà chỉ định lại trị) cho đến nào chỉ số cải tiến không âm
Thiết lập công thức tính chi phí đơn vị cho các ô gán giá trị:
X1A: u1 + vA = 8 X2C: u2 + vA = 12 X2B: u2 + vB = 7 X3B: u3 + vB = 10 X3C: u3 + vC = 6
X3D: u3 + vD = 7 Từ 6 phương trình, 7 biến, để giải ta giả sử u1 = 0, ta định trị cho các chỉ số ui, vj u2 = 4, u3 = 7, vA = 8, vB = 3, vC = -1, vD = 0 Dùng công thức sau để tính chỉ số cải tiến: kij = cij - ui - vj
Chỉ số cải tiến cho những ô rỗng: x1B = c1B - u1 - vB = 9 - 0 - 3 = 6 x1C = c1C - u1 - vC = 11 - 0 - (-1) = 12 x1D = c1D - u1 - vD = 16 - 0 - 0 = 16 x2C = c2C - u2 - vC = 5 - 4 - (-1) = 2 x2D = c2D - u2 - vD = 8 - 4 - 0 = 4
→ Chỉ số cải tiến tại x3A âm nhất và tạo thành chu trình, nên điều chỉnh lượng hàng ở chu trình này theo x min = 30
Sau đó tính lại các chỉ số ui, vj
Tính lại trị cho các chỉ số ui, vj, với u1 = 0 x1A = u1 + vA = 8, vA = 8 x2A = u2 + vA = 12, u2 = 4 x2B = u2 + vB = 7, vB = 3 x3A = u3 + vA = 14, u3 = 6 x3C = u3 + vC = 6, vC = 0 x3D = u3 + vD = 7, vD = 1 Chỉ số cải tiến của các ô rỗng: x1B: k1B = c1B - u1 - vB = 9 - 0 - 3 = 6 x1C: k1C = c1C - u1 - vC = 11 - 0 - 0 = 11 x1D: k1D = c1D - u1 - vD = 9 - 0 - 1 = 8 x2C: k2C = c2C - u2 - vC = 5 - 4 - 0 = 1 x2D: k2D = c2D - u2 - vD = 8 - 4 - 1 = 3 x3B: k3B = c3B - u3 - vB = 10 - 6 - 3 = 1 Do các chỉ số cải tiến không âm, kết quả hiện tại là tối ưu
Vậy tổng chi phí vận chuyển tính theo phương pháp phân phối cải tiến là:
Phân tích rủi ro (or độ nhạy) Answer report
Hiện nay, mức độ ưu tiên chuyển đổi của hàng:
• Từ Ngân hàng máu 1 đến Bệnh viện A: 50 đơn vị
• Từ Ngân hàng máu 2 đến Bệnh viện B: 70 đơn vị
• Từ Ngân hàng máu 2 đến Bệnh viện C: 10 đơn vị
• Từ Ngân hàng máu 3 đến Bệnh viện B: 40 đơn vị
• Từ Ngân hàng máu 3 đến Bệnh viện C: 40 đơn vị
• Từ Ngân hàng máu 3 đến Bệnh viện D: 40 đơn vị Với phương pháp phân phối này, tổng chi phí vận chuyển tối ưu là: 2020$
Phân tích độ nhạy của chi phí vận hành đơn vị:
Cột "Giảm chi phí" cho biết khoảng giá trị mà chi phí đơn vị có thể tăng lên mà vẫn duy trì phương pháp phân phối tối ưu hiện tại
Ví dụ: Chi phí đơn vị từ Ngân hàng 1 -> Bệnh viện A có thể tăng tối đa $5 (giới hạn trên) mà vẫn duy trì lượng 50 đơn vị chuyển đổi
Từ Ngân hàng máu 1 đến Bệnh viện A, chi phí vận chuyển hiện tại có thể tăng lên tối đa 5 USD mỗi đơn vị mà không ảnh hưởng đến phương pháp phân phối hiện tại Điều này cho biết sự ổn định của chi phí trong phạm vi nhất định và cho phép những điều chỉnh nhỏ mà không làm tăng tổng chi phí đáng kể
Khả năng phân tích thay đổi nhu cầu tại các bệnh viện:
Cột "Tăng cho phép" và "Giảm cho phép" cho biết khoảng giá trị mà nhu cầu tại mỗi bệnh viện có thể tăng/giảm tối đa mà vẫn giữ nguyên phương pháp hiện tại
Ví dụ: Nhu cầu tại Bệnh viện A có thể tăng tối đa 50 đơn vị hoặc giảm tối đa 40 đơn vị
Kiểm tra giải pháp mới vẫn ở mức ưu tiên bằng quy tắc 100%:
Nếu tổng tỷ lệ thay đổi của các chủ đề xuất (nhu cầu và nguồn cung) vượt quá 100%, thì phương án mới sẽ không còn tối ưu Điều này cho thấy rằng một sự thay đổi quá lớn so với ngưỡng cho phép sẽ ảnh hưởng đến hiệu quả tổng thể của phương án phân phối
Ví dụ: Nếu chi phí từ Ngân hàng máu 1 đến Bệnh viện A tăng $6, vượt quá ngưỡng cho phép là $5, phương án này sẽ không còn là tối ưu
Tương tự, nếu nhu cầu tại Bệnh viện A tăng 60 đơn vị, điều này sẽ vượt quá ngưỡng cho phép là 50 đơn vị, khiến giải pháp không còn tối ưu
Phân tích dựa trên ngưỡng thay đổi nguồn cung và nhu cầu (cột Phụ cấp):
Bệnh viện A: Có thể tăng tối đa 50 đơn vị, giảm tối đa 40 đơn vị
Bệnh viện B: Có thể tăng tối đa 20 đơn vị, giảm tối đa 40 đơn vị
Bệnh viện C: Không có khả năng tăng, giảm tối đa 40 đơn vị
Bệnh viện D: Có thể tăng tối đa 50 đơn vị, giảm tối đa 10 đơn vị
• Nguồn Cung Ngân Hàng Máu:
Ngân hàng Máu 1: Có thể tăng tối đa 40 đơn vị, không giảm
Ngân hàng Máu 2: Có thể tăng tối đa 10 đơn vị, giảm tối đa 40 đơn vị
Ngân hàng Máu 3: Có thể tăng tối đa 20 đơn vị, giảm tối đa 80 đơn vị
Quy tắc 100% (Tổng tỷ lệ phần trăm thay đổi trong nguồn cung hoặc nhu cầu không được vượt quá 100%)
• Nếu tổng tỷ lệ thay đổi của các chủ đề xuất ra thay đổi nguồn/nhu cầu vượt quá 100% nên ngưỡng cho phép, thì phương án tối ưu sẽ không còn hiệu lực
• Ví dụ: Tăng nhu cầu tại Bệnh viện A: 90 đơn vị (tăng 40 so với ngưỡng 50) là không cho phép vì vượt quá ngưỡng cho phép
• Giảm nguồn cung từ Ngân hàng Máu 3: 40 đơn vị (giảm 80 so với ngưỡng -80) là vượt quá ngưỡng cho phép
Tính toán tổng tỷ lệ thay đổi: 40/80+80/80 =0.8+1=1.8 hoặc 180% > 100%
Nhìn chung, báo cáo độ nhạy cảm giúp đánh giá mức độ tối ưu của phương án khi có biến động về chi phí vận hành, nguồn cung cấp hoặc yêu cầu ở một ngưỡng cho phép tối đa
Qua đó, dự báo và phân tích các rủi ro có thể xảy ra Khi các thay đổi về nhu cầu và nguồn cung vượt quá ngưỡng cho phép, phương án phân phối hiện tại không còn là tối ưu Điều này cho thấy mức độ nhạy cảm cao của mô hình hiện tại đối với các biến động Báo cáo độ nhạy cảm này là công cụ hữu ích để dự báo và chuẩn bị cho các rủi ro tiềm ẩn, giúp các quản lý có thể điều chỉnh kế hoạch một cách hiệu quả hơn trong thực tế
Bài toán vận tải đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong việc quản lý và tối ưu hóa hệ thống vận chuyển của các tổ chức và doanh nghiệp Bằng cách áp dụng phân tích độ nhạy, chúng ta có thể tìm ra những giải pháp tối ưu nhất cho các vấn đề phân bổ tài nguyên và lập kế hoạch vận tải
Không chỉ mang lại lợi ích kinh tế bằng việc giảm thiểu chi phí vận chuyển và tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên, bài toán vận tải còn đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện hiệu suất và khả năng cạnh tranh của các tổ chức Ngoài ra, việc quản lý vận tải hiệu quả cũng đóng góp vào việc giảm ô nhiễm môi trường và kỹ thuật tiết kiệm năng lượng, từ đó tạo ra lợi ích xã hội rộng lớn Vậy nên, bài toán vận tải không chỉ là một phần quan trọng của quản lý doanh nghiệp mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra giá trị kinh tế và xã hội bền vững.