chủ đề 32 bí quyết giải các dạng toán về mặt cầu

Sự hình thành mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu: Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách I một khoảngDiện tích mặt cầu: S  4 RKhối cầu: Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách I

CHỦ ĐỀ 32: BÍ QUYẾT GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Sự hình thành mặt cầu, khối cầu:

Mặt cầu: Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách I một khoảng

Diện tích mặt cầu: S  4 R

Khối cầu: Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách I một khoảng

R

 gọi là khối cầu tâm I bán kính R Như vậy khối cầu bao gồm mặt cầu

và phần không gian bên trong mặt cầu

Thể tích khối cầu: 4 3

3

2 Phương trình chính tắc của mặt cầu

Mặt cầu (S) có tâm ( ; ; ) I a b c và bán kính R thì có phương trình chính tắc là:

x a 2y b 2z c 2 R2 (1)

3 Phương trình tổng quát của mặt cầu

Khai triển phương trình (1) ta được: x2y2z2 2ax 2by 2cz a 2b2c2 R2 0

Để dễ nhìn ta đặt: A2 ,a B2 ,b C 2 ,c D a 2b2c2 R2

Khi đó ta thu được: 2 2 2

0 (2)

Phương trình (1) gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu

B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

Ví dụ 1 (Chuyên Biên Hòa - 2017):

Cho mặt cầu ( ) :S x12y 22z 32 25 và mặt phẳng ( ) ( ) : 2 x y  2z m 0 Các giá

trị của m để ( ) và ( )S không có điểm chung là

A m 9 hoặc m 21 B m  9 hoặc m 21 C 9m21 D 9m21

Giải

Xét ( ) :S x12y 22z 32 25 I1; 2;3 và bán kính R 5

Để ( )S và ( ) không có điểm chung khi d I P ;( ) R

2 2 2

1.2 2 2.3

5

2 1 ( 2)

21

6 15

9

m

m m

m

  







Tổng quát

Ví dụ 2 (Chuyên Biên Hòa - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x 22y12z 32 9 Mệnh đề nào đúng?

Giải

Xét mặt cầu ( ) :S x 22y12z 32  9 tâm I2; 1;3  và R 3

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình lần lượt là: z0;x0;y0

Khi đó d I Oxy ;( ) 3,d I Oyz ;( ) 2,d I Oxz ;( ) 1 nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).

Tổng quát

Ví dụ 3 (THPT Lê Lợi - 2017):

Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là

( ) : 2P x2y z m  4m 5 0, ( ) : x S y z  2x2y 2z 6 0. Tất cả các giá trị của m để ( ) P

tiếp xúc ( )S là

A m 1 hoặc m 5 B m 1 hoặc m 5 C m 1 D m 5

Giải

Mặt cầu ( )S có tâm I1; 1;1  và bán kính R  1 1 1 6 3.   

Để ( )P tiếp xúc với ( ) S thì  

2

4 4 1

 

1

m

m





Mở rộng

Ví dụ 4 (THPT Lê Lợi - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 3

 và điểm I1; 2;3 

Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với d là

A ( ) :S x12y22z 32 5 2 B ( ) :S x12y22z 32 50

C ( ) :S x12y 22z 32 50 D ( ) :S x12y 22z32 50

Giải

Ngoài phương pháp tìm  ;( ) ; d

d

IM u

R d I P

u



 

 thì ta có thể dùng phương pháp tham số hóa tọa độ

Gọi H 1 2 ; 2t   t; 3 t là chân đường cao hạ từ I xuống d

Khi đó IH  2 2 ; 4t   t; 6 t

Suy ra IH u  d 2 2 t 2      t 4 t 6 0 t 1

Suy ra IH  16 9 25 5 2  

Do đó ( ) :S x12y22z 32 50

Tổng kết

Mặt cầu (S) tiếp xúc với d thì R IH d I d ; 

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu với các yếu tố cho trước

Ví dụ 5 (THPT Hai Bà Trưng - 2017):

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A 1;0;0 và

A 0; 2;0 , C 0;0;4

A ( ) : xS 2y2z2 x 2y4z0 B ( ) : xS 2y2z2 2x4y 8z0

C ( ) : xS 2y2z2 x2y 4z0 D ( ) : xS 2y2z22x 4y8z0

Giải

Cách 1: Đi từ phương trình tổng quát

Phương trình mặt cầu có dạng

( ) :S x y z  2ax 2by 2cz d 0 (a b c  d0)

Vì mặt cầu (S) đi qua O, A 1;0;0 và A 0; 2;0 ,   C0;0;4nên ta có:

2

2

2

0

0

1

1 0 0 2.1 0

2

d d











Cách 2: Đi từ tâm I của mặt cầu

Gọi ( ; ; )I a b c là tâm mặt cầu thì IO IA IB IC R   

Ta có:

( 1)

( 4)

Rút gọn và giải hệ bậc nhất 3 phương trình 3 ẩn ta được ( ; 1; 2)1

2

   

2

1 4

R OI

Bình luận

Có 2 cách để giải bài này, đối với cách Đi từ phương trình tổng quát thì buộc chúng ta phải có máy tính Vinacal 570 VN Plus thì mới giải được hệ bậc nhất 4 phương trình 4 ẩn

Ví dụ 6 (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2017):

Trong không gian Oxyz, cho điểm M1; 1; 2 ,  N3;1; 4  Tìm phương trình mặt cầu có đường kính MN

A ( ) :S x 22y2z 32  3 B ( ) :S x 22y2z 32 3

C ( ) :S x22y2z32 3 D ( ) :S x22y2z 32  3

Giải

Gọi I a b c là tâm của mặt cầu. ; ; 

Ta có:

1 3

2 2

1 1

0 (2;0;3)

2

2 4

3 2

a

c









 













Bán kính của mặt cầu là:

2 12 0 12 3 22 3

Tổng quát

Mặt cầu (S) nhận AB làm đường kính thì sẽ có tâm I là trung điểm AB và có bán kính

2

AB

R 

Ví dụ 7 (Sở GD-ĐT Phú Thọ - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm

1; 2; 4

I  và thể tích của khối cầu tương ứng bằng 36 

( ) :S x1 (y 2)  z4 9 B  2 2  2

( ) :S x1 (y 2)  z 4 9

C ( ) :S x12(y2)2z 42 9 D ( ) :S x12(y 2)2z42 3

Gọi R là bán kính khối cầu Ta có: 4 3

3R    R

Mặt cầu lại có tâm I1; 2; 4  nên có phương trình:

Ghi nhớ

Thể tích khối cầu 4 3

3

V  R , diện tích mặt cầu S  4 R và ta có mối quan hệ V'S và S dx V 

Ví dụ 8 (Sở GD-ĐT Phú Thọ - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I   2; 4;5  Phương trình nào dưới đây là phương

trình mặt cầu có tâm A và cắt trục Oz tại hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông.

A ( ) :S x22(y4)2z 52 40 B ( ) :S x22(y4)2z 52 82

C ( ) :S x22(y4)2z 5258 D ( ) :S x22(y4)2z 52 90

Ví dụ 9 (THPT Hoằng Hóa - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu tâm I a b c ; bán kính R, đi qua 3 điểm ; ; 

(2;0;1), (1;0;0), (1;1;1)

A B C và tâm I thuộc mặt phẳng x y z   2 0 Tính a2b3c R

Ví dụ 10 (Sở GD-ĐT Điện Biên Phủ - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng

    

và mặt phẳng

( ) :P x3y z 1 0. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, tiếp xúc với cả  và ( )P Biết hoành độ điểm I là số

nguyên Tung độ của điểm I là

Dạng 3: Khoảng cách trong các bài toán về mặt cầu

Ví dụ 11 (THPT Lê Quý Đôn - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 4x 2y10z14 0. Mặt phẳng ( ) :P x y z   4 0 cắt mặt cầu ( )S theo một đường tròn có chu vi bằng bao nhiêu?

A 2 B 6 C 4 D 8

Giải

Ta có ( ) :S x 22(y1)2z52 16 ( )S có tâm I2;1; 5 và bán kính R 4

 ( ) 2 1 5 42 2 2 2 3

  Bán kính đường tròn giao tuyến là:

Chu vi đường tròn là : 2  r 2 2 4  

Tổng quát

thức R2 IJ2r2

Ví dụ 12 (THPT Chuyên Hà Giang - 2017):

Cho mặt cầu  2 2  2

x  y  z   S và điểm A1;2; 1   Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu sao cho độ dài đoạn AM là lớn nhất.

A M3;6;9 B M1;2; 9  C M1;2;9 D M   1; 2;1

Giải

Tâm của mặt cầu là I1; 2; 5 

Ta nhận thấy A mặt cầu Để AM lớn nhất thì AM là 1 đường kính của hình cầu.

1 1 1

2 2.1 1 1

M

M

M





     



Phương pháp

Cho một điểm A cố định , điểm M là 1 điểm thuộc mặt cầu thì AM lớn

nhất và nhỏ nhất thì đường thẳng AM đều đi qua tâm I của mặt cầu

Ví dụ 13 (Sở GD-ĐT Thanh Hóa - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 1

 và điểm I2; 1;1   Viết

phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A,B sao cho tam giác IAB vuông tại I.

A ( ) :S x 22(y1)2z12 9 B ( ) :S x22(y1)2z12 9

( ) :S x 2 (y1)  z1 8 D ( ) : 22 ( 1)2  12 80

9

Giải

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d  H t(2 2;2t  1; t 1)

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến u  d 2; 2; 1 



d

IH u   t  H    IH 

 

Tam giác IAB là tam giác vuông cân tại I nên IA IH 2 2 2 cũng là bán kính mặt cầu cần tìm

Tổng kết

IAB

3

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp một khối chóp

Ví dụ 14 (Chuyên Sư phạm - 2018):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1;0;0 , B0;0; 2 , C0; 3;0   Bán kính mặt cầu ngoài

tiếp tứ diện OABC là

14

4 C

14

Giải

Ngoài cách giải đặt Ia; ;b c rồi thiết lập hệ bậc nhất 3 phương trình 3 ẩn thì ta có thể sử dụng công

thức giải nhanh

 Vì OA1,OB2,OC3 và đôi một vuông góc  Tứ diện OABC là tứ diện vuông

Công thức giải nhanh

2

 

Ví dụ 15 (Chuyên Sư phạm - 2018):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A0;0; 2 ,  B4;0;0  Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất, đi qua O, A, B có tâm là

A I2;0; 1  B I0;0; 1  C I2;0;0 D 4;0; 2

Giải

Ta có: OA0;0; 2 ,  OB4;0;0

Suy ra: OA OB .   0 OAB vuông tại O.

Gọi M là tâm ngoại tiếp OAB thì M là trung điểm cạnh huyền AB và  là trục của OAB nên đi

qua M và OAB tại M  (OAB)

Vì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp O, A, B thì IA IB IO   I  và IO R

Để IO đạt giá trị nhỏ nhất thì IO d O  ; khi đó I là hình chiếu vuông góc của O lên  hay IO  

Lại có  (OAB)  OM  là hình chiếu vuông góc của O lên  M I

Vậy tọa độ tâm mặt cầu là I2;0; 1 

Kiến thức

hình chữ nhật và hình vuông là giao điểm 2 đường chéo.

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;0 , B  2;3; 2 và đường thẳng : 1

 Mặt

cầu (S) đi qua A,B và có tâm I thuộc đường thẳng d là

A x12(y1)2z22 17 B x12(y1)2z 22 17

C x12(y1)2z22 16 D x12(y 2)2z22 16

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1;0;0 , B0;0; 2 , C0; 3;0   Bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

14

4 C

14

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng

:

d     và tiếp xúc với 2 mặt phẳng ( ) : 2P x z  4 0;( ) : Q x 2y 2 0 là:

A ( ) :S x12(y 2)2z 32 5 B ( ) :S x12(y 2)2z 32  5

C ( ) :S x12(y2)2z32 5 D ( ) :S x12(y 2)2z 32 3

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;2;1 , B3; 1;1 ,  C1; 1;1   Gọi ( )S là1

mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; ( )S và 2 ( )S là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B,C và bán kính đều bằng3

1 Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu ( )S ,1 ( )S ,2 ( )S ?3

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I1; 2;3   Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

A x12(y2)2z 32 4 B x12(y2)2z 32 9

C x12(y2)2z 32 8 D x12(y2)2z 32 16

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với 2 mặt phẳng

( ) :P x2y2z1 0;( ) : Q x 2y 2z 3 0 có bán kính R bằng:

A 2

1

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 P x y z   2 0và mặt cầu

( ) :S x 2 (y1)  z1 9 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bé hơn 3

B (P) tiếp xúc với (S)

C (P) không cắt (S)

D (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I1; 2;5  và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có

phương trình là

A x12(y 2)2z52 2 B x12(y2)2z 52 2

C x12(y2)2z 52 4 D x12(y 2)2z52 4

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A2; 4;0 ,  B0;0; 4 , C1;0;3  Phương

trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

A x2y2z2 2x4y4z0 B x2y2z2 4x3y 4z0

C x2y2z2 6x2y 4z0 D x2y2z2 2x4y 4z0

Câu 11: Trong không gian Oxyz, đâu là phương trình mặt cầu đường kính AB với A1; 1;1 và

 3; 1;3

A x12(y1)2z 22 5 B x12(y1)2z22 5

C x12(y1)2z 22 20 D x12(y1)2z22 20

Câu 11: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm I  1;2; 1 

và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 3 0?

A x12(y2)2z12 3 B x12(y2)2z12 9

C x12(y 2)2z12 3 D x12(y 2)2z12 9

Câu 12: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình ( ) :S x32(y 5)2z 72 4và mặt phẳng ( ) :P x y z   4 0. Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng ( ) P theo một đường tròn (C) Tính chu vi

đường tròn (C).

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;0; 2 và mặt cầu ( ) :S x12(y2)2z32 25

Một đường thẳng d đi qua A, cắt mặt cầu tại hai điểm M,N Độ dài ngắn nhất của MN là:

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : P x y z   6 0,( ) : 2Q x3y 2z 1 0.Gọi

phương trình mặt cầu (S) là

A x2(y1)2z 22 64 B x2(y1)2z 22 67

C x2(y1)2z22 3 D x2(y1)2z22 64

Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng có phương trình

( ) :P x 2y 2z 2 0,( ) :P x 2y2z 8 0,( ) : 2 P x y  2z 3 0, ( ) : 2 P x2y z  1 0 Cặp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tâm I1; 1;1 và bán kính R 1 là

Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A1;2;1 , B0;0;3 , C2;1;1  Gọi (S) là

mặt cầu có bán kính nhỏ nhất đi qua ba điểm A,B,C Tính diện tích của mặt cầu (S).

54

( ) : xS y z 4x6y 2z11 0.

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

C I2;3; 1  và R 5 D I2;3; 1  và s

Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm (2; 4;1) I và mặt phẳng ( ) :P x y z   4 0. Tìm

phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho (S) cắt ( ) P theo một đường tròn có đường kính là 2.

A x22(y4)2z12 4 B x 22(y 4)2z12 3

C x 22(y 4)2z12 4 D x12(y 2)2z 42 3

Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu( ) : xS 2y2z2 2x 4y 6z0. Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn Đường tròn giao tuyến ấy có bán kính r bằng

Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x12(y3)2z 22 49và điểmM(7; 1;5). Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm M là

Câu 21: Tìm m để phương trình sau là phương trình của một mặt cầu:

x y z  2(m1)x2(2m 3)y2(2m1)z11 m0

( ) : xS y z  2x4y 6z10 0 và mặt phẳng ( ) :P x 2y 2z m 0 ( )S

và ( )P tiếp xúc với nhau khi:

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;1;3 , B1;3; 2 , C1; 2;3  Tính bán kính r của mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A1;2;1 , B3; 1;1 ,  C1; 1;1   Gọi ( )S là1

mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; ( )S và 2 ( )S lần lượt là hai mặt cầu có tâm B,C và bán kính đều bằng3

1 Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu ( )S ,1 ( )S ,2 ( )S ?3

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu( ) : xS 2y2z2 2x 6y 4 0 Chọn phát biểu sai

C Điểm A2;3;1nằm trong mặt cầu (S) D Điểm A1; 2;1 nằm ngoài mặt cầu (S)

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) có tâm I1; 2;3 và mặt phẳng

( ) : 2P x 2y z  2 0. Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán

kính bằng 3 Phương trình mặt cầu (S)

9

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho điểm A0;0; 2  và đường thẳng

   Phương trình mặt cầu tâm A, cắt tại B,C sao cho BC 8 là: