chủ đề 26 bí quyết tính thể tích tỉ số thể tích phần bù thể tích

VÍ DỤ MINH HỌADạng 1: Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ Ví dụ 1: THPT Kim Liên- Năm 2018 Cho khối chóp S ABCD.. Hình chiếu vuông góc của Strên mặt phẳng ABCDlà đ

CHỦ ĐỀ 26: BÍ QUYẾT TÍNH THỂ TÍCH – TỈ SỐ THỂ TÍCH – PHẦN BÙ THỂ TÍCH

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Công thức tính thể tích

Thể tích khối chóp: . 1 ABCD

3

S ABCD

V  SH S (một phần ba tích chiều cao và diện tích đáy) Thể tích khối lăng trụ: V ABCD A B C D ' ' ' 'AH S A B C D' ' ' ' (tích chiều cao nhân diện tích đáy)

2 Công thức tỉ số thể tích:

Cho chóp tam giác S ABCD có 3 điểm M N P thuộc các cạnh , , SA SB SC thì , , .

.

S MNP

S ABC

3 Tư duy tính phần bù thể tích:

Khi tính thể tích một khối đa điện phức tạp mà khó (không) xác định được chiều cao và diện tích đáy thì

ta xem khối đa diện này nằm trong một khối chóp, một khối lăng trụ nào Sau đó tính khối chóp, khối lăng trụ đó trừ đi các hình cơ bản còn lại (không thuộc khối đa diện cần tính)

B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ

Ví dụ 1: (THPT Kim Liên- Năm 2018) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy

AD và BC Biết AD2a, AB BC CD a   Hình chiếu vuông góc của Strên mặt phẳng ABCD

là điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn HD3HA SD, tạo với đáy một góc 45 Tính thể tích 0 V của khối chóp S ABCD

A 3 3 3

4

a

8

a

8

a

8

a

V 

Giải

Gọi M là trung điểm của AD

Ta có: BCAM a và BC/ /AM nên tứ giác ABCM là hình

bình hành

Gọi K là hình chiếu của C lên AD

Ta có:

2

CK  a    

  Diện tích hình thang ABCD là:

2

a

S



Xét tam giác vuông SHD có SH tan 450 1

a

Thể tích khối chóp S ABCD là: 1 1 3 3 2 3

3 ABCD 3 2 4

a a

3 3

8

a

 

 Chọn C

Mở rộng

ABCD còn được gọi là nửa lục giác đều cạnh a, có 2 góc ở đáy nhỏ là 120 và 2 góc ở đáy lớn là 0 60 0 Các tam giác AMB BMC CMD, , là các tam giác đều cạnh a

Ví dụ 2 (THPT Hàn Thuyên – Năm 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt

bên SAB là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối chóp là

A 3 3

6

2

3

a

3

Giải

Gọi H là trung điểm củaAB Vì tam giác SAB là tam giác đều và

nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ABCD

Ta có:

2

SH  a    

  2

ABCD

Thể tích khối chóp là:

3 2

 Chọn A

Tính chất

   

   

 ,d















Ví dụ 3: (THPT Trần Phú – Năm 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng SAB và  SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng  SCD và mặt phẳng đáy bằng 45 Thể tích tứ diện 0 SBCD bằng

A

3

2

a

B a3

C

3

3

a

D

3 6

a

Giải

Vì    











 

Ta có: SAD vuông cân tại A

2

;

2

BCD

a

SA AD a S

Thể tích tứ diện SBCD bằng

2 3

.a

 Chọn D

Tính chất

     

,









Áp dụng  SAABC

Ví dụ 4 (THPT Lê Hồng Phong – Năm 2018) Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a, đường chéo AB'a 2 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

9

a

12

a

6

a

4

a

V 

Giải

Ta thấy ABB A' ' là hình chữ nhật  AA'B' vuông tại A'

AA  AB  A B

 1

.sin

2

ABC

2

sin 60

a a

Thể tích khối lăng trụ là:

2 3 3 3 '.S

ABC

 Chọn D

Ghi nhớ:

Hình lăng trụ tam giác đều là lăng trụ có 2 đáy là tam giác đều ABC A B C ' ' ', các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy

Ví dụ 5 (Chuyên Thái Bình – Năm 2018) Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

A x5cm B x9cm C x8cm D x10cm

Giải

Thể tích khối lăng trụ được tạo thành là: V S FDH.AD

Thể tích đạt GTLN khi S NAD lớn nhất Áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác ta có:

      15 15  15  15 30 2  

NAD

Hay S  15 15  x 2 2x 15

Xét hàm số

  15  2 2 15 15  15  2 15

15 15 2 152

27

    



(Áp dụng BĐT  

 

3

125 27

a b c abc    f x 

 Dấu bằng xảy ra

 

15 x2x15 x10 cm

 Chọn D

Bình luận

Ngoài cách áp dụng bất đẳng thức Cô si dạng biến đổi tổng thành tích ta có thể sử dụng chức năng CALC của máy tính để tìm giá trị f x và nhận thấy   f max  f  10

Ví dụ 6: (THPT Lê Quý Đôn – Năm 2018) Cho tứ diện có ABCD có AD BC  6cm;

  7

AC BD  cm và AB CD 3cm Thể tích khối tứ diện là

A 3 10 2

2 cm B 2 10 2

3 cm

C 10 2

2 cm D 10 2

3 cm

Giải

Dựng hình chóp A B C D ' ' ' sao cho , ,B C D lần lượt là trung

điểm của ' '; ' '; ' 'C D B D B C

Khi đó 1 ' '

2

AC BD  B D suy ra tam giác AB D' ' vuông tại

A hay AB'AD'

Tương tự suy ra AB AC AD đôi một vuông góc '; '; '

Ta có: AB' b; AC' c; AD' d thì

2 2 2 2



Suy ra . 1 ' ' ' 1 ' ' '

24bcd 3

 Chọn B

Tổng quát

Cho tứ diện có AD BC a cm   ; AC BD b cm    và AB CD c cm   

Khi đó 1  2 2 2  2 2 2  2 2 2

6 2

V  a b  c b c  a a c  b

Bình luận

Phương pháp tính tỉ số thể tích được sử dụng hiệu quả khi tính thể tích của hình chóp SA B C' ' khó dựng chiều cao hoặc khó tính diện tích đáy

Dạng 2: Tỉ số thể tích

Cho hình chóp S ABC có 3 điểm M N P thuộc 3 cạnh , , SA SB SC thì ta có công thức, ,

SMNP

SABC

V SA SC SC

Ví dụ 7: (THPT Lý Thái Tổ – Năm 2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có thể tích bằng 72 Gọi

M là trung điểm của SA và N là điểm thuộc cạnh SC sao cho NC2NS Tính thể tích V của khối đa diện MNABC

A V 48 B V 30

C V 24 D V 60

Giải

Ta có: .

.

1 1 1

2 3 6

S BMN

S ABC

.

1

.72 12

6

S BMN

V

72 12 60

MNABC

V

 Chọn D

Bình luận

Phương pháp tỉ số thể tích được sử dụng hiệu quả khi tính thể tích của hình chóp SA B C' ' ' khó dựng

chiều cao hoặc khó tính diện tích đáy

Ví dụ 8: (THPT Thanh Miện – Năm 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại

, , 3

B AB a BC a  biết SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy Một mặt phẳng   đi qua A, vuông góc với SC tại H, cắt SB tại K Tính thể tích khối chóp S AHK theo a.

A

3 3

30

a

B

3

5 3 60

a

C

3 3 60

a

D

3 3 10

a

Giải

Ta có: AC a2a 32 2a

2

SB

2 2

1 2 2

 

     

Tương tự có:

 2

SC  a  a a

2 2

1 5 5

 

    

.AKH

.

1 1 1

5 2 10

S

S ABC

3

.

1 1 3 3

3 2

S ABC

S AKH

a a a

V

 Chọn C

Bình luận

Đây là một bài toán quen thuộc, dựa nhiều vào kinh nghiệm để đựng được đường vuông góc thứ 2 là AK

(ngoài AH là đường vuông góc thứ nhất) BC AB

BC SA











Lại có AK SB AK SBC

Ví dụ 9: (Chuyên Lê Quý Đôn – Năm 2017) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD và  ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng  45 Mặt phẳng0

  qua A vuông góc với SC và chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Gọi V là thể tích của1

khối đa diện có chứa điểm S và V thể tích của khối đa diện còn lại Tìm tỉ số 2 1

2

V

V ?

1

4 5

Vì SCAMNP SC AM DC SAD DCMA

SAC

 vuông cân tại

AC a a a

SD SA AD  a a a

Ta có:

2

SA SM SD



2

SA SN SC

Do đó .

.

1

3

S AMN

S ADC

Do tính chất đối xứng

2

 Chọn C

Chú ý

Công thức tính tỉ số thể tích chỉ có thể áp dụng cho tam giác nên ta không thể tính SAMNP

SADCB

V

V được mà phải

chia thành 2 tỉ số chóp tam giác như trên

Ví dụ 10: (THPT Lương Thế Vinh – Năm 2017) Cho khối chóp S ABCD có thể tích V Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA MC Thể tích khối chóp , N ABCD là

A

6

V

B

4

V

C

2

V

D

3

V

Giải

Vì NCNM mà MA MS nên

2

2 2d ABCD 4d ABCD

Thể tích khối chóp N ABCD là 1  ;  

V  d N ABCD S

1 1

V

 Chọn B

Bình luận

Ngoài việc dùng công thức tỉ số thể tích ta có thể thực hiện các phép so sánh khoảng cách chiều cao để

tìm tỉ số thể tích.

Ví dụ 11: (THPT Trần Hưng Đạo– Năm 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C    Gọi M là trung điểm của BB, N là điểm trên cạnh CC sao cho CN 3NC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích V và 1 V như hình vẽ.2

Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

2

5

3

V

1 2

3 2

V

1 2

4 3

V

1 2

7 5

V

V 

Giải

Ta có:

2

5

8

V  BB d BB CC  

Do đó 2

V  V   V

(với V V ABC A B C.   ) 5

12V



 Suy ra 1 1

2

V

V

 Chọn D

Công thức tính nhanh

1

2

1 0,5 0, 25 7

0 0,5 0,75 5

AA

V A A B M C N



    



Công thức tính nhanh

1

2

V A A B M C N

    



Ví dụ 12 (THPT Trần Phú– Năm 2017) Cho tứ diện ABCD có

BAC CAD DAB   AB a AC  a AD a thể tích khối đa diện đó bằng

A 3 2 3

2

2

a

Giải

Trên AC lấy E, trên AD lấy F sao choAEAF a Khi đó ABEF là tứ diện đều cạnha

Thể tích khối tứ diện đều ABEF là: 1 1 6 2 3 3 2

Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD

Ta có

1

 Chọn D

Dạng 3: Phần bù thể tích khối chóp, khối lăng trụ phức tạp

Ví dụ 13: (Chuyên Thái Bình– Năm 2018) Cho hình hộp ABCD A B C D     có thể tích là V Tính thể tích của tứ diện ACB D  theo V

A

6

V

B

4

V

C

5

V

D

3

V

Giải

Khối chóp ACB D  nằm lửng lơ trong hình hộp nên việc xác

định đâu là chiều cao, đâu là diện tích đáy rất phức tạp

Để đơn giản hóa việc này thì ta sẽ dùng phương pháp phần

bù, ta sẽ tính thể tích khối hộp ABCD A B C D     to ở bên

ngoài trừ đi các khối chóp xung quanh để tìm thể tích khối

chóp ACB D 

Ta thấy V ACB D  V V A AB D.   B B B AC.   V D ACD. V C A D C  .

Để dễ dàng tính thể tích ta sẽ tiến hành chuẩn hóa, coi hình

hộp là hình lập phương cạnh a khi đó: V a3

Thể tích các khối chóp xung quanh đều bằng

3

6 6



4

6 3

ACB D

V   V 

 Chọn D

Phân tích

Việc chuẩn hóa dựa trên nền tảng tính chất "nếu tỉ số thể tích đúng thì nó đúng với mọi hình hộp" mà hình lập phương là hình hộp đặc biệt nên tỉ số thể tích cũng đúng với hình lập phương

Ví dụ 14: (THPT Yên Lạc – Năm 2017) Cho khối lăng trụ đều ABC A B C    và M là trung điểm của cạnh AB Mặt phẳng B C M   chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích của hai phần đó

A 7

6

1

3 8

Giải

Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng B C M   và khối chóp là tứ giác B C NM  Khi đó thiết diện chia khối lăng trụ thành hai phần là BCNMB C  và

AMNA B C  

Gọi S là giao điểm của C N với AA

Ta có . . 1 1 1 . 1

2 2 2 8

SAMN

SA B C

V    SA SB SC   

8

V V   

V    V    SA S   

7 1

.2 A

8 3 A S A B C  



.

12 AA S A B C   12 ABC A B C  

A

5 12

V   V   

 Do đó tỷ số thể tích của hai phần là 7 : 5 7

12 125

 Chọn A

Tính chất

3 đường thẳng BM, CN, AA' là 3 giao tuyến của 3 mặt phẳng B C M' '  , A ACC' ' , A ABB nên chúng' ' đồng quy tại S

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng 2

A 4 2

Câu 2 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V Gọi M, N, P , Q lần lượt là

trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ

A

27

V

B 4

27

V

C 2

81

V

D

9

V

Câu 3 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),

đáy (ABCD) là hình thang vuông tại A và B cóAB a BC a ,  BiếtAD2 , a SA a 3 Tính thể tích của khối S.BCD theo a

A 2 3a 3 B 3 3

6

3

4

a

Câu 4 (THPT Thanh Miện - 2018) Cho hình chóp S ABC có ASB CSB 600, ASC 900,

, 3

SA SB a SC   a Tính thể tích của khối chóp S ABC

A 3 2

8

4

12

3

a

Câu 5 (THPT Thanh Miện - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích

bằng 1 Trên cạnh SC lấy điểm E sao choSE2EC Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD

3

6

3

3

V 

Câu 6 (THPT Thanh Miện - 2018) Tính thể tích của khối lập phương ABCD A B C D     biết độ dài đoạn thẳngAC2a

A 2 3 2

3

3 3

a

Câu 7 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 6 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

A

3

6

6

6 4

6 3

Câu 8 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh

2

AB a,AD a Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy SC a 14 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

A V 6a3 B V 3a3 C V 2a3 D V a3

Câu 9 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018) Hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều có

2 ;

AB BC CA   a SA ABC , và SA a 3 Thể tích hình chóp S ABC bằng:

3 2 12

a

C

3 4

a

D

3 3 4

a

Câu 10 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018) Hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy có độ dài a Mặt phẳng  P qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại ; ; B C D   cho SB2BB Tỉ số giữa thể tích hình chóp S AB C D    và thể tích hình chóp S ABCD bằng

A 2

4

1

4 27

Câu 11 (Chuyên Hùng Vương - 2018) Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 Thể

tích khối lăng trụ đã cho bằng

A 9 3

27 3

27 3

9 3 2

Câu 12 (Chuyên Hùng Vương - 2018) Cho hình tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a Tính thể tích V của khối chóp đã cho

A V 4 7a3 B

3

4 7 9

a

3 4 3

a

3

4 7 3

a

V 

Câu 13 (Chuyên Hùng Vương - 2018) Cho khối hộp ABCD A B C D     có thể tích bằng 2110 Biết

, 3

A M MA DN  ND vàCP2PC Mặt phẳng MNP chia khối hộp thành hai khối đa điện Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A 7385

5275

8440

5275 6

Câu 14 (THPT Thạch Thành 1 - 2018) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh đáy bằng 3a Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp biết tam giác SAB vuông

A 3

3

9 3 2

a

C

3 9 2

a

D 3

9a 3

Câu 15 (THPT Lý Thái Tổ - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C    Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của AA BB,  Tính tỉ số MNC ABC

MNA B C

V V



  

Câu 16 (THPT Lý Thái Tổ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có thể tích bằng 72 Gọi M là trung điểm của SA và N là điêm thuộc cạnh SC sao cho NC2NS Tính thể tích V của khối đa diện MNABC

Câu 17 (THPT Lý Thái Tổ - 2018) Tính thể tích V của hình lập phương có độ dài đường chéo bằng 6.

Câu 18 (THPT Yên Lạc 2 - 2018) Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội

tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập

phương) Biết các cạnh của khối lập phương bằng a Hãy tính thể

tích của khối tám mặt đều đó:

A

3

4

6

a

C

3

12

a

D

3 8

a

Câu 19 (THPT Phạm Công Bình - 2018) Cho hình lăng trụ tứ giác

ABCD A B C D    có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng 3a Tính chiều cao h của hình3 lăng trụ đã cho

A

3

a

Câu 20 (THPT Phạm Công Bình - 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABC

3 2

a

3 3 2

a

Câu 21 (THPT Sơn Tây - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V, thể tích của khối đa diện có đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD bằng V' Tính tỉ số V'

V .

A ' 1

2

V

' 1 8

V

' 1 4

V

' 3 4

V

V 

Câu 22 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018) Cho tứ diện OABC có các cạnh OA OB OC đôi một, , vuông góc với nhau vàAB5, BC6, CA7 Thể tích V của tứ diện OABC là

Câu 23 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018) Một hình chóp tam giác có đường cao bằng 100cm và các

cạnh đáy bằng 20cm, 21cm, 29cm Thể tích khối chóp đó bằng

A 7000cm 3 B 6213cm3 C 6000cm3 D 7000 2cm3

Câu 24 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018) Cho hình hộp ABCD A B C D     có các cạnh

3, 4

AB AD , AA ' 5, thể tích lớn nhất của hình hộp trên là

Câu 25 (THPT Lê Hồng Phong - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

2

SD a Hình chiếu của S lên (ABCD) là trung điểm H của AB Thể tích khối chóp S ABCD là

A

3 6

6

a

B

3 3 6

a

C

3 2 2

a

D

3 6 2

a

Câu 26 (THPT Lê Hồng Phong - 2018) Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a, đường chéo AB'a 2 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho

A

3 3

9

a

3 3 12

a

3 3 6

a

3 3 4

a

V 

Câu 27 (THPT Lê Hồng Phong - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, 1

2

AB BC  AD a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ACD

A

3

3

S ACD

a

3

2

S ACD

a

6

S ACD

a

6

S ACD

a

Câu 28 (THPT Bình Xuyên - 2018) Cho khối chóp S ABCD có đường cao SA và đáy ABCD là hình thoi Thể tích khối chóp đã cho được tính theo công thức nào sau đây?

A 1 2

1

2 1

2SA AB

Câu 29 (THPT Bình Xuyên - 2018) Cho khối hộp ABCD A B C D     có thể tích bằng 24a Tính thể3 tích V của khối chóp A ABCD ?

2

12

4

8

V  a

Câu 30 (THPT C Bình Lục - 2018) Cho khối bát diện đều cạnh a Tính thể tích V của khối bát diện đều

đó

6

a

3

a

12

a

8

a

V 

Câu 31 (THPT C Bình Lục - 2018) Tính thể tích V lập phương ABCD A B C D    , biết A C a  3

A V 3 3a3 B

3

3 6 4

a

3 3

a

Câu 32 (THPT C Bình Lục - 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Mặt phẳng BDC chia khối lập phương thành hai phần Tính tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn

A 5

1

1

1 6

Câu 33 (THPT Nam Trực - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết

,

SA SB SC SD  , SAB  SCD Tổng diện tích hai tam giác SAB SCD bằng , 7 2

10

a

Thể tích khối chóp S ABCD là