Tính dầm chịu uốn ngang phẳng

Thanh chủ yếu chịu uốn được gọi là dầmKhái niệm và định nghĩa: Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: mặt phẳng tạo nên bởi trục của thanh thẳng thanh có trục là đường thẳng và mộ

Thanh chủ yếu chịu uốn được gọi là dầm

Khái niệm và định nghĩa:

Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: mặt phẳng tạo nên bởi trục của thanh thẳng ( thanh có trục là đường thẳng ) và một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang

Khi tải trọng nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm và vuông góc với trục thanh, nội lực trong mặt cắt

ngang có hai thành phần ( momen uốn và lực cắt ngang ), trục thanh sẽ bị uốn cong nhưng vẫn là đường cong phẳng nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm, biến dạng của thanh là uốn ngang phẳng

Chương 8

Uốn ngang phẳng

Khi nội lực trong mặt cắt ngang chỉ có một thành phần momen uốn thanh chịu uốn thuần túy.

B

PA C

Đoạn dầm AB chịuuốn thuần túy

z O

y

z x

y

P P

Mặt cắt ngang của các dầm thường gặp có trục đối xứng

Trục dầm và trục đối xứng của các

mặt cắt ngang tạo thành mặt phẳng

đối xứng và là mặt phẳng quán tính

chính trung tâm của dầm Nếu tải

trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng

và vuông góc với trục dầm sẽ gây ra

biến dạng uốn ngang phẳng

1 Trục dầm là một đường thẳng, mặt cắt ngang có trục đối xứng Dầm có mặt phẳng đối xứng do trục dầm và trục đối

xứng của mặt cắt ngang tạo ra

2 Ngoại lực (lực tập trung hay lực phân bố) nằm trong

mặt phẳng đối xứng và vuông góc với trục dầm, các momen tác dụng trong mặt phẳng đối xứng của dầm

3.Chỉ tính đến những ứng suất trong mặt cắt ngang của

dầm, ứng suất pháp giữa các thớ dọc có giá trị không đáng kể

và được bỏ qua Sơ đồ tính của dầm là đoạn thẳng trùng với trục dầm chịu tác dụng của ngoại lực

4.Tải trọng tác dụng lên dầm là tải trọng tĩnh

Trong chương này ứng suất và biến dạng của dầm chịu

biến dạng uốn ngang phẳng được xác định dựa trên những điều kiện sau :

M M

Giả thuyết tính toán dầm chịu

uốn thuần túy

1 Giả thuyết mặt cắt phẳng : Mặt cắt

ngang phẳng và vuông góc với trục

dầm sẽ di chuyển nhưng vẫn phẳng

và vuông góc với trục dầm đã bị uốn

cong khi biến dạng

2 Giả thuyết về các thớ dọc : Trong quá

trình biến dạng Các thớ dọc không kéo, ép

lẫn nhau Chiều dài của các thớ dọc thay

đổi dần dần từ co ngắn chuyển thành bị kéo

dài và tồn tại một lớp thớ dọc không thay

đổi chiều dài gọi là lớp trung hòa Giao

tuyến của lớp trung hòa và mặt cắt ngang

Gọi là đường ( trục )trung hòa

Mx

x

x z

max

M y

; 6 W

3 2

x

bh J

4 3

x

d J

8.1.4 Điều kiện bền Dạng hợp lý của mặt cắt

x

x y J

x y J

Mặt cắt có hình dáng hợp lý phải tận dụng được cao nhất khả năng làm việc của vật liệu

Các ứng suất ở các điểm nguy hiểm đồng thời đạt tới giá trị của ứng suất kéo và ứng suất nén cho phép.

Thép I N O 30; F = 46,5 cm 2 , Wx = 472 cm 3 ; mặt cắt hình vuông cùng diện tích Wx= 52,9 cm 3 (nhỏ hơn gần 9 lần).

3 F

W



I NO 30 β = 131,26; hình vuông cùng diện tích β=14,70







  Vật liệu giòn α ‹ 1; yk ‹ │yn│

Vật liệu dẻo α = 1; yk =│yn│

 n

n x

x y J

M



4max

Điều kiện bền của dầm:

0,5l a/

z

y b/

y

z c/

b/

  P 164 kN

8

16 5 , 20

4

c/

[P1]/[P2] = 1216/164 = 7,41

Thí dụ 8.1 Xác định tải trọng cho phép P đặt trên dầm

NO 20 có gối đỡ bản lề ở hai đầu cho hai trường hợp đặt dầm khác nhau như trên hình vẽ Biết l=8m; vật liệu có ứng suất cho phép     16 kN / cm2 NO 20: Wz=152 cm3 ,

Wy = 20,5 cm3

Thí dụ 8 2. Kiểm tra độ bền theo ứng suất pháp của dầm

chịu tải trọng như hình vẽ Vật liệu có ứng suất cho phép

Mômen tĩnh của mặt cắt đối với trục xo:

S

102

210

, 533 3

2

10 12

10

2 3

2

10 12

2

cm

z

22

bd

- Mặt cắt ngang bị uốn cong ;

- Góc vuông trước khi biến dạng

vẫn không thay đổi ở mặt trên và

mặt dưới db;

- Góc vuông ở lớp trung hòa mn

biến đổi nhiều nhất ;

Kết luận : Ứng suất tiếp ở mặt

trên, mặt dưới bằng không và có

giá trị cực đại ở lớp trung hòa

M+dM M-Pl

8.2.2 Xác định ứng suất.

y zy

J b

8.2.3 Biểu đồ ứng suất tiếp ( m ặt cắt hình chữ nhật).

b J

x QS

x

y zy

- tại A và D trên mặt cắt có momen uốn lớn nhất

Đối với dầm làm bằng vật liệu dẻo

z

y

x

BC

D

σmin

τmaxσ τ

Dầm bằng vật liệu giòn

-tại điểm B (trượt thuần tuý) trên

mặt cắt có lực cắt lớn nhất:

(8 12)

 max     k ; min     n (8 13)

m a x    (8 14)

vật liệu dẻo (thuyết bền thứ ba);

vật liệu giòn: thuyết bền Mo

- tại C (trạng thái căng phẳng): mặt cắt có Q và M có giá

trị lớn Kiểm tra điểm có ứng suất σ, có giá trị khá lớn

Vật liệu dẻo dung thuyết bền ba :  242    ,

Kiểm tra toàn phần độ bền

5

, 87 30

5 , 42 4

40

5

,

42 4

5 30 2

4 40

; 0 5

30 4

2

4 40

kN A

kN B

Thí dụ 8 3 Chọn và kiểm tra toàn phần độ bền của dầm chữ

I chịu tải như hình vẽ Vật liệu có ứng suất cho phép

max max

cm

M W

W M

Phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý (mặt cắt A ):

;/

31,

47

,0.9840

339

5,

87)

z S

69,

49840

12,

12

333000

)

cm

kN J

y x M

x

d J

Q

x zy



/

7 , 2 12

,

1 2

33 2

7 ,

0 339

7 , 0 9840

5 ,

cm kN

62 ,

6 7

, 2 3 69

8.3 Quỹ đạo ứng suất chính khi uốn ngang.

q

E

ABCD

8.4 Thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn.

Thế năng riêng biến dạng đàn hồi được xác định theo

1

2 2

G E

4 2

Thép chữ I: k = 2,2 – 2,4 ;

k = 1,2

dV G

2 2



Thế năng biến dạng của toàn bộ dầm:

; 2

2

2

2

dF G

z S

Q dx

dF

y EI

M dx

U

F

I dF

b

z

S I

F k

dx GF

Q k

dx EI

M U

2

2

(8.15)

(8.16)

8.5 Biến dạng và chuyển vị của dầm chịu uốn.

8.5.1 Biến dạng của dầm chịu uốn

z

z EI

Chuyển vị (độ võng, góc xoay)

Độ võng y của dầm là chuyển vị của trọng tâm mặt cắt theo

phương vuông góc với trục dầm: y = y( x )

Góc xoay của mặt cắt hay chuyển vị góc là góc giữa hai

vị trí của mặt cắt trước và sau khi biến dạng Dựa theo giả thuyết mặt cắt phẳng ta có:

'

y dx

dy

tg   

(8.17)

8.5.2 Phương trình vi phân của độ võng

Độ cong của đường cong phẳng y = y( x ) :

3

2 ) ' 1

)

( )

' 1

) (

)

( )

' 1

Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi (y’≈0):

Mz(x) - momen uốn đối với trục z ở mặt cắt có toạ độ x;

EIz(x) -độ cứng chống uốn của dầm trong mặt phẳng yx tại mặt cắt có toạ độ x

8.5.3 Phương pháp thông số ban đầu.

y M

P q k2

k1p m x l

dk dk dp dm dx

x

)

( 2

) ( x M Pp q k12 k22

)

( 2

2 2

2 1 2

2

k k

q Pp

M dx

( 2

q Ppdp

Mdm dx

dy d

).

( 6 2

3 2

3 1

2 q k k p

P Mm

C dx

3 2

3 1

p

P Mm

EI dx

q Pp

M x

M

(

! 3

! 2

! 1

3 2

3 1

p

P m

M EI

EI   o       

).

(

! 4

! 3

! 2

4 2

4 1

3

m

M x

EI EIy

2

4 2

4 1

3

m

M x

EI D

y

24 6

2

4 2

4 1

3

2 0

y EI y



D y

EI z 0

2

Px EI

EIo ; x = l, 0;

2 2

3

x

Pl EIy

Khi x = l, y = 0

;2

;2

; 6 2

3

3 2

x

Pl Pl

Thí dụ 8.5 Xác định độ võng

và góc xoay lớn nhất của dầm

2

l q V

2

4

3 qx x

ql x

EI EIy

EIy  o  o    

; 6 2

2

3

2 qx x

ql EI

Khi x = 0; y = 0; yO = 0; khi x = l; y = 0:

xl

x

ql/2

k1p

ql/2

x

y

BA

q

b

24 12

24

4 3

5 24

2 12

2 2

24

4

4 3

3

ql

l q

l ql l

2 0

4 3

0

ql l

ql l

EI  

; 24

; 24 12

3 3

3

0

EI

ql ql

ql

384

5 4

ql y

xl

x

ql/2

k1p

ql/2

x

y

BA

q

b

( 8.24 )

Thí dụ 8 6 Xác định độ võng và góc xoay lớn nhất của

mặt cắt trên dầm

l

Pa V

2

x l

Pb EI

EI   o  

6 6

3

3 Pp x

l

Pb x

EI EIy

0

3 3

0

Pb l

Pbl l

0

l

b l

Pb

EI    

48

8.6 Phương pháp tải trọng giả tạo

;2

2

q dx

dQ dx

d dx

Bằng phương pháp mặt cắt ta có thể tìm được lực cắt

ngang Q và momen uốn M từ cường độ của tải trọng phân

bố

Như vậy nếu coi M/EI là một loại cường độ tải trọng giả

tạo trên dầm ta có thể dùng phương pháp mặt cắt để tìm

các đại lượng chuyển vị góc và chuyển vị y như một loại

lực cắt ngang giả tạo và momen uốn giả tạo:

qgt = M/EI; Qgt = φ và Mgt = y

Dầm giả tạo cần có các liên kết sao cho các thành phần nộilực giả tạo phù hợp với các chuyển vị ở các mặt cắt tươngứng trên dầm thực

Thí dụ 8 7 Xác định độ võng và

góc xoay tại đầu A của dầm

;6

23

EI

ql l

EI

ql

Q gt   

;84

32

3

EI

ql l

l EI

ql

.6

;8

3 4

EI

ql EI

ql

y A  A 

;2

2

EI

Pl l

EI

Pl

Q gt  

;33

22

EI

Pl

l l EI

Pl

M gt   

.2

;3

2 3

EI

Pl EI

8.8 Bài toán siêu tĩnh

Vẽ biểu đồ momen uốn và lực

cắt ngang của dầm siêu tĩnh

Gối tựa A ≡ phản lực VA + đ/k: yA = 0

Thí dụ 8 7 + đ/k yA = 0

;

0 3

8

3

ql

128

9 8

3 2 8

max

ql l

q

l V

3 0

8

3

l x

qx ql

8.7 Dầm có mặt cắt biến đổi, ứng suất tập trung, xác định biến dạng.

8.7.1 Xác định ứng suất, điều kiện bền

Dùng hệ số tập trung ứng suất khi uốn ασ để tính đến ảnh hưởng của sự tập trung ứng suất :

 ;

max   

z W

Xác định ứng suất tiếp theo cách này sai số sẽ lớn hơn song có thể bỏ qua vì ảnh hưởng của ứng suất tiếp thường

là nhỏ và có thể bỏ qua

b/ Mặt cắt biến đổi đột ngột ( nơi có lỗ khoan, rãnh then ):

8.7.2 Xác định biến dạng.

a/ Mặt cắt biến đổi cục bộ ( rãnh then, lỗ khoan …) bỏ

qua ảnh hưởng của sự biến đổi cục bộ của mặt cắt đến

biến dạng của dầm , coi như dầm có mặt cắt không đổi

b/ Mặt cắt biến đổi dần dùng giá trị trung bình của momen quán tính để tính biến dạng

c/ Mặt cắt biến đổi theo nhiều bậc:

- Dùng momen quán tính của đoạn chính;

- Dùng giá trị trung bình của momen quán tính của các mặtcắt có kể đến tỷ lệ giữa chiều dài của các đoạn

- Dùng phương pháp của Giêmốtskin sẽ có độ chính xáccao

biến dạng của một đoạn dầm có momen quán tính của mặt cắt là Ii và nội lực trong mặt cắt là momen uốn Mi và lực cắt ngang Qi sẽ giống biến dạng của đoạn dầm có momen quán tính của mặt cắt IO và nội lực trong mặt cắt là MO = αiMi và

QO = αiQi với i I / o I i

d/ Phương pháp Giêmốtskin : thay dầm có mặt cắt biến đổi theo nhiều bậc bằng một dầm tương đương có mặt cắtkhông đổi dựa trên ý tưởng sau :

Thí dụ đối với dầm có 3

đoạn có momen quán tính

của các mặt lần lượt là I1 ,

I2 , I3 được thay thế bằng

dầm có mặt cắt không đổi

có momen quán tính I0

2 1

I

I I

I I

-Phần lực bổ sung và

(vẫn tuân thủ quy tắc về dấu ):

i Q

 M i

)

();

(

);

();

(

2 3

2 2

1 2

1 1

2 3

2 2

1 2

1 1

M M

Q Q

Q

Q

(8 28)

-Các thành phần lực bổ sung

và được đặt vào các mặt cắt

chuyển tiếp

i Q



i

M



-Có thể kiểm tra kết quả tính toán

theo điều kiện cân bằng

-Cuối cùng xác định biến dạng của

dầm quy đổi theo các phương trình

( 8.20 )

đi từ bên trái sang phải lực hướng

lên là dưong và momen theo chiều

kim đồng hồ là dương)

Thí dụ 8.9 Chọn kích thước mặt cắt ngang của dầm chữ I có tăng cường hai lá thép cho phần chịu tải lớn nhất Biết

100

cm



6 , 15 2 , 1

15 12

2 , 1

Momen uốn cho phép của thép chữ I có gia cường là

Vẽ biểu đồ momen uốn cho phép của thép chữ I:

Tấm thép gia cường có chiều dài l3 = 3,63 m đặt cách đầu trái một khoảng l1 = 1,58m và cách đầu phải một khoảng

l2 = 0,79m

2 , 16

17710 14

Xác định biến dạng của dầm và kiểm tra độ cứng.

Dầm quy đổi có momen quán tính của mặt cắt

IO = 17710 cm4

Các thành phần nội lực ở các mặt cắt phân chia các đoạn dầm : M1 = 84 kNm; M2 = 84 kNm; Q1 = 53,3 kN; Q2 = - 106,7 kN

28950

ΔQQ1=53,3

ΔMM1=84

ΔMQ2=106, 7

Các thành phần lực bổ sung:

; 84

) 1 2

( 84 )

(

; 84

) 2 1

( 84 )

(

; 7

, 106 )

1 2

( 7 , 106 )

(

; 3

, 53 )

2 1

( 3 , 53 )

(

2 3

2 2

1 2

1 1

2 3

2 2

1 2

1 1

kN M

M

kN M

M

kN Q

Q

kN Q

ΔMM1=84

ΔMQ2=106,7

ΔMM2=84

P=120 q=40kN/m

α3VB=213,4 ΔMQ1=53,3

ΔMM1=84

ΔMQ2=106,7

ΔMM2=84

P=120 q=40kN/m

Phương trình độ võng cho mặt cắt ở đoạn cuối:

.26

624

26

6

2 2 2

3 3 2

3 2

4 2

4 1

2 1 1

3 1 1

3 1

m M

p Q

p P

k

k q

m M

p Q

p V x

EI y

EI y

17710

10 20

10

6.9 Ảnh hưởng của lực cắt đến độ võng của dầm chịu uốn

Phương trình vi phân gần đúng của đường

đàn hồi (chỉ tính ảnh hưởng của momen uốn):

Do biến dạng trượt trục thanh sẽ quay

đi một góc rất nhỏ γo Độ chênh

o

 - góc lệch của trục dầm:

G

o o



  

G dx

( a )

GF

Q dx

EI

x

M y

Tích phân hai vế phương trình (6 32) và xác định các hằng

số tích phân theo các điều kiện biên sẽ xác định được độ võng và góc xoay

Thí dụ 6 10 Xét dầm đơn giản có gối đỡ bản lề ở hai đầu chịu tải trọng phân bố đều với cường độ q, chiều dài của

dầm là l

)

( 2

GF

q x

xl EI

q y

) 2

(

2 3

GF

q lx

x EI

q y

ql C

24

3 1

; 2 2

) ( x ql x q x2 Q ql qx

Mz     ;

Điều kiện biên: y(x = 0) = y(x = l) = 0

h/l < 1/5 bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt đến độ võng.

Dầm rỗng (mặt cắt rỗng:các mặt cắt ghép của cột điện cao thế, các tháp, các dầm dàn) có bậc xấp xỉ đơn vị, ảnh hưởng của lực cắt là đáng kể.Fl2

5

48 1

384

5 8

384

5

2

4 2

ql GF

ql EI

ql

z z

x GF

ql l

x l

x l

x FEI

ql y

z

1 2

1

2 24

2 2

2 3

3

( c )( b )

6.10 Khái niệm về dầm bền đều.

Thay đổi kích thước của mặt cắt ngang của dầm dọc theo trục dầm tương ứng với sự thay đổi của momen uốn, ta có thể đạt được tình huống khi đó ứng suất ở những thớ ngoài cùng của dầm tại mọi mặt cắt đều đạt tới giá trị của ứng suất

cho phép Những dầm này được gọi là dầm bền đều.

Ứng suất ở những điểm nằm xa trục trung hoà nhất trong mọi mặt cắt của dầm có độ bền đều phải thoả mãn điều kiện:

) (

)

(

const x

W

x M

Mặt cắt hình chữ nhật

    6

)

( )

z

h b Px

x

M x

chữ nhật có chiều cao không

đổi và bề rộng biến đổi:

  6 ;

2

h b

b  l 

Bề rộng của mặt cắt ở đầu B của

dầm cần xác định từ điều kiện bền

cắt do tác dụng của lực ngang P

h b

P F

P F

Q

1

2

3 2

3 2

  

h

P b

l

x

bh x

EIz EIz y ''   Pl  Mmax  const ;

Độ cong của cả

EI

Pl EI

M

z z

Mm EI

EIz  zo   zo 

2 2

2

Pl x

EI y

EI

m M x

EI y

EI y

EIz o  

Dầm có mặt cắt hình chữ nhật

chiều cao h không đổi và bề rộng

biến đổi bx và có gối đỡ bản lề ở

hai đầu chịu lực tập trung ở giữa

Trong ôtô thường sử dụng làm

các lò xo lá

Có thể coi dầm bền đều gồm

nhiều lá lò xo riêng biệt tách

ra từ dầm bền đều và ghép lại như trên hình vẽ

Độ võng của các lò xo lá được xác định gần đúng theo

công thức f = βf1 với β= 1,25 - 1,4 ( f1 - độ võng của dầm

có mặt cắt không đổi)

2 3

4 5

5 4 3

2 1

0 1 2

3 4

5

l

0 1

2 3

4 5

P

Dầm bền đều có mặt cắt hình

chữ nhật với bề rộng b không đổi

và bề cao biến đổi

P

x b

, 0

1 , 0

Đường kính của dầm biến đổi

theo quy luật parabôn bậc ba

P