Kỹ thuật sử dụng hình học trong hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của môđun số phức

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nội dung “số phức” Bộ Giáo dục Đào tạo thức đưa vào chương trình phổ thơng gần mười năm qua Trong năm từ trước năm 2017 nội dung đưa vào đề thi đại học, mức độ bản, chưa mức độ khó chưa phải câu phân loại Từ năm 2017 đến với việc Bộ Giáo dục Đào tạo chuyển đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, “số phức” có mặt cấu trúc đề thi với tư cách câu hỏi khó, câu hỏi định điểm số nhằm mục đích phân loại mức độ hiểu biết trình độ đối tượng dự thi Tầm quan trọng không thiếu “số phức” đặc biệt tốn cực trị mơđun số phức khiến dạng tốn ln mối quan tâm lớn giai đoạn Xung quanh việc giải tốn cực trị mơđun số phức, từ trước tới có nhiều phương pháp hay, đồng thời có nhiều hình thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo Tuy nhiên, để toán cực trị mơđun số phức ngày hấp dẫn xích lại gần với chúng ta, cần phát quan trọng giúp việc giải toán cực trị môđun số phức trở nên dễ dàng, đơn giản nhanh gọn phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm mà Bộ Giáo dục Đào tạo tiến hành Với hình thức thi trắc nghiệm nay, cần cho học sinh phương pháp có thuật tốn rõ ràng học sinh cần tra giả thiết vào có đáp án Nhưng nhìn chung đa số học sinh chưa trang bị cho phương pháp có chưa có tính liên kết phương pháp Là giáo viên tơi ln trăn trở, tìm cách để giúp cho học sinh có phương pháp có thuật tốn rõ ràng ln định hướng trước tốn khó để học sinh tìm thấy thuật tốn đó, tạo tích lũy cho thân để giải nhanh toán trắc nghiệm khoảng thời gian ngắn Trong hệ thống tốn cực trị mơđun số phức có nhận dạng tìm cách giải nhanh Đó có dạng đơn giản, áp dụng nhanh phương pháp giải cổ điển thông dụng Song có nhiều tốn mà bề ngồi khó nhận dạng, cấu trúc phức tạp khiến người đọc lúc mà tìm thấy phương pháp áp dụng phù hợp Với mong muốn góp phần nhỏ đơn giản hóa việc giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức khó, làm phong phú thêm hệ thống phương pháp giải dạng toán Nhận thức thực tế đó, tác giả mạnh dạn đề xuất chuyên đề nghiên cứu “Kỹ thuật sử dụng hình học hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị môđun số phức” làm đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giải toán - Nghiên cứu kỹ giải Tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức - Tạo hệ thống tập theo chủ đề nhằm rèn luyện kỹ giải toán phần cực trị môđun số phức - Tạo nguồn tài liệu để ơn thi tốt nghiệp, Đại học, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thông 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tốn cực trị mơđun số phức - Sử dụng số toán phẳng hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Qua tiết thực nghiệm lớp - Điều tra hiệu phương pháp qua phiếu điều tra, qua chất lượng học tập học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Hiện nay, tốn học nói chung, tài liệu tham khảo toán học giảng dạy toán trường phổ thơng nói riêng, tốn cực trị mơđun số phức thường có phương pháp giải phổ biến sau đây: phương pháp đại số, phương pháp giải tích, phương pháp hình học Với trình độ lý luận ngày cao thay đổi hình thức thi hệ thống tốn nêu bắt buộc phải đổi theo hướng Sự đổi yêu cầu người học tư nhiều hơn, tìm tịi nhiều để “phá tan” lớp bảo vệ đưa toán chất từ giải cách nhanh gọn Đối với giáo viên phổ thơng, vấn đề giúp học sinh có kỹ quan trọng then chốt, đặc biệt học sinh giỏi Qua nhiều năm giảng dạy, tìm tịi, nghiên cứu thân; học hỏi giáo viên có kinh nghiệm lâu năm, tác giả đúc kết vấn đề thành kỹ thuật gọi kỹ thuật sử dụng hình học hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong giảng dạy trường phổ thông nay, đặc biệt dạy ôn thi THPT QG, tốn cực trị mơđun số phức vấn đề khó tiếp cận với học sinh giáo viên Cái khó thể có nhiều phương pháp giải tốn cực trị mơđun số phức lại khó vận dụng để áp dụng cụ thể cho tốn Mỗi tốn đưa che đậy lớp phủ bên ngồi chất tốn Đồng thời phương pháp giải tốn cực trị mơđun số phức sử dụng trực tiếp mà phải thông qua số kỹ thuật định Nói cụ thể hơn, từ tốn cực trị hình học phẳng, kết hợp với hình học tọa độ việc biểu diễn hình học số phức để đưa lời giải phù hợp cho tốn Đây điểm yếu mà học sinh giáo viên phổ thơng cần có thêm hộ trợ để giải toán loại 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trước hết cần phải khẳng định, dạng toán thường xuyên xuất đề thi minh họa, đề thi thử trường đề thi THPT QG Có số câu dạng tốn có mặt nhằm mục đích phân loại học sinh khá, giỏi để tìm kiếm đào tạo chun mơn mũi nhọn Đối với tốn cực trị mơđun số phức có nhiều phương pháp giải giai đoạn nay, để giải toán phương pháp này, đòi hỏi đối tượng học cần đào sâu nghiên cứu, để đưa toán đa màu sắc dạng tốn cụ thể, từ người học giải dễ dàng gặp toán loại Kỹ thuật sử dụng tốn cực trị hình học kỹ thuật đưa toán ban đầu toán dễ nhìn thấy phương pháp giải thơng thường, tạo khả liên kết tốn có dạng phủ số phép đổi biến Sau số ví dụ sử dụng tốn cực trị hình học vào hoạt động tìm lời giải cho tốn cực trị mơđun số phức Bài tốn Cho đường trịn (C ) có tâm I , bán kính R hai điểm A, B Điểm M điểm di động đường trịn (C ) a) Tìm vị trí M để độ dài đoạn AM lớn b) Tìm vị trí 2 có giá trị lớn P = AM + BM M để Giải a) Gọi ∆ đường thẳng qua hai điểm I , A cắt đường tròn (C ) hai điểm H , K cho điểm I nằm hai điểm A H Khi ta có bất đẳng thức AM ≤ AI + IM = AI + IH = AH , độ dài đoạn thẳng AM lớn điểm M trùng với điểm H b) Gọi J trung điểm đoạn thẳng AB , ∆ đường thẳng qua hai điểm I , J cắt đường tròn (C ) hai điểm H , K cho điểm I nằm · hai điểm J H góc α = MJA Khi ta có hai hệ thức 2 MA = MJ + JA − 2MJ JA.cos α hệ thức MB = MJ + JB − 2MJ JB.cos ( π − α ) , từ suy MA2 + MB = 2MJ + JA2 + JB ≤ HJ + JA2 + JB (theo kết a)).Vậy điểm M trùng với điểm H P = AM + BM có giá trị lớn 2.3.1 Một số kỹ thuật sử dụng toán hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ ) thỏa mãn z = Tính giá trị 2 P = ( a + b ) z −1 + z − + 4i đạt giá trị lớn A P = −2 B P = D P = C P = Giải Sử dụng kết Bài toán Với điểm A(1;0) , B(1; −4) , J ( 1; −2 ) điểm I trùng O ( 0;0 ) , ta có: IJ : x + y = ( C ) : x + y = Khi tọa độ M nghiệm hệ gồm phương trình IJ   ( C ) Giải ta tọa độ điểm M  ; − ÷ 5    M  − ; ÷ kết hợp điều kiện đoạn thẳng 5    MJ có độ dài lớn ta điểm M  − ; ÷ 5    + Vậy P =  − ÷ = 5  Nhận xét: Nếu MA = MB vị trí điểm M trùng với điểm H vị trí điểm M để S = MA + MB có giá trị lớn ( ) Thật vậy, ta có S = ( MA + MB ) ≤ MA2 + MB suy giá trị biểu thức S lớn MA = MB Ví dụ (Đề minh họa THPT QG - 2018) Xét số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) z − − 3i = Tính P = a + b thỏa mãn z + − 3i + z −1 + i đạt giá trị lớn A P = 10 B P = C P = D P = Giải Sử dụng kết Bài toán Nhận xét Gọi M (a; b) điểm biểu diễn số phức z Khi đó, theo giả thiết suy M (a; b) thuộc đường trịn ( C ) có tâm I ( 4;3) bán kính R = Đặt S = z + − 3i + z − + i , điểm A(−1;3) điểm B(1; −1) , ta có biểu thức S = MA + MB Gọi J trung điểm đoạn thẳng AB suy J ( 0;1) Khi đường thẳng IJ : x − y + = đường tròn 2 ( C ) : ( x − ) + ( y − 3) = Khi tọa độ M nghiệm hệ gồm phương trình IJ ( C ) Giải ta M (2;2) M (6;4) kết hợp điều kiện MJ lớn ta M (6;4) Vậy P = + = 10 Nhận xét: Trong Bài toán M vị trí K cho ta phương pháp để giải tốn tìm giá trị nhỏ (chỉ xét đường thẳng AB đường tròn (C ) khơng có điểm chung) Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) thỏa mãn điều kiện z − − i = Tính P = 5.( a + b ) biểu thức z −1 + i + z − + i đạt giá trị 5 nhỏ A P = B P = C P = −4 D P = −2 Giải Sử dụng kết Bài toán Nhận xét với 3 1  3 2 ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = , A(1; −1) , B  ; − ÷ , I ( 4;1) J  ; − ÷ Ta có phương trình đường thẳng IJ là: x − y − = Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IJ phương trình đường trịn (C ) ta hai nghiệm (6;2) (2;0) Do S = MA + MB có giá trị nhỏ nên suy M ( 2;0 ) Vậy P = 2.3.2 Bài tập tự luyện Bài Xét số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ z + + z + i đạt giá trị lớn A P = B P = ) thỏa mãn z = 2 Tính P = a + b C P = −4 D P = Bài Xét số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ ) thỏa mãn z ( z + − 4i) số ảo Tính giá trị P = b − a z + i + z − − i đạt giá trị lớn A P = 10 + B P = − 10 − C P = 10 − D P = − 10 Bài Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 + − i = z2 = iz1 Tìm giá trị nhỏ P = z1 − z2 A P = 2 C P = B P = 2 + D P = 2 − Bài (THPT chuyên ĐH Vinh) Giả sử z1, z2 hai số phức z thoả mãn iz + − i = z1 − z2 = Giá trị lớn z1 + z2 là: A B C D Bài (Trường THPT chuyên Nguyễn Đắc Đạo - Bắc Ninh) 3 + i z2 = − + i Gọi z số phức thoả mãn 2 2 điều kiện 3z − 3i = Đặt M m giá trị lớn giá trị nhỏ Cho hai số phức z1 = biểu thức T với T = z + z − z1 + z − z2 Tính mơđun số phức ω = M + mi A 21 B 13 C D * Hướng dẫn Bài Gọi A, B điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 H điểm biểu diễn cho số phức z Từ điều kiện 3z − 3i = suy A, B, H O thuộc đường   tròn (C ) : x +  y − ÷ = ta có tam giác ABO nên OH + HA + HB 3  đạt giá trị lớn H giao điểm thứ hai OI với (C ) đạt giá trị nhỏ H trùng với ba đỉnh tam giác ABO Nhận xét: Bài tốn hình học chứa Bài xem kỹ thuật để sử dụng hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị mơđun số phức khác Bài tốn Cho bốn điểm A, B, M , N phân biệt cố định, điểm I thay đổi thỏa mãn IA = IB a) Tìm vị trí điểm I cho IM + IN có giá trị nhỏ b) Tìm vị trí điểm I cho IM − IN có giá trị lớn Giải a) Gọi ∆ đường trung trực đoạn thẳng AB , theo giả thiết ta có điểm I thuộc đường thẳng ∆ Khi đó, ta có trường hợp sau: Trường hợp Hai điểm M N nằm hai phía ∆ , điểm I giao điểm ∆ MN Trường hợp Hai điểm M N nằm phía ∆ , gọi M ′ điểm đối xứng M qua ∆ , ta có: IM + IN = IM ′ + IN ≥ M ′N Do vị trí điểm I để IM + IN có giá trị nhỏ giao điểm ∆ M ′N b) Gọi đường thẳng ∆ đường trung trực đoạn thẳng AB , theo giả thiết ta có điểm I thuộc ∆ Khi đó, ta có trường hợp sau: Trường hợp Hai điểm M N nằm phía đường thẳng ∆ , điểm I giao điểm ∆ MN Trường hợp Hai điểm M N nằm hai phía ∆ , gọi điểm M ′ điểm đối xứng M qua ∆ , ta có: IM − IN = IM ′ − IN ≤ M ′N Do vị trí điểm I để IM − IN có giá trị lớn giao điểm ∆ M ′N 2.3.3 Một số kỹ thuật sử dụng toán hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 2i = z + + 2i Biểu 2 thức Q = z − − 4i + z − − 6i đạt giá trị nhỏ z = a + bi ( a, b ∈¡ ) Tính P = a − 4b A P = −2 B P = 1333 272 C P = −1 D P = 691 272 Giải Sử dụng kết Bài toán a) Trường     hợp Với điểm A  − ;2 ÷ B  − ; −2 ÷,     đường trung trực ∆ : x − y + = M ( 2;4 ) ,  58 28  N ( 4;6 ) Khi đó, ta có điểm M ′  ; − ÷  17 17  đường thẳng M ′N : 13x − y − 46 = Tọa độ điểm I cần tìm nghiệm hệ gồm phương trình ∆ phương trình đường thẳng M ′N Giải ta  62 24  điểm I  ; ÷ hay biểu thức Q với  17 17  Q = IM + IN đạt giá trị nhỏ z = 62 + 24 i Vậy ta có giá trị 17 17 62 96 P = − = −2 17 17 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + + i = z − − 3i Biểu thức Q với Q = z − − i − z − + 2i đạt giá trị lớn z = a + bi ( a, b ∈¡ ) Tính P = a − 3b A P = −45 B P = −5 C P = −9 D P = Giải Sử dụng kết Bài toán b) Trường hợp Với giả thiết A ( −1; −1) , B ( 1;3) , đường trung trực ∆ : x + y − = M ( 2;1) , N ( 3; −2 )  3 Khi đó, ta có M ′  ; − ÷ M ′N : x + y − = 5 5 Tọa độ điểm I cần tìm nghiệm hệ gồm phương trình đường thẳng ∆ phương trình  12 11  M ′N Giải ta tìm điểm I  − ; ÷ hay  5 biểu thức Q với Q = IM − IN đạt giá trị lớn 12 11 z = − + i 5 12 33 Vậy P = − − = −9 5 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( − z ) ( i + z ) số thực Biểu thức Q = z + − 2i + z − − i đạt giá trị nhỏ số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ ) Tính P = a − 3b A P = − B P = −7 C P = D P = Giải Sử dụng kết Bài toán với ∆ : x + y − = 0, M (−1;2), N (1;1) Khi ta tìm 11  11  điểm I  − ; ÷⇒ z = − + i Vậy P = − 10  10  Nhận xét: Qua cho ta thấy việc giải tốn cực trị mơđun số phức nhờ kỹ thuật sử dụng kiến thức hình học phẳng quen thuộc phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm 2.3.4 Bài tập tự luyện Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i + = z − 2i Biểu thức Q với Q = z − + i + z − + 2i đạt giá trị nhỏ số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ ) Tính P = a − 2b A P = B P = −1 C P = −3 D P = Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 2i = z − − i Biểu thức Q với Q = z − − i − z − + 2i đạt giá trị lớn số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ ) Tính P = 4a − 7b A P = B P = C P = 10 D P = −7 Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz − = z − − i Biểu thức Q Q = z − + i + z − + 2i đạt giá trị nhỏ số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ ) 2015 b Tính P = a − A P = 2017 B P = 2018 C P = 2012 D P = 2010 Bài Biết số phức z thỏa mãn u = ( z + − i)(z + + 3i) số thực Biểu thức Q = z − − i − z − + 2i đạt giá trị lớn số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ ) Tính P = 3a + b A P = −7 B P = 28 C P = D P = Bài Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ ) thỏa mãn z + + i = z + 2i biểu thức P = z − − 3i + z − + 2i đạt giá trị nhỏ Tính P = a + 2b A P = B P = C P = D P = − Bài toán Cho đường trịn (T ) có tâm I , bán kính R , đường thẳng ∆ khơng có điểm chung với (T ) Tìm vị trí điểm M (T ) , điểm N ∆ cho MN đạt giá trị nhỏ Giải Gọi H hình chiếu vng góc I ∆ J giao điểm IH với (T ) Với điểm M thuộc đường thẳng (T ) điểm N thuộc đường thẳng ∆ Khi đó, ta có bất đẳng thức MN ≥ IN − IM ≥ IH − IJ = JH (1) Đẳng thức (1) xảy N ≡ H , M ≡ J Vậy điểm M trùng với J N trùng với H MN đạt giá trị nhỏ 2.3.5 Một số kỹ thuật sử dụng toán hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Ví dụ Biết số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1 =1, z2  z2 − (1 − i )  − + 2i số thực Biểu thức Q với Q = z2 − ( z1z2 + z1z2 ) đạt giá trị nhỏ số z1 = a + bi , z2 = c + di với số a, b, c, d ∈ R Tính P = a + b + c + d phức A P = −2 − B P = − C P = − − D P = − Giải Gọi z1 = a + bi , z2 = c + di ( a, b, c, d ∈ R ) điểm M (a; b) N (c; d ) biểu diễn cho z1, z2 hệ toạ độ Oxy Từ giả thiết ta có điểm M thuộc đường trịn (T ) có tâm gốc tọa độ O , bán kính R = điểm N thuộc đường thẳng ∆ : x + y + = Ta có d (O, ∆) > nên đường thẳng ∆ đường tròn (T ) khơng có điểm chung Mặt khác z1z2 = ac + bd + (bc − ad )i ; z1z2 = ac + bd + (−bc + ad )i z1z2 + z1z2 = 2(ac + bd ) , nên suy Q = c + d − 2(ac + bd ) = (c − a) + (b − d )2 − suy Q = MN − (vì a + b = ) Sử dụng kết Bài toán Gọi H hình chiếu vng góc O ∆ : x + y + = ⇒ H (−1; −1) Đoạn OH cắt đường tròn (T ) điểm  2 2 J  − ;− suy M ≡ J N ≡ H hay z1 = − ÷ +− i z2 = −1 − i ÷ 2 2   Vậy P = − − Ví dụ Biết số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1( z1 + − 4i) z2 2 = Biểu thức Q với Q = z1 + z2 − ( z1z2 + z1z2 ) − 2017 số ảo z2 − + 2i đạt giá trị nhỏ số phức z1 = a + bi z2 = c + di với số a, b, c, d ∈ R Tính P = a + b + c + d A P = − B P = C P = −1 D P = Giải Gọi z1 = a + bi , z2 = c + di ( a, b, c, d ∈ R ) M (a; b), N (c; d ) biểu diễn cho z1, z2 hệ toạ độ Oxy Từ giả thiết ta có M thuộc đường trịn (T ) có tâm I (−1;2) , bán kính R = điểm N thuộc đường thẳng ∆ : −2 x + y + = Do d (I, ∆) > nên đường thẳng ∆ đường tròn (T ) z1z2 = ac + bd + (bc − ad )i ; khơng có điểm chung Mặt khác ta có: z1z2 = ac + bd + (−bc + ad )i nên ta suy z1z2 + z1z2 = 2(ac + bd ) Do ta có: Q = a + b + c + d − 2(ac + bd ) − 2017 hay Q = (c − a )2 + (b − d )2 − 2017 suy biểu thức Q = MN − 2017 Sử dụng kết Bài toán Gọi điểm H hình chiếu vng góc điểm I đường thẳng ∆ : −2 x + y + = Khi suy 1  điểm H có tọa độ cặp số  ; −1÷ Đoạn IH cắt đường tròn (T ) 2  J ( 0;0 ) ≡ O suy M ≡ J N ≡ H 10 hay z1 = 0, z2 = 1 − i Vậy P = − 2 Nhận xét: Trong Bài toán ta thực đường thẳng ∆ thay đường cong khơng có điểm chung với (T ) Nhưng kỹ thuật sử dụng việc tìm giá trị nhỏ hàm số thay cho việc dùng khoảng cách Ví dụ (Trường THPT - Gia Định - TP.HCM) Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1 + i = z1 − z1 − 2i z2 − 10 − i = Tìm giá trị nhỏ z1 − z2 A −1 B 101 − C 101 + D + Giải Ta có z1 + i = z1 − z1 − 2i suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 nằm x2 parabol ( P) : y = z2 − 10 − i = suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 2 nằm đường tròn (T) : ( x − 10 ) + ( y − 1) = Đường trịn (T) có tâm  I ( 10;1) bán kính R = Xét điểm A  a;  a2  ÷∈ ( P ) Sử dụng Bài toán Nhận  xét ta có z1 − z2 nhỏ IA2 nhỏ M nằm I , a4 a2 a A Từ ta việc tìm giá trị để IA = f (a) = + − 20a + 101 suy 16 Min IA = Vậy Min z1 − z2 = − 2.3.6 Bài tập tự luyện Bài (Đề thi thử THPT QG - Bắc Giang - 2018) Cho hai số phức z , w thoả mãn điều kiện P= z−w   z − − 2i ≤  Tìm giá trị nhỏ Pmin   w + + 2i ≤ w − − i A Pmin = −2 B Pmin = + C Pmin = −2 D Pmin = 2 +1 Bài ( THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai) 11 Cho số phức phức z thoả mãn z − z + = ( z − + 2i ) ( z − + 3i ) Tìm giá trị nhỏ w , biết w = z − + 2i A w = D w = Bài ( Trường THPT Tĩnh Gia – Thanh Hoá) Biết số phức z1, z2 B w = C w = 2 thoả mãn điều kiện z − − z + i = , z − − i = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z2 A P = B P = D P = C P = Bài Biết số phức z1, z2 thoả mãn z1 + + z1 − = 10 , z2 − = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z2 A P = 16 − B P = 18 − C P = − D P = 10 − Bài Biết số phức z1, z2 thoả mãn z1 − − 2i = , ( z2 − 1) ( z2 + 2i ) số thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z2 A P = B P = + 5 C P = − 5 D P = Bài toán Cho nửa đường trịn (T ) có tâm O , bán kính R đường kính AB M điểm chuyển động nửa đường tròn (T ) Xác định vị trí M để tổng MA + 3MB đạt giá trị lớn Giải Ta có ·AMB = 900 , nên theo định lí Pitago có: MA2 + MB = AB = R Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số ta suy ( ) MA + 3MB ≤ MA2 + MB = R Đẳng thức xảy 3MA = MB ⇔ ∆AMB nửa tam giác · ⇔ MAB = 600 2.3.7 Một số kỹ thuật sử dụng toán hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị mơđun số phức 12 Ví dụ Biết số phức z thoả mãn điều kiện z ( z + − 4i ) số ảo Biểu thức Q = z − − i + z + − 3i đạt giá trị lớn z = a + bi với a, b ∈ R a + 2b − > Tính P = a + b A P = −3 + B P = 3 +3 C P = −3 − D P = 3 −3 Giải Gọi số phức z = a + bi ( a, b ∈¡ ) điểm M (a; b) điểm biểu diễn cho số phức z Từ giả thiết ta có điểm M thuộc đường trịn (T ) có tâm điểm I (−1;2) , bán kính R = biểu thức Q = MA + 3MB với A ( 1;1) B ( −3;3) Ta kiểm tra đoạn thẳng AB đường kính đường trịn (T ) từ giả thiết biểu thức Q = z − − i + z + − 3i đạt giá trị lớn z = a + bi với số a, b ∈ R a + 2b − >  3 +3 ; Sử dụng kết Bài tốn Ta tìm điểm M  ÷ hay số phức ÷   z=  +3 3 +3 +  ÷i Vậy P = ÷   ( ) Nhận xét: Ta thay cặp số 1; cặp số ( α ; β ) xét tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Việc tìm số phức Ví dụ kết nhiều khơng đẹp cho tốn trắc nghiệm Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z − − 2i = 17 Gọi M , m giá trị lớn nhỏ P = 1999 z + − i + 2017 z − + 3i Tính M + m ) ( A M + m = 8302 17 B M + m = 17 C M + m = 4034 17 D M + m = 17 1999 + 2017 + 1999 ( ) 19992 + 2017 + 1999 Giải Ta có z − − 2i = 17 suy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm I ( 2;2 ) bán kính 17 Xét điểm A ( −2;1) , B ( 6;3) M ( x; y ) Khi P = 1999MA + 2017 MB với AB đường kính đường trịn tâm I ( 2;2 ) nên ta có P = 1999 68 − MB + 2017 MB 13 x ∈ 0;2 17  , từ cách tìm giá trị lớn nhỏ hàm số ta suy Pmin = 1999.2 17 , Ta hàm số f ( x) = 1999 68 − x + 2017 x, Pmax = 17 19992 + 2017 Vậy M + m = 17 ( 19992 + 2017 + 1999 ) Ví dụ (THPT Quảng Xương - Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện thức P = z + i + z − + 7i A 10 B 20 z −1 = Tìm giá trị lớn biểu z + 3i C D Giải 2 Sử dụng Bài toán với đường tròn (C ) : ( x − ) + ( y − 3) = 20 , A ( 0; −1) B ( 4;7 ) ta Pmax = 20 2.3.8 Bài tập tự luyện Bài (Trường THPT Chu Văn An - Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + i + z − − i A max T = B max T = C max T = D max T = Bài (THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + + z − A max T = B max T = 10 C max T = D max T = Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + + z − A max T = 15 B max T = C max T = 20 D max T = 10 Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 2i = 2 Tìm tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức T = z − + 2018 z + + 4i ( A 2018 B C 4036 D ) + 20182 + ( ) + 20182 + Bài tốn Cho đường trịn (T ) có tâm điểm I , bán kính R dây cung BC khác 14 đường kính đường trịn Tìm vị trí điểm A thuộc cung lớn BC cho AB + AC lớn Giải Gọi D điểm cung lớn BC lấy điểm E đối xứng với điểm B qua đường thẳng AD Ta chứng minh ba điểm E , A C ba điểm · · thẳng hàng hay ta có góc EAD + DAC = 1800 Thật vậy, đường thẳng AD · · đường trung trực đoạn thẳng BE suy DAE Mặt khác, ta có tứ = DAB · · giác ADCB tứ giác nội tiếp nên suy góc DAC = DBC mà góc · · ( BD = DC ) Ta suy hệ thức sau: DBC = DCB · · · · EAD + DAC = DAB + DCB = 1800 (do tứ giác ADCB nội tiếp) Khi ta có đẳng thức AB + AC = AE + AC = EC Mặt khác EC ≤ DE + DC = DB + DC nên ta suy AB + AC lớn 2BD Vậy AB + AC lớn điểm A nằm cung lớn BC 2.3.9 Một số kỹ thuật sử dụng toán hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Ví dụ Xét số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Biết số phức z thoả mãn điều kiện z − + 3i = Tính P = a + b z − + 3i + z − + 5i đạt giá trị lớn A P = + B P = + C P = 2 D P = + 2 Giải 2 Sử dụng Bài toán với B ( 1; −3) , C ( 3; −5) , (C ) : ( x − 3) + ( y + ) = ta tìm ( ) ( ) điểm A + 2; −3 + hay z = + + −3 + i Vậy P = 2 Ví dụ Biết số phức z thoả mãn z ( z + − 4i) số ảo Tìm giá trị lớn biểu thức Q = z + − i + z − 4i A Q = B Q = 10 + 10 C Q = 10 + 10 D Q = Giải Sử dụng kết Bài toán với hai điểm B ( −3;1) , C ( 0;4 ) đường tròn (C ) , (C ) : ( x + 1) + ( y − ) = ta tìm d ( I , BC ) + R = + Từ ta Q suy giá trị lớn là: 2   3  Q=2  5+ ÷ = 10 + 10 Vậy Q = 10 + 10 ÷ +   ÷  15 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện biểu thức P = z − + i + z + − i A 10 + B 10 + z −1 = Tìm giá trị lớn z + 3i C 10 + D 10 Giải Sử dụng kết Bài toán với hai điểm B ( 4; −1) , C ( −2;1) đường tròn 2 (C) với (C ) : ( x − ) + ( y − 3) = 20 ta tìm phương trình đường BC : x + y −1 = , điểm I ( 2;3) Khi d ( I , BC ) + R = + 10 Từ ta suy giá trị lớn ( biểu thức P cần tìm là: P = 2 + 10 ) ( + 10 ) = 10 + Vậy P = 10 + 2.3.10 Bài tập tự luyện Bài Cho số phức z thỏa mãn z số thực w = số thực Tìm giá trị lớn biểu thức P = z + − i + z − − i z + z2 A P = + B P = + 2 C P = 16 + D P = 4 + 2 Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( − z ) ( i + z ) số ảo Tìm 1 giá trị lớn biểu thức P = z − i + z − + i 2 A P = 10 + B P = 10 + C P = 10 + 10 D P = 10 + Bài Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = ( + i ) z Tìm giá trị lớn biểu thức P = z − + z − + 2i A P = + B P = + 2 C P = + 2 D P = 4 + 2 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với sáng kiến kinh nghiệm đây, thân rút học kinh nghiệm công tác chuyên môn là: Tổng quan lý luận kỹ thuật sử dụng hình 16 học hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức, dựa vào tốn cực trị hình học phẳng, kết hợp với hình học tọa độ 10 kết hợp với việc biểu diễn hình học số phức Từ thấy mối liên hệ hai loại tốn tìm kỹ thuật chuyển tốn cực trị mơđun số phức tốn cực trị hình học mà việc giải trở nên quen thuộc Chẳng hạn: Kết hợp hình học tọa độ biểu diễn hình học số phức ta chuyển tốn cực trị mơđun số phức tốn cực trị hình học phẳng quen thuộc Đồng thời giáo viên phải người tạo động để học sinh tham gia giải vấn đề đặt Sau giáo viên phải kiểm tra, đánh giá rút kinh nghiệm cho em biết định hướng giải toán Ý nghĩa sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động việc giảng dạy ôn tập cho học sinh khối 12 cách hệ thống tương đối đầy đủ dạng tập liên quan, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh phát triển tư rèn luyện kỹ giải tốn Từ học sinh có nhìn tồn diện tự tin tiếp cận dạng toán Khả ứng dụng triển khai: Sáng kiến trình bày trước tổ chun mơn học sinh lớp 12 ôn tập thi THPTQG dạng chuyên đề có hiệu tốt KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Hiện nay, toán học đại, khả tư đại chúng nói chung nâng cao lên bậc, nhìn nhận đối tượng người học tương đối linh hoạt nhiều góc độ Tuy nhiên, gặp tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức khó hầu hết e ngại, gặp khó khăn kỹ thuật định hướng, xác định hướng đi, cách làm nhanh tốn “Kỹ thuật sử dụng hình học hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị môđun số phức” xem “chìa khóa” mở hướng chung “con đường” giải nhanh tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Đó vận dụng linh hoạt kỹ thuật sử dụng toán cực trị quen thuộc hình học phẳng khả biến đổi để đưa tốn có cấu trúc đại số phức tạp tốn dễ hiểu, từ dễ dàng vận dụng giải nhanh toán, quan trọng hơn, đề tài hướng đến kích thích, tìm tòi, sáng tạo học sinh giải tốn trắc nghiệm khó cực trị mơđun số phức Qua việc thực nghiên cứu này, đề tài đạt kết quả: Trình bày hệ thống lý luận thực tiễn liên quan đến tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Phân loại dạng toán, kỹ thuật sử dụng tốn cực trị quen thuộc hình học phẳng tìm lời giải tốn trắc nghiệm cực trị môđun số phức Đề tài đánh giá cao tính hiệu giảng dạy giáo viên, học tập học sinh đơn vị áp dụng, đề tài 17 tác giả thường xuyên cập nhật ví dụ tự luyện đề thi minh họa đề thi thử trường THPT nước Sưu tầm sáng tạo tốn có tính chất liên kết, xếp chúng theo trình tự từ đến phức tạp đa dạng theo tính chất Song song đó, đề tài đưa số tập tự luyện sưu tầm sáng tạo nhằm thể tương tác đề tài đến đối tượng người học Giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức khơng có đường nhất, mà phản ánh nhiều cách thức, hướng khác Đề tài hướng hướng sáng tạo, thế, cịn nhiều thiếu sót, mong đồng nghiệp bổ sung thêm để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cám ơn 3.2 Kiến nghị áp dụng vào thực tiễn giảng dạy Để giúp học sinh giải tốn tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức, người dạy cần ý nhấn mạnh, làm rõ nội dung sau: - Mỗi dạng toán nêu trên, cần định hướng rõ cho học sinh “chế biến”, từ hình thành quy trình giải dạng tốn - Đối với học sinh khá, giỏi, khuyến khích từ kiện toán để đặt toán mới, tạo hứng thú học tập học sinh Trên kinh nghiệm thân tơi đúc rút q trình giảng dạy Rất mong góp ý xây dựng đồng nghiệp để để sáng kiến tơi hồn thiện hơn, giúp học sinh học tốt tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức nhằm nâng cao chất lượng giáo dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thế Mạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Đại học sư phạm G Polya, Toán học suy luận có lí, NXB Giáo dục 18 Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Giáo dục 1992 Bộ Giáo dục Đào tạo, Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục, Hà Nội Đặng Việt Đông (Chủ biên), Công phá Toán 1, 2, 3, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn (chủ biên), Giải tích 12, NXB Giáo dục BGD - ĐT, Đề minh họa mơn Tốn năm 2018 Đề thi thử THPT QG năm 2018, 2019, 2020 trường THPT chuyên không chuyên - Violet đề thi Trần Công Diêu (chủ biên), 11 chuyên đề trọng tâm giải nhanh trắc nghiệm Toán, NXB ĐHQG HN 10 Thái Văn Quân (chủ biên), Rèn kỹ giải toán trắc nghiệm 12, NXB ĐHQG HN DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN,TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thế Mạnh 19 Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia STT Tên đề tài SKKN Phương pháp giải dạng phương trình lượng giác Rèn luyện tư học sinh qua việc giải bải tập toán Rèn luyện tư học sinh qua việc giải bải tập toán Một số giải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Tĩnh Gia Sử dụng quy tắc tính đạo hàm để sáng tạo giải số toán hàm ẩn Cấp đánh giá xếp loại Ngành GD cấp tỉnh –tỉnh Thanh Hóa Ngành GD cấp tỉnh –Tỉnh Thanh Hóa Kết đánh giá xếp loại Loại C Năm học đánh giá xếp loại 2008 - 2009 Loại B 2009 -2010 Hội đồng khoa học cấp tỉnh – tỉnh Thanh Hóa Loại B 2012 - 2013 Ngành GD cấp tỉnh –tỉnh Thanh Hóa Loại C 2017 - 2018 Ngành GD cấp tỉnh - tỉnh Thanh Hóa Loại C 2019 - 2020 20 ... tiễn liên quan đến toán trắc nghiệm cực trị mơđun số phức Phân loại dạng tốn, kỹ thuật sử dụng toán cực trị quen thuộc hình học phẳng tìm lời giải tốn trắc nghiệm cực trị môđun số phức Đề tài đánh... rút học kinh nghiệm công tác chuyên môn là: Tổng quan lý luận kỹ thuật sử dụng hình 16 học hoạt động giải tốn trắc nghiệm cực trị mơđun số phức, dựa vào tốn cực trị hình học phẳng, kết hợp với hình. .. pháp giải toán cực trị môđun số phức sử dụng trực tiếp mà phải thông qua số kỹ thuật định Nói cụ thể hơn, từ tốn cực trị hình học phẳng, kết hợp với hình học tọa độ việc biểu diễn hình học số phức