chủ đề 26 bí quyết tính thể tích tỉ số thể tích phần bù thể tích

VÍ DỤ MINH HỌADạng 1: Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ Ví dụ 1: THPT Kim Liên- Năm 2018 Cho khối chóp S ABCD.. Hình chiếu vuông góc của Strên mặt phẳng ABCDlà đ

CHỦ ĐỀ 26: BÍ QUYẾT TÍNH THỂ TÍCH – TỈ SỐ THỂ TÍCH – PHẦN BÙ THỂ TÍCHA KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Công thức tính thể tích

Thể tích khối chóp: . 1 ABCD3

B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ

Ví dụ 1: (THPT Kim Liên- Năm 2018) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy

AD và BC Biết AD2a, AB BC CD a   Hình chiếu vuông góc của Strên mặt phẳng ABCDlà điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn HD3HA SD, tạo với đáy một góc 45 Tính thể tích 0 V của khốichóp S ABCD .

Gọi M là trung điểm của AD

Ta có: BCAM a và BC/ /AM nên tứ giác ABCM là hìnhbình hành

Diện tích hình thang ABCD là:

a a

33 3

 

 Chọn CMở rộng

ABCD còn được gọi là nửa lục giác đều cạnh a, có 2 góc ở đáy nhỏ là 120 và 2 góc ở đáy lớn là 0 60 0Các tam giác AMB BMC CMD, , là các tam giác đều cạnh a.

Ví dụ 2 (THPT Hàn Thuyên – Năm 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt

bên SAB là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối chóp là

Thể tích khối chóp là:

       ,d

A

B a3

C

D



aSA AD a S

Thể tích tứ diện SBCD bằng23

.sin2

Thể tích khối lăng trụ là:

2 3 3 3'.S

Hình lăng trụ tam giác đều là lăng trụ có 2 đáy là tam giác đều ABC A B C ' ' ', các cạnh bên bằng nhau vàcùng vuông góc với đáy

Ví dụ 5 (Chuyên Thái Bình – Năm 2018) Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm.Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên đểđược một hình lăng trụ khuyết hai đáy Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

A x5cm B x9cm C x8cm D x10cm

Thể tích khối lăng trụ được tạo thành là: V SFDH.AD

Thể tích đạt GTLN khi SNAD lớn nhất Áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác ta có:

   15 15 15 15 30 2 

Hay S  15 15  x 2 2x 15Xét hàm số

  15  2 2 15 15  15  2 15

15 15 2 15227

    

(Áp dụng BĐT 

 3

a b c

abc    f x 

 Dấu bằng xảy ra

15 x2x15 x10 cm

 Chọn DBình luận

Ngoài cách áp dụng bất đẳng thức Cô si dạng biến đổi tổng thành tích ta có thể sử dụng chức năng CALCcủa máy tính để tìm giá trị f x và nhận thấy   f max f  10

Ví dụ 6: (THPT Lê Quý Đôn – Năm 2018) Cho tứ diện có ABCD có AD BC  6cm;

AC BD  B D suy ra tam giác AB D' ' vuông tại

A hay AB'AD'

Tương tự suy ra AB AC AD đôi một vuông góc '; '; 'Ta có: AB' b; AC' c; AD' d thì

Cho tứ diện có AD BC a cm  ; AC BD b cm   và AB CD c cm  .Khi đó 1  222  222  222

V SA SC SC

Ví dụ 7: (THPT Lý Thái Tổ – Năm 2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có thể tích bằng 72 Gọi

M là trung điểm của SA và N là điểm thuộc cạnh SC sao cho NC2NS Tính thể tích V của khối đadiện MNABC

A V 48 B V 30

C V 24 D V 60

Ta có: ..

1 1 1

2 3 6

S BMNS ABC

Phương pháp tỉ số thể tích được sử dụng hiệu quả khi tính thể tích của hình chóp SA B C' ' ' khó dựngchiều cao hoặc khó tính diện tích đáy.

Ví dụ 8: (THPT Thanh Miện – Năm 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại

B

35 3

C

3 360

D

3 310

SC  a  a a

1 1 1

5 2 10

SS ABC

1 1

3 33 2

S ABCS AKH

Đây là một bài toán quen thuộc, dựa nhiều vào kinh nghiệm để đựng được đường vuông góc thứ 2 là AK

(ngoài AH là đường vuông góc thứ nhất) BCAB

VV ?

S AMNS ADC

Công thức tính tỉ số thể tích chỉ có thể áp dụng cho tam giác nên ta không thể tính SAMNP

V được mà phải

chia thành 2 tỉ số chóp tam giác như trên.

Ví dụ 10: (THPT Lương Thế Vinh – Năm 2017) Cho khối chóp S ABCD có thể tích V Gọi M N,lần lượt là trung điểm của SA MC Thể tích khối chóp , N ABCD là

Ngoài việc dùng công thức tỉ số thể tích ta có thể thực hiện các phép so sánh khoảng cách chiều cao để

tìm tỉ số thể tích.

Ví dụ 11: (THPT Trần Hưng Đạo– Năm 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C    Gọi M là trung điểmcủa BB, N là điểm trên cạnh CC sao cho CN 3NC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành haiphần có thể tích V và 1 V như hình vẽ.2

Tính tỉ số 12

A 1

VV 

Ta có:

V  BB d BB CC  Do đó 2.

 Suy ra 1 12

1 0,5 0, 25 70 0,5 0,75 5

AAVA A B M C N

VA A B M C N

    

Trên AC lấy E, trên AD lấy F sao choAEAF a Khi đó ABEF là tứ diện đều cạnha

Thể tích khối tứ diện đều ABEF là: 1 1 6 2 3 3 2

Dạng 3: Phần bù thể tích khối chóp, khối lăng trụ phức tạp

Ví dụ 13: (Chuyên Thái Bình– Năm 2018) Cho hình hộp ABCD A B C D     có thể tích là V Tính thểtích của tứ diện ACB D  theo V

Ta thấy VACB D  V VA AB D.   BB B AC.   VD ACD. VC A D C  .

Để dễ dàng tính thể tích ta sẽ tiến hành chuẩn hóa, coi hìnhhộp là hình lập phương cạnh a khi đó: V a3

Thể tích các khối chóp xung quanh đều bằng 36 6

4.6 3

ACB D

V   V 

 Chọn DPhân tích

Việc chuẩn hóa dựa trên nền tảng tính chất "nếu tỉ số thể tích đúng thì nó đúng với mọi hình hộp" mà hìnhlập phương là hình hộp đặc biệt nên tỉ số thể tích cũng đúng với hình lập phương.

Ví dụ 14: (THPT Yên Lạc – Năm 2017) Cho khối lăng trụ đều ABC A B C    và M là trung điểm củacạnh AB Mặt phẳng B C M   chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích của hai phần đó

SAMNSA B C

V    SA SB SC   

V   V   

 Do đó tỷ số thể tích của hai phần là 7 : 5 712 125

 Chọn ATính chất

3 đường thẳng BM, CN, AA' là 3 giao tuyến của 3 mặt phẳng B C M' '  , A ACC' ' , A ABB nên chúng' 'đồng quy tại S.

Câu 2 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V Gọi M, N, P , Q lần lượt là

trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ

Câu 3 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),

đáy (ABCD) là hình thang vuông tại A và B cóAB a BC a ,  BiếtAD2 , a SA a 3 Tính thể tíchcủa khối S.BCD theo a.

Câu 5 (THPT Thanh Miện - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích

bằng 1 Trên cạnh SC lấy điểm E sao choSE2EC Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.

Câu 6 (THPT Thanh Miện - 2018) Tính thể tích của khối lập phương ABCD A B C D     biết độ dài đoạnthẳngAC2a.

Câu 7 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 6 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A

C

D

3 34

Câu 10 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018) Hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy có độ dài a Mặtphẳng  P qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại ; ;B C D   cho SB2BB Tỉ số giữathể tích hình chóp S AB C D    và thể tích hình chóp S ABCD bằng

Câu 11 (Chuyên Hùng Vương - 2018) Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 Thể

tích khối lăng trụ đã cho bằng

Câu 12 (Chuyên Hùng Vương - 2018) Cho hình tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bênbằng 3a Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A V 4 7a3 B

34 7

34 7

aV 

Câu 13 (Chuyên Hùng Vương - 2018) Cho khối hộp ABCD A B C D     có thể tích bằng 2110 Biết, 3

A M MA DN  ND vàCP2PC Mặt phẳng MNP chia khối hộp thành hai khối đa điện Thểtích khối đa diện nhỏ hơn bằng

Câu 14 (THPT Thạch Thành 1 - 2018) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnhđáy bằng 3a Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khốichóp biết tam giác SAB vuông.

A 3

39 3

C

D 39a 3

Câu 15 (THPT Lý Thái Tổ - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C    Gọi M, N lần lượt là trung điểmcủa AA BB,  Tính tỉ số MNC ABC

MNA B C

  .

Câu 18 (THPT Yên Lạc 2 - 2018) Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội

tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lậpphương) Biết các cạnh của khối lập phương bằng a Hãy tính thểtích của khối tám mặt đều đó:

A

D

' 14

' 34

VV 

Câu 22 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018) Cho tứ diện OABC có các cạnh OA OB OC đôi một, , vuông góc với nhau vàAB5, BC6, CA7 Thể tích V của tứ diện OABC là

Câu 23 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018) Một hình chóp tam giác có đường cao bằng 100cm và các

cạnh đáy bằng 20cm, 21cm, 29cm Thể tích khối chóp đó bằng

A 7000cm 3 B 6213cm3 C 6000cm3 D 7000 2cm3

Câu 24 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018) Cho hình hộp ABCD A B C D     có các cạnh3, 4

B

3 36

C

3 22

D

3 62

3 312

3 36

3 34

aV 

Câu 27 (THPT Lê Hồng Phong - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuôngtại A và B, 1

.2SA AB

Câu 29 (THPT Bình Xuyên - 2018) Cho khối hộp ABCD A B C D     có thể tích bằng 24a Tính thể3tích V của khối chóp A ABCD ?

Câu 31 (THPT C Bình Lục - 2018) Tính thể tích V lập phương ABCD A B C D    , biết A C a  3

A V 3 3a3 B

33 6

Câu 33 (THPT Nam Trực - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết,

SA SB SC SD  , SAB  SCD Tổng diện tích hai tam giác SAB SCD bằng , 7 210

Thể tích khốichóp S ABCD là

A

B

C

D

Câu 34 (THPT Nam Trực - 2018) Cho tứ diện ABCD có thể tích 9 3cm Gọi 3 M N P Q lần lượt, , ,

là trọng tâm các mặt của khối tứ diện ABCD Thể tích khối tứ diện MNPQ là

A 2 3 3

A 2118

Câu 40 (THPT Nguyễn Thị Giang - 2018) Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh

bằng a là

A 2 3

323 a

Câu 41 (THPT Vĩnh Yên - 2018) Cho hình chóp S ABCD có thể tích bằng 27m Lấy A' trên SA sao3choSA3SA' Mặt phẳng đi qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB SC SD lần lượt tại ', ', , B C ,

D Tính thể tích hình chóp S A B C D    

Câu 42 (THPT Vĩnh Yên - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB SA a  , AD a 2, SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I làgiao điểm của BM và AC.

Câu 43 (THPT Lục Ngạn 1 - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O GọiH và K lần lượt là trung điểm của SB, SD Tỷ số thể tích

AOHKS ABCD

Câu 44 (THPT Lục Ngạn 1 - 2018) Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh3 ' 3

aA B a Thể tích khối lăng trụ là

A

S A B CS ABC

Câu 47 (Sở GD&ĐT Bình Thuận- 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a,và BAC60 ,0 SOABCD và 3

3 32

aV 

Câu 49 (Chuyên Lê Quý Đôn - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giácđều cạnh a, mặt bên ABB’A’ là hình thoi  0 3

B

33 3

C

3 316

D

33 3

a

Câu 50 (THPT Phan Ngọc Hiển - 2018) Hình chóp S ABC có SB SC BC CA a    Hai mặt phẳngABC và ASC cùng vuông góc với SBC 

Thể tích khối chóp S ABC bằng

312