SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MAX, MIN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2019 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Trang I Mở đầu… …………………………………………… ………3 Lí chọn đề tài…… ……………………………… ……….3 Mục đích đối tượng nghiên cứu…………………… … ….3 Phương pháp nghiên cứu………………… ………… ………4 II Nội dung……… …………………………………………….4 Cơ sở lí luận…………………………………………… Thực trạng………………………………………………… .4 Giải pháp……………………………………………….………5 3.1Kiến thức chương số phức …………….…………… 3.2Các phương pháp………………… ………… ….…………… 3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức …… ………………… 3.2.2 Phương pháp xét hàm…… …………………… 10 3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học…………… 14 3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai…………………….………… 21 3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa……………… ……………….22 3.3Bài tập tự luyện…………………………………………… 25 III Kết luận…………………………………………… …………26 Kết nghiên cứu……………………………….….……… 26 Kết luận kiến nghị…………………………………… … 26 Tài liệu tham khảo………………………………………….… 26 SangKienKinhNghiem.net I MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển tồn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học mơn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thông chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Trong năm trước đây, toán max, số phức nằm phần lớn chương trình đại học Năm 2017, GD & ĐT định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn tốn tốn max, số phức coi tốn khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều thấy rõ đề thi thức thử nghiệm Bộ GD& ĐT Sự đổi đoán làm thay đổi toàn cấu trúc đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm yêu cầu đặt với học sinh khơng cịn đơn tư chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều dạng toán Trong đề thi thức thử nghiệm Bộ, toán max, số phức nằm mức độ kiến thức vận dụng vận dụng cao, toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó tốn đa phần thầy cô giáo giảng dạy nhận xét nằm ba yếu tố: yếu tố thứ đề viết đa phần kí hiệu tốn, học sinh khơng nắm kiến thức đọc khó hiểu đề; yếu tố thứ hai sử dụng tư bất đẳng thức, tư hình học, tư hàm số, tư khó học sinh phổ thơng; yếu tố thứ ba, tốn địi hỏi biến đổi phức tạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn tính tốn cho học sinh Đây toán mới, áp dụng vào thi cử chưa nhiều, thị trường sách tài liệu tham khảo ít, hạn chế chưa đầu tư kĩ lưỡng nội dung hình thức Việc có tài liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng tốn khoa học ln nhu cầu cấp thiết cho thầy cô học sinh MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải tốt toán max, số phức - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài: “Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” SangKienKinhNghiem.net PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, đề thi học sinh giỏi tỉnh khu vực, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ, giảng số giảng viên toán,…) - Phương pháp thử nghiệm thực tiễn II NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trị Đối với người thầy giáo dạy Tốn, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức Toán phổ thơng nói chung, đặc biệt xâu chuỗi nội dung, tạo mối liên hệ mật thiết mặt kiến thức việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào tốn cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Khi gặp toán max, số phức có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với tốn hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khn khổ kiến thức chương hay kiến thức cấp học khiến học sinh khó khăn việc tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, toán max, số phức đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương số phức, phép biến đổi logic toán học biết kiến thức bất đẳng thức, hàm số, hình học Tạo mối liên kết chặt chẽ mặt kiến thức, kĩ năng, kết hợp lí luận thực tiễn giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em khơng ngừng tìm tịi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắn đưa đến kết đúng, khắc phục tâm lý lo sợ gặp dạng tốn khó Đây mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên THỰC TRẠNG Khảo sát thực tế nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT khác địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày không mặn mà với tốn max, số phức Lí bạn đưa tốn khó, khó từ khâu đọc đề tư hiểu đề, trình biến đổi phức tạp, sử dụng nhiều đơn vị kiến thức chương hay gây nhầm lẫn, điểm số dành cho dạng đề thi có từ 0,2 đến 0,4 điểm Một phần khó cịn yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều dẫn đến SangKienKinhNghiem.net thật đáng buồn, phần lớn bạn học sinh ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm tốn bỏ qua hồn tồn khoanh “chùa” đáp án, tốn khơng phải tốn q khó, tốn mấu chốt đề Từ thực tiễn thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” GIẢI PHÁP 3.1 Kiến thức chương số phức có liên quan Đơn vị ảo i 1 Mỗi biểu thức dạng x yi ( x ; y R) gọi số phức; x phần thực, y phần ảo x x' y y' Hai số phức nhau: x yi x' y ' i Mỗi số phức x yi biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M ( x; y ) Môđun số phức: x yi x y OM Số phức z x yi có số phức liên hợp z x yi Phép cộng: ( x yi) ( x' y ' i) ( x x' ) ( y y ' )i Phép trừ: ( x yi) ( x' y ' i) ( x x' ) ( y y ' )i Phép nhân: ( x yi).( x' y ' i) ( xx' yy ' ) ( x' y xy ' )i Phép chia: x' y ' i xx' yy ' xy ' x' y i x yi x y x y Dạng lượng giác z r (cos i sin ) * Chú ý: z z z zz z z ' z z ' z z' z z' z z z' z' z z ' z z ' z z z z z z' z' 2 2 z z' z z' z z' 2 2 z z ' z ' z" z" z z z ' z" z z ' z" 3.2 Các phương pháp 3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức * Phương pháp + Gọi số phức z x yi ( x ; y R) + Biến đổi biểu thức cho giả thiết theo x y + Biến đổi yêu cầu toán theo giả thiết SangKienKinhNghiem.net + Quan sát nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất biểu thức để đánh giá max, + Giải dấu = bất đẳng thức để số phức thỏa mãn * Chú ý: Nếu đề không yêu cầu tìm số phức z để q trình làm tốn ngắn gọn ta khơng cần biểu diễn số phức z thông qua x, y không cần giải dấu Ta cần làm hai bước: + Biến đổi yêu cầu toán theo giả thiết + Quan sát nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất biểu thức để đánh giá max, * Các bất đẳng thức thường sử dụng: ( x y ) x; y ( x y ) k k x; y Dấu = xảy x y k ( x y ) k x; y Dấu = xảy x y Bất đẳng thức Côsi: x y xy x; y Dấu = xảy x y 1 x; y; z 0 x y z x yz x y xy x; y Dấu = xảy x y Bất đẳng thức Bunhia: (a b )(c d ) (ac bd ) Dấu = xảy ad bc Bất đẳng thức số phức: z z ' z z ' z z ' z z' z z' z z' Bất đẳng thức vectơ: a b a b * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn: z i Tìm số phức z có mơđun lớn nhỏ Hướng dẫn: +, Gọi z x yi ( x ; y R) +, z i ( x 1) ( y 1)i +, z x yi ( x 1) ( y 1)i i ( x 1) ( y 1)i 2 i 1 z max 1 x x z 1 1 Dấu = xảy i 2 y 1 y 1 2 1 +, z i ( x 1) ( y 1)i z 2 SangKienKinhNghiem.net 1 x x 2 z 1 1 Dấu = xảy i 2 y 1 y 1 2 Nhận xét: Vì tốn cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức i cần đưa số phức có mơ đun mơ đun số phức ( x 1) ( y 1)i cho giả thiết Ví dụ 2: Tìm z max ; z biết (1 i ) z 2i Hướng dẫn: +, Gọi z x yi ( x ; y R) +, (1 i ) z 2i z 2i 1 z i 1 i 2 2 1 3 x y i 2 2 +, 1 3 1 3 10 z x yi x y i i x y i i 2 2 2 2 2 2 2 z max 10 2 3 10 +, z i x y i 2 2 2 2 z 10 2 Theo ý, ví dụ ta làm gọn sau: 2i 1 z i 1 i 2 3 3 +, z z i i z i i 2 2 2 2 +, (1 i ) z 2i z z max 10 10 2 3 10 +, z i z i 2 2 2 10 z 2 Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN z i biết z 4i Hướng dẫn: +, z i z 4i 5i z 4i 5i 34 z max 34 SangKienKinhNghiem.net +, z i 5i z 4i 34 z 34 Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z z 4i Số phức z có z là: A z 4i B z 3 4i C z 2i D z 2i Hướng dẫn: +, Gọi z x yi ( x ; y R) +, z z 4i 6 x y 25 x y 25 y 25 10 y 202 225 15 +, z x y y 36 3 Dấu = xảy y x z 2i Đáp án D 2 Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z z Khi z ? 2 A Hướng dẫn: B C D z z z z z z z Đáp án B Ví dụ 6: Cho số phức z số thực GTLN z i A B Hướng dẫn: C z số thực Tìm z2 D 2 z z z z 2( z z ) z z ( z z ) 2 2 2 z 2 z 2 z 2 z ( z z )(2 z ) z z 1 i z 1 i 2 z i max 2 Ví dụ 7: Cho số phức z x yi ( x; y R) thoả mãn z 4i z 2i m z Tính mơđun số phức w m ( x y )i A w B w C w 10 D w Hướng dẫn: +, z 4i z 2i x y +, z x y x y 2 2 z 2 x y x +, Dấu = xảy w 2 4i w Chọn A x y y Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm GTLN A z z SangKienKinhNghiem.net A B C D Hướng dẫn: 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia đẳng thức z z ' z z ' z z ' ta có A z2 2z2 1 22 z z 2 5.2 z 2.2 Amax Chọn B Ví dụ 9: Cho số phức z1 ; z ; z thỏa mãn z1 z z 2 biểu thức P z1 z z A B C Hướng dẫn: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 2 2 i Tính giá trị nhỏ 2 +, P z1 z z 3.3 z1 z z D 2 i z1 z z z1 z z P Dấu = xảy z1 z z +, z1 z z Ví dụ 10: Cho số phức z1 ; z ; z thỏa mãn z1 z z Tính giá trị nhỏ biểu thức P A Hướng dẫn: B 1 z1 z z1 z z z1 z z z z1 z z C D z1 z z z z z1 z1 z z1 z z z z z z z1 z z1 2 z1 z z z1 z z z1 z z 9 1 x; y; z 0 Côsi ta có: x y z x yz 9 P 2 z1 z z1 z z z1 z z z z1 z z z1 z z z z z1 Theo bất đẳng thức 9 z1 z z 2 1 Chọn C Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z P z i z i Tính mơđun số phức w Pmax iPmin A B C D Hướng dẫn: +, Gọi z x yi ( x ; y R) +, z ( x 1) y +, P z i z i x ( y 1) ( x 2) ( y 1) SangKienKinhNghiem.net Đặt M ( x; y ) ; A(0;1) ; B(2;1) Theo bất đẳng thức vectơ ta có P MA MB MA MB ( x x) ( y y ) 2 Pmin 2 +, Theo bất đẳng thức Bunhia: P x ( y 1) ( x 2) ( y 1) 2.2 x 1 y Pmax w Chọn A 3.2.2 Phương pháp xét hàm * Phương pháp + Gọi số phức z x yi ( x ; y R) + Biến đổi biểu thức cho giả thiết theo x y (1) + Biến đổi yêu cầu toán theo x y (2) + Rút x y (1) vào (2) + Xét hàm số, kết luận * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Gọi M, m GTLN, GTNN phần thực số phức , z số phức có z Tính P M m z A P B P C P 29 D P 10 w z3 Hướng dẫn: z +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) z x 1 1 z 3 z x x z z z 2 +, Từ z x y x 1;1 +, w z +, Xét hàm số f ( x) x x ( x 1;1) (t / m) 11 f (1) 2 ; f (1) ; f ( ) M ; m 2 P Chọn A Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 4( z z ) 15i i ( z z 1) Tìm mơđun số phức z biết z 3i f ' ( x) 24 x x x A 41 64 B 241 64 C 241 D 41 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) 15 15 15 +, 4( z z ) 15i i ( z z 1) x y y y 2 4 2 +, z 3i y y 21 10 SangKienKinhNghiem.net +, Xét hàm số f ( y ) y y Min f ( y ) 1521 z 3i 64 21 15 y ; Lập bảng biến thiên ta được: 8 x 1521 z 64 y 15 241 Chọn C Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 2i P z 2i z 2i đạt GTLN Đặt z x yi ( x ; y R) Tính giá trị biểu thức T x y A B 25 C D 50 Hướng dẫn: +, z 2i z 2i x y +, P z 2i z 2i x ( y 2) ( x 1) ( y 2) y y y 12 y +, Xét hàm số: f ( y ) y y y 12 y 27 x 26 26 f ' ( y) y Lập bảng biến thiên max f ( y ) f 25 25 25 y 26 25 T Chọn B 25 Ví dụ 4: Cho số phức z có phần ảo dương môđun Gọi M, m GTLN, GTNN z z Tính M m 359 108 A B 359 100 C 35 108 D 307 102 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) +, z y x x 1;1 z1 z z1 z 2 2z z z z z z z z 2z +, z z z z x y y x 1i x z z y y ( x 1) x x x +, Xét hàm số: f ( x) x x x ( x 1;1) x f ' ( x) 12 x x x (tm) 1 (tm) 11 SangKienKinhNghiem.net 13 13 max f ( x ) M 13 4 f (1) 1; f ; f ; f (1) 2 27 min f ( x) m 27 27 Chọn A Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z Gọi M, m GTLN, GTNN biểu thức P z z z Khi tích M m ? A 13 B 13 C 3 3 D Hướng dẫn: +, Đặt t z z t 0;2 +, Vì z z z P z z z z z z z z +, t z z 1 z z z z z t P f (t ) t t (t 0;2) t t t +, Khi f (t ) t t t 2t t f ' (t ) ; f ' (t ) t 2t t 13 13 13 f (0) ; f ( ) ; f ( ) ; f (2) M ; m M m 4 Chọn A 5 Ví dụ 6: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn z1 z i ; z1 z biểu 3 thức P z1 z z1 z đạt giá trị nhỏ Khi giá trị z1 z bao nhiêu? A Hướng dẫn: B +, Ta có z1 z C -1 D 3 i 1 5 +, z1 z z1 z 2 +, z1 z z1 z z1 z 2 z z2 z z2 2 z1 z +, P z1 z 3z1 z z1 z 3z1 z Đặt t z1 z P t 3t +, Xét hàm số f (t ) t 3t (t 3; 2) 3 12 SangKienKinhNghiem.net t (l ) f ' (t ) 3t t 1 (l ) f ( ) ; f (2) Pmin Dấu = xảy t z1 z Chọn D z 3 Tổng giá trị nhỏ giá z 2i Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn trị lón biểu thức P z z i z z z (1 i ) z (1 i ) A -1 B -2 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) +, C D z 3 z z 2i x y z 2i +, Biến đổi P z z i z z z (1 i ) z (1 i ) 16 x y xy 2 x y +, Đặt t xy t +, Xét hàm số f (t ) 16t 8t (t 0; f ' (t ) 32t t ; Ví dụ 8: Cho số phức 4 f (0) ; f ( ) 1 Pmax ; Pmin 1 Chọn A z thỏa mãn z Giá trị nhỏ biểu thức P z z z z 4i bao nhiêu? A B C 14 15 15 D 15 15 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) Từ z x y x; y 2;2 +, P z z z z 4i ( x 1) y (1 x) y y +, Áp dụng bất dẳng thức a b c d (a c) (b d ) với a x ; b d y; c x tính chất giá trị tuyệt đối ta có: P 2 +, x x 2 ( y y ) Xét hàm f ' ( y) y số y y y f ( y ) y y ( y 2;2) ta có (tm) 1 10 f (2) ; f ; f ; f (2) f ( y ) 3 3 3 Dầu = xảy x ; y Chọn A 13 SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 9: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn điều kiện z1 i z z1 2i z 10 i Tìm GTNN biểu thức z1 z A 10 B Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) C 101 D 10 x2 +, z1 i z z1 2i y (P) +, z 10 i ( x 10) ( y 1) (C ) Đường trịn (C) có tâm I (10;1) Đặt z 10 i (số phức có điểm biểu diễn I) x4 x2 +, Ta có z1 z z1 z z1 z z1 z 20 x 101 16 x4 x2 x3 +, Xét hàm số f ( x) 20 x 101 f ' ( x) x 20 x 16 Suy f(x) đạt cực tiểu x f ( x) f (4) 45 z1 z Dấu = xảy z1 4i z giao điểm IM đường tròn (C) (với M điểm biểu diễn số phức z1 ) Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn z 4i Gọi M, m 2 GTLN, GTNN biểu thức P z z i Mô đun số phức w M mi là? A 137 B 1258 C 309 D 314 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) +, z 4i ( x 3) ( y 4) x sin t +, Đặt (t 0; y cos t 2 +, P z z i x y sin t cos t 23 +, Xét hàm số f (t ) sin t cos t 23 (t 0; ) Ta tìm Max f (t ) 33 f (t ) 13 w 1258 Chọn B 3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học * Phương pháp +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) +, Biến đổi giả thiết yêu cầu tốn phương trình theo x y Nhận biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình để biểu diễn mặt phẳng tọa độ +, Từ hình vẽ tính chất hình học giải tích biện luận max, * Ví dụ minh họa 14 SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 4i Tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn: O M” -4 I M’ +, z 4i ( x 3) ( y 4) Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (3;4) ; R Phương trình đường thẳng OI: x y +, z max OI R +, z OI R +, Tọa độ điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn nghiệm hệ ( x 3) ( y 4) 4 x y Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2i z i Tìm GTNN z 2i Hướng dẫn: I M +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) có điểm biểu diễn M +, z 2i z i 3x y Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d: 3x y +, Đặt R z 2i ( x 3) ( y 2) R ( x 3) ( y 2) (C) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm M (3;2) , bán kính R Suy M giao điểm d (C) R M M d (M , d ) +, z 2i đạt giá trị nhỏ d ( M , d ) 10 10 15 SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z i z 3i Giá trị lớn z 3i A 5 B C D Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) +, z i z 3i ( x 1) ( y 1) ( x 1) ( y 3) Đặt M ( x; y ) biểu diễn số phức z; A(1;1) biểu diễn số phức i ; B(1;3) biểu diễn số phức 3i Ta có MA MB Khi điểm M nằm elip tâm I có độ dài trục lớn A, B hai tiêu điểm +, z 3i ( x 2) ( y 3) MC với C (2;3) biểu diễn số phức 3i +, AB(2;4) AB ; AC (1;2) AC Ta có AB 2 AC AB AC +, Gọi M’ điểm elip cho A, B, M’ thẳng hàng M’ khác phía A so với B Khi BM ' AB 2 Ta thấy MC M ' C với điểm M nằm elip Do MC lớn M trùng M’ Suy MC M ' C CA AB BM ' 5 Chọn A Ví dụ 4: Cho số phức z1 ; z thỏa mãn z1 3i ; iz 2i Tìm giá trị lớn biểu thức T 3iz1 z A 554 Hướng dẫn: +, z1 3i B 558 C 322 D 554 13 3iz1 15i 3iz1 15i 3i +, iz 2i i z 8i z 8i 16 SangKienKinhNghiem.net +, Gọi A, B điểm biểu diễn 3iz1 2z , A, B thuộc đường tròn tâm O(9;15) bán kính đường trịn tâm I (4;8) bán kính Ta tính OI 554 T 3iz1 z 3iz1 (2 z ) AB Do IO 554 nên hai đường trịn ngồi Suy ABmax AO OI IB 554 13 Chọn D Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 3i z 2i 34 Tìm tổng GTLN GTNN z 2i A 30 34 B 34 30 34 5 C 34 D 30 34 6 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) có điểm biểu diễn I ( x; y ) +, Từ giả thiết ta có A(2;3); B(5;2) ;C (1;2) điểm biểu diễn số phức 3i ; 2i ; 2i Ta có AB 34 ; z 2i CI +, Theo giả thiết AI BI 34 AB I thuộc đoạn thẳng AB Phương trình AB: x y 19 +, CI d (C ; AB) 30 34 +, CI max I trùng với điểm đầu mút đoạn AB Do CA 34 ; CB CI max Chọn D Ví dụ 6: Cho số phức z1 ; z thỏa mãn điều kiện z1 i z1 i ; z z 2i Tìm GTNN biểu thức P z1 z z1 z A B C D Hướng dẫn: 17 SangKienKinhNghiem.net +, Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z1 a bi ; z c di (a, b, c, d R ) +, z1 i z1 i 2a 4b Suy M di động đường thẳng d1 : x y +, z z 2i 2c 4d Suy N di động đường thẳng d : 2x y +, P z1 z z1 z (a c) (b d ) (a 3) b (c 3) d MN MA NA ; A(3;0) +, Gọi A1 đối xứng với A qua đường thẳng d1 ; A2 đối xứng với A qua đường thẳng d Ta có MN MA NA MN MA1 NA2 A1 A2 Đẳng thức xảy điểm M , N , A1 , A2 thẳng hàng +, Gọi 1 đường thẳng qua điểm A vng góc với d1 , phương trình 5 : x y , H d1 H ;1 A1 (2;2) 2 Gọi đường thẳng qua điểm A vng góc với d , phương trình 18 21 : x y , H d H ; A2 ( ; ) 5 10 Vậy Pmin A1 A2 Chọn D Ví dụ 7: Cho z1 ; z hai số phức thỏa mãn hệ thức z 4i z1 z Tìm GTNN biểu thức P z1 z A -10 Hướng dẫn: B -5 C -3 D +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) z 4i ( x 3) ( y 4) Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z1 ; z , M, N thuộc đường trịn tâm I (3;4) ; R MN 2 2 +, P z1 z OM ON (OM ON )(OM ON ) NM (OM ON ) NM OJ (với J trung điểm MN) NM (OI IJ ) NM OI ( MN IJ ) MN OI cos( NM , OI ) MN OI (1) 10 Chọn A 18 SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 3i Tìm mơđun số phức z 2 biết P z 2i z i z 2i đạt GTLN A B C D Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) z 3i ( x 4) ( y 3) 25 Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (4;3) ; R +, Với A(2;2) ; B(4;1) ; C (0;2) P MA 2MB 3MC +, Gọi H ( x; y ) thỏa mãn HA HB 3HC H (1;1) MH HA HB 3HC MH +, P MH HA MH HB MH HC MH HA HB 3HC 2 HA HB 3HC Do A, B, C, H cố định nên biểu thức P lớn MH lớn Suy M, I, H thẳng hàng HM HM IM IM x 2( x 4) x y 2( y 3) y Ta có HI HM HI MI 10 HM IM Chọn A Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn z i biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P z 9i z 8i A z 2i B z 6i C z i D z 5i Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) 19 SangKienKinhNghiem.net z i ( x 1) ( y 1) 25 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (1;1) ; R +, Xét điểm A(7;9); B(0;8) IA 10 IM Gọi K điểm tia IA cho IK IA K ;3 2 IM IK , góc MIK chung IKM đồng dạng với IMA IA IM MK IK MA MK MA IM +, P z 9i z 8i MA 2MB 2( MK MB) BK 5 +, Do Pmin 5 M BK (C ) , M nằm B K x +, Phương trình đường thẳng BK : x y Ta tìm M (1;6) Chọn B Ví dụ 10: Cho số phức z x yi ( x ; y R) thỏa mãn z 3i z i Gọi M, m GTLN, GTNN P x y x y Tính M m A 156 20 10 B 60 20 10 C 156 20 10 D 60 10 Hướng dẫn: +, z 3i z i ( x 2) ( y 3) ( x 2) ( y 1) 2 x y 2 ( x 2) ( y 1) 25 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền phẳng (T) tô đậm (hình vẽ) +, Gọi A(2;6) ; B(2;2) giao điểm đường thẳng x y đường tròn (C ' ) : ( x 2) ( y 1) 25 Ta có P x y x y ( x 4) ( y 3) P 25 Gọi (C) đường tròn tâm J (4;3) ; R P 25 20 SangKienKinhNghiem.net ... Đề tài: ? ?Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” SangKienKinhNghiem.net PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên... thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” GIẢI PHÁP 3.1 Kiến thức chương số phức có liên quan Đơn vị ảo... gia nay, toán max, số phức đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương số phức, phép biến đổi logic toán học biết kiến thức bất đẳng thức, hàm số, hình học Tạo