Bài giảng sức bền vật liệu chương 7 dầm chịu uốn phẳng

 Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng chữ nhật, chữ I , chữ T , tròn…; mặt phẳng tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng của dầm → Uốn phẳng Mặt phẳng

CHƯƠNG 7 – DẦM CHỊU UỐN PHẲNG

7.1 Khái niệm – Nội lực

7.2 Dầm chịu uốn thuần tuý

7.3 Dầm chịu uốn ngang phẳng

7.4 Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay

7.5 Phương pháp tích phân trực tiếp

7.6 Phương pháp thông số ban đầu

7.7 Bài toán siêu tĩnh

7.8.* Ảnh hưởng của lực cắt tới độ võng trong dầm chịu uốn

Dầm chịu uốn phẳng là cấu kiện mà dưới tác dụng của ngoại lực, trục dầm thay đổi độ cong.

Ví dụ: Dầm (thép, bê tông) trong

khung nhà; dầm cầu… là các cấu kiện

chịu uốn điển hình

Ví dụ về dầm chịu uốn:

 Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng (chữ nhật, chữ I , chữ T , tròn…); mặt phẳng tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng của dầm → Uốn phẳng

 Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng chứa tải trọng và trục dầm

 Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: Mặt phẳng chứa trục dầm và một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang

Uốn xiên

Mái bằng – các thanh dầm gỗ chịu uốn phẳng

Giàn mái gỗ truyềnthống – các thanh xà

gồ chịu uốn xiên

Phân loại uốn phẳng:

 Uốn thuần tuý phẳng: Mx ≠ 0; Qy = 0

 Uốn ngang phẳng: Mx ≠ 0; Qy ≠ 0

Thí nghiệm: Uốn dầm như hình vẽ.

Trước khi uốn, kẻ trên bề mặt dầm:

song song với trục, khoảng cách

giữa chúng không đổi

- Các đường thẳng vuông góc với

trục dầm vẫn thẳng và vuông góc

với trục dầm

Quan sát biến dạng (tiếp):

- Các thớ dọc phía dưới bị kéo giãn

ra, các thớ dọc phía trên bị nén co

lại

→ Tồn tại những thớ vật liệu không

chịu kéo cũng không chịu nén –

thớ trung hoà

→ Tập hợp của các thớ trung hòa

– mặt trung hòa

→ Trục trung hoà: giao tuyến của

mặt trung hoà với mặt cắt

ngang

Các giả thiết về biến dạng:

Giả thiết 1: Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng

(Bernoulli)

Mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng và

vuông góc với trục thanh, sau biến dạng vẫn

phẳng và vuông góc với trục thanh.

Giả thiết 2: Giả thiết về các thớ dọc

Các lớp vật liệu dọc trục không có tác dụng

tương hỗ với nhau (không chèn ép, xô đẩy lẫn

nhau).

Chú ý: Ứng xử của vật liệu tuân theo Định luật

Hooke (ứng suất tỷ lệ thuận với biến dạng)

Jacob Bernoulli (1654-1705)

Robert Hooke (1635 -1703)

E – Mô-đun đàn hồi kéo-nén của vật liệu (đã biết)

εz – Biến dạng dài của thớ dọc tại tung độ y → εz = ? → Pt biến dạng?

 Pt biến dạng (pt động học) thể hiện quan hệ giữa εz với:

 Khoảng cách y từ điểm đang xét đến trục trung hòa

 Bán kính cong của thớ trung hòa ρ

Biến dạng dài của một thớ dọc

 Lấy dấu “+” nếu điểm đang xét thuộc

vùng chịu kéo

vùng chịu nén

Để thuận lợi cho việc tính toán, người ta

thường áp dụng công thức kỹ thuật:

Ứng suất pháp σz phân bố bậc nhất theo

khoảng cách y đến trục trung hoà và đạt

cực trị tại các mép biên của dầm

Trục trung hoà – Phân bố ứng suất

pháp trên mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng

Xét mặt cắt ngang hình chữ nhật:

của mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng

Mặt cắt ngang hình chữ nhật:

Mặt cắt ngang hình tròn đặc:

Mặt cắt ngang hình vành khuyên:

ngang có 2 trục đối xứng thường gặp:

– Các mômen chống uốn của mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang có 1 trục đối xứng

Điều kiện bền

Đối với vật liệu dẻo: Đối với vật liệu giòn:

Thí nghiệm: Uốn dầm như hình vẽ.

Trước khi uốn, kẻ trên bề mặt dầm:

→ giả thiết về mặt cắt ngang

phẳng của Bernoulli không còn

chính xác

Ứng suất trên mặt cắt ngang

Trên mặt cắt ngang có hai thành phần

M x – Mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang

I x – Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox

y – Tung độ của điểm tính ứng suất

Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng các thớ dưới của dầm;

Mx < 0 khi làm căng các thớ trên của dầm

Công thức tính ứng suất tiếp

Với mặt cắt ngang hình chữ nhật hẹp (b<<h), ứng

suất tiếp tuân theo giả thiết Zhuravskii:

• Có phương song song với lực cắt Qy, cùng chiều

lực cắt Qy

• Phân bố đều trên bề rộng mặt cắt ngang Dmitrii Ivanovich Zhuravskii(1821 -1891)

Công thức tính ứng suất tiếp

một phân tố vô cùng

bé được tách ra từ

đoạn dầm dài dz:

Công thức tính ứng suất tiếp

Qy – Lực cắt trên mặt cắt ngang tại điểm

đang xét

Ac – Phần diện tích bị cắt

Sx c – Mômen tĩnh của diện tích Ac đối với trục

Ox

Ix – Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối

với trục quán tính chính trung tâm Ox

bc – Chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm

tính ứng suất

– Công thức Zhuravskii

Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang

Mặt cắt ngang hình chữ nhật:

Phân bố ứng suất tiếp trên

Điều kiện bền

Xét dầm tiết diện chữ nhật chịu uốn ngang phẳng Ta có phân bố ứng suất trên tiết diện dầm:

A, B – Trạng thái ứng suất đơn

O – Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý

C, D – Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

Điều kiện bền

Tương tự, với dầm có tiết diện chữ I chịu uốn ngang phẳng, phân bố ứng suất trên tiết diện dầm như sau:

A, B – Trạng thái ứng suất đơn

O – Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý

 Điều kiện bền ứng suất pháp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất đơn):

Với vật liệu dẻo:

Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của mômen uốn lớn nhất

Với vật liệu giòn:

Nếu mặt cắt ngang dầm có 2 trục đối xứng, kiểm tra tại mặt cắt ngang cógiá trị tuyệt đối của mômen uốn lớn nhất

Nếu mặt cắt ngang dầm chỉ có 1 trục đối xứng (ví dụ: mặt cắt chữ T), cầnkiểm tra tại 2 mặt cắt ngang có mômen dương và mômen âm lớn nhất

 Điều kiện bền ứng suất tiếp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý):

Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của lực cắt lớn nhất

Với vật liệu dẻo:

Với vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr

: Dùng thực nghiệm tìm τo

: Dùng thuyết bền 3

: Dùng thuyết bền 4

 Điều kiện bền hỗn hợp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt):

Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối mômen uốn và lực cắt cùngtương đối lớn

Điểm cần kiểm tra: điểm tiếp giáp giữa bụng và cánh của tiết diện (ví dụ:điểm K trên tiết diện chữ I)

Với vật liệu dẻo:

Với vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr

: Dùng thuyết bền 3

: Dùng thuyết bền 4

Ví dụ 7.1:

hình chữ T chịu tải trọng như hình vẽ

1 Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn

kiện bền ứng suất pháp, biết

[σ]k=4kN/cm2; [σ]n=12kN/cm2

GIẢI:

1 Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn

Xác định phản lực liên kết:

1 Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn

Sử dụng phương pháp mặt cắt:

Đoạn AB:

Đoạn BC:

Đoạn CD:

1 Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn

Ta có biểu đồ lực cắt và mômen uốn

như hình vẽ

2 Kiểm tra bền cho dầm

Mặt cắt chữ T có 1 trục đối xứng

→ Cần kiểm tra tại B (mặt cắt có

mô-men âm lớn nhất) và tại C (mặt

cắt có mô-men dương lớn nhất)

2 Kiểm tra bền cho dầm

• Trọng tâm của mặt cắt ngang:

Oy là trục đối xứng

2 Kiểm tra bền cho dầm

• Mômen quán tính chính trung tâm:

2 Kiểm tra bền cho dầm

• Xét mặt cắt ngang tại B:

Mặt cắt B

2 Kiểm tra bền cho dầm

• Xét mặt cắt ngang tại C:

2 Kiểm tra bền cho dầm

• Áp dụng điều kiện bền:

Vậy, dầm thỏa mãn điều kiện bền

Mặt cắt B Mặt cắt C

Ví dụ 7.2:

Cho dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật

chịu tải trọng như hình vẽ Biết ứng

[σ]=16kN/cm2 Tìm các ứng suất

pháp cực trị tại điểm K trên mặt cắt

ngang ở chính giữa đoạn AB

GIẢI:

Xác định phản lực liên kết:

Xét mặt cắt ngang ở chính giữa

đoạn AB :

Ứng suất pháp tại điểm K :

Xét mặt cắt ngang ở chính giữa

đoạn AB :

Ứng suất tiếp tại điểm K :

Trạng thái ứng suất tại điểm K

được xác định bởi các giá trị:

Các ứng suất pháp cực trị tại điểm

K :

Ví dụ 7.3:

chịu tải trọng như hình vẽ, q=5kN/m;

a=1m Biết [σ]=16kN/cm2, hãy chọn

số hiệu mặt cắt ngang cho dầm theo

điều kiện bền ứng suất pháp

Tiết diện nguy hiểm là tiết diện tại

ngàm A:

Áp dụng công thức điều kiện bền:

Tra bảng → Chọn I-No24a

có

 Đường cong y(z) của trục

dầm sau khi chịu uốn được

gọi là đường đàn hồi.

 Xét mặt cắt ngang tại điểm

 Chuyển vị thẳng đứng y(z) của trọng tâm mặt cắt ngang được gọi là độvõng của dầm chịu uốn.

 Góc hợp bởi mặt cắt ngang của dầm trước và sau biến dạng φ(z) được gọi

là góc xoay của dầm chịu uốn

 Biến dạng bé → φ(z) ≈ tan φ = y’(z) → Đạo hàm bậc nhất của độ võng là

Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi

Đã có công thức xác định độ cong

của dầm chịu uốn:

Mặt khác, theo hình học giải tích:

Vậy, ta có:

Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi

Từ hình vẽ, ta thấy y’’ và Mx luôn

ngược dấu nhau

Đây là phương trình vi phân gần

đúng của đường đàn hồi

Từ phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi:

Góc xoay

Độ võng

Trong đó, C và D là các hằng số tích phân, được xác định nhờ vào các điềukiện biên

Các điều kiện biên về độ võng và góc xoay của (a) Dầm đơn giản; (b) Dầm công-xôn; (c) Dầm có mút thừa và (d) Điều kiện liên tục

Nhược điểm của phương pháp: cồng kềnh về mặt toán học khi dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải hệ phương trình để xác định các hằng số tích phân (2n phương trình, 2n ẩn số nếu dầm gồm n đoạn).

Điều kiện biên:

Chuyển vị và góc xoay tại đầu tự

do:

Biểu diễn phương trình đường đàn hồi đoạn thứ (i) qua phương trình đường đàn hồi của đoạn thứ (i-1) :

Ghi chú: chiều dương của mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố như trên

Khi độ cứng của dầm EI = const trên toàn bộ chiều dài, khai triển hàm

Δy(z) theo chuỗi Taylor tại điểm z = a ta có:

Trong đó, các thông số Δya; Δφa; ΔMa; ΔQa; Δqa;… lần lượt là bước nhảycủa độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố… tại điểm

có hoành độ z = a của dầm

Phương trình đường đàn hồi y1(z) của đoạn dầm đầu tiên:

Trong đó, y0; φ0; M0; Q0; q0;… lần lượt là giá trị độ võng, góc xoay, mômenuốn, lực cắt, tải trọng phân bố… tại điểm có hoành độ z = 0 của dầm Đây

là các thông số ban đầu, được xác định nhờ các điều kiện biên

Phương trình đường đàn hồi đoạn 1

Để xác định 2 thông số ban đầu y0 và

φ0, ta xét đến điều kiện liên kết của

 Hệ siêu tĩnh là hệ mà ta không thể xác định được hết các phản lực liên kết và nội lực trong hệ nếu chỉ nhờ vào các phương trình cân bằng tĩnh học.

 Số ẩn số > Số phương trình cân bằng

→ Cần viết thêm phương trình bổ sung

→ Phương trình tương thích về biến dạng

thông số ban đầu

Coi phản lực tại B là ngoại lực, ta

Phương trình đường đàn hồi của

Ta có biểu đồ lực cắt và mômen

uốn như hình vẽ.

Ví dụ 7.7:

Cho dầm chịu lực như hình vẽ.

Xác định các phản lực gối tựa,

biết: a=1m ; q=10kN/m ; F=2qa ;

M=1,5qa2; độ cứng uốn của dầm

là EI=2×107kNcm2.

GIẢI:

Giả sử chiều phản lực tại A như

hình vẽ, coi phản lực tại B là ngoại

Phương trình đường đàn hồi đoạn 1:

Phương trình đường đàn hồi đoạn 2:

Áp dụng điều kiện biên:

Với:

→ VB có chiều ngược với chiều giả thiết (hướng xuống dưới)

Độ võng, góc xoay của một số dầm cơ bản

Sơ đồ dầm Phương trình đường đàn hồi Độ võng Góc xoay

Độ võng, góc xoay của một số dầm cơ bản

Sơ đồ dầm Phương trình đường đàn hồi Độ võng Góc xoay

Thank you for your attention

Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng E-mail: tpnt2002@yahoo.com