Chuyển vị của dầm chịu uốn ppt

 Đường đàn hồi: đường cong của trục dầm sau khi bị uốn.. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN Đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến dạng.. Ví dụ 1Viết phương trình độ

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

 Đường đàn hồi: đường cong của trục

dầm sau khi bị uốn

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

( ) z y

tg ϕ ≈ ϕ ≈ '

dz

dy dz

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

 Đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến dạng.

Độ võng y>0 nếu hướng xuống

tuyến của đường đàn hồi tại điểm khảo sát là thuận chiều kim đồng hồ

PT vi phân của đường đàn hồi

x

J E

y1

y1

3

M y

1

y

±

= + '

"

PT vi phân của đường đàn hồi

Phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng gần đúng

1

y

−

= + '

Xác định đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân bất định

dy y

x

x'

D dz

C

dz EJ

M y

y " = −

Xác định đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân bất định

trC

phC

trC

=

Ví dụ 1

Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm chịu ngàm một đầu và tải tập trung tại đầu tự do

EJ

Pz EJ

M

y " = − =

P y

z EJ

P y

x

+ +

6

x x

x

EJ

Pz EJ

M

y"= − =

Ví dụ 1

Điều kiện biên

z = l, y’ = 0, y = 0

3 2

3

2 2

32

6

22

'

l EJ

P l

EJ

Pz EJ

Pz

y

l EJ

P z

EJ

P y

x x

x

x x

x

x

EJ

Pl EJ

Pl EJ

Pl D

EJ

Pl C

3 2

6

2

3 3

3

2

= +

−

=

−

=

Ví dụ 2

dầm đặt trên hai gối tựa đơn chịu tải trọng phân bố đều q, độ cứng dầm không đổi

Ví dụ 2

2

2

q z

q EJ

M

Cz 12

z 6

lz EJ

2

q y

C 3

z 2

lz EJ

2

q y

4 3

x

3 2

l z

0 y

ql C

0 D

3 2

2 x

3

3

3 2

2 x

3

l

z l

z

2 1

z EJ

24

ql y

l

z

4 l

z

6 1

EJ 24

ql y'

x

4EJ

ql 384

5 f

ymax = =

3

EJ 24

ql

±

=

ϕmax

Ví dụ 3

Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm đặt trên hai gối tựa đơn chịu tác dụng của lực tập trung P như hình vẽ

Ví dụ 3

Biểu thức mômen uốn tại hai mặt cắt 1-1, 2-2:

( z a )

z l

Pb

Ví dụ 3

Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong các đoạn AB, BC

1 x

lEJ

Pb y

x x

x 1

1

2

x

1 1

Dz

C6

zlEJ

Pby

C2

zlEJ

Pby

az

−+

−

=

+

−+

3 3

Dz

C6

a

zEJ

P6

zlEJ

Pby

C2

a

zEJ

P2

zlEJ

Pby

lz

a

'

2 1

2 1

' '

0

0 0

y y

y

y a

z

y l

z

y z

x

2 1

2 1

b

l lEJ

6

z z

6

b

l lEJ

Pb y

2

z 6

b

l lEJ

Pb y

2 2

2

x 1

2 2

6

z z

6

b

l l

b 6

a

z lEJ

Pb y

6

b

l b

2

a z

l 2

z lEJ

Pb y

3 2

2 3

x 2

2 2

2 2

x 2

2 '

5 f

x

3

EJ 24

ql

±

=

ϕmax

Phương pháp tải trọng giả tạo

Tưởng tượng ta tác dụng lên 1 dầm

nào đó (gọi là dầm giả tạo) một tải

trọng phân bố giả tạo có cường độ:

( )z

qdz

2

EJ

Mdz

M

d

y" = = −

2 gt

2

gt x

x 2

2

dz

M

d q

EJ

M dz

EJ

M

q = −

gt 2

M

d dz

y

d

dQ dz

=

'

Phương pháp tải trọng giả tạo

Chọn dầm giả tạo với các điều kiện sao cho có

sự tương ứng:

y (dầm thực) = Mgt (dầm giả tạo)

ϕ (dầm thực)= Qgt (dầmgiả tạo)thì có thể thay đổi việc tích phân biểu thức y’’ bằng cách tính nội lực trên dầm giả tạo khi biết

Phương pháp tải trọng giả tạo

 Cách chọn dầm giả tạo y

(dầm thực)=Mgt(dầm giả tạo)

ϕ(dầm thực)=Qgt(dầmgiả tạo)

Phương pháp tải trọng giả tạo

Mx >0 thì qgt<0: biểu đồ Mx nằm phía dưới trục

Mx < 0 thì qgt >0 qgt hướng lên

chiều dài khác nhau ta xác định trước các

Phương pháp tải trọng giả tạo

Ví dụ 4

Tính độ võng và góc xoáy tại đầu tự do của dầm công-son, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q Biết dầm có độ cứng

Ejx=const

EJ 6

qL xL

EJ 2

qL x

gt

EJ 8

qL L

4

3 x

xL EJ

2

qL x

gt B

EJ 6

gt B

EJ 8

qL M

Ví dụ 5

Xác định độ võng và góc xoay ở đầu mút D của dầm có độ cứng không đổi chịu lực như

Ví dụ 5

Ví dụ 5

Ví dụ 5

EJ

10

12EJ

110

VV

4 4

C B

2

.18.63

2EJ

10

16EJ

10

12Q

4 4

4 gt

=+

=

EJ

10

136 2

3

2 2

2 EJ

10 x

16 2

EJ

10

12 M

4 4

4 gt

.

.

.

= +

=

Ví dụ 5

( ) m EJ

M

4

10

136

=

=

( ) rad EJ

Qgt D

D

410

28

=

=

θ

Phương pháp thông số ban đầu

∆ +

=

+ +

+ +

+ +

+ +

+

!

' '

!

!

! '

5

a

z a

q K

a q

K EJ

1

4

a

z a

q K

a q

K EJ

1

3

a

z a

Q K

a Q

K EJ

1

2

a

z a

M K

a M

K EJ

1

a z

y y

z y

z y

5 m

m 1

m 1

m

4 m

m 1

m 1 m

3 m

m 1

m 1

m

2 m

m 1

m 1

m

a a

m 1

m

Phương pháp thông số ban đầu

 Trong đó:

1 m 1

m

1 m

J E

EJ K

+ +

m m

m

J E

EJ

Phương pháp thông số ban đầu

5

z q

EJ

1 4

z q

K EJ

1 3

z Q

K EJ

1

2

z M

K EJ

1 z

y y

z y

5 0

4 0

1

3 0

1

2 0

1 0

0 1

Phương pháp thông số ban đầu

=

5 0

4 0

3 0

2 0

0 0

1

z EJ 5

q z

EJ 4

q z

EJ 3

Q z

EJ 2

M

z y

y z

Phương pháp thông số ban đầu

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ∆ ] ( − ) − 

∆ +

1

4

a

z q

EJ 1

3

a

z Q

EJ 1

2

a

z M

EJ 1

a z

y y

z y

z y

5

4 a

3 a

2 a

a a

m 1

m

Phương pháp thông số ban đầu

Trong đó

 y(a), y’(z), Ma, Qa, qa, q’a,,, là bước nhảy của độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải phân bố tại mặt cắt có hoành độ z=a

 y0, y’0, M0, Q0, q0, q’0 là độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, cường độ lực phân bố và đạo hàm của lực phân bố tại đầu mút của dầm tại (z=0)

giữa đoạn thứ m và m+1

Ví dụ 6

Tính độ võng tại đầu nút tự do của dầm bằng thép chịu lực như hình vẽ Dầm có mặt cắt ngang là tròn, được cấu tạo thành hai bậc với đường kính là: d1= 13,3cm, d2

= 9cm, hai đoạn dầm đều cùng cấu tạo

bằng một loại vật liệu

có E=2.105MN/m2

Ví dụ 6

Các phản lực tại ngàm có trị số là:

 VA = P1 + P2=22kN

13 d

d J

J J

E

J

E K

4 4

2

1 2

1 2

4

4

1 0 133 15 36 10 m d

J = π = π . , = ,

Ví dụ 6

Tại A

z=a=0

Tại Bz=a=0,6m

12

zM

KEJ

1z

y

3 0

1

2 0

1

( )

!

,

.

!

,

.

,

3

z 10

36 15

10 2

22 2

z 10

36 15

10 2

2

19 z

y

3 6

8

2 6

8

za

QKa

Q

KEJ

1

2

a

za

MK

aM

KEJ

1z

yz

y

3 1

1 2

2

2 1

1 2

2 1

!

,,

3

60

z22

10x798

4EJ1

2

60

z6

6798

4EJ

1z

yz

y

3

2 1

−

−

=

3 2

6 0 z

10 409

1 6

0 z

10 709

3

z 10

194 1

z 10

125 3

z

y

,

, ,

,

,

46

3

6 0 10

409 1

6 0 10

709

3

2 1 10

194 1

2 1 10

125 3

f 2

1

y

3

3 3

2 3

3 3

2

3 C

−

=

=

,

,

, ,

,

,

, ,

,

,

Ví dụ 7

Tính góc xoay của mặt cắt ngang ở gối tựa A của dầm có độ cứng không đổi chịu tải trọng như hình

Ví dụ 7

Ví dụ 7

Phương trình đường đàn hồi của các đoạn:

( )

a z

0

4

z EJ

q 3

z EJ

V z

y z

y

4

3 A 0

( ) ( )

( )

b z

a

4

a

z EJ

q 4

z EJ

q 3

z EJ

V z

y

4

a

z EJ

q z

y z

y

4 4

3 A 0

4 1

!

3

b

z EJ

P 4

a

z EJ

q

c z

b 4

z EJ

q 3

z EJ

V z

y

3

b

z EJ

P z

y z

y

3 4

4

3 A

0

3 2

3

− +

−

−

≤

≤ +

−

=

− +

=

2

c

z EJ

M 3

b

z EJ

P

l z

c 4

a

z EJ

q 4

z EJ

q 3

z EJ

V z

y

2

c z

M z

y z

y

2 3

4 4

3 A

0

2 3

4

−

−

− +

≤

≤

−

− +

Ví dụ 7

điều kiện biên tại B của dầm Với z= l thì yB= 0

M 3

b

l EJ

P 4

a

l EJ

q 4

l EJ

q 3

l EJ

V z

y z

y

2 3

4 3

A 0

4

−

−

− +

−

− +

4

3 A

2

c

l EJ

M 3

b

l EJ

P 4

a

l EJ

q 4

l EJ

q 3

l EJ

V z

Ví dụ 8

Viết phương trình đường đàn hồi của dầm tĩnh định chịu lực như hình vẽ, độ cứng của toàn dầm là như nhau

2 A

0

2

ql M

Phương trình đường đàn hồi trong các đoạn

qL 2

z EJ 2

qL z

y

3 2

qL z

qL

L z

y 4

L

z EJ

q z

y z

y

a

4 3

2 2

a

4 1

2

−

∆ +

− +

−

=

−

∆ +

− +

=

' '

!

Để xác định y’a ta dựa vào điều kiện biên

0 L

y 24

L EJ

q 6

L

8 EJ 2

qL 2

L

4 EJ 2

qL

a

4 3

2

2

=

∆ + +

EJ

qL 24

9 y

94

L

zEJ

q3

zEJ2

qL2

zEJ2

qLz

y

3 4

3 2

Bài toán siêu tĩnh

cân bằng tĩnh học

phụ dựa vào điều kiện biến dạng

Ví dụ 8

Ví dụ 8

qL 8

3 V

0 3

L

2 2

L EJ

L V

4

L

3 L EJ

2

qL 3

1 y

B

B

x

2 B

P M

2

P Q

x y

3 x

x

d 1 0

PL W

Pzd

σ

=

,

y 1

Q 3

4 d

d