Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
1,19 MB
Nội dung
MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Phương pháp nghiên cứu 1.4 Phạm vi nghiên cứu đề tài 1.5 Điểm đề tài NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu 2.1.2 Các phép toán tập hợp số phức 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải vấn đề 2.3.1 Kỹ sử dụng bất đẳng thức giải tốn cực trị mơđun số phức 2.3.1.1 Sử dụng tính chất bất đẳng thức số phức 2.3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky 2.3.2 Rèn kỹ phương pháp hàm số tìm cực trị môđun số phức 2.3.3 Rèn kỹ phương pháp hình học Oxy giải tốn cực trị mơđun số phức 2.3.3.1 Áp dụng toán liên quan đến khoảng cách đến đường thăng 2.3.3.2 Các toán liên quan đến phương trình đường trịn 2.3.3.3 Các tốn phương trình elip 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Về phía học sinh 2.4.1 Về phía giáo viên KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị + Danh mục SKKN ngành Giáo dục Đào tạo xếp loại + Tài liệu tham khảo + Phụ lục MỞ ĐẦU Trong năm gần với đổi giáo dục đổi thi cử, mơn Tốn đóng vai trị quan trọng chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Vì đòi hỏi người dạy học phải linh hoạt 1 2 2 2 2 3 3 10 10 13 16 18 18 18 18 18 19 20 21 nắm bắt thơng tin kiến thức nhanh, nhạy bén, xác để giải vấn đề đưa đáp án cách xác, nhanh, gọn Việc giảng dạy mơn Tốn giáo viên khơng trang bị cho học sinh kiến thức, rèn luyện cho học sinh kỹ phương pháp tư toán học cụ thể mà cần tạo cho học sinh hứng thú, phương pháp tư tích cực, mạch lạc tối ưu học Qua học sinh áp dụng chúng môn học khác thực tiễn sống Vì người dạy cần có tìm tịi đổi phương pháp thường xuyên cho phù hợp với nội dung kiến thức nhu cầu người học Nghiên cứu đổi phương pháp giảng dạy nhiệm vụ quan trọng giáo viên luôn quan tâm thực Trong năm qua trường trung học phổ thông coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao lực nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên nhà trường thơng qua nhiều hình thức như: Đổi sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu học, ứng dụng CNTT các dạy; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khố, phát động phong trào “mỗi thầy gương sáng tự học, tự sáng tạo” Việc nâng cao phương pháp dạy học nghiên cứu khoa học cần thiết thường xuyên giáo viên tất mơn Với mơn tốn có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức phương pháp đạt hiệu truyền tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa, năm gần đề thi Tốt nghiệp THPT năm thường có câu hỏi vận dụng vận dụng cao số phức Đặc biệt câu hỏi liên quan đến giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) số phức thường câu hỏi khó Vì giáo viên phải tìm tịi, sáng tạo, tìm phương pháp để học sinh giải tốn khó kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm Do đó, nhằm giúp em ơn tập dạng tốn này, Tơi sưu tầm tổng hợp tập GTLN – GTNN liên quan đến số phức phận thành dạng toán để ơn luyện cho em, giúp em có vốn kiến thức chắn, vững vàng, tự tin làm tốt kì thi Tốt nghiệp THPT xét tuyển Đại học Từ tích lũy chun mơn, ơn luyện lớp chất lượng cao, luyện thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia nhiều năm tiếp cận đổi kì thi TN THPT năm 2020- 2021, tơi đúc rút thành đề tài “Rèn kỹ giải toán cực trị môđun số phức ứng dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số phương pháp tọa độ mặt phẳng” 1.2 Mục đích nghiên cứu Rèn luyện tư sáng tạo, lực tự học tự nghiên cứu dạy, học mơn tốn phần số phức Rèn luyện kỹ dùng bất đẳng thức, phương pháp tọa độ mặt phẳng, phương pháp hàm số giải nhanh tốn trắc nghiệm tìm giá trị lớn giá trị nhỏ môđun số phức mức độ vân dụng vận dụng cao 1.3 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu đề thi Tốt nghiệp năm, đề thi thử tự nghiên cứu 1.4 Phạm vi nghiên cứu đề tài Nghiên cứu phương pháp bất đẳng thức, phương pháp toạ độ mặt phẳng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ toán liên quan đến số phức 1.5 Điểm kết nghiên cứu Nghiên cứu phương giải nhanh tốn trắc nghiệm tìm giá trị lớn giá trị nhỏ liên quan số phức Xây dựng hệ thống tập trắc nghiệm mức độ vận dụng vận dụng cao tìm giá trị lớn giá trị nhỏ môđun số phức NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu Số i (đơn vị ảo): i 1 x, y �R ) gọi số phức; x gọi phần Số phức: Biểu thức z x yi ( thực, y gọi phần ảo z x2 y Với số phức z x yi , biểu thức gọi mơđun z Với số phức z x yi Số phức z x yi gọi số phức liên hợp số phức z Kí hiệu z Như z x yi z x yi M x; y Với số phức z x yi Xác định điểm mặt phẳng tọa độ Oxy Điểm M gọi biểu diễn hình học số phức z x yi Kí hiệu M x; y M z để M điểm biểu diễn cho số phức z x yi 2.1.2 Các phép toán tập hợp số phức Cho hai số phức z x yi, z� x� y� i x, y, x�� , y ��, i 1 Phép cộng: Phép trừ: z z� x x� y y� i z z� x x� y y� i Phép nhân: z.z� x.x� y y� x y� x� y i z z.z � z với Phép chia: z� z�� z� �0 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc M z z OM Với M M z ,M � M� z� � � z z MM A A z A , B B zB z A , zB hai số phức khác cho Với trước tập hợp điểm M M z thỏa mãn z z A z z B đường trung trực đoạn AB I z0 , R , tập hợp điểm M M z thỏa mãn hệ thức Với Với z z0 R đường trịn tâm I bán kính R z c z c 2a (hoặc z ci z ci 2a ) Tập Với số phức z thoả mãn hợp điểm M M z đường elip 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong trình dạy học cho thấy, đa học sinh nắm vững kiến thức mặt lý thuyết gặp dạng toán vận dụng cao cực trị số phức em lúng túng vận dụng Thực tế cách đổi thi cử việc đưa tốn GTLNGTNN toán vận dụng cao Đặc biệt toán cực trị liên quan đến số phức lại tốn khó nên địi hỏi học sinh ngồi việc thành thạo cơng thức mà phải hiểu phải biết vận dụng kết hợp phương pháp biết để giải tốn cách đầy đủ xác Trước thực trạng nói tơi băn khoăn tự đặt câu hỏi làm để giúp học sinh đứng trước tốn giải cách dễ dàng, nhanh gọn xác Dựa tình hình thực tế tơi nghiên cứu, tìm tịi, tích lũy phân loại thành phương pháp giải toán cực trị liên quan đến môđun số phức, để học sinh dễ tiếp thu phân dạng, chủ động, tích cực học tập 2.3 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 Kỹ sử dụng bất đẳng thức tốn cực trị mơđun số phức 2.3.1.1 Sử dụng tính chất bất đẳng thức số phức Với hai số phức z, z ' ta ln có z z ' �z ' z dấu xảy z kz ', k �0 ; z z ' �z z ' dấu xảy z kz ', k �0 ; z z ' �z z ' dấu xảy z kz ', k �0 ; z z ' �z z ' dấu xảy z kz ', k �0 ; z z z z , z �C ; z z' z z' z z' Ví dụ 1.1: Cho số phức z �0 thỏa mãn: z �2 Tổng GTLN, GTNN biểu thức: P z i z A B C D | a | | b | � | a b |� | a||b| Phương pháp: Áp dụng BĐT tri tuyệt đối Giải Ta có 1 i i i i �1 �1 � �1 �1 z z z |z| z |z| i 1 i 1 +��+ �1 z 2 z Mà z �2 suy Pmax Pmin , GTNN Nên tổng GTLN với nhỏ Vậy GTLN Ví dụ 1.2 Cho số phức z thỏa mãn: z Tìm GTNN biểu thức: T 1010 z z z z 2021 A 1010 Phương pháp B 2020 C 2022 D 2011 z n z n 1 + Ghép đẳng thức (n nguyên dương) + Áp dụng BĐT tri tuyệt đối | a | | b |�| a b | Giải z z �1 z (1 z ) z (1 z ) z Ta có Tương tự: Suy z z �1 z , , z 2020 z 2021 �1 z T 1010 z z z z 2021 �1010 z z z 144444424444443 1010 T �1010(1 z z ) �2020 Ví dụ 1.3 Cho hai số phức z, w thỏa mãn: (3 2i) z z 1 i iw 3i Giá trị lớn biểu thức P w bằng: 10 10 A B Phương pháp + Biến đổi dạng a bi f ( z, w) + Lấy môđun hai vế C D 10 + Áp dụng BĐT (ax b) k �k Giải z z i � | z | 1 (2 | z | 1)i iw 3i iw 3i Ta có |z| |z| � (3 | z | 1) (2 | z | 1) � 13 | z |2 2 | z | 2 | wi 3i | | w 3i | (3 2i ) z Đánh giá 13 | z | 2 | z | 2 0, z �| z | Đặt t | z |,(t 0) 13t 2t 1 1 25 13 2 2( ) � t t t t 2 Ta | w i | 2 w w+3+i+(-3-i) �w+3+i -3-i � 10 Khi đó: Suy � |w i | � � � | z | Dấu xảy � w 3 i � Vậy max P 10 Ví dụ 1.4 Cho hai số phức z thỏa mãn: P z 2i biểu thức z iz z z i Giá trị nhỏ bằng: A 2 B C Phương pháp + Biến đổi giả thiết tìm z x yi + Tìm P theo (x; y) D 5 2 + Áp dụng BĐT: (ax b) k �k Giải z iz z z i � z iz 2i z z i i Ta có �z i � ( z i )( z 2i ) ( z i )( z i 1) � � �z 2i z i TH1: z i suy P z 2i 2 TH1: z 2i z i Đặt z x yi suy y x Khi P z i ( x 2) ( y 1) ( x 2)2 x 2( x 1) � Vậy GTNN �x Pmin � � � z �y Ví dụ 1.5 Cho hai số phức z thỏa mãn: z 1 i z 4i z Gọi GTLN, NN biểu thức M, m Khi P=M.m bằng: A Phương pháp B 34 C D 2 Áp dụng BĐT a b �a b �a b Bất PT ax bx c �0 Giải Ta có: 4i 4i �z��� | z | | z | z z |z| | z |2 |z| |z| 17 4i 4i z���۳ |z| |z| z z |z| | z |2 |z| |z| 1 17 Do � 17 2 17 | z | |1 i || z | � 2 �z i � � 2 � P M m � 17 (1 2) 17 �z i � | z | |1 i || z | � 2 � � 2 2.3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số thực ax by � a b x y x y a b , dấu xảy a sin x b cos x � a b Với a, b, x, y �R ta có Với số phức z x yi , đó: z x2 y � ( x y)2 2 z x y ( x y )2 � 2( x y ) ; Ví dụ 1.6 Xét số phức z a bi (a, b �R ) thỏa mãn z 3i Tính P a b M z 3i z i đạt giá trị lớn A P 10 C P B P D P (Câu 46: Đề minh họa 2018) Phương pháp: - Tìm mối liên hệ a; b - Sử dụng a sin x b cos x � a b - Áp dụng BĐT Bunhiacopxki tìm GTLN M suy P a b Giải 2 z 3i � a b 3 Ta có a 1 P z 3i z i Khi � �a sin x � b cos x � Đặt b 3 a 1 b 1 10 sin x 30 sin x cos x 30 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki P � 16 sin x cos x 60 � 2sin x cos x 60 � � ��10 � sin x � � � � cos x 10 � � Nên Pmax Vậy P a b 10 � a sin x � �� b cos x � z 4i Ví dụ 1.7: Cho số phức z : biểu thức M z z i đạt giá trị lớn Tính mơđun số số phức z i A z i 41 B z i C z i 41 D z i Giải Gọi z x yi, x, y �R 2 2 Từ z 4i � x 3 ( y 4) � x y x y 20 2 M z z i 4x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2 M x y x 3 y 23 � 16 � 23 33 �x 3 y � � Suy M max �x x3 y4 � � z i 41 � 33 x y 33 �y z Ví dụ 1.8: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức T z z 1 A max T Phương pháp giải: B max T C max T 10 D max T - Gọi số phức z x yi, x, y �R , suy mối liên hệ x; y - Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki theo cách để tìm giá trị lớn Giải: Đặt Mặt khác z x yi x, y �� � z x 1 z � x y � x y 1, ۣۣ T x 1 12 2�2 � � y2 x 1 y2 � � y2 10 x T z 1 x 1 y 1 x 1 2 y2 y2 2 x 1 y2 max T Đáp án A z i Tìm giá trị lớn biểu thức Ví dụ 1.9: Cho số phức z thỏa mãn 2 P z i z 3i A max P 38 10 B max T 38 C max T 16 10 Phương pháp: - Gọi z x yi, x, y �R Tìm mối liên hệ x; y D max T - Áp dụng BĐT Bunhiacopxki tìm GTLN P Giải Gọi z x yi, x, y �R 2 z i � x ( y 1) � x y 2x y Từ 2 P z i z 3i 2( x y ) y 18 x 12 y 22 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: P 4( x 1) 12( y 1) 38 � (16 144) � ( x 1) ( y 1) � � � 38 38 10 Su y Pmax 38 10 z z Tìm giá trị Ví dụ 1.10: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 6i , lớn biểu thức P z1 z2 A max T Phương pháp: B max T C max T 10 D max T 2 - Xét môđun z1 z2 z1 z2 z1 z2 - Áp dụng BĐT Bunhiacopxki tìm GTLN P 2 2 z1 z2 10 z1 z2 z1 z2 z1 z2 104 Giải Ta có , Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: P z1 z2 � z1 z2 104 26 Suy Pmax 26 2.3.2 Kỹ phương pháp hàm số giải toán tìm cực trị mơđun số phức Phương pháp - Biễu diễn z x yi từ điều kiện tốn rút y theo x Tìm điều kiện biến x - Biến đổi biểu thức cần tìm dangju hàm số (có thể sử dụng đặt ẩn phụ) - Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Từ rút kết luận Các ví dụ Ví dụ 2.1 Cho số phức z thỏa mãn | z | Tìm GTLN biểu thức P 1 z 1 z A 15 Phương pháp - B C D Gọi z x yi x, y �� , - Biễu diễn P theo biến x, xét hàm số để tìm GTLN 2 2 Giải Gọi z x yi x, y �� , suy x y � y x �0 � 1 �x �1 P z z ( x 1) y ( x 1) y 2(1 x) 2(1 x) Xét hàm số f ( x) 2(1 x) 2(1 x), với (1 �x �1) f '( x) Ta có 1 0� x 2(1 x) 2(1 x) f (1) 6; f ( ) 5; f (1) Tính Suy GTLN Pmax Ví dụ 2.2: Tìm GTLN A Phương pháp - P z2 z z2 z 1 với z số phức thỏa mãn z 13 C B D Gọi z x yi x, y �� , - Tìm điều kiên biến x - Biễu diễn P theo biến x, xét hàm số để tìm GTLN P �x y 1; x, y � 1;1 � z.z z � � �z z x yi x, y �� , � z Giải Với ta có: 1� � P z z 1 z �z � z z z� z � Do biến đổi P, ta được: z 1 z 1 z Khảo sát hàm x 1 y 2x x 2x f a x 2x đoạn 1;1 ta max P P 13 �a i z bằng: Ví dụ 3: Cho số phức z có phần thực GTLN A B C D Phương pháp - Gọi z a bi a, b �� - Biễu diễn P theo biến b, xét hàm số để tìm GTLN P Giải Với z bi, b �� Ta có: P |1 zi | |1 ( b)i | b 2b i z |z| b2 2 b2 b 2b b đoạn R Khảo sát hàm b 2 � b b f '(b) 0� � b 1 (b 2b 3)(b 2) � f (b) Ta có Lập bảng biến thiên: x � f’(b) f(b) -2 - + - Suy GTNN Pmin f (b) 1 2 (3 i ) z Ví dụ 2.4 Cho hai số phức z, w thỏa mãn: P w+i biểu thức z 1 i w 1 Giá trị lớn bằng: 2 A Phương pháp - Rút w theo z C B D - Đánh giá mô đun w+i - Đặt ẩn phụ t=|z| biễu diễn P theo biến t, xét hàm số để tìm GTLN Giải Ta có (3 i ) z z z 1 i � w 1 w 1 (2 | z | 1) (1 | z |)i Suy z z |z| 1 i � 1 i � (3 | z | 1) (1 | z |)i (3 | z | 1) (1 | z |)i | 10 | z |2 8 | z | 2 t f (t ) t z �0 10t 8t P | w i | Đặt ta xét hàm số 4t f '(t ) (10t 8t 2) 0�t Lập bảng biến thiên suy GTLN Pmax 2 Ví dụ 2.5: Cho số phức z thỏa mãn z 4i Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức phức M mi A 1258 Phương pháp - P z z 1 C 314 B 137 Tính mơ đun số D 309 Gọi z x yi x, y �� , - Tìm điều kiên biến y - Biễu diễn P theo biến y, xét hàm số để tìm GTNN P Giải Đặt z x yi x, y �� , ta co z 4i � x ( y 4)i � x ( y 4) � � ( x 3) ( y 4) � ( x 3) ( y 4) � � x ( y 4) � 2 2 2 2 P z z i ( x 2) yi x ( y 1)i x y 2 TH1: x ( y 4) � P y y 11 y 15 10 � 5; � � Xét hàm số: f ( y ) y y 11 y 15 � f '( y ) Ta có 4 y 16 y y 11 20 � 4 y 16 y5 � � y y 15 � � � y3 y y 11 � Ta có: f (4 5) 23 , f (4 5) 23 5, f (5) 33, f (3) 29 2 TH2: x ( y 4) � P 4 y y 11 y 15 � 5; � � Xét hàm số: f ( y ) 4 y y 11 y 15 � f '( y ) Ta có f '( y ) � y 16 y y 11 2 y5 � � y y y 11 � y y 15 � � y3 � y y 11 y 16 Ta có: f (4 5) 23 , f (4 5) 23 5, f (5) 23, f (3) 13 � M max P 33, m P 13 � 33 13i � 1258 2.3.3 Rèn kỹ phương pháp tọa độ giải tốn cực trị mơđun số phức 2.3.3.1 Áp dụng toán liên quan khoảng cách đến đường thẳng a) Bài toán 1: Cho số phức z thoả mãn z z1 z z2 Tìm giá trị nhỏ môđun số phức w z zo b) Bài toán Cho số phức z thoả mãn z z1 z z2 Tìm giá trị nhỏ P z z3 z z biểu thức P z z3 z z4 (hoặc tìm giá trị lớn ) Cách giải toán a) Bài toán 1: + Bước Từ điều kiện suy tập điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường thẳng d trung trực AB, với A, B biểu diễn z1 , z2 w z zo d ( I , d ) + Bước MI d ( I điểm biểu diễn số phức zo ) hay M hình chiếu vng góc I lên d b) Bài tốn 2: + Bước Từ điều kiện suy tập điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường thẳng d trung trực IH, với I, H biểu diễn z1 , z2 P z z3 z z4 MA MB + Bước P z z3 z z4 MA MB ( ) với A, B hai điểm biểu diễn hai số phức z3 , z4 Đến tốn GTLN, GTNN mơđun số phức chuyển tốn GTLN, GTNN hình học phẳng Ví dụ Trong tất số phức z thỏa mãn z 2i z 4i Tìm giá trị nhỏ môđun z 11 13 B 13 A 13 C D 26 Phương pháp giải - Gọi M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z Tìm PT đường thẳng chứa M - Tìm hình chiếu vng góc O lên suy GTNN | z | Giải Đặt z x yi x, y �� M M z M x; y Ta có: z 2i z 4i � x 1 y x 3 y � M � : x y 2 2 13 13 z 13 Vậy 13 Khoảng cách từ O đến Ví dụ Trong tất số phức z a bi a, b �R thỏa mãn hệ thức z 5i z i , biết z i nhỏ Tính P ab 23 13 A 100 B 100 C 16 D 25 Phương pháp giải - Gọi M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z - Tìm phương trình đường thẳng chứa M - Gọi M (-1; 1), tìm hình chiếu vng góc M lên suy GTNN z i d O, Giải Đặt M M z Từ hệ thức z 5i z i , ta M � : x y Gọi M 1;1 , z i MM Gọi d đường thẳng qua M 1;1 vng góc với hay d : 3x y d: x 1 y 1 3 � x � �x y � 10 �� � x y � �y 23 � 10 Xét hệ phương trình �1 23 � H � ; � 10 10 � Vậy hình chiếu vng góc M lên � 23 23 z i � P 10 10 100 Từ z i nhỏ Ví du 3: Cho số phức z thỏa mãn z z i Tìm giá trị nhỏ biểu 2 P z z i thức 12 Phương pháp - Gọi M ( x; y ) biểu diễn z Suy thuộc đường thẳng d - Gọi A(1; 0), B 1;2 I (0; 1) - Tính P, biện luận để P nhỏ M hình chiếu I lên d Giải Từ z z i � x y tập điểm M ( x; y ) biểu diễn z thuộc đường thẳng d: x y Với A(1; 0), B 1;2 biểu diễn hai số phức z1 1, z2 1 2i I (0; 1) trung điểm AB 2 � P z z1 z z2 MA2 MB 2MI IA2 IB � P nhỏ IM nhỏ hay M hình chiếu vng góc I lên đường 2 �1 � 2 � Pmin d ( I , d ) IA IB � � �2� thẳng d Ví du 3.4: Cho số phức z thỏa mãn z z i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z i z 4i A P 10 A P 34 C P D P 10 Phương pháp - Gọi M ( x; y ) biểu diễn z Suy thuộc đường thẳng d - Gọi A(1; 1), B 2; I (0; 1) - Tính P=MA+MB Tìm m thuộc đường thẳng d cho P đạt GTNN Giải Từ z z i � x y tập điểm M ( x; y ) biểu diễn z thuộc đường thẳng d: x y Với A(1; 1), B 2; biểu diễn hai số phức z3 i, z4 2 4i � P z z3 z z4 MA MB mà A, B nằm khác phía d � Pmin ( MA MB) AB 34 2.3.3.2 Các toán liên quan đến phương trình đường trịn Cho số phức z thoả mãn z z1 R Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn môđun số phức w z zo (điều kiện tốn có tập điểm biểu diễn số phức đường tròn) Phương pháp tổng quát + Bước Xác định điều kiện toán suy tập điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I(a; b), bán kính R; 13 + Bước z zo nhỏ nhất, lớn MA nhỏ nhất, lớn ( A điểm biểu z zo IA R z zo max IA R diễn số phức zo ) Tức ; z 2i Gọi M, m giá trị lớn nhất, nhỏ Ví dụ 3.5: Cho số phức z thỏa mãn 2 z i Tính giá trị tổng S M m A S 86 B S 68 C S 34 D S 36 (Đề thi KSCL lần THPT Triệu Sơn 2) Phương pháp Áp dụng trực tiếp toán tổng quát Giải Từ điều kiện ta có đường trịn tâm I (1;2), R , điểm A(2; 1) m z i IA R 4, M z i max Suy 2 Vậy S M m 68 Ví dụ 3.6 Xét số phức z a bi , a, b �� thỏa mãn z 3i Tính P a b z 3i z i đạt giá trị lớn A P 10 B P C P D P (Câu 46 - Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Phương pháp - Gọi M ( x; y ) biểu diễn z Suy M thuộc tròn - Gọi A 1;3 , B 1; 1 , I trung điểm AB - z 3i z i MA MB lớn MI lớn Giải Đặt M M z 2 M � C : x y z i Từ hệ thức , ta Đặt A 1;3 , B 1; 1 , I trung điểm AB I 0;1 Theo lí thuyết trên, ta thấy MA MB lớn MI lớn , M �K Đường thẳng qua I vng góc với AB có phương trình x y 2 � � x y 3 � Xét hệ phương trình �x y K 6;4 K Chọn điểm � �x � � �y � � 5 �x � � y4 � Ta � Tức H 2;2 , (như nói trên) Vậy P a b 10 14 z i z 3i Ví dụ 3.7: Giả sử z1 , z2 hai số số phức z thỏa mãn số ảo Biết z1 z , giá trị lớn z1 2z A 2 C B D (Đề thi KS lần THPT Quảng Xường 1, 2020-2021) Phương pháp - Gọi z x yi ( x, y ��) uuu r uuur r MA MB 0 - A, B biễu diễn cho z1, z2 Tìm M thỏa mãn - Suy P= 3OM suy GTLN P Giải z i z 3i x ( y 1)i x ( y 3)i Gọi z x yi ( x, y ��) , đó: số ảo 2 � phần thực: x ( y 1)( y 3) � x y 1 (*) �A( z1 ) z1 z2 3 � � AB �B ( z2 ) (*) Gọi Xét điểm A, B thuộc đường tròn tâm I 0;1 bán kính R uuu r uuur r MA MB Khi đó: M thỏa mãn uur uuu r uuur uuu r uuur uuur (*) P z1 z2 OA 2OB OM MA OM MB 3OM Gọi H trung điểm AB suy � �MH HB BM � � IM MH IH � �IH IB HB 22 �3 � �� � �2 � � Suy M thuộc đường tròn tâm I 0;1 , bán kính r P max 3OM max 3OC OI r 3(1 2) Vậy Ví dụ 8: z iw 5i Xét số phức z , w thỏa mãn , Giá trị nhỏ z wz A B C D (Đề thi khảo sát lần chuyên ĐH Vinh 2018-2019) 29 29 Phương pháp + Gọi A , B điểm biểu diễn w 2bi Suy ra: A thuộc đường trịn C có tâm I 5; 2 , bán kính R * + B thuộc trục Oy 4 �xB �4 Từ suy ra: T AB + + Tìm GTNN T Giải 15 iw 5i � i �w Ta có: � w 2i 2 5i 1 i T z wz z wz z Ta có: z wz z � z z �z z w z z w * Đặt Vì z a bi Suy ra: z z 2bi z 2 4 �2b �4 nên A, B Gọi A thuộc R 1 + + B Từ đường tròn thuộc trục Oy * 2bi Suy ra: I 5; 2 điểm biểu diễn w C có tâm 4 �xB �4 suy ra: T AB �2 MN (xem hình) , bán kính 2� 48 Dấu “ ” xảy A �M 4; 2 � w 4 2i B �N 0; 2 � 2bi 2i � b 1 � z a i � a � a � � z � i Vậy z wz có giá trị nhỏ Ví dụ 3.9 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z 3i Giá trị lớn z 3i A B C D 5 Phương pháp: Biểu diễn số phức giải tốn tìm GTLN mặt phẳng tọa độ Giải I 1;1; , J 1; 3 , A 2;3 Gọi z x yi, x, y �R Xét số phức , có điểm biểu diễn z 1 i z 1 i � x 1 y 1 x 1 y 3 M x; y : 1 � MI MJ � M di chuyển đường elip có tiêu điểm I J, z 3i độ dài trục lớn Tìm giá trị lớn tức tìm độ dài lớn uur uur uur uur IA 1; , JA 3;6 � JA 3IA đoạn AM M di chuyển elip Ta có: , điểm A nằm trục lớn elip =>AM đạt độ dài lớn M trùng với B, đỉnh elip nằm trục lớn khác phía A so với điểm I Gọi S trung điểm IJ � S 0; 1 Độ dài đoạn AB SA SB uur AS 2; 4 � AS 5,SB � AB 5 z 3i max 5 Mà Vậy 16 2.3.3.3 Các tốn sử dụng phương trình elip Bài toán Cho số phức z thoả mãn z c z c 2a (hoặc z ci z ci 2a ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn môđun số phức z Phương pháp + Điều kiện toán x2 y z c z c 2a � a b thì: z max a z �a z b a c z �bi ; x y z ci z ci 2a � b a + Điều kiện tốn thì: z max a z �ai z b a c z �b z z Gọi M , m giá trị lớn Ví dụ 3.10: Cho số phức z thỏa mãn z nhất, nhỏ Tính M m z z � ( x 3)2 y ( x 3)2 y Giải Gọi z x yi, x, y �R Ta có: x2 y 1 16 Bình phương hai vế hai ta phương trình Nên tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn z thuộc đường Elíp có tiêu cự 2 F1F2 6, 2a 8, F1 (3;0), F2 (3;0) z x y khoảng cách OM � z � OM b a c , z max � OM max a Vậy M m z 4i z 4i 10 Ví dụ 3.11: Cho số phức z x yi , x, y �R thỏa mãn Tính 2 x y biết z có mơđun lớn A.75 B 50 C 65 D.70 Giải Gọi z x yi, x, y �R x2 y z 4i z 4i 10 � 1 25 Từ tập điểm M ( x; y ) biểu diễn z thuộc 2 đường Elíp có tiêu cự F1F2 8,2a 10, b a c 3, F1 (0; 4), F2 (0;4) z x y khoảng cách OM � z max � OM max a � z �5i � x y 75 17 z z 10 Ví dụ 3.12: Cho số phức z thỏa mãn Tìm z cho z có môđun lớn Giải Gọi z x yi, x, y �R x2 y z z 10 � 1 25 Từ tập điểm M ( x; y ) biểu diễn z thuộc 2 đường Elíp có tiêu cự F1F2 8, 2a 10 , b a c 3, F1 (0; 4), F2 (0;4) z ( x 6) y khoảng cách IM với I ( 6;0) � z max � IM max IA 11 với A(5;0) đỉnh Elíp z 3i z 3i 10 Tìm mơđun lớn Ví dụ 3.13: Cho số phức z thỏa mãn z 3i A z 3i B z 3i C z 3i D z 3i Giải Gọi z x yi, x, y �R Từ z 3i z 3i 10 � z (2 3i) z (6 3i) 10 ta có F1 ( 2; 3), F2 (6; 3) biểu diễn hai số phức z1 2 3i, z2 3i , F1F2 z 3i z (2 3i) z zo � I 2; 3 điểm biểu diễn số phức zo 3i trung điểm F1F2 , đó: z 3i z 3i 10 � MF1 MF2 10, F1F2 nên tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức 2 z thuộc đường Elíp có tiêu cự F1F2 2c , 2a 10, b a c z 3i ( x 2) (y 3) IM � z 3i max � IM max a Ví dụ 3.14: Cho số phức z thỏa mãn z i z 3i Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P z 7i 21 ; Pmin 2 A 11 Pmax ; Pmin 2 B C Pmax B D 21 ; Pmin 4 11 ; Pmin 2 Pmax Pmax (Đề khảo sát lần năm học 2020-2021-THPT Triệu Sơn 2) Giải Gọi z x yi, x, y �R 18 Từ z i z 3i � z (i) z (3 3i ) ta có F1 (0;1), F2 (3; 3) biểu diễn I �3 ;1 � � � hai số phức z1 i, z2 3i , F1F2 , gọi �2 �là trung điểm F1F2 P z 7i z (6 7i) z zo � A 6; điểm biểu diễn zo 3i , đó: z i z 3i � MF1 MF2 6, F1 F2 nên tập điểm M ( x; y ) biểu F1F2 2c 5,2a 6, b a c 11 diễn z thuộc đường Elíp có tiêu cự 15 uuur uuuur AI a AF ( 6;8), MF ( 3;4) � A � F F 2 Mặt khác suy A nằm Pmax IA a 21 ; Pmin IA a 2 trục lớn phía ngồi Elíp Khi 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Về phía học sinh Những giải pháp tơi kiểm nghiệm qua thực tế dạy học năm học 2018 -2019 lớp 12C2, năm học 2020 -2021 lớp 12B1 lớp mũi nhọn nhà trường Tôi thực ôn tập rèn luyện kĩ giải toán vận dụng cao số phức cho học sinh kết thu khả quan Năng lực học sinh có chuyển biến tích cực qua lần thi KSCL theo định hướng thi THPT Quốc gia 2019 thi tốt nghiệp THPT năm 2021 nhà trường Cụ thể: Điểm TB mơn Tốn Điểm TB mơn Tốn Thi KSCL lớp 12C2 lớp 12B1 Năm 2018-2019 Năm 2020-2021 Thi KSCL lần 6.91 7.51 Thi KSCL lần 7.45 7.76 Thi KSCL lần 7.79 7.84 Thi KSCL lần 7.82 8.34 Điểm thi THPT quốc gia 8,01 Qua điều tra tất em học sinh biết cách giải toán vận dụng cao cực trị số phức Các em tự tin thực hành làm đề lớp nhà Tất điều góp phần chuẩn bị tốt kiến thức, kĩ năng, tâm lí cho học sinh bước vào kì thi Tốt nghiệp THPT với kết cao 2.4.2 Về phía giáo viên Với tốn cự trị số mơđun số phức Tôi áp dụng giảng dạy, ôn thi Tốt nghiệp THPT cho học sinh giỏi trường THPT Triệu Sơn 2, kết đạt hiệu giáo viên Toán nhà trường đánh giá cao tính khoa học, thiết thực, hiệu đề tài KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 19 Khi giảng dạy chương IV- Giải tích 12 "Số phức " với việc dạy cho học sinh kiến thức số phức, phép toán quen thuộc tập hợp số phức Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kĩ giải toán vận dụng cao cực trị môđun số phức Kĩ giúp cho em làm nhanh, làm tốt thi Tốt nghiệp THPT xét tuyển Đại học Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan thời gian thi rút ngắn cịn lại 90 phút mơn Tốn việc phát phương pháp cách giải tốn vận dụng cao cách nhanh chóng cần thiết Đề tài giải phần điều kinh nghiệm để thầy giáo dạy Tốn tham khảo nhằm nâng cao chất lượng, hiệu dạy Tốn nói chung dạy học phần số phức nói riêng đặc biệt tốn có tính chất vận dụng cao Trong viết, giới thiệu số phương pháp giải toán vận dụng cao cực trị môđun số phức Mong bạn đồng nghiệp góp ý để viết hoàn thiện 3.2 Kiến nghị Đề nghị Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức hội thảo khoa học, hội thảo báo cáo Sáng kiến kinh nghiệm tiểu biểu theo cụm để giáo viên có điều kiện trao đổi học hỏi kinh nghiệm áp dụng dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Thi Văn Chung 20 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Cấp đánh giá Kết đánh Năm học xếp loại TT Tên đề tài SKKN giá xếp loại đánh giá (Ngành GD (A, B, C) xếp loại cấp huyện/tỉnh) Phương pháp đặt ẩn phụ giải Ngành GD tỉnh B 2007 phương trình chứa ẩn dấu Chứng minh bất đẳng thức Ngành GD tỉnh C 2011 phương pháp hàm số Hướng dẫn học sinh giải Ngành GD tỉnh C 2014 số phương trình, hệ phương trình PP hàm số Giải tốn hình học khơng gian Ngành GD tỉnh C 2017 PP tọa độ” Giúp học sinh lớp 10 khắc Ngành GD tỉnh C 2019 phục số sai lầm giải tốn bất phương trình” Biện pháp xây dựng môi Ngành GD tỉnh C 2020 trường sư phạm đảm bảo an ninh trật tự, an toàn trường học trường THPT Triệu Sơn Cụ thể số định năm: + Loại B năm 2007 Số: 462/QĐ-SGD&ĐT ngày 19/12/2007 với đề tài “Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa ẩn dấu căn” 21 + Loại C năm 2011 - Số: 539/QĐ-SGD&ĐT ngày 18/10/2011 với đề tài “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp hàm số” + Loại C năm 2014 Số: 753/QĐ-SGD&ĐT ngày 03/11/2014 với đề tài “Hướng dẫn học sinh giải số phương trình, hệ phương trình phương pháp hàm số” + Loại C năm 2017 - Số: 1112/QĐ-SGD&ĐT ngày 18/11/2017 với đề tài “Giải tốn hình học không gian PP tọa độ” + Loại C năm 2019 - Quyết định số: 2007/QĐ-SGDĐT ngày 08 tháng 11 năm 2019 Giám đốc Sở GD&ĐT với đề tài “Giúp học sinh lớp 10 khắc phục số sai lầm giải tốn bất phương trình” + Loại C năm 2020 - Quyết định số: 2088/QĐ-SGDĐT ngày 22 tháng 12 năm 2020 Giám đốc Sở GD&ĐT với đề tài “Biện pháp xây dựng môi trường sư phạm đảm bảo an ninh trật tự, an toàn trường học trường THPT Triệu Sơn “trường THPT Triệu Sơn 2” TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giải tích 12-Đồn Quỳnh (Tổng Chủ biên), nhà xuất Giáo dục [2] Đề tham khảo đề thi THPT Quốc gia mơn tốn năm 2018; 2019, 2020, 2021 GDĐT [3] Đề thi thử mơn tốn năm 2018; 2019, 2020, 2021 trường THPT nước [4] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [5] Khai thác Internet 22 ... tốn phần số phức Rèn luyện kỹ dùng bất đẳng thức, phương pháp tọa độ mặt phẳng, phương pháp hàm số giải nhanh tốn trắc nghiệm tìm giá trị lớn giá trị nhỏ môđun số phức mức độ vân dụng vận dụng cao... 2021, tơi đúc rút thành đề tài ? ?Rèn kỹ giải toán cực trị môđun số phức ứng dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số phương pháp tọa độ mặt phẳng? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Rèn luyện tư sáng tạo, lực tự... 2.3.3 Rèn kỹ phương pháp tọa độ giải tốn cực trị mơđun số phức 2.3.3.1 Áp dụng toán liên quan khoảng cách đến đường thẳng a) Bài toán 1: Cho số phức z thoả mãn z z1 z z2 Tìm giá trị nhỏ môđun