chủ đề 24 bí quyết tìm min max môđun số phức

CHỦ ĐỀ 24: BÍ QUYẾT TÌM MIN MAX MÔĐUN SỐ PHỨCA.. KIẾN THỨC NỀN TẢNGBước 1: Đặt z a bi  , thay vào hệ thức điều kiện của đề bài, biến đổi, bình phương khử căn để thu đượcmột điều kiện r

CHỦ ĐỀ 24: BÍ QUYẾT TÌM MIN MAX MÔĐUN SỐ PHỨC

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Một số công thức cần nhớ

z z  z z z z1 2 z z1 2 z z1 2 z z1 2

2

z z

z z Re  Im 

z   , z  

z  z z  z z  z z1  z2 z1z2 z1  z2  z Re z ,Im z  z

2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho 2 bộ số a, b và x, y ta luôn có: ax by 2 a2b2 x2y2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x y

a b

3 Bất đẳng thức Cô si

Cho 2 số thực không âm x, y ta luôn có x y 2 xy và

2 2

2

x y

4

x y

xy  Dấu = xảy ra khi và chỉ khi xy

4 Bất đẳng thức Vec-tơ

a b .

B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Phương pháp đại số

Bước 1: Đặt z a bi  , thay vào hệ thức điều kiện của đề bài, biến đổi, bình phương khử căn để thu được một điều kiện ràng buộc (*)

Bước 2: Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển như Cô si hay Bunhiacopxki để đánh giá biểu thức cần tìm

min max dựa trên điều kiện

Ví dụ 1: (Sở GD&ĐT Bắc Giang – Lần 1 – Năm 2017) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 3 4 i 4 Tìm giá trị lớn nhất P của biểu thức P max z

A P max 9 B P max 5 C P max 12 D P max 3

Giải

Biến đổi hệ thức điều kiện:

a 32 b 42 16 1  a2 b2 6a 8b 9 2 

Xét Pz  a2b2  6a 8b 9

6a 8b2 36 64  a2b2 100 z2

Vậy  2  z2  100 z2  9 z210 z    9 0 1 z  9

=> Chọn A.

Kinh nghiệm

Phép rút a2b2 6a 8b 9 rồi thế vào T là phép biến đổi rất quan trọng và thường xuyên sử dụng

trong phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển nên chúng ta cần ghi nhớ

Ví dụ 2: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – Lần 2 – Năm 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

z   Tìm giá trị lớn nhất của T   z i z 2 i

A maxT 8 2 B maxT 4 C maxT 4 2 D maxT 8

Giải

Khi đó z1  2 a 1 b  2 a12b2  2

a 12 b2 2

T  a  b  a  b

T  a  b  a  b

Vậy T 4

=> Chọn B.

Phân tích

Bất đẳng thức Cô si x y 2 xy sẽ biến tổng thành tích và có khả năng tìm được min của T điều này là

trái với chiều tìm maxT max của đề bài  Không thể dùng BĐT Cô si mà phải dùng BĐT

Bunhiacopxki.

Ví dụ 3: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – Năm 2017) Cho các số phức z, w thỏa mãn

z  i  z i ,w iz  Giá trị nhỏ nhất của w là

2

Giải

Gọi z a bi a,b R     Biến đổi hệ thức điều kiện:

z  i  z i  a  b i  a b i

a 22 b 22 a2 b 42

Ta có: w i a bi      1 b 1 ai   b 12a2  a2b 12

Lại có: a b  2 a b 1 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số 1,1 và a,b 1

a b 12 1 1a2b12  1 2 w2

Vậy giá trị nhỏ nhất của w là 2

2

=> Chọn A.

Bình luận

Cái hay của bài toán này ở phép biến đổi:  b 12a2  a2b12

Ví dụ 4: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 4 – Năm 2017) Cho số phức z không phải số thực và

2

2

z

w

z



 là số thực Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 1 i là

=> Chọn A.

Ví dụ 5: (Thi thử Thukhoa.edu.vn) Cho số phức z thỏa mãn z 2i  z 2 Giá trị nhỏ nhất của

P z i  z  i là

=> Chọn B.

Dạng 2: Phương pháp hình học

Ví dụ 6: (Đề Minh Họa – Lần 3 – Bộ GD&ĐT – Năm 2017) Xét số phức z thỏa mãn

z  i  z  i  Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i Tính

2

2

Giải

Đặt z a bi a,b R     và có điểm biểu diễn là M a,b  

Khi đó

( a ) ( b ) ( a ) ( b )

(1)

Gọi A2 1;  và B ;4 7 thì  1  MA MB 6 2

Mặt khác ABAB  4 2 27 1 2 6 2 tức là M thuộc đoạn thẳng AB.

Xét z  1 i a12b12

Gọi C ;1 1 thì z  1 i MC

Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên MC nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của C lên AB tức là

2 2

MC d C; AB   

Để MC lớn nhất thì C phải ở biên, tức là C trùng với A hoặc B.

2

Min Max  

=> Chọn B.

Bình luận

Để rút gọn được biểu thức điều kiện a22b12  a 42b 72 6 2 là công việc cực kì phức tạp, mất thời gian Mặt khác nó có dạng tổng độ dài của 2 đoạn thẳng nên ta ưu tiên chọn cách hình học

Ví dụ 7: (Đề thi thử Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn nhất1 của biểu thức P  z 1 2 z1

A maxP 2 5 B maxP 2 10 C maxP 3 5 D maxP 3 2

Giải

Hình vẽ minh họa:

Đặt z x yi x, y R     suy ra M x; y là điểm biểu diễn số 

phức z.

Ta có z  1 x2y2 1  M thuộc đường tròn

 C : x2y2 1

Gọi A1 0; ,B ; 1 0 suy ra A,B C và biểu thức

2

MA MB AB

y

x

O

M

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

P  MA MB   MA MB

Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 5

=> Chọn A.

Kinh nghiệm

Các điểm xuất hiện trong bài ví dụ như A1 0; ,B ; 1 0 luôn có tính chất đặc biệt nào đó, để làm được bài cực trị mô đun số phức theo cách hình học thì ta phải khám phá được tính chất này

Ví dụ 8: (Đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương) Cho số phức z, w thỏa mãn

z  i  z i và w iz 20 Giá trị nhỏ nhất m của w là

A 3 10

2

m  B m 7 10 C 10

2

m  D m 2 10

Giải

Gọi A ;1 2 ,B ;0 5  suy ra 1 7

2 2

I ; 

của đoạn thẳng AB.

Thế vào biểu thức điều kiện z 1 2i  z 5i

MA MB

AB là  Δ : x3y10 0

Gọi C ;0 20, ta có w iz20 ai b 20  a2   b 202 MC

Để w đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MC  Δ hay w min d C;  Δ 

.

Vậy m 7 10

=> Chọn B.

Phân tích

thẳng) nên trong trường hợp này sẽ không có max của MC.

Ví dụ 9: (Đề thử sức THPT Lần 5) Cho số phức z thỏa mãn z 4 z4 10 Giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của z lần lượt là

=> Chọn D.

Ví dụ 10: (Đề thi thử THPT Thăng Long – Hà Nội) Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn điều kiện

nhất của diện tích tam giác OMN

=> Chọn D.

Dạng 3: Phương pháp dùng bất đẳng thức mô đun

Công thức thường dùng

 

z  z z z Dấu = xảy ra khi và chỉ khi z1k.z2 với k 0

 

z  z z  z Dấu = xảy ra khi và chỉ khi z1k.z2 với k 0

 

z z  z  z Dấu = xảy ra khi và chỉ khi z1 k.z2 với k 0

 

z  z  z  z Dấu = xảy ra khi và chỉ khi z1 k.z2 với k 0

z z  z  z z  z

Ví dụ 11: (Sở GD-ĐT Hưng Yên – Năm 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 Gọi M, m lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z 2 i Tính S M 2m2

Giải

Ta có: z 1 2i    z 2 i 3 3 i  z  2 i 3 3 i P 3 2

3 2 4

3 2 4

M

m



 



Từ đó  S M2m2 3 2 4  2 3 2 4 2 68

=> Chọn C.

Phân tích

Việc đánh giá từ tổng

x y

 sang tích xy rõ ràng là dấu hiệu dùng bất đẳng thức Cô si x y 2 xy chứ không thể dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki được.

Ví dụ 12: (Sở GD-ĐT Hà Tĩnh – Năm 2017) Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4 i 2, gọi z và 1 2

z là số phức có mô đun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của 2 số phức này là

Giải

Ta có: 2 z  2 4 i  z  2 5

Giá trị lớn nhất của z là 2 5 2 , dấu = xảy ra khi và chỉ khi z k. 2 4 i

Giá trị nhỏ nhất của z là 2 5 2 , dấu = xảy ra khi và chỉ khi z k. 2 4 i

Kết hợp 2 z  2 5  2k.2 5 2 5

=> Chọn D.

Bình luận

Việc tìm dấu = trong bất đẳng thức mô đun là tương đối khó khăn, đây cũng là một nhược điểm của cách dùng bất đẳng thức mô đun.

Ví dụ 13: (Đề thi thử THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

z  i  Giá trị lớn nhất của z 1 i là

=> Chọn D.

Ví dụ 14: ( Đề thi thử THPT Chuyên KHTN – Lần 4) Với hai số phức z và 1 z thỏa mãn2

1 2 8 6

z z   i và z1 z2 2 Tìm giá trị lớn nhất của Pz1  z2

A P  5 3 5 B P 2 26 C P 4 6 D P 34 3 2

=> Chọn B.

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 6 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 2 z và max z 1 2i  a b 2 Tính a b

3.

Câu 2 (Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 6 - 2018) Cho các số phức z,z ,z thỏa mãn1 2

2 z  2 z z  z 6 2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pz  z z 1  z z 2

Câu 3 (Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 1 - 2018) Cho số phức z thỏa điều kiện

z  z z i Giá trị nhỏ nhất của z i bằng

Câu 4 (THPT TH Cao Nguyên – Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn 2 2 4

M và n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M.n.

Câu 5 (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 4 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và

2

2

z

w

z



 là số thực Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 1 i là

Câu 6 (Sở GD&ĐT Hải Dương - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z.z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu1

thức: Pz33z z  z z

A 15

3

13

Câu 7 (Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 7 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4 i 2 và

w z i Khi đó w có giá trị lớn nhất là

Câu 8 (Sở GD&ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 8 - 2018) Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên

đường thẳng 3x 4y 3 0 , z nhỏ nhất bằng

A 1

3

4

2

5.

Câu 9 (THPT Đông Quan – Lần 1 - 2018) Trong các số phức z thỏa mãn: z    1 i z 1 2i , số phức

z có mô đun nhỏ nhất là

A 3 3





5 10 i.

Câu 10 (THPT Thanh Thủy – Phú Thọ - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ, hãy tìm số phức z có mô đun

nhỏ nhất, biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4 i  5

A z 1 2i B z 1 2i C z 1 2i D z 1 2i

Câu 11 (THPT TH Cao Nguyên – Lần 1- 2018) Cho số phức thỏa mãn z 2 2 i 1 Giá trị lớn nhất

của z là

Câu 12 (THPT Chuyên Bến Tre - 2018) Xét số phức z thỏa mãn 1

2

z i z

z i z







Mệnh đề nào sau đây

là đúng?

Câu 13 (Sở GD-ĐT Hà Tĩnh - 2018) Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4 i 2, gọi z và 1 z là số2

phức có mô đun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của hai số phức z và 1 z bằng2

Câu 14 (THTT Số 478 - 2018) Xét số phức z thỏa mãn 2 z1 3 z i 2 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2 z  . B z  2 C 1

2

2 z 2.

Câu 15 (THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn1 nhất của biểu thức T   z 1 2 z1

A maxT 2 5 B maxT 2 10 C maxT 3 5 D maxT 3 2

Câu 16 (THPT Chuyên Lam Sơn – Lần 1 - 2018) Cho số phức z, tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z

3 2

i z i

 

 

Câu 17 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Lần 1 - 2018) Biết số phức z a bi, a,b     thỏa mãn điều kiện z 2 4 i  z 2i có mô đun nhỏ nhất Tính M a2b2

Câu 18 (THPT Chuyên Sơn La – Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i  5 và

1

w z  i có mô đun lớn nhất Số phức z có mô đun bằng

Câu 19 (THTT Số 478 - 2018) Xét số phức z thỏa mãn 2 z1 3 z i 2 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 20 (THTT Số 478 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 1 3

z

  Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của z là

Câu 21 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Lần 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn

A min 3

2

w  B min w  2 C min w  1 D min 1

2

w 

Câu 22 (THPT Hà Huy Tập – Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z2 i 1 Giá trị lớn nhất của z

là

Câu 23 (THPT Hà Huy Tập – Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z1  z i Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức w2z 2 i

A 3

3

2.

Câu 24 (Sở GD&ĐT Quảng Ninh – Lần 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

A z 1 i B z 2 2i C z 2 2i D z 3 2i

Câu 25 (Sở GD&ĐT Quảng Ninh – Lần 1 - 2018) Cho hai số phức z , z thỏa mãn1 2

P

A P 1 i B P 1 i C P 1 D P 1 i.

Câu 26 (THPT Gia Lộc 2 – Lần 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn iz 4 3i 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của z

Câu 27 (THPT Chuyên Bắc Giang – Lần 1 - 2018) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

3

2 3

2

z    i

z    i

Câu 28 (Chuyên KHTN – Lần 4 - 2018) Với hai số phức z và 1 z thỏa mãn 2 z1z2  8 6i và

z  z  Tìm giá trị lớn nhất của Pz1  z2

A P  5 3 5 B P 2 26 C P 4 6 D P 34 3 2

Câu 29 (THPT Nguyễn Trãi – Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2 i 1 Số phức z i có

mô đun nhỏ nhất là

Câu 30 (THPT Trần Hưng Đạo – Lần 3 - 2018) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

z i   z i Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất

A z 1 2i B 1 2

5 5

z  i C 1 2

5 5

z  i D z 1 2i

Câu 31 (THPT Lạng Giang I – Lần 3 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 z3 8 Gọi M, m lần lượt có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z Khi đó M m bằng

Câu 32 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 2 3 i 1 Giá trị lớn nhất của z 1 i là

Câu 33 (THPT Quang Trung – Lần 1 - 2018) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

z i   z i , số phức z có mô đun bé nhất là

5 5

z  i B z 1 2i C z 1 2i D 1 2

5 5

z  i

Câu 34 (THPT Đoàn Thượng – Lần 1 - 2018) Biết rằng số phức z thỏa mãn:  z 3 i z   1 3i

là một số thực Tìm số phức z để z đạt giá trị nhỏ nhất.

A z 2 2i B z 2 2i C z 2 2i D z 2 2i

Câu 35 (THPT Phạm Văn Đồng – Lần 2 - 2018) Cho số phức z m m 3 i, m  Tìm m để z

đạt giá trị nhỏ nhất

2

2

m 

Câu 36 (THPT Chuyên KHTN – Lần 3 - 2018) Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện

z  i  , gọi z là số phức có mô đun lớn nhất Khi đó 0 z là0

Câu 37 (THPT Quảng Xương – Lần 8 - 2018) Trong các số phức z thỏa mãn z  z 2 4 i , số phức

có mô đun nhỏ nhất là

2

z i D z 1 2i

Câu 38 (THPT Võ Giữ - Lần 1 - 2018) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4 i  z 2i

Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.

D BẢNG ĐÁP ÁN