Để doanh nghiệp có thể tối ưu hóa chi phí vận chuyển hàng hóa, giảm thiểu các vấn đề phát sinh trong quá trình vận chuyển cũng như đáp ứng chính xác và kịp thời nhu cầu của khách hàng, b
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
THIẾT LẬP BÀI TOÁN VẬN TẢI
Trước tiên cần lưu ý rằng để thiết lập bài toán vận tải, các dữ kiện sau cần phải được thu thập:
Các điểm nguồn (Sources) và khả năng cung cấp của từng điểm nguồn Các điểm nguồn trong bài toán vận tải thường biểu diễn cho các trạm phát hàng, các kho trung tâm, các kho trung chuyển hàng đến điểm bán lẻ
Các điểm đích (Destinations) và nhu cầu của từng điểm đích Các điểm đích trong bài toán vận tải thường biểu diễn cho các trạm thu hàng, các kho trung chuyển hàng đến điểm bán lẻ, các điểm bán lẻ,
Chi phí vận chuyển cho một đơn vị hàng hóa từ từng điểm nguồn đến từng điểm đích
Ký hiệu: m: Tổng số điểm nguồn n: Tổng số điểm đích
Si: Khả năng cung cấp của điểm nguồn i (i = 1, 2, , m) dj: Nhu cầu của điểm đích j (j =1, 2, …, n) xij: Lượng hàng chuyên chở từ điểm nguồn i (i = 1,2, ,m) đến điểm đích j (j = 1, 2, , n) cịj: Chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ điểm nguồn i (i = 1,2, , m) đến điểm đích j ( j = 1, 2, , n)
Dạng quy hoạch tuyến tính của Bài toán vận tải
Dạng cân bằng (Balanced Model) của Bài toán vận tải
Chuyển Bài toán vận tải dạng không cân bằng về dạng cân bằng
Với những bài toán vận tải dạng không cân bằng ta sẽ chuyển về dạng cân bằng bằng cách như sau:
- Trường hợp 1: Nếu ∑ 𝑚 𝑖=1 𝑠 𝑖 = ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑑 𝑗 , tạo 1 điểm đích giả với nhu cầu bằng 𝑑 𝑛+1 ∑ 𝑚 𝑖=1 𝑠 𝑖 − ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑑 𝑗 ; sau đó gán chi phí vận chuyển đơn vị từ mọi điểm nguồn đến điểm đích giả bằng 0, tức là 𝑐 𝑖,𝑛+1 = 0, ∀ 𝑖 = 1, 2, , 𝑚
- Trường hợp 2: Nếu ∑ 𝑚 𝑖=1 𝑠 𝑖 < ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑑 𝑗 , tạo 1 điểm nguồn giả với khả năng cung bằng 𝑠 𝑚+1 = ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑑 𝑗 − ∑ 𝑚 𝑖=1 𝑠 𝑖 ; sau đó gán chi phí vận chuyển đơn vị từ điểm nguồn giả đến mọi điểm đích bằng 0, tức là 𝑐 𝑚+1,𝑗 = 0, ∀ 𝑗 = 1, 2, , 𝑛
Dạng bảng của Bài toán vận tải
- Thiết lập 1 ma trận, với các hàng là các điểm nguồn, các cột là các điểm đích
- Lập 1 cột sau cùng của bảng chứa thông tin khả năng cung cấp của từng điểm nguồn, và 1 hàng sau cùng chứa thông tin nhu cầu tương ứng của từng điểm đích
- Giá trị của các ô là lượng hàng vận chuyển giữa điểm nguồn và điểm đích tương ứng
- Góc trên của từng ô thể hiện chi phí vận chuyển đơn vị giữa điểm nguồn và điểm đích tương ứng.
TÌM LỜI GIẢI BAN ĐẦU CHO BÀI TOÁN VẬN TẢI
5 Một số phương pháp để tìm lời giải ban đầu:
- Phương pháp góc Tây Bắc (The Northwest Corner Method) - Phương pháp chi phí bé nhất (The Minimal Cost Method) - Phương pháp xấp xỉ Vogel (The Vogel’s Approximation Method – VAM)
2.2.1 Phương pháp góc Tây Bắc
Phương pháp góc Tây Bắc được thực hiện như sau:
Khởi đầu từ ô nằm ở góc Tây Bắc của bảng (ô trên cùng bên trái) và hàng đầu tiên:
Cung cấp tối đa từ khả năng của một điểm nguồn cho các điểm đích theo thứ tự ưu tiên của các điểm đích từ trái qua phải cho đến khi điểm nguồn đó đã hết khả năng trước khi chuyển sang một hàng mới (tức là một điểm nguồn mới sẽ được xem xét)
Đáp ứng tối đa nhu cầu của một điểm đích từ các điểm nguồn theo thứ tự ưu tiên của các điểm nguồn từ trên xuống dưới cho đến khi nhu cầu của điểm đích đang xét đã được thỏa mãn trước khi chuyển sang một cột mới (tức là một điểm đích mới sẽ được xem xét)
2.2.2 Phương pháp chi phí bé nhất
Việc sử dụng phương pháp góc Tây Bắc có ưu điểm là đơn giản, dễ thực hiện
Tuy nhiên nhược điểm khá quan trọng của phương pháp này là nó thường đứa ra những lời giải bạn đầu không tốt dẫn đến kéo dài thời gian tìm nghiệm tối ưu của bài toán vận tải Nguyên nhân chủ yếu là do phương pháp góc Tây Bắc không hể lưu ý đến chi phí vận chuyển giữa các điểm nguồn và các điểm đích Để khắc phục nhược điểm trên, phương pháp chi phí thấp nhất đã được đề nghị
‒ Ô ứng với chi phí vận chuyển đơn vị nhỏ nhất trong bảng vận tải sẽ được ưu tiên đáp ứng tối đa (đáp ứng toàn bộ nhu cầu nếu khả năng cung cấp là đủ hoặc cung cấp toàn bộ khả năng nếu nhu cầu là lớn hơn)
‒ Loại bỏ điểm nguồn đã hết khả năng hoặc điểm đích đã được cung cấp đủ cùng các ô liên quan và xác định lại ô có chi phí nhỏ nhất
‒ Thực hiện lặp lại hai bước nêu trên cho đến khi toàn bộ nhu cầu đã được thỏa mãn (toàn bộ khả năng cung cấp đã sử dụng hết)
2.2.3 Phương pháp xấp xỉ Vogel
Phương pháp xấp xỉ Vogel là phương pháp xác định lời giải ban đầu tốt nhất cho bài toán vận tải và trong nhiều trường hợp, nghiệm ban đầu xác định từ phương pháp này cũng chính là nghiệm tối ưu
Việc thực hiện phương pháp VAM tuân theo các bước sau:
1 Ứng với mỗi hàng và cột của bảng vận tải, xác định độ chênh lệch giữa hai chi phí vận chuyển nhỏ nhất Các giá trị xác định được biểu diễn chênh lệch về chi phí vận tải giữa con đường vận tải tốt nhất và con đường vận tải tốt thứ hai trên từng hàng/cột Đây cũng chính là chi phí cơ hội do không chọn con đường tốt nhất trên từng hàng/cột
2 Xác định hàng hoặc cột ứng với chi phí cơ hội lớn nhất
3 Phân bổ tối đa lượng hàng có thể vận chuyển được trong ô có chi phí vận chuyển nhỏ nhất ứng với hàng hoặc cột đã chọn trong bước 2
4 Loại bỏ hàng đã dùng hết khả năng cung cấp hoặc cột đã được thỏa mãn toàn bộ nhu cầu sau sự phần bổ trong bước 3 Đánh dấu X vào các ô trống của hàng/cột bị loại bỏ
5 Tính toán lại các chi phí cơ hội trong bước 1 ứng với bảng vận tải đã loại bỏ các hàng/cột đề cập đến trong bước 4
6 Quay trở lại bước 2 và thực hiện lặp lại các bước 2 - 5 cho đến khi nhận được một lời giải ban đầu
‒ Do nghiệm ban đầu có được từ pp VAM, nếu không tối ưu, cũng thường rất gần với nghiệm tối ưu nên trong nhiều BTVT thực tế người ta không tìm cách cải thiện để đạt lời giải tối ưu
‒ Trong quá trình áp dụng pp VAM, đôi khi chi phí cơ hội lớn nhất tồn tại trên nhiều hàng / cột của bảng VT Trong trường hợp đó, hàng/cột được chọn trong B2 là hàng/ cột giúp phân bổ lượng hàng vận chuyển nhiều nhất vào một ô nào đó.
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM TỐI ƯU
Trong phần này, các phương pháp tìm nghiệm tối ưu của bài toán vận tải trong trường hợp không suy biến sẽ được trình bày Lưu ý rằng một bài toán vận tải là không suy biến nếu như trong bảng vận tải, số ô có gán giá trị bằng m+n-1
2.3.1 Phương pháp duyệt tuần tự
Trước tiên, xác định lời giải ban đầu cho bài toán vận tải bằng 1 trong các phương pháp đã biết Sau khi có được lời giải ban đầu, thực hiện cải tiến lời giải này thông qua việc tính lặp Tại từng bước lặp, các bước sau đây được tiến hành:
Bước 1: Tính toán chỉ số cải tiến Iij ( Improvement Index) cho tất cả các ô rỗng (i,j) trong bảng vận tải Chỉ số này được tính sau:
‒ Ứng với một ô rỗng (i,j) nào đó, vẽ một đường đi kín nối ô này với các ô có gán giá trị trong bảng vận tải bằng các đoạn nằm ngang hoặc thẳng đứng
‒ Gán dấu cho các đỉnh của đường đi vẽ trong phần trên sao cho 2 đỉnh thuộc cùng một đoạn có dấu khác nhau, bắt đầu bằng dấu cộng cho ô rỗng đang xét
‒ Tính toán chỉ số cải tiến Iij cho ô đang xét Chỉ số này bằng tổng đại số chi phí vận chuyển của các ô liên quan đến đường đi tương ứng với dấu là dấu được gán trong b
Bước 2: Nếu chỉ số Iij của mọi ô rỗng đều có giá trị không âm, lời giải hiện hành là tối ưu Nếu tồn tại một số giá trị Iij âm, chọn ra ô có Iij nhỏ nhất ( tức là có giá trị tuyệt đối lớn nhất) và điều chỉnh lượng hàng vận chuyển trên các ô liên quan như sau:
‒ Xác định giá trị nhỏ nhất xij min trong các ô được gán dấu trừ
‒ Lượng hàng vận chuyển trên các ô được gán dấu trừ sẽ được trừ đi một lượng xij min
‒ Lượng hàng vận chuyển trên các ô được gán dấu cộng sẽ được cộng thêm một lượng xij min
Bước 3: Xác định lại bảng vận tải và quay trở lại bước 1
‒ Đường đi ứng với một ô rỗng nào đó là duy nhất
‒ So với phương pháp đơn hình, các ô có gán giá trị trong bảng vận tải tại một bước lặp nào đó tương ứng với các biến cơ sở, còn các ô rỗng thì ứng với những biến không cơ sở Các giá trị chỉ số cải tiến Iij của các ô rỗng chính là chi phí rút giảm ứng với các biến không cơ sở
‒ Sau một bước lặp, sẽ có một ô cơ sở chuyển thành ô không cơ sở (ô rỗng)
2.3.2 Phương pháp phân phối cải tiến – MODI
Phương pháp phân phối cải tiến – hay còn gọi là phương pháp thế vị - là một phương pháp trong đó việc tính toán các chỉ số cải tiến của bảng vận tải dựa trên bài toán đối ngẫu của bài toán vận tải
Nguyên lý: Nếu gọi ui ( i= 1,2 ,m), vj (j= 1,2 ,n) là các biến đối ngẫu ứng với các điểm nguồn i và các điểm cấp j thì
‒ Iij = cij – (ui + vj) = 0 tại tất cả các ô ( i,j) có gán giá trị
‒ Iij = cij – (ui + vj) # 0 tại các ô rỗng
Dựa trên hệ phương trình có được từ các ô có gán giá trị, ta có thể xác định được tất cả các giá trị ui (i=1,2,…m), vj (j = 1,2….n) Trong đó sẽ có một giá trị cần được định trước, thường là chọn u1 =0 Do vậy các chỉ số cải tiến tại các ô rỗng có thể được xác định nhanh chóng
Căn cứ trên chỉ số cải tiến, ô rỗng được chọn để thay đổi có thể xác định được và trình tự giải tiếp theo được thực hiện tương tự như đối với phương pháp duyệt tuần tự.
TRƯỜNG HỢP SUY BIẾN CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI
Một bài toán vận tải sẽ suy biến nếu như tổng số các ô gán giá trị trong bảng vận tải luôn nhỏ hơn (m + n – 1) Có hai trường hợp có thể xảy ra:
Trường hợp 1: Sự suy biến xảy ra trong lời giải ban đầu Trong trường hợp này, phải gán giá trị 0 vào 1 ô rỗng nào đó (và xem như đây là ô có gán giá trị ) sao cho từ bất kỳ một ô rỗng nào ta cũng xác định được 1 đường đi kín tương ứng với nó
VD1: Xét bài toán vận tải với nghiệm ban đầu xác định bằng phương pháp Tây
Bắc sau: Để có thể giải được, ta phải gán giá trị 0 vào ô (1,2) (hoặc bất kỳ ô nào khác trừ ô (3,2))
Trường hợp 2: Sự suy biến xảy ra sau khi thực hiện một bước lặp nào đó Điều này là do khi thực hiện một ô rỗng để đưa vào các tập ô cơ sở, có ít nhất 2 ô có gán dấu trừ trên đường đi ứng với ô rỗng đang xét có cùng giá trị nhỏ nhất ( và như vậy các ô này sẽ cùng chuyển thành ô rỗng sau khi thực hiện phép lặp) Trong trường hợp này, phải gán giá trị 0 vào một trong các ô đó sau khi thực hiện phép lặp, thường là chọn ô có chi phí vận chuyển nhỏ nhất
VD2: Xét bài toán vận tải với nghiệm ban đầu xác định bằng phương pháp Tây
10 Sau bước lặp 1 (xét ô (3,1)), bảng VT có dạng sau:
Ta có thể thấy: có đến 2 ô (2,1) và (3,3) trở thành ô rỗng → BT bị suy biến Do đó, giá trị 0 phải được gán vào 1 ô Trong trường hợp này, ô được chọn để gán giá trị 0 là ô (3,3) do có chi phí vận chuyển nhỏ nhất.
BÀI TOÁN VẬN TẢI ĐA NGHIỆM
Cũng như bài toán Quy hoạch tuyến tính, một bài toán vận tải sẽ có nhiều hơn một nghiệm tối ưu sau cùng, có tồn tại ít nhất 1 chỉ số cải tiến ứng với các ô rỗng bằng 0 Tại ô rỗng có chỉ số cải tiến bằng 0, nếu ta thực hiện điều chỉnh lượng hàng vận tải
11 theo đường đi tương ứng thì 1 kế hoạch vận tải mới sẽ được thực hiện mà không làm thay đổi tổng chi phí.
MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT
2.6.1 Bài toán vận tải với mục tiêu là cực đại
Có thể chuyển bài toán Max về bài toán Min
Các giá trị lợi nhuận vận chuyển đơn vị sẽ được biểu diễn bằng những giá trị âm trên bảng vận tải ở dạng chi phí
Các phương pháp giải được thực hiện theo trình tự như đã trình bày trong các phần trên
2.6.2 Bài toán vận tải với ràng buộc về đường đi
Trên thực tế, ta có thể gặp phải trường hợp việc vận chuyển giữa 1 cặp điểm nguồn – điểm đích nào đó là không thể (đường bị cấm, đường không tồn tại, đường không an toàn…) Để giải quyết trường hợp như vậy, chi phí vận chuyển đơn vị giữa cặp điểm nguồn – điểm đích đó sẽ được gán cho 1 giá trị dương cực cao (trường hợp lợi nhuận: giá trị âm cực thấp) và tiến hành giải như không có tồn tại những ràng buộc về đường đi Với cách thức thực hiện như vậy, trong bảng vận tải tối ưu sau cùng, ô tương ứng với cặp điểm nguồn – đích không khả dĩ sẽ không được gán giá trị (tức là có giá trị bằng 0)
THỰC HÀNH GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI
ĐỀ BÀI TOÁN 9-11, 9-12
3.1.1 Bài 9-11 lấy từ Sách Quantitative Analysis For Management, trang 382
Ban quản lý của Tập đoàn Executive Furniture quyết định mở rộng khả năng sản xuất tại nhà máy ở Des Moines và cắt giảm sản xuất tại các nhà máy khác Họ cũng nhận ra sự thay đổi trên thị trường cho các bàn làm việc của mình và điều chỉnh lại yêu cầu tại ba kho của mình a Sử dụng quy tắc góc tây bắc để thiết lập một lịch trình vận chuyển khả thi ban đầu và tính toán chi phí b Sử dụng phương pháp duyệt tuần tự (stepping-stone) để kiểm tra xem có một giải pháp nào có thể cải thiện không c Giải thích ý nghĩa của chỉ số cải tiến bằng 0 Ban quản lý có thể đưa ra quyết định gì với thông tin này? Chính xác thì giải pháp cuối cùng bị ảnh hưởng như thế nào?
Yêu cầu mới của kho Công suất nhà máy mới Albuquerque (A) 200 desks Des Moines (D) 300 desks Boston (B) 200 desks Evansville (E) 150 desks Cleveland (C) 300 desks Fort Lauderdale (F) 250 desks
3.1.2 Bài 9-12 lấy từ Sách Quantitative Analysis For Management, trang 382
Xây dựng bài toán vận chuyển trong Bài toán 9-11 dưới dạng chương trình tuyến tính và giải bằng phần mềm máy tính.
GIẢI BÀI TOÁN 9-11, 9-12
Bài toán vận tải đang ở dạng cân bằng (tổng cung = tổng cầu 0)
13 Thực hiện phương pháp góc Tây Bắc, xuất phát từ phía trên – bên trái:
‒ Điểm cung 1 có thể cung cấp 300, điểm cầu A cần 200 Như vậy, điểm cầu A sẽ tiêu thụ hết 200 của cung 1; điểm cầu A đã được đáp ứng đủ nhu cầu nên sẽ không cần cung của điểm 2 và 3
‒ Tiếp theo đi ngang qua ô (1; B), điểm nguồn 1 có khả năng cung cấp 300 và đã cung cấp 200 cho điểm cầu A Vì vậy, điểm nguồn 1 chỉ cung cấp được 100 cho điểm cầu B và điểm cầu C, D không thể được cung cấp từ điểm cung 1 nữa Từ ô (1; B), chúng ta đi xuống ô (2; B), ở đây điểm cầu B cần thêm 100 (200-100) và điểm cung 2 có khả năng cung cấp đến 150 nên điểm cầu 2 đã được đáp ứng đủ nên sẽ không cần thêm cung của điểm 3
‒ Đi ngang qua ô (1; C), như đã nói điểm cung 1 không thể cung cấp cho điểm cầu C nữa, chúng ta đi xuống ô (2; C), điểm cung 2 còn có thể cung cấp cho điểm cầu C là 50 (150-100) Đi xuống ô (3; C) điểm cung 3 cung cấp cho điểm cầu C được 250 vậy là điểm cầu C đã được đáp ứng nhu cầu
Vậy, chi phí vận chuyển là:
Kết quả bài toán khi áp dụng phương pháp Tây Bắc
3.2.2 Kiểm tra xem lời giải tối ưu chưa bằng phương pháp duyệt tuần tự
‒ Các ô rỗng cần khảo sát là (D, C), (E, A), (F, A), (F, B)
‒ Gán giá trị dương vào ô rỗng và các giá trị dương hoặc âm vào các ô liên quan nhưng không được cùng dấu trên cũng một hàng dọc hay hàng ngang
Chỉ số cải tiến ứng với ô (D, C) là: I DC = + 3 – 4 + 4 – 3 = 0
Chỉ số cải tiến ứng với ô (E,A) là: I EA = + 8– 4 + 4 – 5 = 3
15 Chỉ số cải tiến ứng với ô (F,A) là: I FA = +9 – 5+3 - 4 + 4 - 5 = 5
Chỉ số cải tiến ứng với ô (F,B) là: I FB = +FB – FC+EC – EB = +7-5+3-4 = 1
Vì chỉ số Iij của mọi ô rỗng đều có giá trị không âm nên lời giải ban đầu đã tối ưu, không có phương án vận chuyển nào cần điều chỉnh
Giải thích ý nghĩa của chỉ số cải tiến bằng 0 Ban quản lý có thể đưa ra quyết định gì với thông tin này? Chính xác thì giải pháp cuối cùng bị ảnh hưởng như thế nào?
Chỉ số cải tiến bằng 0 có ý nghĩa là tồn tại nhiều giải pháp tối ưu Dựa vào thông tin này ban quản lý có thể biết rằng còn giải pháp tối ưu khác có thể thực hiện Do đó, trong trường hợp giải pháp tối ưu ban đầu gặp sự cố, ban quản lý có thể thực hiện một giải pháp khác và vẫn đảm bảo đạt được kết quả tối ưu Điều này giúp giảm tác động, rủi ro cho doanh nghiệp
Giải pháp cuối cùng có thể thay đổi như sau: Sử dụng phương pháp duyệt tuần tự để tìm:
Ta có: 𝑥 𝐷𝐶 𝑚𝑖𝑛 = min(𝑥 𝐷𝐵 , 𝑥 𝐸𝐶 ) = min(100, 50) = 50 Do vậy:
𝑥 𝐸𝐵 = 100 + 50 = 150; 𝑥 𝐸𝐶 = 50 − 50 = 0 Vậy giải pháp cuối có thể thay đổi là:
Tổng chi phí của giải pháp mới = 3200
3.2.3 Xây dựng mô hình tuyến tính
Min 5xDA + 4xDB + 3xDC + 4xEA + 4xEB + 3xEC + 9xFA + 7xFB + 5xFC
Rb : xDA + xDB + xDC = 300 xEA + xEB + xEC = 150 xFA + xFB + xFC = 250 xDA + xEA + xFA = 200 xDB +xEB + xFB = 200 xDC + xEC + xFC = 30 xij ≥ 0 i= D, E, F ; j= A, B, C
3.2.4 Bài 9-12 (Giải bài toán 9-11 bằng phần mềm excel)
Bước 1: Nhập các dữ liệu vào Excel
‒ ô F9 được tính bằng công thức =SUM(C9:E9)
‒ ô F10 được tính bằng công thức =SUM(C10:E10)
‒ ô F11 được tính bằng công thức =SUM(C11:E11)
‒ ô C12 được tính bằng công thức =SUM(C9:C11)
‒ ô D12 được tính bằng công thức =SUM(D9:D11)
‒ ô E12 được tính bằng công thức =SUM(E9:E11
‒ Tổng chi phí tính bằng công thức =SUMPRODUCT(C2:E4; C9:E11)
Bước 2: Vào Data→chọn Solver→hiện lên bảng→nhập dữ liệu vào bảng→chọn Add
- Bảng hiện lên như sau:
- Bảng sau khi đã nhập dữ liệu cần thiết:
Bước 3: Sau khi nhập xong dữ liệu chọn Solve -> chọn Answer -> chọn OK
Bước 4: Kết quả sẽ được hiển thị ở ô tô màu vàng Xem kết quả chi tiết ở sheet Answer
3.2.5 Phân tích độ nhạy (rủi ro)
Nhóm đã giải bài toán trên bằng phần mềm Excel và thu được kết quả như sau:
Hình 1: Lượng hàng hóa tối ưu cho từng kho để chi phí thấp nhất 3.2.5.1 Hàm mục tiêu (Variable Cells)
Hình 2: Các giá trị hàm mục tiêu của bài toán
- Bài toán trả về với kết quả tối ưu là kho Desmonies cung cấp Albuquerque 200 sản phẩm, cung cấp Boston 50 sản phẩm và cung cấp cho Cleveland 50 sản phẩm Cùng với đó, Boston sẽ nhận 150 sản phẩm từ Evansville, Cleveland sẽ nhận 250 sản phẩm từ Fort Lauderdale
- Với kết quả trên, hàm mục tiêu là cực tiểu chi phí:
- Ở cột Reduced Cost, lượng hàng Evansville cung cấp Albuquerque tăng 3 đơn vị, Fort Lauderdale cung cấp Albuquerque tăng 2 đơn vị và cung cấp Boston tăng 1 đơn vị
21 - Cột Allowable Increase and Allowable Decrease cho biết giải pháp hiện tại vẫn tối ưu nếu chi phí thay đổi trong khoảng này Theo đó ta có các khoảng giới hạn để giữ nguyên kết quả trên:
+ Chi phí hàng từ kho Desmonies đến Albuquerque tăng giảm trong khoảng (-∞;2) + Chi phí hàng từ kho Desmonies đến Boston tăng giảm trong khoảng (0;1)
+ Chi phí hàng từ kho Desmonies đến Cleveland tăng giảm trong khoảng (-1;0) + Chi phí hàng từ kho Evansville đến Boston tăng giảm trong khoảng (-∞;0) + Chi phí hàng từ kho Fort Lauderdale đến Cleveland tăng giảm trong khoảng (-∞;1)
Ví dụ: Nếu chi phí hàng từ kho Desmonies đến Albuquerque tăng 1 đơn vị (nằm trong khoảng tăng giảm cho phép) thì kết quả cũ vẫn tối ưu
- Tuy nhiên, khi chi phí trên tăng 5 đơn vị (nằm ngoài khoảng tăng giảm cho phép), lúc này kết quả trên không còn tối ưu nữa và chúng ta phải tìm kiếm một giải pháp mới
Nhóm tác giả xây dựng giải pháp mới như sau:
Hình 3: Lượng hàng hóa tối ưu khi chi phí thay đổi
- So sánh giữa Hình 1 và Hình 3, chúng ta có thể nhận thấy được những thay đổi như sau:
22 + Lượng hàng từ kho Desmonies đến Albuquerque giảm 200 đơn vị (giá trị mới là 0) + Lượng hàng từ kho Desmonies đến Cleveland tăng 200 đơn vị (giá trị mới là 250)
+ Lượng hàng từ kho Fort Lauderdale đến Albuquerque tăng 200 đơn vị (giá trị mới là 200)
+ Lượng hàng từ kho Fort Lauderdale đến Cleveland giảm 200 đơn vị (giá trị mới là 50)
- Giả sử, chi phí hàng từ kho Desmonies đến Albuquerque tăng 5 đơn vị và từ kho Desmonies đến Cleveland tăng 1 đơn vị Nhóm sẽ sử dụng quy tắc 100% để kiểm tra xem liệu kết quả hiện tại có tối ưu hay không
- Nội dung quy tắc như sau:
+ Tất cả các hệ số của hàm mục tiêu thay đổi, tính tổng % tăng cho cho phép và % giảm cho phép Nếu tổng % không lớn hơn 100, phương án tối ưu không thay đổi
𝐴𝑙𝑙𝑜𝑤𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐶ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 ≤ 100 - Áp dụng quy tắc 100% cho bài toán:
- Tổng lại ta được 125% > 100%, vậy lượng hàng hiện tại không còn tối ưu nữa và cần tiến hành giải lại bài toán
Hình 4: Các giá trị hàm ràng buộc của bài toán
23 Ràng buộc cung và cầu hàng hóa có giá trị cuối cùng (Final Value) bằng với ràng buộc về số lượng hàng hóa (Constraint R.H Side) Điều này thể hiện là hàng hóa các kho cung cấp đáp ứng đủ nhu cầu các địa điểm bán
Shadow price là giá trị cải thiện của hàm tối ưu ứng với mỗi đơn vị tăng thêm ở vế phải của ràng buộc Với kết quả trên, ta dễ dàng rút ra nhận xét: Nếu tăng 1 đơn vị hàng hóa từ kho Desmonies đến Albuquerque thì chi phí tăng 3 đơn vị và tương tự với các dòng khác trong cột Shadow Price
ĐỀ BÀI TOÁN 9-21
Đề bài: Một công ty sản xuất bàn nội thất có cơ sở sản xuất tại 3 thành phố Reno,
Denver và Pittburgh Những chiếc bàn sau khi sản xuất sẽ được chuyển đến ba cửa hàng bán lẻ ở Phoenix, Cleveland và Chicago Ban quản lý mong muốn phát triển một kế hoạch phân phối có thể đáp ứng được nhu cầu của các của hàng bán lẻ với chi phí thấp nhất có thể Chi phí vận chuyển trên mỗi đơn vị từ mỗi nguồn đến từng điểm đến được hiển thị trong bảng sau:
24 Nguồn cung sẵn có là 120 chiếc từ Reno, 200 chiếc từ Denver và 160 chiếc từ Pittsburgh Phoenix có nhu cầu là 140 đơn vị, Cleveland có nhu cầu là 160 đơn vị và Chicago có nhu cầu là 180 đơn vị Cần vận chuyển bao nhiêu sản phẩm từ mỗi cơ sở sản xuất đến từng cửa hàng bán lẻ nếu muốn chi phí vận chuyển nhỏ nhất? Tổng chi phí là bao nhiêu?
GIẢI BÀI TOÁN 9-21
3.4.1 Tìm lời giải ban đầu
Tìm lời giải ban đầu bằng phương pháp góc Tây Bắc
Ta có: Tổng cung = Tổng cầu = 480
- Theo phương pháp Tây Bắc ta có bảng sau:
Kho Phoenix 1 Cleveland 2 Chicago 3 Tổng cung
3.4.2 Tìm nghiệm tối ưu bằng phương pháp duyệt tuần tự
Nghiệm ban đầu được tìm theo phương pháp góc Tây Bắc
‒ Ta có: I12 = 4; I13 = 9; I31= 6; I32 = -2 → Suy ra bài toán chưa tối ưu
‒ Ô (3,2) là ô rỗng duy nhất mà tại đó điều kiện tối ưu bị vi phạm
Kho Phoenix 1 Cleveland 2 Chicago 3 Tổng cung
‒ Xét m + n – 1 = 5 khác tổng số ô chọn → Bài toán suy biến
‒ Ta có bảng mới như sau:
Kho Phoenix 1 Cleveland 2 Chicago 3 Tổng cung
→ Suy ra bài toán đạt tối ưu
Kho Điểm bán lẻ Tổng cung
3.4.4 Giải bài toán bằng phần mền Excel
Bước 1: Nhập các dữ liệu vào Excel Trong đó:
- ô F9 được tính bằng công thức =SUM(C9:E9) - ô F10 được tính bằng công thức =SUM(C10:E10) - ô F11 được tính bằng công thức =SUM(C11:E11)
27 - ô C12 được tính bằng công thức =SUM(C9:C11) - ô D12 được tính bằng công thức =SUM(D9:D11) - ô E12 được tính bằng công thức =SUM(E9:E11 - Tổng chi phí tính bằng công thức =SUMPRODUCT(C2:E4; C9:E11)
Bước 2: Vào Data→chọn Solver→hiện lên bảng→nhập dữ liệu vào bảng→chọn Add
- Bảng hiện lên như sau:
28 - Bảng sau khi đã nhập dữ liệu cần thiết:
Bước 3: Sau khi nhập xong dữ liệu chọn Solve -> chọn Answer -> chọn OK
Bước 4: Kết quả sẽ được hiển thị ở ô tô màu vàng Xem kết quả chi tiết ở sheet Answer
3.4.5 Phân tích độ nhạy (rủi ro)
Giải giải bài toán trên bằng phần mềm Excel và thu được kết quả như sau:
Lượng hàng hóa tối ưu cho từng kho để chi phí thấp nhất 3.4.5.1 Hàm mục tiêu (Variable Cells)
Hình 2: Các giá trị hàm mục tiêu của bài toán
- Bài toán trả về với kết quả tối ưu là kho Denver cung cấp Phoenix 20 sản phẩm, cung cấp Chicago 180 sản phẩm Cùng với đó, Phoenix sẽ nhận 120 sản phẩm từ Reno, Cleveland sẽ nhận 160 sản phẩm từ Pittsburgh
- Với kết quả trên, hàm mục tiêu là cực tiểu chi phí:
- Ở cột Reduced Cost, lượng hàng Reno cung cấp Cleveland tăng 4 đơn vị và cung cấp Chicago tăng 8 đơn vị, Pittsburgh cung cấp Phoenix tăng 8 đơn vị và cung cấp Chicago tăng 1 đơn vị
- Cột Allowable Increase and Allowable Decrease cho biết giải pháp hiện tại vẫn tối ưu nếu chi phí thay đổi trong khoảng này Theo đó ta có các khoảng giới hạn để giữ nguyên kết quả trên:
31 + Chi phí hàng từ kho Reno đến Phoenix tăng giảm trong khoảng (-∞;2) + Chi phí hàng từ kho Denver đến Phoenix tăng giảm trong khoảng (2;8) + Chi phí hàng từ kho Denver đến Chicago tăng giảm trong khoảng (-∞;1)
+ Chi phí hàng từ kho Pittsburgh đến Cleveland tăng giảm trong khoảng (-∞;1)
Ví dụ: Nếu chi phí hàng từ Reno đến Phoenix tăng 1 đơn vị (nằm trong khoảng tăng giảm cho phép) thì kết quả cũ vẫn tối ưu
- Tuy nhiên, khi chi phí trên tăng 5 đơn vị (nằm ngoài khoảng tăng giảm cho phép), lúc này kết quả trên không còn tối ưu nữa và chúng ta phải tìm kiếm một giải pháp mới
Nhóm tác giả xây dựng giải pháp mới như sau:
Hình 3: Lượng hàng hóa tối ưu khi chi phí thay đổi
- So sánh giữa Hình 1 và Hình 3, chúng ta có thể nhận thấy được những thay đổi như sau:
+ Lượng hàng từ kho Reno đến Phoenix giảm 120 đơn vị (giá trị mới là 0) + Lượng hàng từ kho Reno đến Cleveland tăng 120 đơn vị (giá trị mới là 120) + Lượng hàng từ kho Denver đến Phoenix tăng 120 đơn vị (giá trị mới là 140) + Lượng hàng từ kho Denver đến Chicago giảm 120 đơn vị (giá trị mới là 60)
32 + Lượng hàng từ kho Pittsburgh đến Cleveland giảm 120 đơn vị (giá trị mới là 40) + Lượng hàng từ kho Pittsburgh đến Chicago tăng 120 đơn vị (giá trị mới là 120)
- Giả sử, chi phí hàng từ kho Phoenix đến Reno tăng 5 đơn vị và từ kho Phoenix đến Denver tăng 1 đơn vị Nhóm sẽ sử dụng quy tắc 100% để kiểm tra xem liệu kết quả hiện tại có tối ưu hay không
- Nội dung quy tắc như sau:
+ Tất cả các hệ số của hàm mục tiêu thay đổi, tính tổng % tăng cho cho phép và % giảm cho phép Nếu tổng % không lớn hơn 100, phương án tối ưu không thay đổi
𝐴𝑙𝑙𝑜𝑤𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐶ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 ≤ 100 - Áp dụng quy tắc 100% cho bài toán:
- Tổng lại ta được 58% < 100%, vậy lượng hàng hiện tại là tối ưu
Ràng buộc cung và cầu hàng hóa có giá trị cuối cùng (Final Value) bằng với ràng buộc về số lượng hàng hóa (Constraint R.H Side) Điều này thể hiện là hàng hóa các nhà máy cung cấp đáp ứng đủ nhu cầu các địa điểm bán lẻ
Shadow price là giá trị cải thiện của hàm tối ưu ứng với mỗi đơn vị tăng thêm ở vế phải của ràng buộc Với kết quả trên, ta dễ dàng rút ra nhận xét: Nếu tăng 1 đơn vị
33 hàng hóa từ địa điểm bán lẻ PHOENIX thì chi phí tăng 12 đơn vị và tương tự với các dòng khác trong cột Shadow Price
Nếu chúng ta tăng vế phải của ràng buộc lên 1 đơn vị hàng hóa, giá trị của hàm tối ưu sẽ tăng theo chi phí tương ứng với số liệu Ngược lại, nếu chúng ta giảm vế phải của ràng buộc nhu cầu 1 đơn vị hàng hóa , giá trị của hàm tối ưu sẽ giảm đi chi phí tương ứng
Quan sát kết quả ở Hình 4, xuất hiện 2 cột là Allowable Increase và Allowable Decrease, các giá trị tại 2 cột này thể hiện khoảng lượng hàng hóa có thể áp dụng Shadow Price
Ví dụ: Lượng hàng từ PHOENIX nếu tăng giảm trong khoảng (-20;0), tức khoảng giá trị là (120;140) thì giá trị chi phí là 12 cho mỗi đơn vị hàng hóa Nhưng nếu vượt qua khoảng trên (giả sử tăng lượng hàng thêm 50 là 190) thì giá trị Shadow price không dùng được, và tương ứng với các dãy ràng buộc còn lại Lưu ý rằng Shadow price có giá trị là 0 đối với ràng buộc DENVER, được áp dụng cho đến khi số lượng hàng hóa tăng nhiều hơn 1 đơn vị
Nhìn chung, bài toán vận tải là một trong những vấn đề quan trọng trong lĩnh vực quản lý, tối ưu hóa hoạt động vận chuyển và phân phối hàng hóa Ý nghĩa của bài toán này không chỉ giới hạn ở việc tìm ra lời giải tối ưu cho việc vận tải mà còn mở ra nhiều cơ hội và thách thức trong nghiên cứu và ứng dụng thực tế Khi việc thiết lập bài toán vận tải, các phương pháp như góc Tây Bắc, chi phí bé nhất và xấp xỉ Vogel đã chứng minh được tính hiệu quả và linh hoạt của chúng Góc Tây Bắc và chi phí bé nhất đều là các phương pháp đơn giản giúp tìm ra lời giải ban đầu cho bài toán Trong khi đó, xấp xỉ Vogel mang lại sự gần đúng tốt hơn bằng cách tính toán sai số giữa các giá trị tối ưu và lời giải gần đúng Ngoài ra, để đạt được nghiệm tối ưu, ta có thể áp dụng các phương pháp như duyệt tuần tự và phân phối cải tiến Phương pháp duyệt tuần tự dễ thực hiện nhưng có thể tốn nhiều thời gian, ngược lại thì phân phối cải tiến cho kết quả tối ưu nhanh chóng hơn thông qua việc cải thiện từng bước dịch chuyển hàng hóa Xét trường hợp bài toán vận tải gặp phải suy biến, cần có biện pháp xử lý một cách linh hoạt và chính xác để tránh gây ra sai sót trong quá trình giải quyết Đối với bài toán vận tải đa nghiệm thì đặt ra thách thức về việc tối ưu hóa nhiều mục tiêu cùng một lúc, đòi hỏi sự đánh đổi và cân nhắc giữa các yếu tố
Sau khi đề ra các cơ sở lý thuyết, nhóm em đã thực hành áp dụng mô hình vận tải để giải quyết các bài toán thực tế nhằm tính toán chi phí vận chuyển từ điểm cung đến cầu, các chỉ số cải tiến Từ đó giúp nhà quản lý có thể ra quyết định lựa chọn giải pháp hiện tại, xem xét phân bổ tài nguyên, đánh giá các chi phí và rủi ro đem lại Việc sử dụng các phần mềm giải toán cũng hỗ trợ quá trình tính toán nhanh và hiệu quả hơn Đồng thời, phân tích rủi ro, độ nhạy là thiết yếu giúp tăng cường hiệu suất quy trình giải quyết bài toán vận tải, tạo ra các giải pháp thực tế và hiệu quả trong sản xuất và kinh doanh
