chủ đề 22 bí quyết giải nhanh phương trình số phức

CHỦ ĐỀ 22: BÍ QUYẾT GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨCA.. KIẾN THỨC NỀN TẢNG1.. Để chứng minh một đẳng thức số phức: ta thường tiến hành bằng phương pháp cá biệt hóa, chọn cácgiá trị đại di

CHỦ ĐỀ 22: BÍ QUYẾT GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Phương trình bậc 2 số phức: az2bz c 0  được giải bằng lệnh MODE 5 3

2 Phương trình bậc 3 số phức: az3bz3cz d 0  được giải bằng lệnh MODE 5 4

3 Phương trình bậc 4 trùng phương: az4bz2 c 0 được giải bằng cách đặt z2 t rồi đưa phương trình bậc 4 trở về phương trình bậc 2 số phức: at2bt c 0  rồi dùng lệnh MODE 5 3 để giải tiếp

4 Để chứng minh một đẳng thức số phức: ta thường tiến hành bằng phương pháp cá biệt hóa, chọn các giá trị đại diện của z , z , rồi sử dụng máy tính Casio để tính toán và so sánh.1 2

B VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: (Đề thi THPTQG – 2017 – Mã đề 110) Kí hiệu z ,1 z là hai nghiệm phức của phương trình2 2

3z  z 1 0  Tính Pz1  z2

A P 14

3

3

3

3



Giải

Giải phương trình bậc 2: 3z2 z 1 0  bằng MODE 4 3 rồi lưu z vào phím A và 1 z vào phím B.2

Tính giá trị biểu thức P  z 1  z 2 ta được P 2 3

3



=> Chọn D

Chú ý

Vì nghiệm z , z chứa số ảo i để tính P thì đầu tiên ta phải đăng nhập vào môi trường làm việc của số1 2

phức bằng lệnh MODE 2

Ví dụ 2: (THPT Bảo Lâm – Lần 1 – 2017) Xét phương trình 2z4 3z2 2 0 trong tập số phức Gọi z1

, z , 2 z , 3 z là bốn nghiệm của phương trình Tổng 4 Tz1  z2  z3  z4 bằng

Đặt z2  khi đó phương trình t 2z4 3z2 2 0 trở thành 2t2  3t 2 0 

Giải phương trình bậc 2 này ta thu được:

t 2 1 t 2







 



 





Trường hợp 2:

2

i 2 z

z 2

















=> Chọn A

Chú ý

Vì nghiệm z , z chứa số ảo i để tính P thì đầu tiên ta phải đăng nhập vào môi trường làm việc của số1 2

phức bằng lệnh MODE 2

Ví dụ 3: (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2017) Cho phương trình ẩn phức z3 8 0

có ba nghiệm z , z , z Tính tổng 1 2 3 Mz1  z2  z3

A M = 6 B M 2 2 5  C M 2 2 10  D M 2 2 2 

Giải

Giải phương trình bậc 3: z3  bằng lệnh MODE 5 4 ta thu được 3 nghiệm 8 0 z12, z2  1 3i,

3

z  1 3i

Tính tổng Mz1  z2  z3 ta được M = 6

=> Chọn A

MODE 2 SHIFT hyp 2   SHIFT hyp 1  n 3  ENG  

SHIFT hyp 1 ▬ n 3  ENG ═

Phương pháp

Để giải phương trình bậc 4 trùng phương az4bz2  ta đặt c 0 z2  để đưa phương trình về dạng bậct

2 ẩn t mà máy tính Casio có thể tính được nghiệm

Ví dụ 4: (THPT Chuyên Thái Nguyên – Lần 2 – 2017) Biết phương trình z2az b 0  , a, b   có

một nghiệm là z 1 i  Tính môđun của số phức w a bi 

Giải

Ta hiểu: z 1 i  là nghiệm của phương trình z2az b 0  (1)

tức là 1 i thỏa mãn phương trình (1)  1 i 2a 1 i   b 0

a 2 0

 



 



b 2





 





Từ đó suy ra số phức w 2 2i w  2222 2 2

=> Chọn C

Ví dụ 5: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – HCM – 2017) Biết phương trình 3 2

az bz cz d 0 

a, b,c,d    z , z , z1 2 3  1 2i là nghiệm Biết z có phần ảo âm, tìm phần ảo của 2 w z 12z23z3

Giải

Vì z3  1 2i là nghiệm nên sẽ thỏa mãn phương trình az3bz2cz d 0 

 11 2i a b 3 4i   c 1 2i  d 0

11a 3b c d 0

2a 4b 2c 0



 



Chọn c = 1, d = 0 khi đó hệ (*)

11a 3b 1



 



MODE 5 1 ▬ 1 1 ═ ▬ 3 ═ ▬ 1 ═

▬ 2 ═ 4 ═ ▬ 2 ═ ═ ═

Ta thu được a 1

5

5

 khi đó phương trình ban đầu trở thành 1z3 2z2 z 0

Giải phương trình bậc 3 này ta thu được: z10, z2  1 2i, z3  1 2i

MODE 5 4 1 ÷ 5 ═ ▬ 2 ÷ 5 ═ 1 ═

0 ═ ═ ═ ═

Thu gọn số phức w 5 2i   Phần ảo của w là 2

=> Chọn B

MODE 2 0  2 ( 1  DEL ▬

2 ENG )  3 ( 1  2 ENG ) ═

Phân tích

Hệ (*) có 2 ẩn mà 4 phương trình thì ta sẽ chọn 2 ẩn là 1 số bất kì, tuy nhiên phải đảm bảo a 0 để đảm bảo phương trình ẩn z là bậc 3 để có 3 nghiệm

Ví dụ 6: (Chuyên KHTN – Lần 5 – 2017) Giả sử z , z là 2 nghiệm phức của phương trình1 2

2

z  1 2i z 1 i 0    Khi đó z1 z2 bằng?

Giải

Tính   1 2i2 4 1 i  1

Vậy  

1

b

  

2

b

  

Khi đó z1 z2    i  1 i  1 1

=> Chọn D

Phân tích

Vì hệ số của z chứa số ảo i nên ta không thể bấm máy tính với chức năng MODE 5 3 được mà phải đi lên

từ cách tính thông thường

Ví dụ 7: (Sở GD&ĐT Hải Phòng – 2017) Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức z , z , z là1 2 3

nghiệm của phương trình z3 6z2 12z 7 0  Tính diện tích S của tam giác ABC

A S 3 3

2

4

Giải

2

z 1 0





z 1

A 1;0



 















 



Suy ra AB AC BC   3 ABC là tam giác đều, suy ra S 3 3

4

=> Chọn D

Kinh nghiệm

Đề bài thường cho ABC là tam giác đều cạnh a thì S a2 3

4

 hoặc là  vuông thì S 1

2

góc vuông

Ví dụ 8 (Bắc Hà - 2017):Cho số phức w và hai số thực a, b Biết 2w i và3w  5 là hai nghiệm của phương trình z2az b  Tìm phần thực của số phức w0

Ví dụ 9 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2017): Cho a, b, c là các số thực sao cho phương trìnhz3az2bz c 0 

có ba nghiệm phức lần lượt là z1 3i, z2  9i, z3  2 4, trong đó  là một số phức nào đó Tính giá trị của P  a b c

=> Chọn C

Ví dụ 10 (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2017): Cho phương trình 2z25 z 3 0  Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm phức phân biệt?

=> Chọn D

Ví dụ 11 (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam – Lần 3 - 2017): Cho số phức z , z thỏa mãn1 2

1 2

z z 3, z1 1, z2 2 Tính z z1 2z z1 2

=> Chọn D

Ví dụ 12 (THPT Cao Nguyên – Lần 2 - 2017): Cho các số phức z , z , z thỏa mãn 2 điều kiện1 2 3

z z z 2017 và z1z2 z3 0 Tính 1 2 2 3 3 1

P



A P = 2017 B P = 1008,5 C P 2017 2 D P = 6051

=> Chọn A

Ví dụ 13 (Chuyên Lê Quý Đôn - 2017): Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn 1 2 3 1 2 3





đề nào dưới đây đúng?

A z12z22z32 z z1 2z z2 3z z3 1 B z12z22z32  z z1 2z z2 3z z3 1

C z12z22z32  z z1 2z z2 3z z3 1 D 3z z1 2z z2 3z z z3 1 12z22z32

=> Chọn A

Ví dụ 14 (THPT Quảng Xương 1 - 2017): Cho số phức z a bi  với a, b   Trong các khẳng định sau đâu là khẳng định sai?

A z 1 a i

2 2b

C 1 2 z 2

2 2

2b b ai z

1



 

 với a2b2 0

=> Chọn A

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Đề thi THPTQG – 2018 – Mã đề 110) Cho số phức z = a + bi ( a,b   ) thỏa mãn S = 4a + b.

Tính S = 4a + b

Câu 2 (Đề thi THPTQG – 2018 – Mã đề 110) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 i  2 2 và

z 1 2 là số thuần ảo?

Câu 3 (Đề thi THPTQG – 2018 – Mã đề 103) Tìm tất cả các số thực x,y sao cho x2 1 yi 1 2i

A x 2, y = 2 B x 2, y = 2 C x = 0, y = 2 D x 2, y2

Câu 4 (Đề thi THPTQG – 2018 – Mã đề 103) Cho số phức z thỏa mãn z 3 5  và z 2i  z 2 2i Tính z

Câu 5 (Đề thi THPTQG – 2018 – Mã đề 103) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i  13 và z

z 2 là số thuần ảo?

Câu 6 (Sở GD&DT TP Hồ Chí Minh – Cụm 6 - 2018) Cho các số phức z1 2 3i, z2  1 4i Tìm số phức liên hợp với số phức z z 1 2

Câu 7 (Sở GD&DT TP Hồ Chí Minh – Cụm 6 - 2018) Cho số phức z x yi  ; x, y   thỏa mãn

3

z 18 26i Tính Tz 2 24 z 2

Câu 8 (Sở GD&DT TP Hồ Chí Minh – Cụm 5 - 2018) Cho z số phức thỏa mãn z1 2i z 2 4i    Tìm môđun của số phức z

Câu 9 (Sở GD&DT TP Hồ Chí Minh – Cụm 2 - 2018) Tính môđun của số phức z thỏa mãn:

3z.z 2017 z z  12 2018i

Câu 10 (Sở GD&DT TP Hồ Chí Minh – Cụm 2 - 2018) Cho hai số phức z1  1 2i, z2  1 2i Tìm môđun của số phức

2016 1 2017 2

z w z

Câu 11 (Sở GD&DT TP Hồ Chí Minh – Cụm 2 - 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b   ) thỏa mãn

1 i z 4 5i 2    1 6i Tính S = a + b

Câu 12 (Sở GD&DT TP Hồ Chí Minh – Cụm 2 - 2018) Tính môđun của số phức

z 1 2i 2 i i 3 2i    

Câu 13 (Sở GD&DT TP Hồ Chí Minh – Cụm 2 - 2018) Tính tổng Z của các phần thực của tất cả các

số phức z thỏa mãn điều kiện z 3z2

6

3

3



Câu 14 (Sở GD&DT TP Hồ Chí Minh – Cụm 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 4z 7 7i     Khi đó môđun của z bằng bao nhiêu?

Câu 15 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hai số phức z = 1 + 3i, w = 2 – i Tìm phẩn ảo

của số phức u z.w

Câu 16 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho số phức z = a + bi (với a, b   ) thỏa

z 2 i   z 1 i 2z 3 Tính S = a + b

Câu 17 (THPT Lê Lợi – Lần 3 - 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b   ) thỏa mãn

z 2i 3  8i.z16 15i Tính S = a – 3b

Câu 18 (THPT Chuyên Biên Hòa – Lần 3 - 2018) Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn

3 i

A z 53 9 i

10 10

10 10

Câu 19 (Sở GD-DT Phú Thọ - Lần 2 - 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b   ) thỏa mãn

2 z 1 3z i 5 i  Tính a + 2b

A a + 2b = 1 B a 2b 3 C a 2b 1 D a 2b 1

Câu 20 (Đề minh họa – Lần 3 – BGD&DT - 2018) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các

điều kiện z i 5 và z2 là số thuần ảo?

Câu 21 (THPT Kim Liên – Lần 2 - 2018) Cho số phức z = a + bi, ( a, b   ) thỏa mãn 3z 5z 5 5i   Tính giá trị P a

b

A P 1

4

16

25



Câu 22 (THPT Đặng Thúc Hứa - 2018) Cho số phức z bất kỳ Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A z.zz2 B z.zz2 C z2 z2 D z2 z2

Câu 23 (THPT Đặng Thúc Hứa - 2018) Cho các số phức z10, z2 0 thỏa mãn điều kiện

P

A 1

2

Câu 24 (THPT Chuyên Thái Nguyên – Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

3 2i z  2 i 2  4 i Tìm phần ảo của số phức w 1 z z

Câu 25 (THPT Chuyên Thái Nguyên – Lần 2 - 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b   ) thỏa mãn

phương trình

 z 1 1 iz  

i 1

z z



Câu 26 (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Lần 1 - 2018) Cho số phức 1 i 33

z

1 i





 Tính môđun của số phức z iz được kết quả:

Câu 27 (THPT TH Cao Nguyên – Lần 1 - 2018) Cho các số phức z13i, z2 m 2i , z3 m 2i Tập giá trị tham số m để số phức z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là3

A   ; 55; B  5; 5 C  5; 5

Câu 28 (THPT Cao Nguyên – Lần 1 - 2018) Tính môđun của số phức z = 4 – 3i.

Câu 29 (THPT Chuyên Bến Tre - 2018) Cho số phức z = x + yi ( x, y   ) thỏa mãn điều kiện

z 2z 2 4i   Tính P = 3x + y

Câu 30 (Sở GD&DT Hà Tĩnh - 2018) Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4i  2, gọi z và 1 z là2

số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của hai số phức z và 1 z bằng2

Câu 31 (Chuyên KHTN – Lần 5 - 2018) Cho số phức z = 1 + i, môđun số phức

2 0

2z z z

z.z 2z





Câu 32 (Chuyên Phan Bội Châu – Lần 3 - 2018) Tìm giá trị của số thực m sao cho số phức z 2 i

1 mi







là một số thuần ảo:

A Không tồn tại m B m 1

2

Câu 33 (Thanh Chương – Lần 1 - 2018) Tìm môđun của số phức z2 3i i  1 i 2

Câu 34 (THPT Quốc Học Huế - Lần 1 - 2018) Số phức z thỏa z 2 3i 5 2i

bằng

Câu 35 (THPT Chuyên Tuyên Quang – Lần 1 - 2018) Trong mặt phẳng phức, tìm điểm M biểu diễn

số phức

2017

i

z

3 4i



A M 4 3;

25 25

25 25



Câu 36 (THPT Chuyên Tuyên Quang – Lần 1 - 2018) Tính z 2 i2017

1 i





A z 1 3i

2 2

2 2

2 2

2 2

 

Câu 37 (THPT Chuyên Thái Bình – Lần 4 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn

1 i

A w 3 B w  9 2 14 C w  9 2 14 D w 3 2

Câu 38 (THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1 - 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b   ) thỏa mãn

z 2i 3  8i.z16 15i Tính S = a + 3b

Câu 39 (THPT Chuyên Lê Khiết – Lần 1 - 2018) Cho hai số phức z1  1 i, z2  1 i Kết luận nào sau đây là sai?

A 1

2

z

i

Câu 40 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Lần 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn 2z1 i z 5 3i    Tính z

Câu 41 (THPT Chuyên KHTN – Lần 2 - 2018) Cho số phức z 1 i21 i 3 1 i 22 Phần thực của số phức z là

A 211 B 2112 C 211 2 D 211

Câu 42 (THPT Chuyên KHTN – Lần 1 - 2018) Cho P z là một đa thức với hệ số thực Nêu số phức 

z thỏa mãn P z  0 thì

A P z  0 B P 1 0

z

 



 

z

 



 

Câu 43 (Sở GD&DT Bắc Giang – Lần 1 - 2018) Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức 1 i z z 1 i    

A z = 2 + i B z 1 i  C z 2 i  D z 1 i 

Câu 44 (THPT Chuyên ĐHSP – Lần 3 - 2018) Số phức z thỏa mãn z z 0  Khi đó

A z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0 B z 1

C Phần thực của z là số âm D z là số thuần ảo.

Câu 45 (TT Diệu Hiền - 2018) Biểu thức

2017

1 i P

2 i





 có giá trị là

A 3 1i

1 3 i

3 1 i

3 1 i

5 5

Câu 46 (Sở GD&DT Quảng Ninh – Lần 1 - 2018) Cho số phức

2017

1 i z

1 i





  Tính z5z6z7z8

Câu 47 (Chuyên ĐHSP – Lần 4 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn 2 3i z   1 2i z 7 i    Tìm môđun của z

Câu 48 (THPT Chuyên KHTN – Lần 1 - 2018) Cho số phức z có phần thực dương và thỏa

z



Câu 49 (THPT Chuyên KHTN – Lần 1 - 2018) Giả sử số phức:

2 3 4 5 99 100 101

z  1 i i i  i i  i i  i Lúc đó tổng phần thực và phần ảo của z là

Câu 50 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Lần 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn

1 3i z  1 i z 5 i 2   Tính môđun của z

A z 20

3

3

3



Câu 51 (THPT Nguyễn Trãi – Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn: 3 2i z 4 1 i       2 i z  Môđun của z là

Câu 52 (TT Diệu Hiền - 2018) Tìm số phức z biết z 5 và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị.

Câu 53 (Đề minh họa – BGD&DT – Lần 2 - 2018) Cho số phức z = a + bi ( a, b   ) thỏa mãn

1 i z 2z 3 2i     Tính P = a + b

A P 1

2

2



Câu 54 (THPT Hùng Vương – Lần 1 - 2018) Tính i2009

Câu 55 (THPT Hùng Vương – Lần 1 - 2018) Tìm dạng lượng giác của số phức z 1  3i

A z cos isin

D BẢNG ĐÁP ÁN