(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh phân tích tìm phương pháp giải phù hợp cho các bài toán max, min về môđun số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHÙ HỢP CHO BÀI TỐN MAX, MIN VỀ MƠĐUN SỐ PHỨC Người thực hiện: Lê Văn Thượng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Thiệu Hóa SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HÓA NĂM 2022 Mục lục MỞ Trang 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.4 ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những điểm sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Giải pháp thực Phương pháp phân tích chung Phương pháp hình học tìm max, mơđun số phức Phương pháp đại số tìm max, mơđun số phức Phương pháp giải tích tìm max, môđun số phức Bài tập tổng hợp Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 10 Trang 16 Trang 17 Trang 18 Trang 20 Trang 22 Trang 24 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa giải tích 12 chương IV (chương số phức) xây dựng khái niệm số phức cách nhẹ nhàng Tuy nhiên với tình hình đổi thi trắc nghiệm số phức khai thác sâu, đề thi tốt nghiệp THPT xuất câu hỏi số phức mức vận dụng, vận dụng cao Một dạng tốn hỏi nhiều tốn max, môđun số phức Để giải tốn học sinh cần có kiến thức bất đẳng thức, hàm số hình học Đặc biệt hình học, cách đặt tương ứng số phức với điểm mặt phẳng tọa độ, ta thấy Đại số Hình học có mối liên hệ với "gần gũi" Hơn nhiều tốn số phức, chuyển sang hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi TN THPT, việc sử dụng phương pháp hình học để giải toán số phức phương pháp hay hiệu tốn max, mơđun số phức Hơn nữa, với tốn hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Qua thực tiễn giảng dạy số phức đặc biệt ôn tập cho hoc sinh thi tốt nghiệp THPT tơi nhận thấy nhiều học sinh cịn lúng túng chưa có hướng giải tốn max, mơđun số phức thân tơi ln trăn trở cần tìm phương pháp hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho lớp tốn Qua nhiều năm giảng dạy, học hỏi đồng nghiệp tìm hiểu tài liệu mạng thân đúc kết thành kinh nghiệm hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải cho tốn max, mơđun số phức phương pháp hình học, đại số giải tích 1.2 Mục đích Mục đích nghiên cứu SKKN giúp học sinh phân tích tốn max, mơđun số phức để nhanh chóng đưa lời giải phù hợp chó tốn cụ thể Để giải tốt toán này, yêu cầu học sinh cần nắm vững mối liên hệ số phức với hình học phẳng, hình học giải tích mặt phẳng, kiến thức bất đẳng thức, hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức: Đường thẳng, đoạn thẳng, đường trịn, đường elíp 3 - Các bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức với kiến thức hàm số - Giải tốn max, mơđun số phức từ phương diện hình học, đại số, giải tích 1.4 Phương pháp nghiên cứu -Kết hợp linh hoạt phương pháp hình học, đại số giải tích để giải tốn max, mơđun số phức -Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ giải toán học sinh -Tổng kết kinh nghiệm, tìm khó khăn, thuận lợi giải toán max, trước sau học phương pháp phân tích 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh phân tích tốn max, khía cạnh hình học, đại số giải tích Từ giúp học sinh có nhìn tổng quan tốn max, mơđun số phức Trên sở đứng trước tốn max, mơđun số phức học sinh nhanh tróng đưa phương pháp giải phù hợp, tìm kết nhanh 4 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Những kiến thức (Do giới hạn sáng kiến nên khơng trình bày viết này) 2.1.2 Những tập hợp điểm phổ biến Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M ax + by + c = (1) z − a − bi = z − c − di (2) (1)Đường thẳng ∆:ax + by + c = (2) Đường trung trực đoạn ABvới ( A ( a, b ) , B ( c, d ) ) ( x − x1 )2 + ( y − y1 )2 + ( x − x2 )2 + ( y − y2 )2 = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )2 Đoạn thẳng AB với A biểu diễn cho z1 , B biểu diễn cho z2 z − z1 + z − z2 = z1 − z2 hay ( x − a) ( x − a) 2 + ( y − b) = R2 + ( y − b) ≤ R2 z − a − bi = R Đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính z − a − bi ≤ R Hình trịn tâm I ( a; b ) , bán kính R r ≤ ( x − a ) + ( y − b) ≤ R2 2 r ≤ z − a − bi ≤ R x2 y2 + =1 z − c + z + c = 2a a2 a2 − c2 hay R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I ( a; b ) , bán kính r , R Đường líp có hai tiêu điểm F ( −c;0), F2 (c;0) , tâm O(0;0) tâm đối xứng 2.1.3 Các bất đẳng thức thường gặp z ≥ 0, ∀z ∈ £ , z = ⇔ z = z − z' ≤ z± z' ≤ z + z' z1 + z2 ≤ z1 + z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≥ ) z1 − z2 ≤ z1 + z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ ) z1 + z2 ≥ z1 − z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≤ ) 5 z1 − z2 ≥ z1 − z2 dấu xảy ⇔ z1 = kz2 ( k ≥ ) 2.1.4 Các kiến thức hàm số lượng giác ( Do giới hạn sáng kiến nên khơng trình bày viết này) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn giảng dạy, ôn tập cho hoc sinh thi TN THPT tơi nhận thấy đứng trước tốn max, mơđun số phức nhiều em chưa có hướng giải với lý phần kiến thức phức hợp yêu cầu học sinh phải nắm vững khái niệm số phức, đặc biệt mối liên hệ số phức với hình học Ngồi em cịn phải có kiến thức bất đẳng thức, kiến thức hàm số 2.3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN MAX, MIN VỀ MƠĐUN SỐ PHỨC 2.3.1 Phương pháp phân tích chung: Bước Tìm mối liên hệ phần thực phần ảo số phức z Đây trình tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện tốn Bước Phân tích tốn để tìm phương pháp giải phù hợp: - Chuyển tốn tốn hình học, sử dụng khoảng cách hình học để tìm max, - Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá - Sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá - Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để đánh giá Bài tốn Cho số phức z thỏa mãn w = ( z + − i)( z + + 3i) số thực Tìm z cho z đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R) , đó: w = ( z + − i )( z + + 3i ) = x + y + x − y + + 2( x − y + 4)i số thực x − y + = Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng (d): x − y + = , từ ta có cách giải tốn Cách (Hình học) z = OM ⇔ OM ⊥ (d ) Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn z chiếu O (d), ta tìm M (−2; 2) ⇔ z = −2 + 2i hay M hình Cách (Dùng bất đẳng thức) 2 2 2 Ta có z = x + y = x + ( x + 4) = x + x + 16 = 2( x + 2) + ≥ 2 Vậy z = 2 ⇔ x = −2 ⇒ y = ⇔ z = −2 + 2i Hay áp dụng (BĐT Bunhiacopxki), ta có: x − y + = ⇔ x − y = −4 ⇒ 16 = ( x − y ) ≤ 2( x + y ) ⇒ x + y ≥ ⇒ z = x2 + y ≥ 2 ⇒ z = 2 ⇔ x = − y = −2 ⇔ z = −2 + 2i Cách (Phương pháp hàm số) 2 2 Ta có z = x + y = x + ( x + 4) = x + x + 16 Xét hàm số f ( x) = x + x + 16 ⇒ f ′( x) = x + = ⇔ x = −2 lập bảng biến thiên ta f ( x) = ⇔ x = −2 ⇔ z = 2 ⇔ x = −2 ⇔ z = −2 + 2i z + − 3i = − z + + i Bài toán Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ z − + 2i Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải z + − 3i = − z + + i ⇔ x − y + = Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R) , đó: Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng (V) : x − y + = , từ ta có cách giải tốn Cách (Hình học) Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn z , I (3; −2) biểu diễn z1 = − 2i z − + 2i = z − z1 = IM , nên 7 = 2 z − + 2i = IM = d ( I ,V) = Cách (Dùng bất đẳng thức) 2 2 Ta có: z − + 2i = ( x − 3) + ( y + 2) = ( x − 3) + ( x + 4) = x + x + 25 Vì 49 7 2 x + x + 25 = 2( x + ) + ≥ z − + 2i = 2 Vậy Hay áp dụng (BĐT Bunhiacopxki), ta có: x − y + = ⇔ ( x − 3) − ( y + 2) = −7 ⇒ 49 = [ ( x − 3) − (y + 2) ] ≤ ( x − 3) + ( y + 2)  7 Suy z − + 2i = ( x − 3) + ( y + 2) ≥ 7 ⇒ z − + 2i = 2 Cách (Phương pháp hàm số) 2 2 Ta có z − + 2i = ( x − 3) + ( y + 2) = ( x − 3) + ( x + 4) = x + x + 25 Xét hàm số f ( x ) = x + x + 25 ⇒ f ′( x) = x + = ⇔ x = − f ( x) = lập bảng biến thiên ta 49 ⇔ z − + 2i = 2 Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải 2 Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R) , đó: z − − 4i = ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C ) có phương trình: ( x − 2) + ( y − 4) = có tâm I (2; 4) , từ ta có cách giải tốn Cách (Hình học) z = OM , z max = OM max Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn z Phương trình đường thẳng OI : x − y = Đường thẳng OI cắt đường tròn (C ) hai điểm A, B có tọa độ nghiệm hệ phương trình: ( x − 2) + ( y − 4) =  x =  x = ⇔ ;  y = x − y =   y = ⇒ A(1; 2), B (3;6)  Ta thấy với điểm M thuộc đường trịn (C ) OA ≤ OM ≤ OB ⇔ ≤ z ≤ Vậy z = ⇔ z = + 2i z max = ⇔ z = + 6i Cách (Dùng bất đẳng thức) 2 2 2 * Đặt t = x + y Ta có: ( x − 2) + ( y − 4) = ⇔ x + y + 15 = 4( x + y) 2 Áp dụng BĐT Bunhia, ta có: ( x + y ) ≤ 5( x + y ) = 5t 8 Từ suy t + 15 ≤ 5t ⇔ ≤ t ≤  x =1 x = z = ⇔  ⇔ z = + 2i z = ⇔  ⇔ z = + 6i y = y = Vậy , * Hay áp dụng (BĐT Bunhiacopxki), ta có: Vì z = x2 + y ( x − 2) + ( y − 4) = ⇔ x + y = x + y − 15 = [ ( x − 2) + 2( y − 4) ] + 25 Áp dụng BĐT Bunhia, ta có: ( x − 2) + 2( y − 4) ≤ ( x − 2) + ( y − 4) )  = ⇔ −5 ≤ ( x − 2) + 2( y − 4) ≤ ⇒ ≤ x + y ≤ 45 ⇒≤ ≤ z = x + y ≤  x =1 x = z = ⇔  ⇔ z = + 2i z = ⇔  ⇔ z = + 6i y = y =   Vậy , Cách (Phương pháp lượng giác hóa) 2 Đặt x − = sin t, y − = cos t Khi z = x + y = 25 + 5(sin t + cos t ) 2 Do − ≤ sin t + cos t ≤ ⇒ ≤ x + y ≤ 45 ⇔ ≤ z ≤ Vậy  x =1 x = z = ⇔  ⇔ z = + 2i z = ⇔  ⇔ z = + 6i y = y =  , z +1 + z −1 = Bài toán Cho số phức z thỏa mãn Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải z −1 + z + = Gọi M ( x; y ) biểu diễn z = x + yi thỏa mãn Ta có tập hợp M x2 y2 + =1 đường elip có phương trình Từ ta có cách giải sau: Cách (Hình học) z −1 + z +1 = Tập hợp M ( x; y ) biểu diễn z = x + yi thỏa mãn đường elip có x2 y + =1 phương trình Tọa độ đỉnh là: A(−2;0), A '(2;0), B(0; − 3), B '(0; 3) Từ ta có: z = OM = ⇔ M ≡ B(0; − 3) M ≡ B '(0; 3) hay z = ± 3i 9 z max = OM max = ⇔ M ≡ A( −2;0) M ≡ A '(2;0) hay z = ±2 Cách (Dùng bất đẳng thức) Ta có: 0≤ z = x2 + y = + x2 x2 y + =1 Vì nên x2 x2 ≤1⇒ ≤ 3+ ≤2⇔ 3≤ z ≤2 4 z = ⇔ z = ±2 Vậy z = ⇔ z = ± 3i , max Cách (Phương pháp lượng giác hóa) 2 2 Đặt x = 2sin t , y = cos t Khi z = x + y = 4sin t + 3cos t = + sin t 2 Do ≤ sin t ≤ ⇒ ≤ x + y ≤ ⇔ ≤ z ≤ z = ⇔ z = ±2 Vậy z = ⇔ z = ± 3i , max Trên phương pháp chung phân tích tìm lời giải cho tốn max, mơđun số phức Tuy nhiên khơng phải tốn giải nhiều cách khác nói trên, mà tùy học sinh cần tìm phương pháp giải phù hợp Sau tập với phương pháp giải phù hợp cho đặc điểm tốn 2.3.2 Phương pháp hình học Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng z Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z , tìm Min Ta có quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A ( a; b ) 1 a b ⇒ z Min = OA = a + b2 ⇔ z = + i 2 2 Bài toán z Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di Tìm Ta có quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trung trực ∆ đoạn AB với A ( a; b ) , B ( c; d ) 10 10 E −2;1) , D ( 4;7 ) Gọi A điểm biểu diễn số phức z , ( N ( 1; −1) Ta có: AE + A D = z + − i + z − − 7i = ED = nên ta có A thuộc  3 H − ; ÷ đoạn thẳng ED Gọi H hình chiếu N lên ED , ta có  2  Suy M = DN = 73 , m = NH = 5 P = ND + NH = 73 + Vậy z + z + z − z = Bài toán Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị P = z − − 2i lớn giá trị nhỏ Tìm A = M + m Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi M ( x; y ) ta có: điểm biểu diễn z = x + iy z+z + z−z =4⇔ x + y =2 Gọi A ( 2; ) suy 12 P = MA 12 Theo hình vẽ, P = d ( A, ∆ ) , với ∆ : x + y = hay P = 2+2−2 = max P = AE = 22 + 42 = 5, với E ( 0; −2 ) Vậy M + m = + Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn z − a − bi = R > ( z − z0 = R ) Bài toán Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm z Max , z Min Ta có quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( a; b ) bán kính R đó: 2 z  Max = OI + R = a + b + R = z0 + R  2  z Min = OI − R = a + b − R = z0 − R  Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng bản, chẳng hạn: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = R ⇔ z + − a − bi R = i i ⇔ z + b + = R z − a − bi = R ⇔ z − a + bi = R Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (liên hợp vế) Cho số phức hay z thỏa mãn z0 z − z1 = R ⇔ z − ( c + di ) z − a − bi =R⇔ z+ −a − bi R R = = c + di c + di c2 + d z1 R = z0 z0 z − = w − 2i = 2 Bài toán Cho hai số phức z w thỏa mãn , Tìm giá trị nhỏ z − w 13 13 Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Ta có tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn trịn có tâm I (3 2;0) , bán kính r = z −3 = đường w − 2i = 2 Tập hợp điểm N biểu diễn số phức w thỏa mãn đường trịn có tâm J (0;4 2) , bán kính R = 2 Khi z − w = MN Ta có: IM + MN + NJ ≥ IJ ⇔ MN ≥ IJ − MI − NJ = IJ − r − R Nên z − w = MN = IJ − (r + R ) = − ( + 2) = 2 Suy MN = 2 I , M , N , J thẳng hàng M , N nằm I , J Bài toán Xét số phức z thỏa mãn z − − 2i = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − − i + z − − 2i Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải 14 14 Ta có tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z thỏa mãn z − − 2i = 2 đường tròn (C ) : ( x − 2) + ( y − 2) = Gọi A(1;1), B (5;2) điểm biểu diễn số phức + i + 2i Khi đó, P = MA + MB Nhận thấy, điểm A nằm đường tròn (C ) điểm B nằm ngồi đường trịn (C ) , mà MA + MB ≥ AB = 17 ⇒ Pmin = 17 M giao điểm đoạn AB với (C ) Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip Bài toán Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − c + z + c = 2a , ( a > c ) Tìm z max , z x2 y2 + =1 2 Ta có quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z Elip: a a − c  z Max = a ⇒ 2  z Min = a − c Bài toán 10 Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ trị lớn z − ) thỏa z + + z − = 10 Tìm giá Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ z − + z + = 10 (*) ) thỏa mãn Xét F1 ( −4;0 ) F2 ( 4;0 ) Khi ( *) ⇔ MF1 + MF2 = 10 c = c = ⇔ ⇒ b = a2 − c2 =   2a = 10 a = Suy M thuộc Elip có  15 15 ( a − ) + b = IM , với I ( 6;0 ) Ta có: ′ điểm M ≡ A ( −5;0 ) ⇒ z = −5 z−6 = suy z − max = IA′ = 11 z− + z+ =6 Bài toán 11 Cho hai số phức z ω = a + bi thỏa mãn 5a − 4b − 20 = Tìm giá trị nhỏ z − ω Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Đặt F1 (− 5;0), F2 ( 5;0) < nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức x2 y (E) : + =1 z elip Tập hợp điểm N biểu diễn số phức ω thuộc đường thẳng x − y − 20 = Yêu cầu toán trở thành tìm giá trị nhỏ MN = z − ω với điểm M ∈( E) N ∈ ∆ có dạng x − y + c = 0, (c ≠ −20) Đường  c = 17 c = 52.9 + (−4) = 289 ⇒  c = −17 thẳng d tiếp xúc với ( E ) −20 − 17 37 c = 17 ⇒ d ( d , ∆ ) = = 41 52 + ( −4) Với −20 + 17 c = −17 ⇒ d (d , ∆ ) = = 41 52 + ( −4) Với z − ω = MN = 41 Vậy Đường thẳng d song song với 16 ∆ 16 2.3.3 Phương pháp đại số Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z+ =4 z Tìm giá trị lớn z Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải z+ Ta có: Vậy 1 ≥ z − ⇔ ≥ z − ⇔ z − z −1 ≤ ⇒ z ≤ + z z z z max = + z = ±(2 + 5)i Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn M , giá trị nhỏ T = z + z + + z3 + m của Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Ta có: T = z + z +1 + z +1 ≥ Mặt khác 1+ z ≥ 3 T = z + z + + z + ≤ z + z + + z + = ⇒ M = Tmax = ⇔ z = 1 + z3 T≥ nên 1− z − z3 1− z 1− z + + z3 + + z3 ≥ z −1 ≤ z +1 = 1− z + 1+ z 1− z +1+ z ≥ =1 Suy m = Tmin = ⇔ z = −1 Vậy M = 5, m = Bài toán Cho số phức z ≠ thỏa mãn P= z+ z biểu thức z3 + ≤2 z3 Tìm giá trị lớn Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải 1 1 ≥ z + = ( z + )3 − 3( z + ) ≥ z + −3 z+ z z z z z Ta có: 3 Từ ruy ≥ P − 3P ⇔ P − 3P − ≤ ⇔ ( P + 1) ( P − 2) ≤ ⇒ P ≤ 17 17 Vậy Pmax = ⇔ z = ±1 2.3.4 Phương pháp giải tích z =1 Bài tốn Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1+ z + 1− z Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi z = x + yi; ( x; y ∈ ¡ Khi ) , ta có: P = 1+ z + 1− z = Xét hàm số f ( x) = Hàm số liên tục f ′( x ) = ⇔ ( 1+ x) z = ⇒ x + y = ⇒ y = − x ⇒ x ∈ [ −1;1] + y2 + ( 1− x ) + y2 = ( 1+ x ) + 2 ( 1− x ) ( + x ) + 2 ( − x ) ; x ∈ [ −1;1] [ −1;1] − 2( + x) với x ∈ ( −1;1) f ′( x ) = ta có: 2( + x) − 2( − x ) = ⇔ x = − ∈ ( −1;1) 2( − x)  3 f ( 1) = 2; f ( −1) = 4; f  − ÷ =  5 Vậy Pmax = ( + z + − z ) max = x=− y=± 5, z = Gọi M m giá trị lớn Bài toán Cho số phức z thoả mãn P = z + + z2 − z + giá trị nhỏ biểu thức Tính M m Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải P = z +1 + z2 − z +1 = z +1 + z − z + z Thay z = vào P ta có : = z + + z − z + z z = z + + z z + z − = z + + z + z − Mặt khác 18 ( ) z + = ( z + 1) z + = + z + z 18 z =1 t ∈ −2; ] Đặt t = z + z nên điều kiện [ Suy P = t + + t − t ∈ −2; 2] Xét hàm số f ( t ) = t + + t − với [ f ′( t ) = +1 f′ t >0 t+2 với t > Suy ( ) với t > f ′( t ) = −7 −1 ⇔t = ′ f t = ( ) t+2 với t < Suy Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy Vậy M m = M= 13 −7 t= m = t = 13 2.3.5 Các toán tổng hợp Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thứ P = z + + z − + z − z − 4i Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải z ≤ ⇔ x + y ≤ ⇒ −2 ≤ x, y ≤ z = x + yi , ( x , y ∈ ¡ ) Gọi Ta có: Khi P = z + + z − + z − z − 4i = Áp dụng bất đẳng thức : 19 r r r r u + v ≥ u+v ( ( x + 1) + y + ( x − 1) + y + y − ) ta có: 19 P=2 ) ( ( ( x + 1) + y + (1 − x) + y + y − ≥ 2 + y + − y ) x +1 y = =1 > ⇔ x = − x y xảy Xét hàm số f ′( y ) = f ( y) = + y + − y 2y 1+ y −1 = , với y ∈ [ −2;2 ] , ta có: y − + y2 1+ y Dấu ; f ′( y ) = ⇔ y =   f ÷ = + 3; f (−2) = + 5; f (2) =   Ta có: Suy f ( y ) = + [ −2;2] y= Do P ≥ 2(2 + 3) = + Vậy Pmin  x=0  1  y = z = i = +  3  hay Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z− + z+ =2 P = z + + i + z − 3 + 2i + z − 3i nhỏ biểu thức Tìm giá trị Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải Gọi M ( x; y) , ( ), F ( F1 − 2;0 ) , điểm biểu diễn cho số phức 2;0 z = x + yi , z = − 2, z = , Có z − + z + = ⇔ MF + MF = Suy M ( x; y) chạy ( E) , có > F1F2 = 2 có tiêu cự 2c = 2 , độ dài trục lớn 2a = , x2 y2 + =1 E độ dài trục nhỏ 2b = phương trình tắc ( ) − ≤ x ≤ M ( x; y) ∈ ( E ) ⇒  −1≤ y ≤ Có 20 20 Có P = z + + i + z − 3 + 2i + z − 3i = ( x + + ( y + 1) + ) ≥ ( x + + ( y + 1) + ) 2 Áp dụng bất đẳng thức : P≥ Đặt 2 ( x + + 3 − x) ) ( 3 − x + ( y + 2) + 2y + ) 2 ( y − 3) ta có: + ( 2y + 3) + y − = 4y2 + 12y + 84 + 3− y f ( y) = y2 + 3y + 21 + 3− y f ′ ( y) = ( x − 3 + ( y + 2) + x2 + ( y − 3) r r r r u + v ≥ u+v , với −1≤ y ≤ −1 ′ ( y) = ⇔ y2 + 3y + 21 = 2y + ( 1) f ⇒ Có ,  y = ( nhaä n)  ⇔ −1≤ y ≤ 1⇒ ( 1) ⇔ 3y2 + 9y − 12 =  y = −4 ( loại ) Có f ( −1) = + 19 f ( 1) = 12 Có , f ( y) = 12 y∈ −1;1 Suy y + 3y + 21  x = 0, y =   x + y+ = >0  1) ( y+ ⇔ x = 0, y = 3 − x  Đẳng thức xảy 2.4 Hiệu sau thực sáng kiên Trên phương pháp phân tích tìm lời giải cho tốn max, mơđun số phức mà nghiên cứu áp dụng vào thực tế giảng dạy lớp 12G có 46 học sinh, 12A có 41 học sinh (hai lớp khối A) ơn tập cho học sinh cuối khóa năm học 2020-2021 trường THPT Thiệu Hóa Trước dạy phương pháp cho học sinh làm kiểm tra thu kết sau: Điểm Lớp 12A - lần 21 Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 36,58% 53,66% 9,76% 0% 21 12G – lần 45,65% 47,83% 6,52 % 0% Sau tơi áp dụng phương pháp phân tích cho lớp 12G tiếp tục cho hai lớp làm kiểm tra thu kết sau: Điểm Lớp Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 12A - lần (chưa áp dụng phương pháp) 26,83% 43,9 % 29,27 % 0% 0% 19,57 % 52,17 % 28,26% 12G - lần (Đã áp dụng phương pháp) Khi hướng dẫn học sinh lớp 12A áp dụng phương pháp tiếp tục khảo sát lần thu kết bất tốt sau: Điểm Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 12A - lần 0% 2,44% 58,54% 39,02% 12G – lần 0% 6,52 % 60,87 % 32,61,% Lớp Đây kết đáng mừng, thể học sinh học phương pháp phân tích tốn max, môđun số phức mà đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy em vận dụng vào làm tập tốt Trong buổi sinh hoạt chun mơn tơi có trao đổi với đồng nghiệp đồng nghiệp góp ý, đánh giá sáng kiến có tính vận dụng thực tiễn cao Sáng kiến tơi nội dung bổ ích sinh hoạt chuyên môn tổ đồng nghiệp đưa vào áp dụng cho kết tốt 22 22 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiên kinh nghiệm viết từ thực tiễn giảng dạy nhiều năm lớp 12 Tôi theo dõi rút kinh nghiệm từ năm học 2016-2017 Năm học 2020-2021 tiến hành áp dụng khảo sát giảng dạy hai lớp 12A 12G Kết khảo sát cho thấy hiệu phương pháp mà trình bày sáng kiên cao Do giới hạn sáng kiến nên nhiều vấn đề chưa rộng trình bày viết Sáng kiến đề cập vấn đề số phức, lại vấn đề phổ biến đề ôn luyện thi TN THPT vấn đề cịn gây khó khăn cho nhiều học sinh Chính đề tài đồng nghiệp đánh giá cao đưa vào áp dụng giảng dạy 3.2 Kiến nghị Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn số phức nói chung tốn max, mơ đun số phức nói riêng toán học sinh học cuối lớp 12 thời gian tìm hiểu loại tốn Hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với tốn max, môđun số phức Để giúp học sinh biết cách phân tích tìm lời giải đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều dạng tốn khác tơi xin nêu số giải pháp đề nghị sau: Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức khái niệm số phức, mối liên hệ số phức với hình học, biểu diễn hình học số phức kiến thức bất đẳng thức, bất đẳng thức môđun số phức, kiến thức hàm số 23 23 Bước 2: Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích tìm lời giải tốn điển hình vể dạng tốn max, mơđun số phức Bước 3: Giúp em rèn luyện kĩ phân tích, vận dụng kiến thức hình học, đại số giải tích cách linh hoạt từ tìm lơì giải phù hợp cho tốn, đặc biệt toán tổng hợp nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng toán Trên số ý kiến nhỏ tơi qua q trình giảng dạy tốn max, môđun số phức lớp 12 THPT hướng dẫn học sinh cuối khóa ơn tập Rất mong nhận góp ý thầy giáo đọc giả Xin chân thành cảm ơn Sáng kiến kinh nghiệm tơi trình bày ý tưởng hình thành trình giảng dạy trải nghiệm thực tế, qua kết học tập học sinh, cam đoan sáng kiến kinh nghiệm cá nhân tự nghiên cứu Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thiệu Hóa, ngày 24 tháng năm 2022 Tác giả Lê Văn Thượng XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA CHỦ TỊCH 24 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập toán lớp 12- Nhà xuất Giáo dục Bài tập dại số giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất Giáo dục Đề thi Đại học năm – Bộ giáo dục Đào tạo Phân loại phương pháp giải toán Đại số Tổ hợp Số phức - NXB Đại học Quốc gia Hà nội – Th S Lê Thị Hương, Th S Nguyễn Kiếm, Th S Hồ Xuân Thắng 18 chủ đề giải tích 12- Nhóm biên soạn sách bỗ trợ giáo dục OLYMPIC, chủ biên: Nguyễn Tất Thu- Nguyễn Văn Dũng Tài liêu mạng: Chuyên đề cực trị số phức Danh mục sáng kiến đạt giải Sở GD&ĐT đánh giá xếp loại: Ứng dụng đạo hàm giải biện luận phương trình, bất phương trình hệ phương trình - Được hội đồng khoa học ngành đánh giá xếp loại B Năm học 2010 – 2011 Hướng dẫn học sinh phân tích tốn xác suất từ vận dụng hai quy tắc đếm quy tắc tính xác suất để tìm xác suất - Được hội đồng khoa học ngành đánh giá xếp loại C Năm học 2014 – 2015 25 25 26 26 ... Phương pháp phân tích chung Phương pháp hình học tìm max, mơđun số phức Phương pháp đại số tìm max, mơđun số phức Phương pháp giải tích tìm max, môđun số phức Bài tập tổng hợp ... số 2.3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN MAX, MIN VỀ MƠĐUN SỐ PHỨC 2.3.1 Phương pháp phân tích chung: Bước Tìm mối liên hệ phần thực phần ảo số phức z Đây trình tìm tập hợp. .. Trên phương pháp chung phân tích tìm lời giải cho tốn max, mơđun số phức Tuy nhiên khơng phải tốn giải nhiều cách khác nói trên, mà tùy học sinh cần tìm phương pháp giải phù hợp Sau tập với phương