(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong đề thi tốt nghiệp THPT

MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Phương trình, bất phương trình mũ – logarit 2.1.2 Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit 2.1.3 Tư phương trình, bất phương trình có chứa tham số 2.1.4 Mối quan hệ phương trình bất phương trình .5 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Mục tiêu giải pháp 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 18 Kết luận, kiến nghị 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 20 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Phương trình, bất phương trình vấn đề quan trọng Tốn học phổ thơng, trải dài xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT Đây vấn đề hay khó, xuất nhiều dạng câu phân loại mức độ cao đề thi Việc giải tốn phương trình, bất phương trình đa dạng phong phú, ngồi việc phân loại theo dạng toán đặc trưng phân loại theo phương pháp giải toán Do đa dạng dạng toán, phương pháp giải mật độ xuất dày đặc đề thi nên học sinh có khối lượng lớn kiến thức tập thực hành khổng lồ Vì vậy, khơng có chiến lược cách học phần kiến thức học sinh dễ sa vào việc lo giải tập toán mà khơng có định hướng tư phương pháp Giải tập Tốn phần quan trọng, khơng thể thiếu mơn Tốn học, làm tập khơng giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời rèn luyện khả tư cho học sinh Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit toán quan trọng, xuất nhiều đề thi THPT quốc gia mức độ vận dụng vận dụng cao Tuy nhiên nội dung lí thuyết phần hệ thống SGK phổ thơng trình bày đơn giản, chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) Điều gây khó khăn nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng tốn phương pháp giải tốn cho học sinh Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải toán, kĩ thực hành giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit Với ý định đó, sáng kiến kinh nghiệm muốn nêu cách xây dựng định hướng “giải nhanh toán phương trình, bất phương trình mũ logarit” theo hướng TNKQ 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng kiến kinh nghiệm nội dung phương pháp trang bị cho học sinh để giải toán phương trình, bất phương trình mũ logarit kĩ giải nhanh câu hỏi TNKQ Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit đề thi tốt nghiệp THPT ” Từ đề giải pháp nhằm nâng cao hiệu giải tốn phương trình, bất phương trình mũ logarit học sinh trường THPT Hoằng Hóa 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp giải tốn phương trình , bất phương trình mũ logarit Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình mũ logarit 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp dạy học theo hướng giải vấn đề Nghiên cứu tư liệu sản phẩm hoạt động sư phạm Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư giải toán học sinh Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh vấn đề liên quan đến nội dung đề tài Phương pháp thống kê, phân tích số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Phương trình, bất phương trình mũ – logarit - Phương trình mũ có dạng a x = b ( a > 0, a ≠ 1) Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit - Phương trình logarit có dạng log a x = b ( a > 0, a ≠ 1) Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit - Bất phương trình mũ có dạng a x > b ( a x < b, a x ≤ b, a x ≥ b ) với a > 0, a ≠ Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ logarit - Bất phương trình logarit có dạng log a x > b ( log a x ≥ b,log a x < b,log a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ logarit 2.1.2 Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit - Phương pháp đưa số a x = a k ⇔ x = k log a x = log a k ⇔ x = k ( k > ) - Phương pháp đặt ẩn phụ Ẩn phụ t = a x t = log a x - Phương pháp mũ hóa logarit hóa Mũ hóa hai vế logarit hóa hai vế - Phương pháp hàm số Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số dạng hàm hàm đặc trưng 2.1.3 Tư phương trình, bất phương trình có chứa tham số - Để giải tốn có chứa tham số ta thường sử dụng phương pháp sau: Phương pháp 1: Dùng tư hàm số Giả sử hàm số y = f ( x ) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ D M N Với hàm phụ thuộc tham số thực m g ( m ) , ta có: + Phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm D ⇔ N ≤ g ( m ) ≤ M + Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm D ⇔ g ( m ) ≤ M + Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm với x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ N Chú ý: Các dạng bất phương trình cịn lại suy luận tương tự Trong trường hợp hàm số khơng có M N hai, cần xem xét cụ thể bảng biển thiên hàm số tương ứng để xây dựng điều kiện cho tham sô Trong số trường hợp cần sử dụng inf sup Phương pháp 2: Xây dựng điều kiện tương ứng cho toán 2.1.4 Mối quan hệ phương trình bất phương trình Định lí (*): “Hàm số f(x) liên tục ( x1; x2 ) phương trình f(x) = vơ nghiệm ( x1; x2 ) Khi f(x) không đổi dấu ( x1; x2 ) ” Chứng minh: Giả sử f(x) đổi dấu ( x1; x2 ) suy tồn a, b ∈ ( x1; x2 ) , a < b mà f ( a) f (b) < Do f(x) liên tục [ a; b ] nên f(x) = có nghiệm (a; b): Trái giả thiết Từ ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Như vậy, biểu thức f(x) liên tục khoảng nghiệm liên tiếp x1 < x2 f(x) khơng đổi dấu ( x1; x2 ) Do để xét dấu f(x) ( x1; x2 ) ta cần thử giá trị cụ thể ( x1; x2 ) Khi việc xét dấu f(x) tập xác định quy giải phương trình f(x) = tập xác định.Từ ta giải bất phương trình liên quan đến xét dấu f(x) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thuận lợi: Nội dung phương trình, bất phương trình học sinh làm quen từ THCS nên gần gũi với học sinh đa số học sinh biết số thao tác Phương trình, bất phương trình mũ logarit xuất nhiều đề thi THPT Quốc Gia nên học sinh làm quen với khối lượng lớn tập đặc sắc, phong phú, đa dạng nội dung dạng tốn 2.2.2 Khó khăn: Do nội dung khó, có nhiều câu xuất đề thi với tư cách câu phân loại khó nên đa số tốn để giải khó khăn Vì gây cho học sinh thói quen rằng: tốn khó khơng có động lực để vượt qua Do đa dạng nội dung, phương pháp mức độ khó, khối lượng tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , phân biệt dạng tập không vận dụng phương pháp giải toán Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mị mẫm để giải tốn chưa thực trọng đến tư phương pháp, tư giải nhanh Do hiệu học giải tốn chưa cao Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư nhanh, giải toán nhanh, kĩ nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, phần phương trình, bất phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Mục tiêu giải pháp Đưa nội dung phương pháp giải toán , dấu hiệu nhận biết phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) phương trình, bất phương trình mũ- logarit 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh toán Việc hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit quan trọng Một mặt giúp học sinh nắm vững kiến thức để tránh sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh rèn luyện kỹ giải tốn Từ tăng tốc độ giải tốn tiến tới mục tiêu giải nhanh câu hỏi đề thi TNKQ Ví dụ Tìm số nghiệm phương trình x A B +35 x + 24 + x − C = 210 x +50 x+ x−2 D.1 Tư duy: Đây phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) = a v( x ) mở rộng từ phương trình mũ Việc giải phương trình cần ý điều kiện xác định hàm số u ( x ) , v ( x ) để tránh sai lầm Lời giải Ta có: Pt ⇔ x + 35 x + 24 + x − = 10 x + 50 x + x −  x − 10 x3 + 35 x − 50 x + 24 = ⇔ ⇔ x ∈ { 2;3;4} x − ≥  Do chọn đáp án B Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm : Pt ⇔ x + 35 x + 24 + x − = 10 x + 50 x + x − ⇔ x − 10 x + 35 x − 50 x + 24 = ⇔ x ∈ { 1;2;3;4} Nguyên nhân không ý điều kiện xác định hàm số u ( x ) , v ( x ) dẫn đến giải sai toán Bài tốn giải máy tính cầm tay (MTCT) nhiên không nhanh cách giải tự luận Ví dụ Trên đoạn [ −150;120] , bất phương trình ( ) −1 110 x > ( ) −1 x −10200 có nghiệm nguyên A 180 B 90 C 181 D 91 Tư duy: Đây bất phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) > a v( x ) mở rộng từ phương trình mũ Việc giải bất phương trình cần ý điều kiện xác định hàm số u ( x ) , v ( x ) số a để tránh sai lầm Lời giải Ta có: Bpt ⇔ 110 x < x − 10200 ⇔ − x + 110 x − 10200 < ⇔ x ∈ ( −∞; −60 ) ∪ ( 170; +∞ ) Kết hợp u cầu tốn, bpt có 90 nghiệm nguyên Do chọn đáp án B Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm : Bpt ⇔ 110 x < x − 10200 ⇔ − x + 110 x − 10200 < ⇔ x ∈ ( −60;170 ) Nguyên nhân không ý số a = − 1∈ ( 0;1) dẫn đến giải sai tốn Ví dụ Tìm tổng bình phương nghiệm phương trình ln( x − x + 7) = ln( x − 3) A B 25 C D 49 Tư duy: Đây phương trình logarit quen thuộc : log a u ( x ) = log a v ( x ) mở rộng từ phương trình logarit Việc giải phương trình cần ý điều kiện xác định logarit để tránh sai lầm Lời giải x − > ⇔ x =5 Ta có: ln( x − x + 7) = ln( x − 3) ⇔  x − x + = x −  Do chọn đáp án B Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm không ý điều kiện xác định logarit dẫn đến không loại nghiệm chọn phương án sai C, xử lí khơng tốt dẫn đến chọn phương án sai A, D Bài toán giải máy tính cầm tay (MTCT) nhiên không nhanh cách giải tự luận Ví dụ Tìm nghiệm bất phương trình log ( x − 1) ≥ A x ≥ B x ≤ 1 3 C x ∈  ;  3 8  3 D x ∈  ;   8 Tư duy: Đây bất phương trình logarit : log a u ( x ) ≥ b mở rộng từ bất phương trình logarit Việc giải bất phương trình cần ý điều kiện xác định logarit số để tránh sai lầm Lời giải 3x − >   3 Ta có: log ( 3x − 1) ≥ ⇔    ⇔ x ∈ 3; 8   3x − ≤  ÷    Do chọn đáp án D Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm không ý điều kiện xác định logarit số logarit dẫn đến chọn phương án sai Bài toán giải máy tính cầm tay (MTCT) cách thử nghiệm loại trừ đáp án, nhiên không nhanh cách giải tự luận Nhiệm vụ giải pháp: Tổng hợp giải toán dạng tương tự ví dụ sai lầm thường gặp 2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh phát nhanh phương pháp Việc học phương pháp giải toán theo phương pháp cách học toán hiệu Thơng qua việc giải tốn theo phương pháp giúp học sinh nắm vững cách giải toán, tăng khả nhận diện phương pháp giải hoàn thiện tư phương pháp.Từ tăng khả phát xử lí tốn, giúp giải nhanh tốn TNKQ Ví dụ Tính tổng giá trị tất nghiệm phương trình log x.log x.log 27 x.log 81 x = A 82 B 80 C D Tư duy: Việc xuất log x;log x;log 27 x;log 81 x giúp học sinh liên hệ tới phương pháp đặt ẩn phụ logarit t = log a x, a ∈ { 3;9;27;81} Tùy kinh nghiệm học sinh mà việc chọn số thuận lợi cho biến đổi giải toán Lời giải t Đặt: t = log81 x ⇔ x = 81 t t t Pt trở thành: ( log 81 log 81 log 27 81 ) t = t = 0,5 ⇔ 16t = ⇔  t = −0,5 Khi : x = x = Do chọn đáp án A Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm đặt ẩn phụ t = log81 x lại cho thêm điều kiện t > nên chọn C phương án sai Nguyên nhân chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ logarit Bài tốn giải máy tính cầm tay (MTCT) nhiên khơng nhanh cách giải tự luận Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = x.7 x Khẳng định sau khẳng định sai ? 2 A f ( x ) < ⇔ x + x log < B f ( x ) < ⇔ x ln + x ln < C f ( x ) < ⇔ x log + x < D f ( x ) < ⇔ + x log < Tư duy: Đây toán dạng biến đổi bất phương trình phương pháp logarit hóa Từ kiểm tra cẩn thận đáp án để khẳng định sai Lời giải Khi logarit hóa hai vế cần ý tới số a ∈ ( 0;1) hay a > để biến đổi Đáp án A , logarit hai vế với số a = > nên không đổi chiều BPT, biến đổi sau Đáp án B đúng, logarit hai vế với số a = e > nên không đổi chiều BPT, biến đổi sau Đáp án C đúng, logarit hai vế với số a = > nên không đổi chiều BPT, biến đổi sau Đáp án D sai, logarit hai vế với số a = > nên không đổi chiều BPT, biến đổi sai lầm rút gọn x Nhận xét Đây câu hỏi hay đề BGD, số học sinh lúng túng khơng tìm cách giải thích Một số học sinh dùng MTCT thử giá trị để tìm phương án sai lại gặp bất lợi thói quen chọn x > Ví dụ Bất phương trình x2 − 2( x +1) ≤ x + − x có tập nghiệm đoạn [ a; b ] Tính a + b A B C D Tư duy: Việc xuất hàm mũ có tính chất tương tự hàm đa thức giúp học sinh liên hệ tới phương pháp hàm số Đây câu hỏi tương đối rõ ràng phương pháp giải toán Lời giải Bpt ⇔ 22 x + x = 2( x +1) + ( x + 1) ⇔ f ( x ) ≤ f f ( t ) = 2t + t đồng biến ¡ ( ( x + 1) ) với hàm đặc trưng Bpt ⇔ x ≤ ( x + 1) ⇔ x − x − ≤ ⇔ x ∈ [ a; b ] , a = − 2, b = + 2 Khi a + b = Do chọn đáp án A Nhận xét Bài tốn tương đối rõ ràng phương pháp giải toán, thực tế học sinh nắm vững cách nhận diện phương pháp làm nhanh Ví dụ Cho a số thực dương thỏa mãn a ≠ bất phương trình 15 2log a ( 23 x − 23 ) > log a ( x + x + 15 ) nhận x = làm nghiệm Tìm tập nghiệm bất phương trình  17  B S =  1; ÷  2 A S = ( 2;8 ) 19   C S =  −∞; ÷ 2  D S = ( 2;19 ) Tư duy: Nhận thấy bất phương trình giải phương pháp biến đổi đưa số Vấn đề cần giải số ? Lời giải Vì bpt nhận x = 2log a 15 làm nghiệm nên: 299 > log a 345 299 345 ⇔ log a > log a ⇔ a >1 4 2 Khi đó: Bpt ⇔ log a ( 23 x − 23) > log a ( x + x + 15 ) ⇔ 23 x − 23 > x + x + 15 ⇔ x − 21x + 38 < ⇔ x ∈ ( 2;19 ) 10 Do chọn đáp án D Nhận xét 15 bất phương trình để thu a > Một số học sinh sử dụng MTCT cho kết nhanh Bài toán nàymột số học sinh gặp khó khăn xử lí nghiệm x = 2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán Việc giúp học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán thiết thực, thi TNKQ Sử dụng MTCT vừa giúp học sinh giảm thời gian tính tốn, tăng độ xác vừa giúp học sinh phát triển tư thuật toán, khả loại trừ khả đọc tình Tuy nhiên khơng nên cường điệu hóa MTCT xem nhẹ việc sử dụng MTCT, cần cho học sinh thấy cần thiết mức MTCT để hỗ trợ q trình giải tốn Kĩ MTCT 1: Thử giá trị để chọn đáp án trả lời Ví dụ Tìm tập nghiệm S phương trình log A S = { + 5} B S = { − 5; + 5} ( x − 1) + log ( x + 1) = C S = { 3}  + 13      D S =  Tư duy: Đây câu hỏi đề thi BGD, việc thử nghiệm MTCT khả thi Hướng dẫn dùng MTCT Bước 1: Nhập hàm số vế trái vào MTCT Bước 2: Dùng chức thử giá trị (CALC), thử đáp án để chọn phương án trả lời Phương án A Nhận xét Trong thực tế dạy học, thời gian để học sinh giải MTCT tự luận tương đương Nhưng sử dụng MTCT có ưu điểm cho học sinh trung bình trở xuống, làm tự luận em gặp sai lầm không xét điều kiện xác định cho phương trình biến đổi sai Ví dụ 10 Biết a số thực dương cho bất đẳng thức 3x + a x ≥ x + x với số thực x Mệnh đề sau ? A a ∈ ( 10;12] B a ∈ ( 16;18] C a ∈ ( 14;16] D a ∈ ( 12;14] Tư duy: Đây câu tương đối lạ khó, việc thử giá trị MTCT cách giải dễ nhận thấy làm TNKQ cho toán Hướng dẫn dùng MTCT x x x x x x x x Ta có: a ≥ + − ⇔ a ≥ f ( x ) với f ( x ) = + − ( có a > ) 11 x x x Bước 1: Nhập hàm số f ( x ) = + − vào MTCT Bước 2: Dùng chức thử giá trị (CALC): Thay x = ta f ( 1) = 12 nên a ≥ 12 Thay x = a 100   ta : f  ÷ ≈ 1,029247799 nên 100  100  ≥ 1,029247799 ⇒ a ≥ ( 1,029247799 ) 100 ≈ 17,8646578 Do chọn đáp án B Nhận xét Trong thực tế dạy học, học sinh khơng có hướng giải tự luận cho câu Vận dụng cao Tuy nhiên, sử dụng MTCT để khảo sát giá trị nhiều học sinh đến đáp án cần chọn Việc sử dụng MTCT chọn giá trị cho học sinh trải nghiệm tốt, học sinh dùng chức TABLE để khảo sát giá trị f ( x ) khoảng đặc trưng khác tìm giá trị x hợp lí Trên sở sử dụng MTCT, học sinh có lời giải tự luận sau: Từ thực hành MTCT dự đoán a = 18 , tiến hành chứng minh bđt: 3x + 18 x ≥ x + x với số thực x x x x x x x x Chứng minh: − + 18 − ≥ ⇔ ( − 1) ( − 1) ≥ (10) Do (a) với x = 3x − 1,2 x − dấu với x khác nên (10) với số thực x Như MTCT không hỗ trợ tích cực giải tốn TNKQ mà số tình cịn định hướng giải tốn tự luận Kĩ MTCT 2: Loại trừ đáp án phép chọn Ví dụ 11 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log 22 x − 2log x + 3m − < có nghiệm thực A m < B m < C m < D m ≤ Tư duy: Đây câu hỏi đề thi BGD, việc thử nghiệm MTCT có hiệu cho học sinh Hướng dẫn dùng MTCT Bước 1: Chọn giá trị m = ta có bpt: log 22 x − 2log x < ⇔ < log x < (1) Thử MTCT thấy x = nghiệm nên m = giá trị cần tìm 12 Khi đó: Đáp án B C bị loại Bước 2: Chọn giá trị m = ta có bpt: log 22 x − 2log x + < ⇔ ( log x − 1) < Bpt thu vô nghiệm nên m = khơng giá trị cần tìm Khi đó: Đáp án D bị loại Bước 2: Đáp án chọn A Nhận xét Trong thực tế dạy học, câu hỏi mà việc giải MTCT có ưu điểm rõ rệt so với cách làm tự luận Học sinh có nhiều cách chọn cho tham số m hình thành kĩ thử ngược để loại trừ đáp án Kĩ MTCT 3: Khảo sát miền giá trị Ví dụ 11 Cho phương trình x +1+ 3− x − 14.2 x+1+ 3− x + − m = Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm 13 A −41 ≤ m ≤ 32 B −12 ≤ m ≤ C −41 ≤ m ≤ −32 D −12 ≤ m ≤ Tư duy: Đây câu hỏi mức độ Vận dụng đề thi trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2018 Việc sử dụng MTCT để giải tốn có hiệu giải tự luận, sau học sinh biết cô lập tham số Hướng dẫn dùng MTCT Cô lập tham số ta được: m = f ( x ) Bước 1: Mở chức TABLE MTCT nhập hàm f ( X) =4 X +1+ 3− X − 14.2 X +1+ 3− X +8 Chọn: Start: X = −1 , End : X = , Step: 29 Bước 2: Căn bảng giá trị MTCT ta thu được: a ≤ m ≤ b a ≈ −40,99999983 , b = −32 Do chọn phương án C Nhận xét Trong thực tế dạy học, câu hỏi mà việc giải MTCT có ưu điểm rõ rệt so với cách làm tự luận Một số học sinh thực hai lần quy trình thêm bước ẩn phụ t = x + + − x để đơn giản dùng MTCT 2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “chuyển phương trình” 13 Việc giải phương trình f ( x ) = thường đơn giản việc giải bất phương trình tương ứng: f ( x ) < 0, f ( x ) ≤ 0, f ( x ) > 0, f ( x ) ≥ Vì giải phương trình giải theo pt hệ quả, giải xong kiểm tra điều kiện , bpt việc biến đổi đòi hỏi chặt chẽ để thu bpt tương đương Nhờ định lí (*), chuyển toán giải bpt giải phương trình tương ứng kết hợp MTCT (Kn MTCT) để hỗ trợ giải tốn Giải bất phương trình kĩ thuật “chuyển phương trình” thực theo thuật tốn sau: Bước 1: Tìm tập xác định D bpt Chuyển bpt dạng: f ( x) ≥ (hoặc dạng tương ứng) Bước 2: Giải phương trình f ( x) = Bước 3: Xét dấu f ( x) tập xác định D dựa vào định lí (*) Kết luận nghiệm cho tốn ( ) 3 Ví dụ 12 Giải bất phương trình: log x + log x + 35 − x > log tập nghiệm khoảng ( a; b ) Tính S = a + 2b A S = B S = 26 C S = 10 30 35 − x3 ta D S = 28 Tư duy: Bài toán giải trực tiếp bpt phải xét điều kiện việc giải bpt ( ) 3 3 thu được: x 35 − x x + 35 − x > 30 gặp nhiều khó khăn tốn thời gian nhiều Dùng kĩ thuật “chuyển phương trình”, việc giải tốn nhẹ nhàng thích hợp với thi TNKQ Lời giải Bước1: Tập xác định bpt: D = ( 0; +∞ ) ( ) ( ) 30 bpt ⇔ log  x x + 35 − x  > log ⇔ x 35 − x x + 35 − x − 30 >   3 35 − x ( ) ⇔ f ( x ) > , với f ( x ) = x 35 − x x + 35 − x3 − 30 D = ( 0; +∞ ) ( ) 3 3 Bước 2: Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x − 30 = Đặt : y = 35 − x  xy ( x + y ) = 30  xy ( x + y ) = 30  xy = ⇔ ⇔ Ta có hệ pt:  3  x + y = 35 ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 35  x + y = 14 x = x = Khi đó:   y = y = Giải kiểm tra, ta nghiệm phương trình f ( x) = là: x = x = Bước 3: Lập bảng xét dấu f ( x) D = ( 0; +∞ ) x f(x) − +∞ + − Căn bảng xét dấu, Tập nghiệm bpt là: ( 2;3) Do chọn đáp án B Nhận xét Đây kĩ thuật giải toán nhanh bpt, phù hợp với thi TNKQ Qua kĩ thuật này, thực học sinh thấy mối quan hệ biện chứng pt bpt Từ giải, học sinh đọc tập nghệm bpt cịn lại cách nhanh chóng nhận thấy việc giải bpt thực chất xét dấu biểu thức tương ứng tập xác định 2.3.2.5 GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí tốn chứa tham số Các toán chứa tham số pt –bpt mũ logarit có đặc trưng khó khăn riêng Do đó, việc hướng dẫn học sinh xử lí tốn ptbpt mũ logarit việc làm cần thiết, thi TNKQ Qua việc phân loại thực hành giải toán giúp học sinh nắm vững đặc trưng có kĩ xử lí khó khăn giải tốn Sau số hướng xử lí bản: Hướng xử lí 1: Các tốn xử lí MTCT Bài toán xuất với phương án chọn có dạng đáp số, thay giải trực tiếp dùng MTCT để xử lí (Xem 2.3.2.3 GP3 ) Hướng xử lí khơng thực tốn có đáp án dạng gián tiếp Hướng xử lí 2: Cơ lập tham số Đây hướng xử lí cho lớp tốn độc lập tham số việc giải tốn quy khảo sát hàm số Dạng xuất nhiều đề thi Ví dụ 13 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ 0;10] để tập nghiệm bất phương trình log 22 x + 3log x − < m ( log x − ) chứa khoảng ( 256;+∞ ) ? A B 10 C D 15 Tư duy: Bài tốn cô lập tham số m , để toán đơn giản nên sử dụng phép ẩn phụ t = log x Lời giải Đặt: t = log x Khi đó: x ∈ ( 256; +∞ ) ⇔ t ∈ ( 8; +∞ ) Bpt trở thành: Hàm sô f ( t ) = t +1 t − 6t − ⇔m> (*) t − 6t − < m ( t − ) ⇔ m > t −7 t −7 t +1 nghịch biến [ 8;+∞ ) t −7 Suy ra: f ( t ) ≤ 3, ∀t ∈ [ 8; +∞ ) ⇒ f ( t ) < 3, ∀t ∈ ( 8; +∞ ) Do m ≥ nên chọn đáp án C Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm đặt ẩn phụ t = log x mà không hạn chế lại cho t khơng lập tham số để giải tốn Ví dụ 14 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình x − 8.3x + = m có hai nghiệm thuộc khoảng ( log 2;log ) B 16 A C D 17 Tư duy: Bài tốn lập tham số m , để toán đơn giản nên sử dụng phép ẩn phụ t = 3x Lời giải Đặt: t = 3x Khi đó: x ∈ ( log 2;log ) ⇔ t ∈ ( 2;8 ) Pt trở thành: m = t − 8t + Hàm sô f ( t ) = t − 8t + [ 2;8] có bảng biến thiên: x f '( x ) f ( x) -9 -13 Căn bbt, yêu cầu toán ⇔ −13 ≤ m < −9 Do m có giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C Nhận xét 16 Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm đặt ẩn phụ t = 3x mà không hạn chế lại cho t đặt điều kiện cho phương trình có hai nghiệm phân biệt biệt thức ∆ Hướng xử lí 3: Xây dựng điều kiện cho tham số Lớp toán đa dạng, việc rèn luyện cho học sinh kĩ xây dựng điều kiện cho tham số cách dạy – học toán hiệu Một mặt giúp học sinh hình thành kĩ xây dựng điều kiện cho toán, mặt khác rèn tư sáng tạo cho học sinh, từ giúp học sinh có tố chất giải nhanh TNKQ Ví dụ 15 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình ( m + 1) 16 x − ( 2m − 3) x + 6m + = có hai nghiệm thực trái dấu A.1 B C D Tư duy: Bài toán cần xây dựng mối liên hệ t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn phụ dạng mũ: t = x Lời giải Đặt: t = x Pt trở thành: ( m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + = (15) Giả sử : x1 < < x2 ⇔ < t1 < < t2 u cầu tốn ⇔ pt(15) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn < t1 < < t2 a ≠  ⇔ ∆ > 0, S > 0, P > ⇔ m ∈ ( −4; −1) ( t − 1) ( t − 1) <  Do m có giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C Nhận xét Đây toán mà việc xây dựng điều kiện cho toán làm bật mối liên hệ phép ẩn phụ dạng mũ Qua toán giúp học sinh hiểu rõ chất xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ Ví dụ 16 Giá trị thực tham số m để phương trình log 32 x − 3log x + 3m − = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn ( x1 + 3) ( x2 + 3) = 72 thuộc khoảng sau đây?   A  − ;0 ÷    5 B  0; ÷  3  10  C  ; ÷ 3   10  D  ;5 ÷   Tư duy: Bài toán cần xây dựng mối liên hệ t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn phụ dạng logarit: t = log x Lời giải 17 Đặt: t = log x Pt trở thành: t − 3t + 3m − = (16) Ta có: t = log x ⇔ x = 3t x1.x2 = 3t1.3t2 = 3t1 +t2 = 33 = 27 x1 + x2 = 3t1 + 3t2 = 3t1 + 33−t1 t 3−t Khi đó: ( x1 + 3) ( x2 + 3) = 72 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) = 63 ⇔ + = 12 u cầu tốn ⇔ pt(16) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 3t1 + 33−t1 = 12 ∆ ≥ t 3−t ⇔ t Mà: + = 12 ⇔ t1 = t1 = 3−t1 3 + = 12 Khi ta thu m = Do chọn đáp án C Nhận xét Đây toán mà việc xây dựng điều kiện cho toán làm bật mối liên hệ phép ẩn phụ dạng mũ Qua toán giúp học sinh hiểu rõ chất xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Việc rèn luyện thực hành giải Tốn giúp học sinh tự tin có sở phương pháp để giải nhanh câu hỏi TNKQ Từ nâng cao dần lực giải Tốn nói chung giải phương trình, bất phương trình mũ logarit nói riêng Thể việc học sinh lớp tơi dạy có nhiều học sinh vượt qua câu hỏi khó phương trình, bất phương trình mũ logarit kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh kì thi THPT Quốc gia năm 2020 Việc xây dựng giải pháp, dấu hiệu sáng tạo kĩ thuật giải Toán khơng giúp học sinh học Tốn sáng tạo, kích thích tư duy, say mê học Tốn mà cịn định hướng cách học cho học sinh nội dung khác Tốn học phổ thơng Điều góp phần lớn vào phong trào học tập học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3, đặc biệt nhóm học sinh chất lượng cao, chinh phục điểm cao kì thi, qua giúp nhà trường bước cải thiện nâng dần công tác học sinh mũi nhọn Nội dung SKKN trình bày Tổ chuyên môn đến đồng nghiệp đồng nghiệp áp dụng vào thực tiễn dạy học trường THPT Hoằng Hóa Qua thực tiễn nhiều năm nhận thấy tính hiệu cao SKKN tạo cách dạy, cách tiếp cận độc đáo đến nội dung Toán học Nó mẫu để giáo viên áp dụng cho nội dung khác tạo nên phong cách học Toán sáng tạo cho học sinh SKKN giúp ích thân nhiều, đặc biệt trực tiếp giảng dạy học sinh Việc dạy cho học sinh lớp chất lượng cao, học sinh đội tuyển học sinh giỏi thực tế giúp thân rút nhiều kinh nghiệm quý báu, để từ 18 sáng tạo kĩ thuật mới, giúp cho việc dạy học trở nên thực tư sáng tạo Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Muốn thành công công tác giảng dạy trước hết đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết với nghề, phải đam mê tìm tịi học hỏi, phải nắm vững kiến thức bản, phải tổng hợp kinh nghiệm áp dụng vào giảng SKKN dạng toán, dấu hiệu đặc trưng kĩ thuật giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit Giáo viên cần phải biết phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức học sinh Trong trình giảng dạy phải coi trọng việc hướng dẫn học sinh đường tìm kiến thức mới, khơi dậy óc tò mò, tư sáng tạo học sinh, tạo hứng thú học tập, dẫn dắt học sinh từ chỗ chưa biết đến biết, từ dễ đến khó Trong thực tế vận dụng SKKN giúp học sinh việc định hướng giải toán với nội dung cụ thể mà thơng qua để học sinh thấy việc “ tư phương pháp ” kĩ giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit tốt có kết Từ thơi thúc học sinh tìm tịi sáng tạo để trang bị cho quy trình lượng kiến thức Nội dung kiến thức SKKN nội dung học sinh tiếp cận nửa sau lớp 12, số học sinh trung bình trung bình khả vận dụng vào giải tốn cịn lúng túng, toán cần linh hoạt lựa chọn phương pháp hay gặp bế tắc giải toán học sinh thường không chuyển hướng cách suy nghĩ để giải toán ( thể sức “ỳ” tư cịn lớn) Vì dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt sáng tạo vận dụng giải tốn Điều địi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình cách giải toán linh hoạt toán Khả ứng dụng thực tiễn giảng dạy nhà trường SKNN cao, giáo viên nào, lớp học áp dụng vào giảng dạy hiệu 19 SKKN mở rộng lớp toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tư phương pháp cho nội dung khác Toán học 3.2 Kiến nghị Qua thành công bước đầu việc áp dụng nội dung thiết nghĩ cần thiết phải có đổi cách dạy học Không nên dạy học sinh theo quy tắc máy móc cần cho học sinh quy trình mơ cịn mang tính chọn lựa để học sinh tự tư tìm đường giải toán SKKN tiếp cận đến vấn đề khó phổ dụng việc dạy học sinh chất lượng cao, thực tế giảng dạy trường THPT Hoằng Hóa nhiều năm cho thấy hiệu rõ rệt Vì vậy, giáo viên khác áp dụng sáng tạo thêm để nâng cao chất lượng học sinh mà giảng dạy Mong qua báo cáo kinh nghiệm đồng nghiệp cho thêm ý kiến phản hồi ưu nhược điểm cách dạy nội dung Cuối mong nội dung đồng nghiệp nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút điều bổ ích Bài viết chắn cịn nhiều thiếu sót mong đóng góp ý kiến, phản hồi đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng 05 năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Đinh Thế Ninh 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Sách giáo khoa Giải Tích 12 – Trần Văn Hạo(tổng chủ biên ) – Vũ Tuấn(chủ biên) – NXB Giáo Dục [2] Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017, 2018 Sở Giáo Dục Đào Tạo [3] Đề thi THPT Quốc Gia đề Minh họa, Tham khảo Bộ Giáo Dục Đào Tạo [4] Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2020, 2021 trường THPT nước [5] Tham khảo số tài liệu mạng internet - Nguồn: http://www.vnmath.com/ - Nguồn: http://k2pi.net.vn/ 21 ... phương trình, bất phương trình mũ logarit kĩ giải nhanh câu hỏi TNKQ Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit đề thi tốt nghiệp THPT ” Từ đề giải pháp nhằm... (TNKQ) phương trình, bất phương trình mũ- logarit 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh toán Việc hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình mũ. .. trình, bất phương trình học sinh làm quen từ THCS nên gần gũi với học sinh đa số học sinh biết số thao tác Phương trình, bất phương trình mũ logarit xuất nhiều đề thi THPT Quốc Gia nên học sinh