SKKN hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC Người thực hiện: Nguyễn Đức Văn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Tốn THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC Nội dung I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề Giải pháp thực 3.1 Phương pháp đại số 3.2 Phương pháp hình học Bài tập tương tự Hiệu sáng kiến kinh nghiệm III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Trang 2 2 2 4 17 18 19 21 I.MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Số phức đưa vào giảng dạy chương trình lớp 12 nội dung thực gây khơng khó khăn cho em học sinh nguồn tài liệu tham khảo hạn chế Bên cạnh tốn số phức năm gần thiếu đề thi THPT Quốc gia Bài tốn “Tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức” khơng phải tốn q khó học sinh Các em cần nắm kiến thức số phức: phần thực, phần ảo, mơđun số phức, phép tốn số phức kết hợp với kiến thức ph ương trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, em giải tốt tốn trên.Vấn đề thơng qua toán học sinh biết khai thác kiến thức toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, tốn cực trị hình học, để từ giải tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức hay tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ thoả mãn điều kiện cho trước” Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nói chung mơđun số phức nói riêng ln tốn khó với đa số học sinh Việc thi trắc nghiệm địi hỏi em phải tìm phương pháp nhanh để giải tốn Do ngồi việc nắm vững kiên thức phương pháp tự luận để giải toán em phải nắm phương pháp để giải nhanh tốn Chính mà tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức ” để viết sáng kiến kinh nghiệm MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trên sở nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức” q trình ơn luyện cho học sinh mong muốn học sinh nắm vững số phương pháp để giải toán cực trị số phức, từ em có tư linh hoạt để vận dụng vào toán cực trị khác, giúp em đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia nâng cao chất lượng dạy học Toán 3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết II NỘI DUNG 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Kiến thức số phức: -Một số phức z biểu thức có dạng z  x  yi x, y  R -Mỗi số phức z  x  yi biểu diễn điểm M(x;y) mặt phẳng toạ độ Oxy -Môđun số phức z ký hiệu z , số thực không âm xác định sau:  Nếu z  x  yi z  x  y  Nếu M(x;y) biểu diễn số phức z  x  yi z OM -Cho số phức z  x  yi Số phức z  x  yi gọi số phức liên hợp với số phức 1.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức thường gặp  Phương trình đường thẳng: ax  by  c 0  Phương trình đường trịn:  x  a    y  b   R  Phương trình đường Elíp: x2 y2  1 a2 b2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: Trong trình giảng dạy ơn thi tốt nghiệp THPT quốc gia trường THPT Nga Sơn, cho học sinh lớp dạy kiểm tra phần số phức có tốn sau: Bài tốn: Trong số phức z thỏa mãn: z   4i  z , biết số phức z a  bi ( a, b  R ) có mơđun nhỏ Khi đó, giá trị P a  b là: A P  B P  C P  D P  Kết thu được: Hầu hết em không làm tốn mà có xu hướng khoanh bừa đáp án Cứ nói đến giá trị lớn , giá trị nhỏ em lại thấy ngại, thấy khó khăn tìm cách giải tốn Thực khơng phải tốn khó, em giải tốn sau: Giải: Gọi z  x  yi đó: z   4i  z  ( x  3)  (4  y )  x  y  y 25  x  y  25  x 25 75 625 x  x 16 16 64 25 75 625 25 75  f ' ( x)  x  Xét hàm số f ( x)  x  x  ; f ' ( x) 0  x  16 16 64 16 25  f ( x)  x   z  z   2i 2  a  ; b 2  P  Đáp án A  z  x2  y2  Như vậy, ta biểu thị mối liên hệ phần thực phần ảo số phức từ giả thiết toán vào biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ quy tốn tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số Đây phương pháp hướng dẫn em để giải tốn tìm GTLN, GTNN mơđun số phức tìm số phức có mơđun lớn , nhỏ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Trước thực trạng hướng dẫn học sinh hai phương pháp để giải qut tốn trên, phương pháp đại số phương pháp hình học 3.1.Phương pháp đại số: Để tìm giá trị lớn nhất( GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) z thỏa mãn điều kiện cho trước K ta thực hiện: Cách 1: - Gọi z  x  yi , từ điều kiện cho trước K rút mối liên hệ y theo x - Thay y theo x vào biểu thức z  x  y - Sử dụng kiến thức tìm GTLN; GNNN hàm số: khảo sát hàm số, đánh giá bất đẳng thức… Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác :  z1  z  z1  z ; dấu xảy z1 kz với k 0  z1  z  z1  z ; dấu xảy z1 kz với k 0  z1  z  z1  z ; dấu xảy z1 kz với k 0  z1  z  z1  z ; dấu xảy z1 kz với k 0 VD1: Cho số phức z thỏa mãn: z   3i 1 Tìm GTLN z ? A  13 B 13 C  13 D 13  Lời giải Ta có :  z  (2  3i )  z   3i  z  13    z  13 1  13   z 1  13  13  max z 1  13 z k (2  3i ) với k 0   13  k 13  k  13 Đáp án A VD2: Cho số phức z thỏa mãn: z   3i 1 Tìm GTNN z 1  i ? A 13  B C D  13 Giải: Ta có : z   i  z   i  ( z   3i)  (3  2i )  z   3i  13  13   z   i  13  Đáp án A Nhận xét: Qua hai ví dụ giáo viên giúp học sinh phát biết nhận dạng tốn từ vận dụng bất đẳng thức tam giác để giải toán VD3: (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Xét số phức z thỏa mãn z   3i  Số phức z mà z  nhỏ A z   5i B z   i C z   3i D z   i Lời giải Giả sử z  x  yi  x; y �� 2 Ta có z   3i  �  x  1   y  3  �  x  1   y  y  1 Vì  x ��� z 1   x  1 y  y�  �1 y y  y  y  Vì �� y� 25 1� z �x  z   i Đáp án B �y  Vậy z  nhỏ � VD4: Trong số phức z thỏa mãn: z   4i  z , biết số phức z a  bi ( a, b  R ) có mơđun nhỏ Khi đó, giá trị P a  b là: A P  B P  C P  D P  Đề trang luyenthithukhoa.vn Lời giải Gọi z  x  yi đó: z   4i  z  ( x  3)  (4  y )  x  y  y 25  x  y  25  x 25 75 625 x  x 16 16 64 25 75 625 25 75  f ' ( x)  x  Xét hàm số f ( x)  x  x  ; f ' ( x ) 0  x  16 16 64 16 25 3  f ( x)  x   z  z   2i  a  ; b 2  P  2 2  z  x2  y2  Đáp án A VD 5: (Chuyên Hà Tĩnh lần năm 2021)Cho số phức z  i  Giá trị lớn biểu thức : S  z   z   z  3i A B 16 3 D Lời giải Gọi z  x  iy Ta có : C 3z  i  � z  i 2 � x2  y   y  � x2  ( y  )  3 3 S  ( x  1)  y  ( x  1)  y  x  ( y  3)     S 2 y 1 y f ( y)  3; � Lập bảng biến thiên hàm số f(y) đoạn � � �ta max f ( y )  Đáp án D �  3; � � � VD6: (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị lớn P  z  z  z  z  Tính M  m A M  m  B M  m  C M  m  Lời giải D M  m  Chọn A z Ta có: zz  z  � z  1 4 4 Suy P  z  z  z  z   z z   z  z   z  z   z  Đặt w  z � w  , ta P  w  6w   2w  �x � 2 Gọi w  x  yi , w  � x  y  � � �y �1 P  x  x   y  y  x  3 i  x   yi  x  x  y  x  3 i  x   yi   x  3  x  yi    x  1  y   x  3 x  yi  2 x    x  3  2 x  Xét hàm số f  x    x  3  2 x  đoạn  1;1 f�  x   1 ; f�  � 2x   � x    x  �  2 2x  2x  �1� Ta có: f  1  4; f � � 3; f  1  Vậy M  4, m  � M  m  Đáp án A � 2� VD7: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong số phức z thỏa mãn z   i  z   2i , số phức z có mơ đun nhỏ có phần ảo 10 A B 5 C  D  10 Lời giải Gọi z  x  yi ,  x , y �� biểu diễn điểm M  x ; y  z   i  z   2i �  x  1   y  1 i   x  1   y   i �  x  1   y  1   x  1 2   y   � x  y   � y  2 x  2 3� � � 3� z  x  y  x � 2 x  �  x  x   �x  � � , x 2� � � � 20 10 2 Suy z  3 x   ; y   10 10 Vậy phần ảo số phức z có mơ đun nhỏ  Đáp án D 10 VD8: (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  z  Tính M m A 13 B 39 C 3 D 13 Lời giải Thay z  vào P ta có P  z 1  z2  z 1  z 1  z2  z  z  z   z  z  z z  z   z z  z   z   z  z 1 Mặt khác z    z  1  z  1   z  z Đặt t  z  z z  nên điều kiện t � 2; 2 Suy P  t   t   t  Xét hàm số f  t   t   t  với t � 2; 2 f � f�  t   với t  f�  t   với t  t2  với t  Suy t2  x  � x  Suy f � 7 Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy M  13 7 13 t  m  t  Vậy M m  4 Đáp án A Nhận xét: Trong năm gần hầu hết đề thi thử Sở theo hướng vận dụng hàm số để giải tốn dạng viết thơng qua ví dụ tơi rèn luyện cho học sinh kỹ nhận biết, phân tích để giải toán dạng hiệu 3.2 Phương pháp hình học: *) Để tìm giá trị lớn nhất( GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) z thỏa mãn điều kiện cho trước K ta thực hiện: - Tìm tập hợp (G) điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện K - Tìm điểm M (G ) cho khoảng cách OM có giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất).Tìm OM *) Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax  by  c  (1) z  a  bi  z  c  di (2) Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax  by  c  (2) Đường trung trực đoạn AB với  x  a Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R  A  a, b  , B  c, d     y  b   R z  a  bi  R  x  a Hình trịn tâm I  a; b  , bán kính R   y  b  �R z  a  bi �R r � x  a    y  b  �R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồng tâm I  a; b  , bán kính r , R Parabol r �z  a  bi �R � y  ax  bx  c  c �0  � x  ay  by  c �  x  a  y  c   1 Elip   Elip  1 1 b2 d2 z  a1  b1i  z  a2  b2i  2a 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  Đoạn AB 2a  AB VD9: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z   4i  Gọi a b giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức a  b A 40 B C 20 D Lời giải Gọi M  x ; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi với x , y �� 2 Ta có z   4i  �  x     y    � tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I  2;  bán kính R  Kẻ đường thẳng qua điểm O I cắt đường trịn điểm M N hình vẽ OI  22  42  ; IM  IN  R  Từ hình vẽ ta thấy: z  OM  OI  IM     b z max  ON  OI  IN     a Vậy a  b  40 Đáp án A VD10: (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z   3i  z1  z2  Giá trị lớn z1  z2 A B C D  Lời giải Chọn A Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2  � � �z1   3i  z2   3i  �M , N � C  :  x  3  y  Do � nên � � � �z1  z2  �MN   2.2   22 Như MN đường kính đường tròn  C  với tâm I  3;   , bán kính R 2, I trung điểm MN , OI  12 � MN � 2 z  z  OM  ON �  OM  ON  2OI    Ta có  � � � � Dấu "  " xảy OM  ON � MN đường kính  C  vng góc với OI Đáp án A Nhận xét: Qua hai ví dụ ta thấy số phức z thỏa mãn z  a  bi  R nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn Đây sở để vận dụng phương pháp hình học giải tốn VD11: (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sử z1 , z2 hai số phức thỏa mãn  z     zi  số thực Biết z1  z2  , giá trị nhỏ z1  z2 A  21 B 20  21 C 20  22 Lời giải D  22 Giả sử z  x  yi , x, y ��.Gọi A, B điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 Suy AB  z1  z2  2 �  x    yi �   y   xi � Ta có  z     zi   � � � � �  x  y  48    x  y  x  y  i Theo giả thiết  z     zi  số thực nên ta suy x  y  x  y  Tức điểm A, B thuộc đường tròn  C  tâm I  3;  , bán kính R  uuur uuur r uuu r uuur uuuur Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA  3MB  � OA  3OB  4OM Gọi H trung điểm AB Ta tính HI  R  HB  21; IM  HI  HM  22 , suy  tâm I  3;4  , bán kính r  22 điểm M thuộc đường trịn  C � 10 uuu r uuur uuuur z  z  OA  OB  OM  4OM , z1  z2 nhỏ OM nhỏ Ta có Ta có  OM   OM  OI  r   22 Vậy z1  3z2  4OM  20  22 Đáp án C VD12: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1   i  z1   7i  iz2   2i  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  z1  z2 A  B  C 2  Lời giải D 2  Gọi M điểm biểu diễn số phức z1 A  2;1 ; B  4;7  hai điểm biểu diễn hai số phức 2  i ,  7i Ta có AB  Phương trình đường thẳng AB d : x  y 3 +) z1   i  z1   7i  � MA  MB  � MA  MB  AB Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 đoạn thẳng AB +) iz2   2i  � iz2   2i i  �  z2   i  Gọi N điểm biểu diễn số phức  z2 I  2;1 điểm biểu diễn số phức  i Ta có IN  Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức  z2 đường trịn  C  có phương trình:  x     y  1  2 d  I , AB   2  , suy AB khơng cắt đường trịn 11 Gọi K hình chiếu I  2;1 lên AB Dễ thấy K nằm đoạn thẳng AB Gọi H giao điểm đoạn IK với đường tròn  C  Ta có z1  z2  MN �KH  d  I , AB   R  2  Suy z1  z2  2  Đáp án D VD13: (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ P  z   2i Đặt A  M  m Mệnh đề sau đúng? A A� 34;6  B A� 6; 42  C A� 7; 33  D A� 4;3  Lời giải Giả sử: z  x  yi,  x, y �� � N  x; y  : điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có: • z  z  z  z  � x  y  � N thuộc cạnh hình vng BCDF (hình vẽ) y I B E F C -2 O x D -2 2 • P  z   2i � P   x     y   � P  d  I ; N  với I  2;  Từ hình ta có: E  1;1 M  Pmax  ID  42  22  m  Pmin  IE    1    1  2 12   Vậy, A  M  m   � 34;6 Đáp án A VD14: (Liên Trường Nghệ An 2018) Biết hai số phức z1 , z2 thỏa mãn Số phức z có phần thực a phần ảo b thỏa z1   4i  z2   4i  mãn 3a  2b  12 Giá trị nhỏ P  z  z1  z  z2  bằng: A Pmin  9945 11 B Pmin   C Pmin  9945 13 D Pmin   Lời giải Gọi M , M , M điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z2 , z hệ trục tọa độ Oxy Khi quỹ tích điểm M đường trịn  C1  tâm I  3;  , bán kính R  ; Quỹ tích điểm M đường  C2  tròn tâm I  6;8  , bán kính R  ; Quỹ tích điểm M đường thẳng d : x  y  12  Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ MM  MM  138 64 � � Gọi  C3  có tâm I � ; �, R  đường tròn đối xứng với  C2  qua d Khi �13 13 �  MM1  MM     MM1  MM   với M � C3  Gọi A , B giao điểm đoạn thẳng I1I với  C1  ,  C3  Khi với điểm M � C1  , M � C3  , M �d ta có MM1  MM  �AB  , dấu "=" xảy 9945 M �A, M �B Do Pmin  AB   I1I    I1 I  13 Đáp án C VD15: Xét số phức z thỏa mãn z   i  z   7i 6 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z   i Tính P m  M A P  13  73 B P   73 C P 5  73 D P   73 Đề minh họa lần Bộ giáo dục năm 2017 13 Lời giải Gọi w  z   i  z w   i Khi : z   i  z   7i 6  w   2i  w   8i 6 (*) Gọi A( 3;2); B(3;8) ; M điểm biểu diễn w ta có: (*)  MA  MB 6 Mà AB 6  MA  MB  AB  Tập hợp điểm biếu diễn w đoạn thẳng AB  w OM M  H với H hình chiếu O AB  H ( 5 ; )  m  2  w max OM max OB  73  M  P m  M   73 Đáp án B VD16: (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho số phức z thỏa mãn : z  z  2i Giá trị nhỏ biểu thức P  z  i  z  A B C 3 D Lời giải Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z Ta có z  z  2i � y   0, tức biểu diễn hình học số phức thỏa mãn giả thiết đường thẳng y   Xét điểm A(0;1) B (4;0) P  z  i  z   MA  MB Dễ thấy A, B phía với đường (0; 3) đối xứng với A thẳng y   nên MA  MB nhỏ BA�trong A� qua đường thẳng y   Do MA  MB nhỏ BA� Đáp án A 14 VD17: Cho số phức z  a  bi  a, b �� thỏa z   z   10 z  lớn Tính S  a  b ? A S  3 B S  C S  5 D S  11 Lời giải Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z  a  bi  a, b �� z   z   10 �  a    bi   a    bi  10 �  a  4  b2   a  4  b  10  * Xét F1  4;0  F2  4;0  Khi  * � MF1  MF2  10 c4 � � b  a2  c2  �2a  10 � a  Suy M thuộc Elip có � Ta có: z    a    b  IM , I  6;  , suy max z   IA�hay điểm M �A�  5;0  � z  5  0i � S  5 Đáp án C VD18: (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hai số phức z   a  bi thỏa mãn z   z   ; 5a  4b  20  Giá trị nhỏ z   A 41 B 41 C 41 D 41 Lời giải Đặt F1   ;0  , F2  ;  ,  nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức �a  x2 y z thuộc elip có � � b  a  c  suy  E  :  1 c � Tập hợp điểm N biểu diễn số phức  thuộc đường thẳng  : x  y  20  u cầu tốn trở thành tìm điểm M � E  N � cho MN nhỏ 15 Đường thẳng d song song với  có dạng d : x  y  c  ,  c �20  c  17 � 2 d tiếp xúc với  E  c    4   289 � � c  17 � Với c  17 � d  d ,    Với c  17 � d  d ,    20  17 52   4   20  17   4  37 41  3  MN   Vậy Đáp án A 41 41 Bài tập áp dụng: Bài Cho số phức z thỏa mãn z + z + z - z = Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = z - - 3i Tính M + m A 13 B C D 11 Bài Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Gọi M m giá trị 2 lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  i Môđun số phức w  M  mi A w  137 B w  1258 C w  309 D w  314 Bài Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   i  z2  iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức z1  z2 ? A m   B m  2 C m  D m  2  16 � �z   2i �1 Bài Cho hai số phức z , w thỏa mãn � �w   2i �w   i Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P  z  w A Pmin  2 B Pmin   C Pmin  2 D Pmin  2 Bài Cho số phức w , z thỏa mãn w  i  5w    i   z   Giá trị lớn biểu thức P  z   2i  z   2i A B  13 C 53 D 13 Bài Cho số phức z thỏa mãn z   2i  z  5i Tìm giá trị nhỏ iz  20 ? A 10 B 10 C 10 D 10  2i  z   2i Biết biểu thức 2 đạt giá trị nhỏ z a  bi (a, b  R) Tính Bài Cho số phức z thỏa mãn Q  z   4i  z   6i z P a  4b ? 1333 272 A P  B P  C P  D P  691 272 Bài Cho số phức z thỏa mãn z  Giá trị lớn biểu thức P   z   z A B C D HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Qua trình giảng dạy ôn thi THPT quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Nga Sơn, khả tiếp thu vận dụng phương pháp để giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức mang lại kết đáng mừng Số học sinh hiểu vận dụng giải tập có hiệu cao dần thể số lượng chất lượng học sinh có điểm thi THPT quốc gia Đa số học sinh tỏ tự tin giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức tiếp cận với phương pháp giải nêu sáng kiến kinh nghiệm Học sinh tự chọn cho phương pháp phương pháp nêu sáng kiến kinh nghiệm 17 Năm học 2020 -2021 , ôn thi THPT Quốc gia để giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mơđun số phức, tơi có chia lớp thành hai nhóm: nhóm thực nghiệm , nhóm đối chứng cho đề tài với phương pháp giải ,tôi thu kết sau : Phương pháp đại số(%) Phương pháp hình học (%) G K TB