Axioms of probability Tiên đề về xác suất: Lý thuyết về xác suất là sự cấu thành dựa trên một hoặc nhiều tiên đề, một trong số chúng có thể được giải thích như sau: 1.. Để hoàn thành địn
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Definitions (Định nghĩa)
1.1 Axioms of probability (Tiên đề về xác suất):
Lý thuyết về xác suất là sự cấu thành dựa trên một hoặc nhiều tiên đề, một trong số chúng có thể được giải thích như sau:
1 Xác suất của bất kì hiện tượng nào, được kí hiệu P(E), nằm trong khoảng từ
0 < P(E) < 1 Những giá trị khác nằm ngoài khoảng này là không thỏa mãn
2 Nếu có sự việc nào chắc chắn diễn ra thì nó có xác suất là 1 3 Tổng xác suất của các kết quả, hiện tượng trong cùng một môi trường mẫu thì bằng 1 4 Trong trường hợp một kết quả thử nghiệm có hai hoặc nhiều hơn kết quả loại trừ lẫn nhau thì xác suất của một trong hai vẫn được tính như tổng của một xác suất riêng biệt, ví dụ:
Nếu P(E1) = 1/4 và P(E2) = 1/2, thì P(E1 hoặc E2) = 1/4 + 1/2 = 3/4 5 Nếu ta biết được xác suất của một hiện tượng, sau đó hiện tượng không xảy ra thì
Những tiên đề này đều được bắt nguồn từ lý thuyết phát triển của xác suất
1.2 The “classical” definition (Định nghĩa cổ điển): Định nghĩa về xác suất lần đầu tiên xuất hiện để giải quyết vấn đề cờ bạc Nó phát triển suy nghĩ về vấn đề và cách để loại bỏ vấn đề theo cách logic nhất a) Số lượng kết quả trong một không gian mẫu
Ví dụ: Ném xúc xắc có không gian mẫu với 6 phần tử là {1,2,3,4,5,6} b) Số cách mà một trường hợp cụ thể có thể xảy ra
Ví dụ: một số “5” có thể xuất hiện nếu ta thảy một con xúc xắc Bằng cách chia 2 mệnh đề (b) cho (a) chúng ta sẽ có được xác suất có được 5 điểm là 16 Dựa theo ví dụ này, ta có công thức:
𝐓ổ𝐧𝐠 𝐬ố 𝐥ầ𝐧 𝐭𝐡ử Định nghĩa này được sử dụng rộng rãi khi được thử đặt vào một tình huống cụ thể nhưng không hoàn toàn chính xác với mọi trường hợp Nếu chúng ta đề cập đến xúc xắc, nó có 6 mặt và mỗi mặt sẽ đại diện cho một xác suất xuất hiện khác nhau: P(1), P(2), P(3), P(4), P(5) và P(6), tất cả chúng đều bằng nhau và bằng 1/6 Tuy nhiên, nếu con xúc xắc bị thay đổi trọng lượng, thì rất có thể một số tập giá trị của số trên xúc xắc sẽ = 0 Để hoàn thành định nghĩa này, chúng ta cần thêm vào mỗi lần như vậy đều có khả năng như nhau, có nghĩa là có thể xảy ra như nhau, do đó chúng ta có được một định nghĩa về xác suất mà ở đó, xác suất được dùng để mô phỏng sự lặp lại Nếu chúng ta gần như chắc chắn rằng các kết quả đều giống nhau thì định nghĩa không hợp với tình huống, khi mà chúng ta có vô vàng các kết quả khác nhau Cho dù vậy, nhiều người vẫn sử dụng định nghĩa này khi đưa vào áp dụng ở những trường hợp tính xác suất đơn giản, ví dụ 9.1
1.3 The relative frequency definition (Định nghĩa về tần số tương đối):
Một cách thay thế góc nhìn về xác suất có thể là đưa vào một tỉ lệ mà ở đó thì các kết quả đều có thể xảy ra xuyên suốt thực nghiệm Nó được gọi là định nghĩa về tần số tương đối của xác suất
𝐒ố 𝐥ầ𝐧 𝐭𝐡ự𝐜 𝐧𝐠𝐡𝐢ệ𝐦 đượ𝐜 𝐭𝐢ế𝐧 𝐡à𝐧𝐡Cách tiếp cận tần số tương đối thường được áp dụng để giải quyết các vấn đề trong kinh doanh Ví dụ, nếu chúng ta xét một vật cụ thể trên một băng chuyền hàng với nhiều loại mẫu thì sẽ có 2 trường hợp xảy ra: khiếm khuyết hoặc không khiếm khuyết Không có cơ sở nào có thể chứng minh được xác suất của chúng giống như định nghĩa cổ điển về
6 xác suất đã nói Cách duy nhất có thể làm để chia xác suất của chúng thành nhiều mẫu kiểm tra khác nhau để chia tỷ lệ và từ đó tần số tương đối sẽ là số liệu của sản phẩm không khiếm khuyết Bài kiểm tra này giúp chúng ta hiểu cách chia tần số tương đối bằng cách chia những lần xuất hiện của các hiện tượng thường xuyên, từ đó giúp chúng ta dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu chúng trong tương lai gần
1.4 The subjective definition (Định nghĩa chủ quan): Để tìm hiểu xác suất chủ quan hoặc mức độ tin cậy của họ đối với một số sự kiện nhất định sẽ xảy ra người ta đã đặt ra vô vàng câu hỏi để có thể giải đáp Tình huống này sẽ có hiệu quả đối với các tình huống “một lần” cũng như các vị trí lặp lại Ví dụ: bạn có thể hỏi về khả năng ngày mai sẽ mưa ở một khu vực cụ thể; có thể người dân địa phương sẽ cho bạn câu trả lời “tốt hơn” so với những người lạ trong khu vực Tương tự, bạn có thể hỏi một loạt chủ cửa hàng về khả năng thành công của bao bì mới cho sản phẩm của bạn Giống như tất cả các mẫu lấy mẫu, số lượng người có liên quan tham gia vào cuộc khảo sát càng lớn thì kết quả càng tốt Ý tưởng này tương tự như kỹ thuật quản lý được gọi là dự báo Delphi.
Basic relationships in probability (Các khái niệm xác suất căn bản)
Chúng ta sẽ tìm hiểu các quy tắc xác suất căn bản để có thể đánh giá khả năng xảy ra của các sự kiện (hay các hiện tượng) khác nhau Các quy tắc này được ứng dụng trong các phương pháp suy luận thống kê dựa vào các giá trị thống kê mẫu Các khái niệm xác suất cũng cần thiết khi tìm hiểu lý thuyết ra quyết định, một công cụ quan trọng giúp các nhà quản lý ra các quyết định trong những điều kiện không chắc chắn
Ta xét ví dụ: Kiểm tra 400 gói trà đã đóng gói, kết quả ghi nhận như sau: 10 gói không đủ trọng lượng, 360 gói đủ trọng lượng, và 30 gói có trọng lượng nhiều hơn so với thiết kế Tính biến cố sản phẩm thừa hoặc thiếu trong thiết kế
Trọng lượng Biến cố Số sản phẩm Xác suất
7 Biến cố A, C được gọi là hai biến cố xung khắc vì chúng không thể xảy ra đồng thời trong một phép thử Mà hai biến cố xung khắc, ta có quy tắc cộng đặc biệt:
Nên biến cố sản phẩm thừa hoặc thiếu trong thiết kế là:
2.2 Quy tắc cộng tổng quát:
Nếu A và B là hai biến cố không xung khắc, ta có quy tắc cộng tổng quát:
Ví dụ: Trộn đều một bộ bài 52 lá:
Gọi A: biến cố rút được lá Đầm; B: biến cố rút được lá Chuồn
A và B là hai biến cố không xung khắc vì hai biến cố trên có thể xuất hiện khi ta rút được lá Đầm Chuồn
Hai biến cố được gọi là độc lập khi sự xuất hiện của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia
Nếu 2 biến cố A và B độc lập, ta có quy tắc nhân đặc biệt:
Ví dụ: Một thùng đựng gồm có 18 hộp bút; 15 quyển sách Hỏi có bao nhiêu cách chọn một hộp bút và một quyển sách
Gọi A: biến cố chọn được một hộp bút; B: biến cố chọn được quyển sách
Hai biến cố trên là độc lập với nhau, cho nên có thể áp dụng quy tắc nhân đặc biệt để tính xác suất được chọn:
2.4 Xác suất có điều kiện:
Nếu hai biến cố mà kết quả của một biến cố ảnh hưởng đến xác suất xảy ra kết quả của biến cố kia thì xác suất của biến cố này được gọi là phụ thuộc hoặc có điều kiện vào kết quả của biến cố kia
Ta trở về ví dụ ở mục 2.3.: chọn một quả bóng từ một túi chứa sáu quả bóng đỏ và bốn quả bóng đen Đối với lựa chọn đầu tiên P(đỏ) = 0,6 và P(đen) = 0,4 Nếu chúng ta không thay thế quả bóng được chọn đầu tiên thì không gian mẫu sẽ giảm từ 10 xuống còn 9 quả bóng Xác suất của lựa chọn thứ hai sẽ thay đổi và sẽ phụ thuộc hoặc có điều kiện vào lựa chọn đầu tiên
Nếu quả bóng màu đỏ được chọn trước thì P(Màu đỏ thứ 2 cho màu đỏ thứ 1) = 5/9 Đối với những xác suất có điều kiện này, chúng ta có thể sử dụng ký hiệu sau:
P(Đỏ thứ 2| Đỏ thứ nhất) hoặc P(R2 |R1 ) Các xác suất có điều kiện khác để chọn quả bóng thứ hai sẽ là:
P(Đỏ thứ 2| Đen thứ 1) = 6/9; P(Đen thứ 2| Đen thứ 1) = 3/9; P(Đen thứ 2| Đỏ thứ 1) 4/9 Để xác định xác suất của sự kiện chung “lựa chọn đầu tiên màu đỏ và lựa chọn thứ hai màu đen”, chúng ta lại nhân hai xác suất với nhau:
P(Đỏ thứ nhất và Đen thứ 2) = P(Đỏ thứ nhất) × P(Đen thứ 2| Đỏ thứ 1) = 0,6 × 4/9 0,2667 Tóm lại, nếu biến cố A và biến cố B phụ thuộc vào nhau thì:
Nếu bạn có thể xác định loại biến cố và các biến cố mà bạn đang giải quyết thì bạn có thể nắm được phương pháp để giải quyết vấn đề Ở giai đoạn này, thực hành trả lời các câu hỏi về xác suất có thể là cách tốt nhất để “phát triển” sự hiểu biết này
Các loại biến cố khác nhau trong xác suất gồm:
Nếu biến cố A và B xung khắc thì
P(A hoặc B) = P(A) + P(B) và, theo định nghĩa, P(A và B) = 0 Nếu biến cố A và B không xung khắc thì
Nếu biến cố A và B độc lập thì
Nếu sự kiện A và B phụ thuộc thì
Trong đó P(B|A) là xác suất có điều kiện để B xảy ra khi A vừa mới xảy ra.
Probability trees (Cây xác suất)
Để bao quát tất cả các trường hợp có thể xảy ra trong trường hợp xác suất nào đó, dùng sơ đồ luôn là một ý tưởng hàng đầu Phương pháp này khá hữu hiệu vì nó liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra, điều này giúp người ta có thể dễ dàng hình dung rõ hơn vấn đề cần giải quyết Một trong những phương pháp minh họa phổ biến và dễ sử dụng nhất chính là dùng cây xác suất Điều duy nhất cần lưu ý khi sử dụng sơ đồ này là phân biệt giữa các nhánh cây minh họa tình huống độc lập và tình huống các sự kiện phụ thuộc nhau Và trong bài này, chúng ta sẽ làm rõ vấn đề này hơn
3.1 Independent events (Các sự kiện độc lập): Để minh họa xác suất cho các sự kiện độc lập hay còn gọi là các biến độc lập với nhau, ta có thể xét ví dụ một cuộc cạnh tranh bắn cung, với yêu cầu 3 người cùng bắn cùng một lúc, do đó, kết quả của người này sẽ không ảnh hưởng đến kết quả của 2 người kia, tức là các kết quả là những biến độc lập với nhau Giả dụ xác suất bắn trúng mục tiêu của 3 người lần lượt là 50%, 80% và 25% Lúc này, để tính xác suất cho việc bắn trúng mục tiêu, ta có thể sử dụng quy tắc nhân cho các biến độc lập và liệt kê ra được tất cả kết quả cho các trường hợp, và được biểu diễn bằng sơ đồ cây như sau:
10 Cách xây dựng và sử dụng sơ đồ cây xác suất:
Hai nhánh đầu tiên đưa ra các kết quả có thể xảy ra của người đầu tiên, các nhánh tiếp theo là kết quả của người thứ hai và các nhánh kế tiếp nữa là kết quả của người cuối cùng
Ví dụ, nhìn vào sơ đồ trên từ trái qua:
- Kết quả của người đầu tiên là trúng (50%) hoặc trượt (50%);
- Kết quả của người đầu tiên là trúng (50%), kết quả của người thứ hai là trúng (80%) hoặc trượt (20%);
- Kết quả của người đầu tiên là trúng (50%), kết quả của người thứ hai là trúng (80%), kết quả của người thứ ba là trúng (25%) hoặc trượt (75%)
Cứ thế tiếp tục xét trường hợp dọc theo các nhánh, ta sẽ đi đến được kết quả cuối cùng
Kết quả xác suất của các trường hợp sẽ được tính bằng quy tắc nhân dựa theo các nhánh cây Ví dụ:
Xác suất cả ba người bắn trúng mục tiêu = P(H1,H2,H3) = 0,5 × 0,8 × 0,25 = 0,1
Vì mỗi kết quả cuối cùng là xác suất cho những trường hợp khác nhau nên ta có thể sử dụng quy tắc cộng cho các trường hợp ít điều kiện hơn, ví dụ:
11 Xác suất chỉ có một người bắn trúng mục tiêu
3.2 Dependent events (Các sự kiện phụ thuộc):
Giả sử chúng ta có ba đội, đội đỏ gồm 10 nam và 10 nữ, đội xanh gồm 7 nam và 3 nữ, đội vàng gồm 4 nam và 6 nữ, sau đó chọn ra một người ngẫu nhiên thông qua hai giai đoạn, đầu tiên chọn một đội và sau đó chọn một cá nhân, xác suất chọn được một nữ sẽ phụ thuộc vào đội nào được chọn Cây xác suất được xây dựng tương tự như trong mục 3.1 nhưng việc lựa chọn một người phụ thuộc vào việc lựa chọn đội đầu tiên nên thứ tự các giai đoạn là quan trọng Thứ tự lựa chọn được thể hiện rõ ràng trong cây xác suất của hình bên dưới:
Xác suất chọn được đội đỏ, xanh hoặc vàng lần lượt là 0,5; 0,25 và 0,25 Các xác suất có điều kiện của việc chọn được cá nhân ở giai đoạn thứ hai là nam hay nữ trong nhóm của họ được tính toán từ số lượng của mỗi đội Vì các cá nhân chỉ có thể thuộc về một nhóm nên chúng ta có thể coi các đội loại trừ lẫn nhau Điều này có nghĩa là chúng ta có thể cộng xác suất chọn được một người phụ nữ trong các đội đỏ, xanh và vàng để có xác suất chung chọn được nữ:
P(woman) = P(woman and red) + P(woman and blue) + P(woman and yellow)
Expected values (Các giá trị kỳ vọng)
Khi đánh giá các vấn đề hoặc tình huống tồn tại sự không chắc chắn, khái niệm giá trị kỳ vọng là đặc biệt quan trọng Hãy xem xét một trò chơi may rủi đơn giản Nếu đồng bạn tung đồng xu và xuất hiện mặt ngửa thì bạn thắng £1 và nếu nó xuất hiện mặt sấp thì bạn sẽ mất £2 Nếu trò chơi được lặp lại 100 lần thì bạn sẽ thắng 50 lần, tức là £50 và dự đoán sẽ thua 50 lần, tức là £100 Tổng số tiền thua của bạn sẽ là £50 hay trung bình là 50 xu mỗi ván Khoản lỗ trung bình trên mỗi trò chơi này được gọi là giá trị kỳ vọng (EV) hoặc giá trị tiền tệ dự kiến (EMV) Do tính chất xác suất của trò chơi, đôi khi tổng số tiền thua sẽ lớn hơn £50, đôi khi ít hơn Thay vì làm việc với tần số, giá trị kỳ vọng thường được xác định bởi tính trọng số kết quả theo xác suất Như chúng ta đã thấy, xác suất có thể có được bắt nguồn từ tần số tương đối Trong trò chơi đơn giản này, giá trị kỳ vọng của tiền thắng là: Ê1 ì ẵ + (–Ê2) ì ẵ = −Ê0,50 hoặc mất 50 xu trong đó −£2 thể hiện số tiền thắng hoặc thua
Tất nhiên, bạn sẽ không bao giờ mất 50 xu trong một trò chơi, bạn sẽ thắng £1 hoặc thua £2.Giá trị kỳ vọng cho kết quả trung bình, dài hạn Nói chung:
Trong đó E(x) là giá trị kỳ vọng của x
Nếu chúng ta liên kết ý tưởng về cây xác suất với khái niệm giá trị kỳ vọng thì chúng ta có thể chỉ ra tình huống có thể xảy ra nếu hai đặc điểm hoặc sự kiện độc lập Lấy kết quả của cuộc khảo sát được trình bày trong bảng 9.2:
13 Có năm lựa chọn khác nhau cho hoạt động yêu thích trong sáng chủ nhật và dựa trên hai giới tính Giả sử hai yếu tố này độc lập, chúng ta có thể xây dựng cây xác suất như trong hình dưới đây:
Vì chúng ta biết rằng có 500 người tham gia khảo sát nên chúng ta có thể lấy kết quả về xác suất tính toán và nhân mỗi phép tính này với 500 để tìm các con số mong đợi Đây là được thể hiện trong bảng sau:
Trong Bảng 9.4, chúng tôi đã đưa ra số lượng người thực tế đã trả lời khảo sát Như vậy, trong một số trường hợp có sự khác biệt đáng kể giữa những gì chúng ta có thể “kỳ vọng” xảy ra và điều gì thực sự đã xảy ra Việc xem xét liệu sự khác biệt này có đáng kể hay không sẽ hoãn lại cho đến Chương 14
Bayes’ theorem (Định lý Bayes)
Mục 3 Probability trees + Mục 4 Expected values + Dùng phần mềm giải bài tập
Mục 2 Basic relationships in probability + Dùng phần mềm giải bài tập
Mục 2 Basic relationships in probability + Dùng phần mềm giải bài tập
1.1 Axioms of probability (Tiên đề về xác suất): 4
1.2 The “classical” definition (Định nghĩa cổ điển): 4
1.3 The relative frequency definition (Định nghĩa về tần số tương đối): 5
1.4 The subjective definition (Định nghĩa chủ quan): 6
2 Basic relationships in probability (Các khái niệm xác suất căn bản): 6
2.2 Quy tắc cộng tổng quát: 7
2.4 Xác suất có điều kiện: 8
3 Probability trees (Cây xác suất): 9
3.1 Independent events (Các sự kiện độc lập): 9
3.2 Dependent events (Các sự kiện phụ thuộc): 11
4 Expected values (Các giá trị kỳ vọng): 12
5 Decision trees (Cây ra quyết định): 14
6 Bayes’ theorem (Định lý Bayes): 17
III DÙNG PHẦN MỀM GIẢI BÀI TOÁN: 25
IV PHÂN TÍCH RỦI RO: 27
NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
1.1 Axioms of probability (Tiên đề về xác suất):
Lý thuyết về xác suất là sự cấu thành dựa trên một hoặc nhiều tiên đề, một trong số chúng có thể được giải thích như sau:
1 Xác suất của bất kì hiện tượng nào, được kí hiệu P(E), nằm trong khoảng từ
0 < P(E) < 1 Những giá trị khác nằm ngoài khoảng này là không thỏa mãn
2 Nếu có sự việc nào chắc chắn diễn ra thì nó có xác suất là 1 3 Tổng xác suất của các kết quả, hiện tượng trong cùng một môi trường mẫu thì bằng 1 4 Trong trường hợp một kết quả thử nghiệm có hai hoặc nhiều hơn kết quả loại trừ lẫn nhau thì xác suất của một trong hai vẫn được tính như tổng của một xác suất riêng biệt, ví dụ:
Nếu P(E1) = 1/4 và P(E2) = 1/2, thì P(E1 hoặc E2) = 1/4 + 1/2 = 3/4 5 Nếu ta biết được xác suất của một hiện tượng, sau đó hiện tượng không xảy ra thì
Những tiên đề này đều được bắt nguồn từ lý thuyết phát triển của xác suất
1.2 The “classical” definition (Định nghĩa cổ điển): Định nghĩa về xác suất lần đầu tiên xuất hiện để giải quyết vấn đề cờ bạc Nó phát triển suy nghĩ về vấn đề và cách để loại bỏ vấn đề theo cách logic nhất a) Số lượng kết quả trong một không gian mẫu
Ví dụ: Ném xúc xắc có không gian mẫu với 6 phần tử là {1,2,3,4,5,6} b) Số cách mà một trường hợp cụ thể có thể xảy ra
Ví dụ: một số “5” có thể xuất hiện nếu ta thảy một con xúc xắc Bằng cách chia 2 mệnh đề (b) cho (a) chúng ta sẽ có được xác suất có được 5 điểm là 16 Dựa theo ví dụ này, ta có công thức:
𝐓ổ𝐧𝐠 𝐬ố 𝐥ầ𝐧 𝐭𝐡ử Định nghĩa này được sử dụng rộng rãi khi được thử đặt vào một tình huống cụ thể nhưng không hoàn toàn chính xác với mọi trường hợp Nếu chúng ta đề cập đến xúc xắc, nó có 6 mặt và mỗi mặt sẽ đại diện cho một xác suất xuất hiện khác nhau: P(1), P(2), P(3), P(4), P(5) và P(6), tất cả chúng đều bằng nhau và bằng 1/6 Tuy nhiên, nếu con xúc xắc bị thay đổi trọng lượng, thì rất có thể một số tập giá trị của số trên xúc xắc sẽ = 0 Để hoàn thành định nghĩa này, chúng ta cần thêm vào mỗi lần như vậy đều có khả năng như nhau, có nghĩa là có thể xảy ra như nhau, do đó chúng ta có được một định nghĩa về xác suất mà ở đó, xác suất được dùng để mô phỏng sự lặp lại Nếu chúng ta gần như chắc chắn rằng các kết quả đều giống nhau thì định nghĩa không hợp với tình huống, khi mà chúng ta có vô vàng các kết quả khác nhau Cho dù vậy, nhiều người vẫn sử dụng định nghĩa này khi đưa vào áp dụng ở những trường hợp tính xác suất đơn giản, ví dụ 9.1
1.3 The relative frequency definition (Định nghĩa về tần số tương đối):
Một cách thay thế góc nhìn về xác suất có thể là đưa vào một tỉ lệ mà ở đó thì các kết quả đều có thể xảy ra xuyên suốt thực nghiệm Nó được gọi là định nghĩa về tần số tương đối của xác suất
𝐒ố 𝐥ầ𝐧 𝐭𝐡ự𝐜 𝐧𝐠𝐡𝐢ệ𝐦 đượ𝐜 𝐭𝐢ế𝐧 𝐡à𝐧𝐡Cách tiếp cận tần số tương đối thường được áp dụng để giải quyết các vấn đề trong kinh doanh Ví dụ, nếu chúng ta xét một vật cụ thể trên một băng chuyền hàng với nhiều loại mẫu thì sẽ có 2 trường hợp xảy ra: khiếm khuyết hoặc không khiếm khuyết Không có cơ sở nào có thể chứng minh được xác suất của chúng giống như định nghĩa cổ điển về
6 xác suất đã nói Cách duy nhất có thể làm để chia xác suất của chúng thành nhiều mẫu kiểm tra khác nhau để chia tỷ lệ và từ đó tần số tương đối sẽ là số liệu của sản phẩm không khiếm khuyết Bài kiểm tra này giúp chúng ta hiểu cách chia tần số tương đối bằng cách chia những lần xuất hiện của các hiện tượng thường xuyên, từ đó giúp chúng ta dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu chúng trong tương lai gần
1.4 The subjective definition (Định nghĩa chủ quan): Để tìm hiểu xác suất chủ quan hoặc mức độ tin cậy của họ đối với một số sự kiện nhất định sẽ xảy ra người ta đã đặt ra vô vàng câu hỏi để có thể giải đáp Tình huống này sẽ có hiệu quả đối với các tình huống “một lần” cũng như các vị trí lặp lại Ví dụ: bạn có thể hỏi về khả năng ngày mai sẽ mưa ở một khu vực cụ thể; có thể người dân địa phương sẽ cho bạn câu trả lời “tốt hơn” so với những người lạ trong khu vực Tương tự, bạn có thể hỏi một loạt chủ cửa hàng về khả năng thành công của bao bì mới cho sản phẩm của bạn Giống như tất cả các mẫu lấy mẫu, số lượng người có liên quan tham gia vào cuộc khảo sát càng lớn thì kết quả càng tốt Ý tưởng này tương tự như kỹ thuật quản lý được gọi là dự báo Delphi
2 Basic relationships in probability (Các khái niệm xác suất căn bản):
Chúng ta sẽ tìm hiểu các quy tắc xác suất căn bản để có thể đánh giá khả năng xảy ra của các sự kiện (hay các hiện tượng) khác nhau Các quy tắc này được ứng dụng trong các phương pháp suy luận thống kê dựa vào các giá trị thống kê mẫu Các khái niệm xác suất cũng cần thiết khi tìm hiểu lý thuyết ra quyết định, một công cụ quan trọng giúp các nhà quản lý ra các quyết định trong những điều kiện không chắc chắn
Ta xét ví dụ: Kiểm tra 400 gói trà đã đóng gói, kết quả ghi nhận như sau: 10 gói không đủ trọng lượng, 360 gói đủ trọng lượng, và 30 gói có trọng lượng nhiều hơn so với thiết kế Tính biến cố sản phẩm thừa hoặc thiếu trong thiết kế
Trọng lượng Biến cố Số sản phẩm Xác suất
7 Biến cố A, C được gọi là hai biến cố xung khắc vì chúng không thể xảy ra đồng thời trong một phép thử Mà hai biến cố xung khắc, ta có quy tắc cộng đặc biệt:
Nên biến cố sản phẩm thừa hoặc thiếu trong thiết kế là:
2.2 Quy tắc cộng tổng quát:
Nếu A và B là hai biến cố không xung khắc, ta có quy tắc cộng tổng quát:
Ví dụ: Trộn đều một bộ bài 52 lá:
Gọi A: biến cố rút được lá Đầm; B: biến cố rút được lá Chuồn
A và B là hai biến cố không xung khắc vì hai biến cố trên có thể xuất hiện khi ta rút được lá Đầm Chuồn
Hai biến cố được gọi là độc lập khi sự xuất hiện của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia
Nếu 2 biến cố A và B độc lập, ta có quy tắc nhân đặc biệt:
Ví dụ: Một thùng đựng gồm có 18 hộp bút; 15 quyển sách Hỏi có bao nhiêu cách chọn một hộp bút và một quyển sách
Gọi A: biến cố chọn được một hộp bút; B: biến cố chọn được quyển sách
Hai biến cố trên là độc lập với nhau, cho nên có thể áp dụng quy tắc nhân đặc biệt để tính xác suất được chọn:
2.4 Xác suất có điều kiện:
Nếu hai biến cố mà kết quả của một biến cố ảnh hưởng đến xác suất xảy ra kết quả của biến cố kia thì xác suất của biến cố này được gọi là phụ thuộc hoặc có điều kiện vào kết quả của biến cố kia
Ta trở về ví dụ ở mục 2.3.: chọn một quả bóng từ một túi chứa sáu quả bóng đỏ và bốn quả bóng đen Đối với lựa chọn đầu tiên P(đỏ) = 0,6 và P(đen) = 0,4 Nếu chúng ta không thay thế quả bóng được chọn đầu tiên thì không gian mẫu sẽ giảm từ 10 xuống còn 9 quả bóng Xác suất của lựa chọn thứ hai sẽ thay đổi và sẽ phụ thuộc hoặc có điều kiện vào lựa chọn đầu tiên
Nếu quả bóng màu đỏ được chọn trước thì P(Màu đỏ thứ 2 cho màu đỏ thứ 1) = 5/9 Đối với những xác suất có điều kiện này, chúng ta có thể sử dụng ký hiệu sau:
P(Đỏ thứ 2| Đỏ thứ nhất) hoặc P(R2 |R1 ) Các xác suất có điều kiện khác để chọn quả bóng thứ hai sẽ là:
P(Đỏ thứ 2| Đen thứ 1) = 6/9; P(Đen thứ 2| Đen thứ 1) = 3/9; P(Đen thứ 2| Đỏ thứ 1) 4/9 Để xác định xác suất của sự kiện chung “lựa chọn đầu tiên màu đỏ và lựa chọn thứ hai màu đen”, chúng ta lại nhân hai xác suất với nhau:
P(Đỏ thứ nhất và Đen thứ 2) = P(Đỏ thứ nhất) × P(Đen thứ 2| Đỏ thứ 1) = 0,6 × 4/9 0,2667 Tóm lại, nếu biến cố A và biến cố B phụ thuộc vào nhau thì:
GIẢI BÀI TẬP
Exercise 20/p281 (Chapter 9 Probability – Ebook: Quantitative Methods For Business Decisions) Đề bài:
In order to be able to meet an anticipated increase in demand for a basic industrial material a business is considering ways of developing the manufacturing process After meeting current operating costs the business expects to make a net profit of £16 000 from its existing process when running at full capacity All the data relates to the same period
The Production Manager has listed the following possible courses of action a Continue to operate the existing plant and not expand to meet the new level of demand b Undertake a research programme which would cost £20 000 and has been given a 0,8 chance of success If successful, a net profit of £60 000 is expected (before charging the research cost) If not successful a net profit of £5000 is expected c Undertake a less expensive research programme costing £8000 which has been given a 0,5 chance of success If successful, a net profit of £5000 is expected and if not successful a net profit of £4000 is expected
Present a decision tree On the basis of this analysis determine the most profitable course of action Comment on your findings
Dịch đề bài: Để có thể đáp ứng sự gia tăng dự đoán về nhu cầu đối với một nguyên liệu công nghiệp cơ bản, một doanh nghiệp đang xem xét các cách phát triển quy trình sản xuất Sau khi đáp ứng các chi phí hoạt động hiện tại, doanh nghiệp dự kiến sẽ kiếm được lợi nhuận
21 ròng là £16.000 từ quy trình hiện có khi hoạt động hết công suất Tất cả các dữ liệu liên quan đều thuộc cùng một thời kỳ Giám đốc Sản xuất đã liệt kê các quy trình hành động có thể tiến hành sau đây: a) Tiếp tục vận hành nhà máy hiện có và không mở rộng để đáp ứng nhu cầu mới b) Thực hiện một chương trình nghiên cứu có chi phí £20.000 và có 0,8 cơ hội thành công Nếu thành công, lợi nhuận ròng dự kiến là £60.000 (trước khi tính chi phí nghiên cứu) Nếu không thành công, lợi nhuận ròng được kỳ vọng là £5000 c) Thực hiện một chương trình nghiên cứu ít tốn kém hơn với chi phí £8000 với 0,5 cơ hội thành công Nếu thành công, lợi nhuận ròng được kỳ vọng là £5000 và nếu không thành công, lợi nhuận ròng là £4000
Trình bày cây quyết định Trên cơ sở phân tích này, xác định hướng hành động có lợi nhất Đưa ra nhận xét
Bước 1: Xác định vấn đề - Quyết định mở rộng hay không mở rộng quy trình sản xuất để đáp ứng nhu cầu mới - Nếu mở rộng quy trình sản xuất thì quyết định thực hiện chương trình nghiên cứu lớn (với chi phí £20.000) hay nhỏ (với chi phí £8000) Bước 2: Vẽ cây quyết định (xác định PA, trạng thái)
22 Bước 3: Gán xác suất cho trạng thái
P(TC/NCL) = 0,8 P(KTC/NCL) = 0,2 P(TC/NCN) = 0,5 P(KTC/NCN) = 0,5
23 Bước 4: Ước tính lợi nhuận, chi phí cho PA với tình huống kèm theo
Lợi nhuận ròng của nghiên cứu lớn (đã tính chi phí nghiên cứu) là: £60.000 – £20.000 = £40.000 Lợi nhuận ròng của nghiên cứu nhỏ (đã tính chi phí nghiên cứu) là: £5.000 – £8.000 = –£3.000
Lợi nhuận ròng của nghiên cứu lớn (đã tính chi phí nghiên cứu) là: £5.000 – £20.000 = –£15.000 Lợi nhuận ròng của nghiên cứu nhỏ (đã tính chi phí nghiên cứu) là: £4.000 – £8.000 = –£4.000
Không mở rộng Thành công Không thành công
Bước 5: Dùng phương pháp Max EMV, để tìm PA bằng cách tính EMV tại mỗi nút, tìm nhánh có Max EMV
24 EMVNCN = 0,5 × (–3.000) + 0,5 × (–4.000) = –£3500 EMVMR = Max {EMVNCL; EMVNCN} = Max {29.000; –3.500} = £29.000
Max {EMV MR ; EMVKMR} = Max {29.000; 16.000} = £29.000 Do đó, trên cơ sở phân tích này, hướng hành động có lợi nhất cho công ty là nên lựa chọn phương án mở rộng sản xuất và thực hiện chương trình nghiên cứu quy mô lớn với chi phí £ 20.000
Cây quyết định của bài toán có cấp độ là 2
Có thể dễ dàng quan sát và loại bỏ phương án đầu tư mở rộng với chương trình nghiên cứu nhỏ do chi phí phải bỏ ra tận £8.000 nhưng lợi nhuận ròng kỳ vọng nhận được nếu thành công chỉ là £5.000
Nhận thấy xác suất thành công ở phương án đầu tư mở rộng, nghiên cứu lớn (0,8) và lợi nhuận ròng sau khi trừ đi chi phí nếu thành công (£40.000) khá cao và lớn hơn nhiều so với không thành công, cũng như so với phương án không mở rộng phương án này có khả năng sinh lời vô cùng hấp dẫn, nhiều lợi thế và ít rủi ro
Do đó, những số liệu có sự chênh lệch và nghiêng theo phương án đầu tư mở rộng với chương trình nghiên cứu lớn bài toán rất dễ để đưa ra quyết định đầu tư theo phương án nào £29.000 £29.000
DÙNG PHẦN MỀM GIẢI BÀI TOÁN
Ứng dụng phần mềm Excel giải bài tập 20 trang 281 Để có thể đáp ứng sự gia tăng dự đoán về nhu cầu đối với một nguyên liệu công nghiệp cơ bản, một doanh nghiệp đang xem xét các cách phát triển quy trình sản xuất Sau khi đáp ứng các chi phí hoạt động hiện tại, doanh nghiệp dự kiến sẽ kiếm được lợi nhuận ròng là £16.000 từ quy trình hiện có khi hoạt động hết công suất Tất cả các dữ liệu liên quan đều thuộc cùng một thời kỳ Giám đốc Sản xuất đã liệt kê các quy trình hành động có thể tiến hành sau đây: a) Tiếp tục vận hành nhà máy hiện có và không mở rộng để đáp ứng nhu cầu mới b) Thực hiện một chương trình nghiên cứu có chi phí £20.000 và có 0,8 cơ hội thành công Nếu thành công, lợi nhuận ròng dự kiến là £60.000 (trước khi tính chi phí nghiên cứu) Nếu không thành công, lợi nhuận ròng được kỳ vọng là £5000 c) Thực hiện một chương trình nghiên cứu ít tốn kém hơn với chi phí £8000 với 0,5 cơ hội thành công Nếu thành công, lợi nhuận ròng được kỳ vọng là £5000 và nếu không thành công, lợi nhuận ròng là £4000
Trình bày cây quyết định Trên cơ sở phân tích này, xác định hướng hành động có lợi nhất Đưa ra nhận xét
Phân tích lợi nhuận ròng kỳ vọng dựa trên 3 quyết định của nhà sản xuất:
Quyết định a Giữ nguyên mức cũ:
Lợi nhuận kỳ vọng mới = Lợi nhuận kỳ vọng cũ = £16,000 Ta có:
= [Xác suất (thành công)] × [Lợi nhuận (thành công)] + [Xác suất (thất bại)] × [Lợi nhuận (thất bại)] – [Chi phí]
= [Xác suất (thành công)] × [Lợi nhuận (thành công)] + {1 – [Xác suất (thành công)]} × [Lợi nhuận (thất bại)] – [Chi phí]
Quyết định b Nghiên cứu tốn kém:
Quyết định c Nghiên cứu tiết kiệm:
26 Vậy, dựa trên phân tích trên, khả năng mang lại lợi nhuận cao nhất nằm ở “Quyết định b Nghiên cứu tốn kém” (Lợi nhuận kỳ vọng = £29.000)
- Việc duy trì sản xuất theo mức cũ (Quyết định a.) sẽ đảm bảo được lợi nhuận kỳ vọng lớn nhất cho doanh nghiệp nếu xét trong khoảng ngắn hạn
- Doanh nghiệp đưa ra các quyết định trong trường hợp đang phân tích dự kiến nhu cầu thị trường sẽ tăng trong khoảng thời gian tới, ta có thể đưa ra các trường hợp sau:
+ Nhu cầu thị trường tăng: nếu giữ nguyên quy trình và công suất hiện tại, khả năng sản xuất có thể sẽ không đủ đáp ứng cho thị trường trong thời gian dài Ngoài ra, doanh nghiệp còn có khả năng bị mất thị phần hoặc không thể tận dụng các cơ hội trong tương lai
+ Khả năng chịu rủi ro: nếu doanh nghiệp sẵn sàng chấp nhận rủi ro, việc nghiên cứu với khoản chi phí lớn hơn có khả năng sẽ đem lại nguồn lợi nhuận tiềm năng cao hơn trong tương lai Ứng dụng phần mềm Excel để giải bài toán:
Con số hiển thị ở bên dưới nhánh đầu tiên (29000) chính là phương án do phần mềm Excel gợi ý để nhận được lợi nhuận kỳ vọng cao nhất, điều này hoàn toàn đúng so với phân tích ở trên
PHÂN TÍCH RỦI RO
Từ đồ thị nhận thấy
EMVNCL > 0 khi p > 0,27 EMVNCN > 0 khi p > 4 (vô lý) phương án nghiên cứu nhỏ rất rủi ro Tại giao điểm p = 0,204
p > 0,204 nên chọn phương án nghiên cứu lớn
p < 0,204 nên chọn phương án nghiên cứu nhỏ
Tóm lại, bài toán bị rủi ro.
PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY
Xem xét sự thay đổi của Lợi nhuận kỳ vọng khi thay đổi Xác suất thành công P(success) của Quyết định B (Nghiên cứu tốn kém)
1 Khi P(success) = 0,8 (Xác suất ban đầu):
= [Xác suất (thành công)] × [Lợi nhuận (thành công)] + [Xác suất (thất bại)] × [Lợi nhuận (thất bại)] – [Chi phí]
= [Xác suất (thành công)] × [Lợi nhuận (thành công)] + {1 – [Xác suất (thành công)]} × [Lợi nhuận (thất bại)] – [Chi phí]
Lợi nhuận kỳ vọng = 0,9 × £60.000 + 0,1 × £5.000 – £20.000 = £34.500 3 Khi P(success) = 0,7:
Lợi nhuận kỳ vọng = 0,7 × £60.000 + 0,3 × £5.000 – £20.000 = £23.500 4 Khi P(success) = 0,6:
Lợi nhuận kỳ vọng = 0,6 × £60.000 + 0,4 × £5.000 – £20.000 = £18.000 5 Khi P(success) = 0,5:
Lợi nhuận kỳ vọng = 0,5 × £60.000 + 0,5 × £5.000 – £20.000 = £12.500 6 Khi P(success) = 0,4:
Lợi nhuận kỳ vọng = 0,4 × £60.000 + 0,6 × £5.000 – £20.000 = £7.000 7 Khi P(success) = 0,3:
Từ phân tích độ nhạy trên, chúng ta thấy rằng Lợi nhuận kỳ vọng của Quyết định B giảm khi xác suất thành công giảm và tăng khi xác suất thành công tăng Điều này cho thấy rằng sự biến đổi trong xác suất thành công có ảnh hưởng lớn đến lựa chọn cuối cùng
Vì vậy, nếu muốn tối ưu hóa lợi nhuận kỳ vọng, doanh nghiệp cần chú ý đến việc nghiên cứu để đánh giá xác suất thành công và xác định mức độ chấp nhận được của rủi ro để đưa ra quyết định đúng đắn Trong trường hợp này, Lựa chọn B có vẻ là lựa chọn tốt nhất nếu mức độ rủi ro chấp nhận được và xác suất thành công phù hợp