chủ đề 30 bí quyết giải các dạng toán về đường thẳng

Vecto chỉ phương của đường thẳngd:Là vecto có phương song song hoặc trùng d và thường kí hiệu là ; ; u a b c    thì ta gọi đây là phương trình tham số của đường thẳng d   thì

CHỦ ĐỀ 30

BÍ QUYẾT GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Vecto chỉ phương của đường thẳngd:

Là vecto có phương song song hoặc trùng d và thường kí hiệu là ( ; ; )u a b c

Cho đường thẳng d qua M và có vecto chỉ phương u, đường thẳng d'qua điểm M'có vecto chỉphương 'u

Nếu d/ / 'd thì u tỉ lệ với 'u và giữ 2 đường thẳng không có điểm chung

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1

giao tuyến của hai mặt phẳng 2x3y 9 0 ,y2z 5 0 Vị trí tương đối của hai đường thẳng là

Giải

Vì d là giao tuyến của ( ) : 22 P x3y 9 0 và ( ) :Q y2z 5 0 nên d thuộc cả ( )2 P và ( ) Q

2 2 2

2

( )

; (6; 4; 2)( )

Lại có M(1;7;3) là 1 điểm thuộc d1

 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A dsong song với d' B dcắt d' C dtrùng với d' D dchéo d'

Giải

Đường thẳng d qua (1;7;3)A và có vtcp u1(2;1; 4), đường thẳng d'qua điểm (3; 1; 2)B   và có vtcp

Ta hiểu d d có điểm A chung thì không thể // vậy chỉ có thể trùng nhau1; 2

Ví dụ 3 (Sở GD&ĐT Điện Biên – Năm 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường

Ta hiểu d d có điểm A chung thì không thể // vậy chỉ có thể trùng nhau1; 2

Ví dụ 4 (Chuyên Lam Sơn – Năm 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A d1 chéo d2 B d1 cắt và vuông góc với d2

C d1 cắt và không vuông góc với d2 D d1 song song với d2

=> Chọn C

Ví dụ 5 (Sở GD&ĐT Bắc Ninh): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn đường thẳng

1

Phương pháp: Để lập phương trình đường thẳng ta đi tìm 1 vecto chỉ phương u của đường thẳng và 1

điểm M mà đường thẳng đi qua

Chú ý: Nếu u vuông góc với 2 vecto cho trước thì  u là tích có hướng của 2 vecto đó

Ví dụ 6 (THPT Lương Thế Vinh – Năm 2017): Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với

AM đi qua A(1; 3;4) và có vecto chỉ phương AM nên phương

trình đường trung tuyến AM của tam giác là

=> Chọn B

Phân tích

Đường trung tuyến là đường đi qua đỉnh A và trung điểm M của đáy BC như vậy ra có thể coi VD này là dạng viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A,M cho trước.

Ví dụ 7 (Sở GD&ĐT Thanh Hóa – Năm 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương tình

đường thẳng d đi qua điểm A( 1;0;2) và song song với hai mặt phẳng ( ) : 2P x 3y6z 4 0 và

n

n n n

Ví dụ 8 (Chuyên Vị Thanh – Năm 2017): Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; 2;3) và vuông

góc với hai đường thẳng

x

Giải

1 2 2

Công thức: Cho 2 đường thẳng chéo nhau d đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u và đường thẳng

1

21

u v AB h

d và điểm K( 3;4;3) Viết phương trình đường thẳng d'song song với d, cách d một

khoảng bằng 3 và cách điểm K một khoảng nhỏ nhất

Ta có thể hiểu khi d' quay quanh d sẽ tạo nên hình trụ và điểm E sẽ thuộc hình trụ này Vậy để EK nhỏ

nhất thì E là giao điểm của trụ và FK

Dạng 4: Hình chiếu vuông góc

Phương pháp: Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm M đến đường thẳng d ta tiến hành gọi Hdsau

đó thiết lập quan hệ 

  d 0

MH u sẽ tìm được Hvà từ đó suy ra khoảng cách  

Hình chiếu H là giao điểm của mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với đường thẳng 

Ví dụ 14 (Sở GD&ĐT Điện Biên – Năm 2017): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm

u Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d Khi đó (P) nhận u làm VTCP Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là  ( ) : 2P x y z0

Gọi H là giao điểm của (d) và (P)  H(1; 1;1)

Vì H là trung điểm của AA’ nên

a b c

 a b c     0 2 2 4

=> Chọn D

Tổng kết

Điểm A’ đối xứng với điểm A qua gốc đường thẳng d sẽ nhận hình chiếu vuông góc H là trung điểm AA’

Ví dụ 15 (Chuyên Lam Sơn – Năm 2017): Trong hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

0

z

Điểm A ( )d  A t(  2;t1;2t2) và điểm A (Oxy) t 1 A( 3;0;0)

Điểm B( 2;1;2) ( )d  C( 2;1;0) là hình chiếu của B trên mặt phẳng Oxy

( ')(1;1;0) d (1;1;0)

'

;cos ; ' cos d; d d d

Cosin góc giữa 2 vecto là tích vô hướng chia tích độ dài

Ví dụ 17 (THPT Chuyên ĐHSP HN – Năm 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho lăng trụ

C nên C thuộc trục tung, '(0;0;2) A nên A’ thuộc trục cao.

Nhìn vào hệ trục tọa độ ta thấy '(0;2;2)C  

'( 2;2;2)

Câu 1 (Thi THPTQG) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm    z 2 i và hai mặt phẳng

 P :x   y z 1 0,  Q :x y z 20 Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thắng đi

qua A, song song với (P) và (Q)?

Câu 3 (Chuyên Lê Hồng Phong) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

 Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua

trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với d?

Câu 6 (Chuyên KHTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  2;3;1 , N5;6; 2 

Đường thẳng MN cắt mặt phẳng Oxz tại điểm A Điểm A chia đoạn MN theo tỉ số

12

Câu 7 (THPT Nguyễn Trãi) Giao điểm của hai đường thẳng

Câu 8 (Đề minh họa BGD) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : 3 3 2

Câu 11 (Sở GD&ĐT Tp HCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của

đường thẳng đi qua điểm M1;2;3 và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng

Câu 12 (Chuyên KHTN) Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng : 1 2

 Lấy điểm N trên 1 và P trên 2 sao cho M, N,

P thẳng hàng Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng NP.

 Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 và2 chéo nhau và vuông góc nhau

B 1cắt và không vuông góc với 2

C 1cắt và vuông góc với 2

D 1 và2 song song với nhau

Câu 20 (THPT Kim Liên) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

Câu 21 (Sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng

Câu 24 (Chuyên Lam Sơn) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2; 2  Viếtphương trình đường thẳng  đi qua A và cắt tia Oz tại điểm B sao cho OB2OA

C Tam giác ABC vuông

D Diện tích tam giác BCD bằng 3 206

2

Câu 26 (Chuyên ĐHSP) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

23

 Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d

và M, đồng thời cách đều hai đường thẳng đó

d      Hình chiếu vuông góc của d

trên mặt phẳng Oxy có phương trình là

Câu 36 (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hai đường thẳng d d song song với nhau1, 2

B Hai đường thẳng d d trùng nhau1, 2

C Hai đường thẳng d d cắt nhau1, 2

D Hai đường thẳng d d chéo nhau1, 2

Câu 39 (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vecto chỉ phương của

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;2;4), ( 2;3;5), ( 9;7;6)B  C  có tọa độ là:

Câu 41 (Chuyên Vị Thanh - 2018) Cho điểm (4;1;1)M và đường thẳng

d Viết phương trình đường thẳng, biết cắt d d d1, 2, 3 lần

lượt tại A, B, C sao cho ABBC

Câu 47 (Sở GD&ĐT Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường phân

giác  của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau 1:  2  1 1