chủ đề 30 bí quyết giải các dạng toán về đường thẳng

Vecto chỉ phương của đường thẳngd:Là vecto có phương song song hoặc trùng d và thường kí hiệu là ; ; u a b c    thì ta gọi đây là phương trình tham số của đường thẳng d   thì

CHỦ ĐỀ 30

BÍ QUYẾT GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNGA KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Vecto chỉ phương của đường thẳngd:

Là vecto có phương song song hoặc trùng d và thường kí hiệu là ( ; ; )u a b c

 

  

thì ta gọi đây là phương trình tham số của đường thẳng d

  

thì 3 vecot trên đồng phẳng (cùng thuộc 1 mặt phẳng)

B VÍ DỤ MINH HỌADạng 1: Vị trí tương đối

Cho đường thẳng d qua M và có vecto chỉ phương u, đường thẳng d'qua điểm M'có vecto chỉphương 'u

Nếu d/ / 'dthì u tỉ lệ với 'u và giữ 2 đường thẳng không có điểm chung

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1

giao tuyến của hai mặt phẳng 2x3y 9 0 ,y2z 5 0 Vị trí tương đối của hai đường thẳng là

Vì d là giao tuyến của ( ) : 22 Px3y 9 0 và ( ) :Q y2z 5 0 nên d thuộc cả ( )2 P và ( )Q

( )

; (6; 4; 2)( )

Chọn xN  0 yN 3,zN  1 N(0;3;1)Lại có M(1;7;3) là 1 điểm thuộc d1

Xét 1; 2 (9;10; 7)( 1; 4; 7)

u uMN

    

 

 từ đó suy ra tích hỗn tạp u ud1; d2.MN  9 40 49 0 

                            

Vậy d ,1 d đồng phẳng 2  cùng thuộc 1 mặt phẳng1, 2

d d

 cắt nhau

=> Chọn CChú ý

Một vecto ud2(9; 6;3)

là vecto chỉ phương thì 2 1(9; 6;3) (3; 2;1)3

 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A dsong song với d' B dcắt d' C dtrùng với d' D dchéo d'

Đường thẳng d qua (1;7;3)A và có vtcp u1(2;1; 4), đường thẳng d'qua điểm (3; 1; 2)B   và có vtcp

2(6; 2;1)

Ta có u1k u 2 d d, ' 

cắt hoặc chéo nhau

Xét ; ' (9; 22; 10)(1; 8; 5)

u uAB

Ta hiểu d d có điểm A chung thì không thể // vậy chỉ có thể trùng nhau1; 2

Ví dụ 3 (Sở GD&ĐT Điện Biên – Năm 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường

   Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Ta hiểu d d có điểm A chung thì không thể // vậy chỉ có thể trùng nhau1; 2

Ví dụ 4 (Chuyên Lam Sơn – Năm 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

 2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A d1 chéo d2 B d1 cắt và vuông góc với d2

C d1 cắt và không vuông góc với d2 D d1 song song với d2

=> Chọn C

Ví dụ 5 (Sở GD&ĐT Bắc Ninh): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn đường thẳng

Phương pháp: Để lập phương trình đường thẳng ta đi tìm 1 vecto chỉ phương u của đường thẳng và 1

điểm M mà đường thẳng đi qua

Chú ý: Nếu u vuông góc với 2 vecto cho trước thì  u là tích có hướng của 2 vecto đó

Ví dụ 6 (THPT Lương Thế Vinh – Năm 2017): Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với

(1; 3;4)

A ;B( 2; 5; 7)   ;C(6; 3; 1)  Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là

A

 

  

1 3 ( )8 4

  

3 ( )4 8

  

1 3

3 4 ( )4

  

1 3

3 2 ( )4 11

2 62

AM đi qua A(1; 3;4) và có vecto chỉ phương AM nên phương

trình đường trung tuyến AM của tam giác là

 

  

3 ( )4 8

=> Chọn BPhân tích

Đường trung tuyến là đường đi qua đỉnh A và trung điểm M của đáy BC như vậy ra có thể coi VD này làdạng viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A,M cho trước.

Ví dụ 7 (Sở GD&ĐT Thanh Hóa – Năm 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương tình

đường thẳng d đi qua điểm A( 1;0;2) và song song với hai mặt phẳng ( ) : 2Px 3y6z 4 0 và

( ) :Qxy 2z 4 0

A

  

  

  

  

 

 (2; 3;6) ; (0;10;5)(11; 2)

n nn

Lại có    

 

d  P (0;10;5)d

  

Đường thẳng song song với 2 mặt phẳng thì nhận 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng đó làm cặp vecto

pháp tuyến và  

  ;

Ví dụ 8 (Chuyên Vị Thanh – Năm 2017): Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; 2;3) và vuông

góc với hai đường thẳng

 

  

 

 

 

  

1 323

 

 

11 23

 

  

Giải

Ta có vecto chỉ phương  

  1; 2

 

 

=> Chọn ATổng kết

Đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng thì nhận vecto chỉ phương của 2 đường thẳng đó là cặp vecto

   

 

1( ) 1 2

   

 

1( ) 1 2

   

 

1( ) 1 2

 

1( ) 1 2

 

  

1 44 32

 

  

1 44 32

 

  

2 43 31

 

  

1 44 32

Công thức: Cho 2 đường thẳng chéo nhau d đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u và đường thẳng

    

 ; ' '( ; ')

AM ud A d

Ta có: A( 1; 1;1)  dvà d có vtcp u(2;3;2);B(1; 2;;3) d'và d'có vtcp u1(2;1;1)Ta có: 

     

=> Chọn CPhân tích

Cách 1 ứng dụng tích có hướng là để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

  

    

 

u v ABh

d và điểm K( 3;4;3) Viết phương trình đường thẳng d'song song với d, cách d một

khoảng bằng 3 và cách điểm K một khoảng nhỏ nhất

Ta có thể hiểu khi d' quay quanh d sẽ tạo nên hình trụ và điểm E sẽ thuộc hình trụ này Vậy để EK nhỏ

nhất thì E là giao điểm của trụ và FK

     

Hình chiếu H là giao điểm của mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với đường thẳng 

Ví dụ 14 (Sở GD&ĐT Điện Biên – Năm 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm

(2; 4;0)

A và đường thẳng

 

 

  

(2;1; 1)

u Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d

Khi đó (P) nhận u làm VTCP Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là  ( ) : 2Px yz0

Gọi H là giao điểm của (d) và (P) H(1; 1;1)

Vì H là trung điểm của AA’ nên

 a b c     0 2 2 4

=> Chọn DTổng kết

Điểm A’ đối xứng với điểm A qua gốc đường thẳng d sẽ nhận hình chiếu vuông góc H là trung điểm AA’

Ví dụ 15 (Chuyên Lam Sơn – Năm 2017): Trong hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

 

' : ,( ) 0

 

' : ,( ) 0

 

' : ,( ) 0

 

' : ,( ) 0

z

 

' : ,( ) 0

=> Chọn BTổng kết

Đường thẳng  d' là hình chiếu vuông góc của  d nếu nó đi qua 2 hình chiếu vuông góc của 2 điểm A,B thuộc  d

Dạng 5: Góc

Phương pháp: Để tính góc giữa 2 đường thẳng d và d'ta tính thông qua góc của cặp vecto chỉ phươngcủa chúng

Chú ý:        

  ''

';cos ; ' cos d; ddd

u và v(1; 1; 2)  Khi đó cos u v , bằng bao nhiêu?

u v

=> Chọn CCách nhớ

Cosin góc giữa 2 vecto là tích vô hướng chia tích độ dài

Ví dụ 17 (THPT Chuyên ĐHSP HN – Năm 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho lăng trụ

Cnên C thuộc trục tung, '(0;0;2)Anên A’ thuộc trục cao.

Nhìn vào hệ trục tọa độ ta thấy '(0;2;2)C  

'( 2;2;2)

BC và   ' (0; 2;2)

=> Chọn AChú ý

 '; '  

90 và  nếu 900  1800

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Thi THPTQG) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm   z 2 i và hai mặt phẳng

 P :x   yz 1 0,  Q :x y z 20 Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thắng đi

qua A, song song với (P) và (Q)?

A

123 2

  

B

  

C

1 223 2

 

  

D

 

  

Câu 2 (THPT Lương Thế Vinh) Trong không gian với hệ tọa độ zx, cho tam giác ABC với

1 : 3 : 4 , 2; 5; 7 ,  6; 3; 1  

ABC Phương trình đường trung tuyến AM của ABClà

A

11 38 4

 

 

  

1 33 24 11

 

 

  

(t  )

C

134 8

 

 

  

1 33 44

 

 

  

(t  )

Câu 3 (Chuyên Lê Hồng Phong) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

 Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua

trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với d?

Câu 6 (Chuyên KHTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  2;3;1 , N5;6; 2 

Đường thẳng MN cắt mặt phẳng Oxz tại điểm A Điểm A chia đoạn MN theo tỉ số

Câu 7 (THPT Nguyễn Trãi) Giao điểm của hai đường thẳng

 

 

  

       

có

tọa độ là

Câu 8 (Đề minh họa BGD) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : 3 3 2

  

        

 Tìm a để hai đường thẳng trên cắt nhau.

  

 Đường thẳng d không đi qua điểm nào sau đây?

C P3;5; 4 D Q   1; 1;6

Câu 11 (Sở GD&ĐT Tp HCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của

đường thẳng đi qua điểm M1;2;3 và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng

 P : 3x y  3 0,  Q : 2x y z   3 0

A

12 33

 

 

  

B

12 33

 

   

C

12 33

 

   

D

12 33

 

   

Câu 12 (Chuyên KHTN) Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng : 1 2

 

  

.Tìm tọa độ hình chiếu A của A trên (d)

 Lấy điểm N trên 1 và P trên 2 sao cho M, N,

P thẳng hàng Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng NP.

z 1 4t 

   

  

và 2

x 4 y 2 z 4:

 Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 và2 chéo nhau và vuông góc nhau

B 1cắt và không vuông góc với 2

C 1cắt và vuông góc với 2

D 1 và2 song song với nhau

Câu 20 (THPT Kim Liên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

Câu 21 (Sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng

  

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 24 (Chuyên Lam Sơn) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2; 2  Viếtphương trình đường thẳng  đi qua A và cắt tia Oz tại điểm B sao cho OB2OA.

D Diện tích tam giác BCD bằng 3 206

2

Câu 26 (Chuyên ĐHSP) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

1 0

x y

  

 

   

A

 

 

 

B

1 323

 

 

  

C

12 23 3

 

 

  

D

 

  

Câu 30 (Thi THPTQG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

 

  

z t

  

 

 

  

  

Câu 35 (THTT Số 477 - 2018) Cho đường thẳng : 1 1 2

d      Hình chiếu vuông góc của d

trên mặt phẳng Oxy có phương trình là

A

 

 

B

1 210

 

 

 

C

1 210

 

  

D

1 210

 

 

 

Câu 36 (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

 

 

 

 

 

   2

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hai đường thẳng d d song song với nhau1, 2

B Hai đường thẳng d d trùng nhau1, 2

C Hai đường thẳng d d cắt nhau1, 2

D Hai đường thẳng d d chéo nhau1, 2

Câu 39 (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vecto chỉ phương của

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;2;4), ( 2;3;5), ( 9;7;6)B  C  có tọa độ là:

A (3;4;5)B (3; 4;5) C ( 3;4; 5) D (3;4; 5)

Câu 40 (Sở GD&ĐT Bình Phước - 2018) Trong không gian Oxyz cho A(0;1;0), (2;2;2), ( 2;3;1)BC  và

đường thẳng     

Câu 41 (Chuyên Vị Thanh - 2018) Cho điểm (4;1;1)M và đường thẳng

 

   

 

  

 

   

212 3

   

213 2

   

1 32 2

 

  

1: 41 2

d Viết phương trình đường thẳng, biết cắt d d d1, 2, 3 lần

lượt tại A, B, C sao cho ABBC

Câu 47 (Sở GD&ĐT Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường phân

giác  của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau 1:  2  1 1

    

  

    

  

  

 

B Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng

(OAB)có phương trình là

A     

B     