ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 Giáo viên hướng dẫn Thầy Nguyễn Văn Thìn Lớp Giải tích 2 – L13 – Nhóm 09 Họ và tên MSSV Trần Thị Như Hảo[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Giáo viên hướng dẫn : Thầy Nguyễn Văn Thìn Lớp Giải tích – L13 – Nhóm 09 Họ tên MSSV Trần Thị Như Hảo 2210913 Lê Thị Thu Hậu 2210963 Bùi Ngọc Hiếu 2210976 Phan Đặng Minh Hiếu 2211005 Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 05 năm 2023 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN Phần I Bài tập tính tốn Bài 1.1 (Công thức Fubini) Bài 1.3 (Công thức đổi biến) Phần II Ứng dụng 10 Bài 2.7 (Ứng dụng tích phân bội) 10 Bài 2.10 (Tích phân đường) 11 Phần III Ứng dụng tự tìm hiểu 12 Mô men quán tính 12 Bài tập ứng dụng 13 LỜI CẢM ƠN Trước tiên với tình cảm sâu sắc chân thành cho phép chúng em bày tỏ lòng biết ơn đến tất cá nhân tổ chức tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ chúng em suốt trình học tập nghiên cứu đề tài Trong suốt thời gian từ bắt đầu học trường đến nay, chúng em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ quý Thầy Cô bạn bè Em xin gửi đến thầy Nguyễn Văn Thìn thầy Huỳnh Thái Duy Phương truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em suốt q trình học tập Nhờ có lời hướng dẫn, dạy bảo thầy cô nên đề tài tập lớn em hồn thiện tốt đẹp Một lần nữa, nhóm em xin chân thành cảm ơn thầy – Người trực tiếp giúp đỡ, quan tâm, hướng dẫn chúng em hoàn thành tốt báo cáo Báo cáo tập lớn thực khoảng thời gian ngắn Bước đầu vào thực tế nhóm em cịn hạn chế cịn nhiều bỡ ngỡ Khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô để kiến thức em lĩnh vực hồn thiện đồng thời có điều kiện bổ sung, nâng cao ý thức Chúng em chân thành cảm ơn! Phần I Bài tập tính tốn Bài 1.1 (Cơng thức Fubini) Hãy tính tích phân sau Nên vẽ phác họa hình liên quan để xác định tích phân Tính tích phân ∬𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 , với D hình chữ nhật với ≤ 𝑥𝑥 ≤ , −1 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2 3𝑥𝑥 2 => ∬𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫−1 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 = Tính thể tích khối bên mặt 𝑧𝑧 = – 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 bên hình chữ nhật ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1, ≤ 𝑦𝑦 ≤ Ta có : ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫1 (4 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) − 0𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0 ( − 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 Gọi D miền bao đường cong 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 , tính ∬𝐷𝐷 �√𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 √𝑥𝑥 ∬𝐷𝐷 �√𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫𝑥𝑥 �√𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 �𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 ) = 0.238 Gọi D miền bao đường cong 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 , 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 3, 𝑦𝑦 = −3, 𝑦𝑦 = Tính ∬𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 Ta có : 𝑦𝑦 2 𝑦𝑦 ∬𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥= ∫𝑦𝑦−3 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ∫−3 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫−3 − (𝑦𝑦−3)2 dy = − 25 Gọi D miền góc phần tư thứ nhất, nằm bên đường hyperbola 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 1, bên đường thẳng 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, bên đường thẳng 𝑦𝑦 = Tính ∬𝐷𝐷 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 2 ∬𝐷𝐷 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 => ∫1 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 ∫1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫1 (𝑦𝑦 − 1)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑦𝑦 Tính tích phân hàm 𝑥𝑥 𝑦𝑦 miền bao đường 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 = − √3𝑥𝑥 ∬𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 Ta có pt : 5-√3𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥 𝑥𝑥1 ≈ 0.934 => � 𝑥𝑥2 ≈ −0.934 0.934 5−√3𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫−0.934 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫4𝑥𝑥 = 0.934 (5−√3𝑥𝑥 )4 𝑥𝑥 −�4𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 ) ∫−0.934( ≈ 34.827 Tính tích phân hàm + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 miền bao đường 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥, 𝑥𝑥 = �𝑦𝑦, 𝑦𝑦 = 2, 𝑧𝑧 = 𝑦𝑦 √ ∬𝐷𝐷 (1 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫−𝑦𝑦 (1 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − 0𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦 = ∫0 ��𝑦𝑦 + + 𝑦𝑦�𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ 1.9833 Tính tích phân hàm 𝑥𝑥𝑥𝑥 hình tam giác với đỉnh (0, 0), (1, 0), (1, 1) 𝑥𝑥 � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = � 𝐷𝐷 0 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = Bài 1.3 (Cơng thức đổi biến) Tính: Tính thể tích khối bao mặt 𝑧𝑧 = − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 mặt phẳng 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 Theo cơng thức tích phân bội ba, ta có: 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑥𝑥 = {𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) + 𝑦𝑦 = 4} ; �𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑) � ⇒ 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋 �0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ � ≤ 𝑧𝑧 ≤ − 𝑟𝑟 2𝜋𝜋 𝐼𝐼 = � 4−𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 � 0 2𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑟𝑟(4 − 𝑟𝑟 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋 = 8𝜋𝜋 Tính thể tích khối lượng bao mặt 𝑧𝑧 = − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 , 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥, góc phần tám thứ (tức 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ≥ 0) 𝐼𝐼 = ∭𝛺𝛺 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜋𝜋 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) = �𝑦𝑦 = � ; �𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑) � ⇒ �0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ � 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 ≤ 𝑧𝑧 ≤ − 𝑟𝑟 𝜋𝜋 9−𝑟𝑟 𝐼𝐼 = ∫04 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫0 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∫0 𝜋𝜋 𝜋𝜋 81 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫04 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫0 𝑟𝑟(9 − 𝑟𝑟 ) = 4 = 81𝜋𝜋 16 Tính tích phân ∬𝐷𝐷 �(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 D miền bao hai đường cong 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝐼𝐼 = ∬𝐷𝐷 �(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋 � ; � � ⇒ � � 2 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑) ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2𝜋𝜋 𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋 19 38𝜋𝜋 = 3 Tính tích phân ∬𝐷𝐷(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 D miền bao hai đường cong 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = góc phần tư thứ 𝐼𝐼 = ∬𝐷𝐷(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝜋𝜋 2 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2� 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4� ; � � ⇒ � 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑) 𝑦𝑦 = ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 7 14 𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑟𝑟 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑)) = = 3 3 Tính tích phân ∬𝐷𝐷(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 D miền góc phần tư thứ bao đường trịn 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9, đường thẳng 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 = √3𝑥𝑥 𝐼𝐼 = ∬𝐷𝐷(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝜋𝜋 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) ≤ 𝜑𝜑 ≤ 3� 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑦𝑦 = � ⇒ � � ; � 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑) ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑦𝑦 = √3𝑥𝑥 𝜋𝜋 3 𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑟𝑟(𝑟𝑟 )2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = Tính ∬𝐷𝐷 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝜋𝜋 243 81𝜋𝜋 = 5 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 D miền góc phần tư thứ bao đường tròn 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = đường thẳng 𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝐼𝐼 = ∬𝐷𝐷 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = ⎫ 𝜋𝜋 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4� 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑥𝑥 ; � � ⇒ � 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑) ⎨𝑦𝑦 = ⎬ ≤ 𝑟𝑟 ≤ ⎩𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 ⎭ ⎧ 𝜋𝜋 𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡( 𝜑𝜑)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − (𝜋𝜋 − 4) Tính tích phân ∬𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 D miền bao e-líp 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 𝐼𝐼 = ∬𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑥𝑥 {3𝑥𝑥 2𝜋𝜋 𝐼𝐼 = � 𝑥𝑥 = � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋 + 4𝑦𝑦 = 8} ; � � � ⇒ � ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑦𝑦 = √2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑) 8 8 2𝜋𝜋 8 𝑑𝑑𝑑𝑑 � � √2𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � √2 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑)2 = � √2 𝜋𝜋 3 3 3 = 16√3𝜋𝜋 Tính tích phân ∭𝐸𝐸 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐[ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 )2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 E cầu đơn vị 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ 𝐼𝐼 = ∭𝐸𝐸 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐[ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 )2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜑𝜑) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜃𝜃) ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜋𝜋 𝐸𝐸{𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ 1} ; �𝑦𝑦 = 𝜌𝜌 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜑𝜑) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜃𝜃) � ⇒ �0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 2𝜋𝜋� ≤ 𝜌𝜌 ≤ 𝑧𝑧 = 𝜌𝜌 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜃𝜃) 2 2𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠( 𝜃𝜃)𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜌𝜌3 )2 𝜌𝜌2 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 = 2𝜋𝜋 � 0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝜌𝜌3 )2 𝜌𝜌2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝜋𝜋 0,2599742897 ≈ 3.266933274 Phần II Ứng dụng Bài 2.7 (Ứng dụng tích phân bội) Giả sử gốc tọa độ trung tâm thành phố mật độ dân số điểm có tọa độ (x, y) có mơ hình p(x, y) = 2000(x2 + y2)-0,2 người km2, tìm số dân bán kính km từ trung tâm thành phố Bài làm 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 Đặt: � 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ⇒ D: � 2𝜋𝜋 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 5 ⇒ ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫0 2000[(𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)2 + (𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)2 ]−0,2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝜋𝜋 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 2000[𝑟𝑟 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 )]−0,2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 = ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫0 2000(𝑟𝑟 )−0,2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0 2000 = 2000 50,6 2π = 55009,869 0,6 𝑟𝑟 0,6 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 0,6 = 2000 50,6 0,6 φ�2π Vậy số dân bán kính 5km từ trung tâm thành phố 55010 người 10 Bài 2.10 (Tích phân đường) Phân tử DNA khơng gian ba chiều có hình dạng đường xoắn ốc kép, đường mơ hình hóa đường (Rsint, Rcost, ht) (hãy vẽ đường này) Bán kính đường xoắn ốc khoảng 10 angstrom (1 angstrom = 10-8 cm) Mỗi đường xoắn ốc xoắn lên khoảng 34 angstrom sau vịng xoay Hãy ước tính chiều dài vịng xoay phân tử DNA Hình vẽ Bài giải Theo đề ta có : (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅, 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅, ℎ𝑡𝑡) Bán kính đường xoắn ốc khoảng 10 angstrom ⟹ 𝑅𝑅 = 10 ⟹ � 𝑥𝑥 = 10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 10𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Mỗi đường xoắn ốc xoắn lên khoảng 34 angstrom sau vòng xoay ⇒ 𝑧𝑧 = 34 2𝜋𝜋 𝑡𝑡 Vì DNA có hình dạng xoắn ốc mà quỹ đạo đường trịn nên : ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋 Áp dụng công thức tính độ dài đường cong: 𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑡𝑡 ′ = 10𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 10𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 ′ = −10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ⇒ (𝐶𝐶): � ; ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋 → � 𝑡𝑡 34 34 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 𝑧𝑧𝑡𝑡 ′ = 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 ′2 ′2 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �𝑥𝑥𝑡𝑡 + 𝑦𝑦𝑡𝑡 + 𝑧𝑧𝑡𝑡 ′2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(10𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2 + (−10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 )2 + � 34 34 2 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 10 + � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 11 2𝜋𝜋 𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � �102 + � 𝐶𝐶 34 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 71.44 2𝜋𝜋 Vậy ước tính chiều dài vòng xoay phân tử DNA 71.44 (angstrom) Phần III Ứng dụng tự tìm hiểu ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BA LỚP : MƠ MEN QN TÍNH Mơ men qn tính Mơ men qn tính chất điểm khối lượng m, nằm cách đường thẳng L khoảng r đường L là: I L = mr Do mơ men qn tính vật thể chiếm miền V, có khối lượng riêng ρ ( x, y, z ) đường thẳng L khoảng r dường thẳng L là: I L =∫∫∫ r ρ ( x, y,z ) dxdydz (1.1) V 𝑟𝑟(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑥𝑥) khoảng cách từ điểm 𝜌𝜌(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) dến đường thẳng L Nói riêng, mơ men qn tính vật thể nói trục ox, oy oz là: = I x ∫∫∫ y + z ρ ( x, y,z ) dxdydz (1.2) ( ∫∫∫ ( x ∫∫∫ ( x V = Iy = Iz V V ) + z )ρ ( x, y,z ) dxdydz + y )ρ ( x, y,z ) dxdydz (1.3) (1.4) Tương tự mơ men qn tính chất điểm có khối lượng nằm khoảng cách S đến mặt phẳng (P) khoảng cách t đến điểm M cố định mặt phẳng điểm đó, tương ứng là: IP = ms IM = mt Khi mơ men qn tính vật thể V có khối lượng riêng ρ ( x, y, z ) mặt tọa độ xOy, yOz, xOz là: I z=0 = ∫∫∫ z ρ ( x, y,z ) dxdydz (1.5) I x=0 = ∫∫∫ x ρ ( x, y,z ) dxdydz (1.6) I y=0 = ∫∫∫ y ρ ( x, y,z ) dxdydz (1.7) V V V Mơ men qn tính vật thể V khối lượng riêng ρ ( x, y, z ) gốc tọa độ O là: = I0 ∫∫∫ ( x V ) + y + z ρ ( x, y,z ) dxdydz = I x=0 + I y=0 + I z=0 (1.8) 12 Bài tập ứng dụng Bài Tính mơ men qn tính mặt phẳng xoy vật thể đồng chất ( ρ ≡ 1) giới hạn miền V xác định (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ) ≤ 𝑅𝑅 Giải: V hình cầu tâm o, bán kính R chuyển sang tọa độ cầu, ta được: ∫∫∫ z dxdydz= I z=0= 2π R 2π π R 0 ∫ dφ∫ cos θsinθdθ ∫ r dr V R5 Nhưng ∫ dφ = 2π; ∫ r dr = 0 π Đặt cosθ = u ta được: ∫ cos θsinθdθ = 1 ∫ u du = ∫ u du = -1 2 R 4πR = 15 Vậy: I z=0 = 2π Bài Tính mơ men qn tính qn tính vật thể hình trụ rỗng Bán kính đáy 𝑅𝑅1, 𝑅𝑅2 (𝑅𝑅1 < 𝑅𝑅2) gốc tọa độ Biết 𝜌𝜌 ≡ Gọi chiều cao vật thể h Áp dụng công thức (1.8) ta có: = I0 ∫∫∫ x + y + z dxdydz V ( Giải: z ) h Chuyển sang tọa độ trụ x = rcosφ, y = rsinφ,z = z Ta ≤ φ ≤ 2π; R ≤ ≤ R ;0 ≤ z ≤ h Khi ta có: I0 = 2π R2 h R1 ∫ dφ ∫ dr ∫ r ( r ) + z dz= 2π R2 h R1 ∫ dφ ∫ dr ∫ ( r R2 R 2π rz h rh4 = ∫ dφ ∫ r z + |dr= ∫ dφ ∫ r h + dr 0 R1 R1 r h r h4 R2 = 2π | R1 R24 h R14 h R22 h4 R12 h4 = 2π + 4 8 πh πh4 = R2 - R24 + R2 - R22 2π ( ) ( ) + rz dz y x ) _HẾT _ 13