CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bịKhi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bịKhi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bị

Bài giảng sức vật liệu Chương CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN I.KHÁI NIỆM CHUNG Khi tính dầm chịu uốn ngang phẳng, ngồi điều kiện bền phải ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng dầm.Dưới tác dụng ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong nầy gọi đường đàn hồi dầm (H.8.1)  P P z  Đường đàn hồi K K ’ z  v P K K ’ Đường đàn hồi P  z u v y(z) y y H.8.1 H.8.2  01 V(z) 02  u Xét điểm K trục dầm trước biến dạng.Sau biến dạng, điểm K di chuyển đến vị trí K/ Khoảng cách KK’được gọi chuyển vị thẳng điểm K Chuyển vị nầy phân làm hai thành phần: Thành phần (v) vng góc với trục dầm (song song với trục y) gọi chuyển vị đứng hay độ võng điểm K Thành phần (u) song song với trục dầm (trục z) gọi chuyển vị ngang điểm K Ngoài ra, sau trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang K bị xoay góc, ta gọi chuyển vị góc (hay góc xoay) mặt cắt ngang điểm K.Tại K/ vẽ tiếp tuyến với đường đàn hồi hợp với trục chưa biến dạng dầm góc  ta dễ thấy  góc xoay mặt cắt ngang Ba đại lượng u, v,  ba thành phần chuyển vị mặt cắt ngang điểm K Trong điều kiện biến dạng dầm bé thành phần chuyển vị ngang u đại lượng vơ bé bậc hai so với v, bỏ qua chuyển vị u xem KK’ v, nghĩa vị trí K’ sau biến dạng nằm đường vng góc với trục Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu dầm trước biến dạng (H.8.2) Góc xoay  lấy gần đúng:   tg  dv dz Nếu chọn trục dầm z, trục y vng góc với trục dầm, chuyển vị v tung độ y điểm K’.Tung độ y độ võng điểm K Ta thấy rõ K có hòanh độ z so với gốc chuyển vị y,  hàm số z phương trình đàn hồi là: y(z) = v(z) Phương trình góc xoay là: dv dy  z     y' z  dz dz Phương trình góc xoay đạo hàm phương trình đường đàn hồi Quy ước chuyển vị: - Độ võng y dương hướng xuống - Góc xoay  dương mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, tính tốn dầm chịu uốn, người ta thường khống chế độ võng lớn dầm không vượt qua giới hạn định để đảm bảo yêu cầu làm việc, mỹ quan cơng trình , điều kiện nầy gọi điều kiện cứng Nếu gọi f /L độ võng lớn dầm điều kiện cứng thường chọn là: 1 f  L   300  1000   : L - chiều di nhịp dầm Tùy loại cơng trình mà người ta quy định cụ thể trị số  f L II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI Xét điểm K trục dầm Trong chương (công thức7.1) ta lập mối liên hệ độ cong trục dầm K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx K là: Mx  (a)  EI x Mặt khác, đường đàn hồi biểu diễn phương trình hàm số y(z) hệ trục (y0z) nên độ cong đồ thị biểu diễn hàm số điểm K có hồnh độ z tính theo cơng thức:  (a) va (b)   y 1  y  y 1  y'  Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn  (b) Mx EIx (c) GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Đó phương trình vi phân tổng qt đường đàn hồi, nhiên phải chọn cho hai vế phương trình thỏa mãn Khảo sát đoạn dầm bị uốn cong hai trường hợp H.8.3 Trong trường hợp mômen uốn Mx đạo hàm bậc hai y” luôn trái dấu, phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng: z Mx z Mx Mx Mx > y” < y y Mx Mx < y” > H.8 y' ' 1  y'    Mx EI x Với giả thiết chuyển vị dầm bé bỏ qua (y’)2 so với phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng gần sau: y' '   Mx EI x (8.1) đó: Tích số EIx độ cứng uốn dầm III LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHƠNG ĐỊNH HẠN Vế phải phương trình vi phân (8.1) hàm số z nên (8.1) phương trình vi phân thường Tích phân lần thứ (8.1)  phương trình góc xoay:   y'    Mx dz  C EIx (8.2) Tích phân lần thứ hai  phương trình đường đàn hồi:  y        Mx dz  C dz  D EIx  (8.3) Trong (8.2) (8.3), C D hai số tích phân xác định điều kiện biên Các điều kiện nầy phụ thuộc vào liên kết dầm phụ thuộc vào thay đổi tải trọng dầm Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu A yA = A A = a) yA = H 8.4 C B b) yB = Đối với dầm đơn giản, có điều kiện sau: + Đầu ngàm dầm console có góc xoay độ võng không (H.8.4a): yA =  A = + Các đầu liên kết khớp độ võng không (H.8.4b): yA = yB = + Tại nơi tiếp giáp hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau, độ võng góc xoay bên trái với độ võng góc xoay bên phải ( điểm C H.8.4b): P yCtr = yCph; Ctr = Cph z B A Thí dụ Viết phương trình đường đàn hồi góc xoay cho dầm son (console) H.8.5.Từ suy độ võng góc xoay lớn Cho EIx = số Giải Phương trình mơmen uốn mặt cắt có hồnh độ z (gốc A) Mx = –Pz (a) vào (8.1)  phương trình vi phân đường đàn hồi : y''   tích phân hai lần,  Mx Pz  EIx EIx yB = B = z L y H.8.5 P z (b) Pz2   y'  C 2EIx (c) Pz3  Cz  D 6EIx (d) y Mx C D xác định từ điều kiện biên độ võng góc xoay ngàm: z = L;  = v y = thay điều kiện nầy vào (c) (d)  PL2 PL3 C ;D 2EIx 3EIx Vậy phương trình đường đàn hồi góc xoay là: Pz3 PL2 PL3 y  z ; 6EIx 2EIx 3EIx Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu  Pz2 PL2  2EIx 2EIx Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta có PL3 PL2 ymax  ;  3EIx 2EIx ymax > độ võng điểm A hướng xuống  < góc xoay điểm A ngược kim đồng hồ Thí dụ 2: Tính độ võng góc xoay lớn dầm (H.8.6) Cho EIx = số Giải Phương trình mơmen uốn mặt cắt có hồnh độ z là: ( gốc A) qz Mx   qz 2 EI x vào (8.1),  y ' '  y B A (a) z yB = B = z L (b) y qz3   y'   C (c) EIx tích phân hai lần,  q qz C z D 24 EIx H.8.6 q Mx (d) z hai điều kiện biên đầu ngàm z = L;  = v y = cho : C qL3 qL4 ; D 6EIx 8EIx Vậy phương trình đàn hồi góc xoay là: y qz qL3 qL4  z ; 24 EI x EI x 8EI x  qz qL3  EI x EI x Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta có: qL4 qL3 ymax     A 8EIx 6EIx Thí dụ Tính độ võng góc xoay lớn dầm đơn giản chịu tải phân bố (H.8.7).Độ cứng EIx dầm khơng đổi Giải Phương trình mơmen uốn mặt cắt ngang có hồnh độ z là: Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Mx   qL qz q z  Lz  z2 2  (a) thay vào (8.1),  phương trình vi phân đường đàn hồi sau: y''   q  Lz  z  EIx (b) z Tíchphân hai lần,  q q  Lz z     y'      C 2EIx  3 (c qL/2 q  Lz3 z4   y   C z D 2EIx  12  z A L y q điều kiện biên gối tựa trái phải dầm: khi : z  0; y   khi : z  L; y  Mx qL z D  0; C   B L/2 qL3 24EIx H.8.7 Như phương trình đường đàn hồi góc xoay là: y qL3 24EIx   y'   z 1   z z3    L2 L3  (e) qL3  z2 z3  1    24EIx  L L  (g) Độ võng lớn dầm mặt cắt ngang nhịp ứng với: 5qL4 L L z= (tại y’= 0), thay z = vo (e), ymax  y L    z  2 384EIx  2 Góc xoay lớn nhất, nhỏ (y’max , y’min) mặt cắt ngang có y” = (hay Mx = 0), tức gối tựa trái phải dầm Thay z = z = L vào (g)   max  y'max qL3  24 EIx   y'min qL3   24 EIx Góc xoay mặt cắt gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay mặt cắt gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ Thí dụ (tự đọc) Lập phương trình độ võng góc xoay dầm hai gối tựa chịu lực tập trung P H.8.8 cho biết EIx = số Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu P B A C z1 z2 a z b L Y H.8.8 Pab/L Giải Dầm có hai đoạn, biểu thức mơmen uốn hai đoạn AC CB khác nên biểu thức góc xoay độ võng hai đoạn khác Viết cho đoạn biểu thức Mx, y’’, y’, y sau: Mômen uốn Mx đoạn sau: Đoạn AC (0  z1  a): M x(1)  Pb z1 L (a) Đoạn CB (a  z2  L): M x(2)  Pb z2  Pz2  a L (b) Phương trình vi phân đường đàn hồi đoạn: Đoạn AC: y1 ''   Pb z1 LEIx (c) Đoạn CB: y2 ''   Pb P z2  a z2  LEIx EIx (d) Tích phân liên tiếp phương trình trình, ta được: Đoạn AC (0  z1  a): y1 '   Pb z1  C1 LEIx (e) y1   Pb z1  C1 z1  D1 LEIx (g) Đoạn CB (a  z2  L): y2 '   Pb P z2  a  C2 z2  2LEIx EIx (h) y2   Pb P z2  a  C2 z2  D2 z2  LEIx EIx (i) Xác định số tích phân C1, D1, C2, D2 từ điều kiện biên - Ởgối tựa A, B độ võng không - Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng góc xoay hai đoạn phải Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu  khi: z1 = 0; y1 = z2 = 0; y2 = z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’ Từ bốn điều kiện nầy :  D1    Pb L3  P L  a  C2 L  D2  6EIx  LEIx  Pb Pb   LEI a  c1 a  D1   6LEI a  c2 a  D2 x x  Pb Pb   2LEI a  c1   2LEI a  c2 x x  Giải hệ phương trình trên,  D1 = D2 = 0; C1  C2  Pb  L2  b  LEIx Vậy phương trình góc xoay độ võng đoạn là: Đoạn AC (0  z1  a):  Pb  L2  b z12 '   1  y1  LEIx    z13  Pb  L2  b     y1  LEI  z1   x    Đoạn BC (a  z2  L):     Pb  z22 Lz2  a L2  b '     y2  LEIx  2b   z23  Pb  z2  a L2  b  y  L  z   LEI  6b 6  x       Tính độ võng lớn dầm cách dựa vào điều kiện y’ = 0, Giả sử a > b Trước hết ta xét độ võng lớn đoạn  Ở gối tựa A (z1 = 0) góc xoay bằng: PbL  b  1    1 A  6EIx  L2  PbL a  b  C (z1 = a): 1C   3EIx 0,500L A E B D z Như vậy, hai điểm A C 0,577L góc xoay 1 đổi dấu, nghĩa bị triệt tiêu lần Điều cho thấy độ võng H.8.9 có giá trị lớn đoạn AC Để tìm hồnh độ z1(0) mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho phương trình Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu  = 0:  Pb  L  b2 z1 0  1 z1 (0)    0 LEIx   L2  b2 z1 (0)  (o) Sau đưa vào biểu thức (l) độ võng, giá trị lớn độ võng ymax  y1z   1( )  3Pb L2  b 27 EIx   b2  1    L  (p) Các hệ quả: - Nếu P đặt nhịp dầm b  L / 2 , từ (o) (p) , ta được: z1 (0)  L  0,500L ; ymax PL3  48EIx - Khi P gần gối B, tức b  ta có: z1(0) = L = 0577L Như vậy, tải trọng di chuyển từ trung điểm D nhịp dầm đến gối tựa B (H.8.9) hoành độ z1(0) biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức từ điểm D đến điểm E Trong thực tế người ta thường quy ước tải trọng P tác dụng vị trí coi độ võng lớn nhịp dầm Thí dụ: tải trọng P tác dụng vị trí H.8.8 độ võng nhịp dầm Pb  yl   3L2  4b  bằng: 48EIx So sánh hai giá trị ymax yl 2 thấy hai giá trị nầy khác Nhận xét: Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng Ở đoạn phải xác định hai số tích phân, dầm có n đoạn phải xác định 2n số, toán trở nên phực tạp số đoạn n lớn, phương pháp nầy dùng tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi VI XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN)  Phần trước có liên hệ vi phân nội lực ngoại lực: dQ y dz  q (z ) , dM x d 2M x  Qy ,  q( z ) dz dz (a)  Đối với việc khảo sát đường đàn hồi dầm, có phương trình vi phân: M d2y d /  y  x dz EI x dz Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn (b) GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Đối chiếu phương trình (a) (b), ta thấy có tương tự sau: y M d y d  y'   x dz EI x dz Mx d Mx d  Q y  q( z ) dz dz Ta nhận thấy muốn tính góc xoay y’ độ võng y phải tích phân liên tiếp hai lần Mx hàm số Tương tự muốn có lực cắt Qy mơmen uốn Mx phải tích phân liên EIx tiếp hai lần hàm số tải trọng q Tuy nhiên phần trước (nội lực), ta tính lực cắt Qy mơmen uốn Mx theo tải trọng q từ việc khảo sát phương trình cân bằng, phương pháp mặt cắt Như vậy, ta tính góc xoay y’ độ võng y mà khơng cần tích d M gt d M Mx  Qgt  q gt   x Ta có tương quan phân Nếu đặt q gt   Ta có: dz EI x EI x dz sau y’ = Qgt ; y = Mgt Đó phương pháp tải trọng giả tạo  Phương pháp tải trọng giả tạo: Tưởng tượng dầm giả tạo có chiều dài giống dầm thật có tải trọng M giả tạo qgt giống biểu đồ  x dầm thật, lúc muốn tính góc xoay y’ EIx độ vong y dầm thật (DT)(dầm khảo sát) cần tính lực cắt Qgt mơmen uốn Mgt tải giả tạo tác dụng DGT gây Tuy nhiên, để có đồng đường đàn hồi y Momen uốn Mgt điều kiện biên chúng phải giống nhau: y’ = Qgt ; y = Mgt điểm hai DT DGT  Cách chọn dầm giả tạo (DGT) DGT suy từ DT với điều kiện nơi DT khơng có độ võng góc xoay điều kiện liên kết DGT nơi phải tương ứng cho qgt không gây Mgt Qgt Bảng 8.1 cho số DGT tương ứng với số DT thường gặp Bảng 8.1 Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn 10 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Dầm thực A Dầm giả tạo y =   y =   A B y=0 =0 y0 0 A y  A B B y=  tr= ph y =   B Mgt = Qgt  Mgt = Qgt  A B Mgt  Qgt  Mgt = Qgt = A B Mgt  Qgt  Mgt = Qgt  Qtr = Qph Mgt = Qgt   Cách tìm tải trọng giả tạo qgt Mx Vì qgt   , nên qgt ngược dấu với mơmen uốn Mx Do đó: EIx - Nếu: Mx > qgt < 0, nghĩa biểu đồ Mx nằm phía trục hồnh (theo qui ước Mx > vẽ phía dước trục thanh) qgt hướng xuống - Nếu: Mx < qgt hướng lên  qgt ln có chiều hướng theo thớ căng biểu đồ mô men Mx q q >0 Ngòai q trình tính nội lực Mgt, Qgt DGT, cần phải tính hợp lực lực phân bố qgt chiều di khác Do đó, để tiện lợi ta xác định vị trí trọng tâm diện tích  hình giới hạn đường cong bảng 8.2 đây: Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn 11 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Hình vẽ h Diện tích ( ) C x1 Vị trí trọng tâm x1 x2 Lh L 2L Lh L 3L 2Lh 3L 5L x2 L h Bậc C đỉnh x2 x1 L đỉnh h Bậc C x1 x2 L Thí dụ 5: Tính độ võng góc xoay đầu tự B dầm công xon chịu tải trọng phân bố q.Độ cứng dầm EIx = const Giải + Biểu đồ mơmen uốn Mx DT có dạng đường bậc + DGT tương ứng với lực phân bố qgt + Độ võng góc xoay B DT mơmen uốn Mgt lực cắt Qgt B qL2 qL4 yB  MgtB    L L  2EIx 8EIx q qL2 qL3 B  Q   L  ; 2EIx 6EIx B gt A a) b) L qL 2 qL2 c) EI x Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn 12 Mx DGT GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Thí dụ 6: Tính chuyển vị đứng B y B  M gtB  PL L L L PL3   (   ) 2 EI x 2 64 EI x P A L/2 a) b) c) K B L/2 PL Mx PL EI x A K B DGT P A a) L/2 B K L/2 b) PL Mx Thí dụ 7: c) PL Tính chuyển vị đứng K,cho EIxhằng số EI x Thực mặt cắt qua K xét bên phải Chia diện A tích hình thang hai hình tam giác hình chữ PL nhật để biết trọng tâm Mg PL EI x t EI x y K  M gtK  PL L L      2 EI x PL L L PL3 PL3 PL3      EI x 24 EI x 16 EI x 12 EI x K  Q K gt DGT B K M A PL PL L 3PL2 (  )  8EI x EI x EI x Thí dụ 8: Tính chuyển vị đứng góc xoay K cho EIx số M L Mo M / B   R  L   L  L  RgtA  EI x 3EI x M RgtB RgtA M gtK Tính phản lực gỉa tạo A R Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn 13 L/2 L/2 M0 EI x A gr B K A gt M0 EI x GV: Lê đức H.8.12 Bài giảng sức vật liệu M0 L L M0 L L y K  M gtK   (        ) 2 EI x 2 EI x  M0L L M L3 M L3 M L2     12 EI x EI x 12 EI x 3EI x Góc xoay k phản lưc giả tạo K  K  QgtK  RgtK  M L2 3EI x VI BÀI TỐN SIÊU TĨNH (BTST) Tương tự tốn chịu kéo, nén tâm, ta có BTST uốn Đó tốn mà ta xác định tồn nội lực phản lực với phương trình cân tĩnh học,vì số ẩn số phải tìm tốn lớn số phương trình cân tĩnh học có Để giải BTST, cần tìm thêm số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng dầm Thí dụ Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm H.8.12a.Biết EI = số Giải q q B a) B h) L VB  q b ) B A VB i) qL Q qL c) qL EI x qL k) qL2 y M x d) VB L EI x 9qL2 128 + Dầm cho có bốn phản lực cần tìm (ba ngàm gối tựa B) Ta có ba phương trình cân tĩnh học, nên cần tìm thêm phương trình phụ điều kiện biến dạng dầm + Tưởng tượng bỏ gối tựa đầu B thay vào phản lực VB (H.8.12b), ta hệ Hệ nầy làm việc giống hệ VB phải có trị số chiều để độ võng B, tải trọng q VB sinh ra, phải không  Điều kiện biến dạng (chuyển vị): yB (q, VB ) = Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn 14 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu + Ta tính độ võng B phương pháp tải trọng giả tạo (hay phương pháp khác) Biểu đồ mômen uốn dầm H.8.12b tải trọng q phản lực VB gây vẽ H.8.12c,d, DGT qgt H.8.12 e, g Ta có: Độ võng yB hệ 8.12b Mơmen giả tạo B DGT yB = M B gt qL L  2EI = L– L VB L  L Điều kiện độ võng yB = 0,  VB = EI 3 qL Sau tìm VB, dễ dàng vẽ biểu đồ nội lực dầm cho H.8.12 i, k Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn 15 GV: Lê đức ... dạng (chuyển vị) : yB (q, VB ) = Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn 14 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu + Ta tính độ võng B phương pháp tải trọng giả tạo (hay phương pháp khác) Biểu đồ mômen uốn dầm. .. võng góc xoay dầm hai gối tựa chịu lực tập trung P H.8.8 cho biết EIx = số Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu P B A C z1 z2 a z b L Y H.8.8 Pab/L Giải Dầm có hai... thuộc vào liên kết dầm phụ thuộc vào thay đổi tải trọng dầm Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu A yA = A A = a) yA = H 8.4 C B b) yB = Đối với dầm đơn giản, có điều